Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

2. Вероятностные распределения

Ппотностк

•ероитности

Вероятность,

которая находится

по тоблицсм

Срок работы, ч

Рнс. 2.14. Вероягнопь того, что электролампа проработает иевее 700 ч

Теперь перейдем к стандартному нормальному распределению со средним,

равным О, и стандартным отклонением, равным 1. Подсчитаем, сколько стандартных

отклонений находится между средним ц и 700 ч, т. е. найдем значение z:

z =

700

-600

(700 ч отличается от среднего на 2,5 стандартных отклонений).

По таблице нормального распределения находим:

Р(г> 2,5) = 0,0062.

Так как общая вероятность равна 1, то:

Р (Z < 2,5) = 1 - 0,0062 - 0,9938 ,

т.е. вероятность того, что лампа проработает меньше 700 ч, равна 99,38%. Иными

словами, 99,38% ламп проработают 700 ч и меньше.

На рис. 2.15 вероятность того, что лампа проработает меньше 550 ч, представ-

лена заштрихованным пространством.

Теперь сведем нормальное распределение к единому виду со средним, равным О,

и стандартным отклонением, равным 1. Подсчитаем, сколько стандартных откло-

нений находится между средним ц и 550 ч:

Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

550 - 600 , „,

^= 40 =-*-25

(550 ч на 1,25 стандартных отклонений меньше среднего).

40ч

Плотность

Р(Ц

вероятности

Аналогичная

•ероятность,

которая находится

ло таблице

550 600 650

Срок работы, ч

ИЛИ

Рис. 2.15. Вероятность того, что срок работы лампы будет меньше 550 ч

Так как нормальное распределение симметрично, то:

Р (Z S - 1,25)-P(z^ 1,25).

По таблице нормального распределения находим:

P(zi-1,25) = 0,1056,

P(z:S-1,25) = 0,1056,

т.е. вероятность того, что срок работы лампы будет меньше 550 ч, равна 0,1056.

Иными словами, 10,56% ламп проработают меньше 550 ч.

На рис. 2.16 площадь заштрихованного пространства равна вероятности того,

что лампа проработает от 550 до 700 ч.

Р (550 < L < 700 ч)=Р (L < 700 ч) - Р (L < 550 ч).

Требуемые вероятности мы рассчитали в пунктах 1 и 2:

Р (550 < L < 700 ч) = 0,9938 - 0,1056=0,8882,

т.е. вероятность того, что электролампа проработает от 550 до 700 ч, равна 0,8882.

Иными словами, 88,82% ламп будут работать 550-700 ч.

Гл.

Вероятностные распределения

Плотностк

•ероятности

= 40

Вероятность,

которую нужно

найти

Срок работы, ч

Рис.

2.16. Вероятность того, что лампа проработает от

SSO

до 700

Этот вопрос несколько отличается

от

остальных. Отталкиваясь

от

процента

лампочек, найдем соответствующий срок работы

(см. рис. 2.17).

Плотность

вероятности

40.

электроламп

или

•ероятностъ

0,02

Та же вероятжкгть (0,02)

по таблице

Срок роботы,

Рис.

2.17. Продолжительность работы 2% ламп

Во-первых, находим в таблице значение z, соответствующее вероятности 0,02;

равно 2,055. Это означает, что случайная величина, имеющая вероятность 0,02,

на 2,055 стандартных отклонений больше среднего. Ввиду симметричности нор-

мального распределения

ту же

самую вероятность имеет случайная величина,

на

2,055 стандартных отклонений меньше среднего.

Тогда искомый срок работы равен:

L =

600

82,2

517,8 ч. Т.е. для 2% ламп

с минимальной продолжительностью работы срок работы составляет 517,8

ч.

66 Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка

информации

2.8.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В КАЧЕСТВЕ АППРОКСИМАЦИИ БИНОМИАЛЬНОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Возникает небольшая проблема в связи с тем, что нормальное распределение

оперирует с непрерывными случайными величинами, в то время как биномиальное

и пуассоновское — с дискретными. Но ее можно легко решить при помощи

поправочного коэффициента, называемого "поправка на непрерывность".

Например, при помощи биномиального распределения можно вычислить веро-

ятность существования двух бракованных образцов в выборке, состоящей из п

Ш1ук. Используя нормальное распределение как замену биномиального, мы делаем

допущение, что значение дискретной случайной величины 2 является значением

непрерывной случайной величины на промежутке от 1,5 до 2,5. Это и называется

поправкой на непрерывность. Нормальное распределение, которое мы использовали,

имеет ту же среднюю, и стандартное отклонение, что и обычное биномиальное

распределение. Площадь, покрываемая кривой нормального распределения на

промежутке от 1,5 до 2,5, представляет собой приблизительное значение дискретной

вероятности появления двух бракованных образцов.

Замена распределений производится только, если обычное биномиальное рас-

пределение очень трудоемко и к тому же сеществуют определенные предпосылки.

В 2.S мы использовали распределение Пуассона как замену биномиального. Это

было возможно, если п

—

велико, р

—

мало и пр ^ 5. Биномиальное распределение

можно заменить нормальным, если пр, как и nq, больше 5, т.е. п должно быть

большим, р больше

0,1,

лучик всего около 0,5. Безусловно, указанные значения носят

приблизительный характер. Тем не менее, чем больше п, пр и nq, тем точнее замена.

Среднее и стандартное отклонение биномиального распределения имеют вид:

(г)

в пр [ S ^] и о = Vnpq .

Эти величины используются для вычисления z при применении нормального

распределения (как показано в 2.7).

П Пример 2.14. Каждый день завод производит огромное количество чипсов, 40%

из которых бракованные. Для проверки качества отбираются 20 образцов

из.

произве-

денных за день чипсов. Какова вероятность, что 14 или больше из 20 бракованные?

Решение.

Произведем расчеты, используя обычное нормальное распределение:

Р (г дефектов в 20 образцах) = (0,4) ' х (0,6)

^'^"У.'^С,,

О,

1 20;

Р (14 или больше дефектов)» Р(14) + Р(15) + Р(16) + Р(17) + Р(18) + Р(19) + Р(20);

Р (14) - 0,4"

0,6*

^|5L . 0,004854:

Р (15)

0,4"

0,6^

-jl^L

0,001294;

Гл.

2. Вероятностные распределения 67

161

201

17!

201

18121

201

191 11

201

= 0,000042;

= 0.000005;

» 0,000000;

0,000000.

Р (16) = 0,4'^

0,6"

Р (17) = 0,4"

0,6^

Р (18) = 0,4"

0,6^

Р (19) = 0,4"

0,6'

Р (20) =

0,4^"

0,6°

0,006465

Р (14 или больше чипсов в выборке из 20

—

бракованные) = 0,006465.

Расчеты с заменой биномиального распределения нормальным чрезвычайно

просты. Сначала проверим, можно ли произвести замену: ар = 20 х 0,4

»:

aq = 20 X 0,6 = 12. По/^енные результаты показывают, что примшсение нормаль-

ного распределения в качестве приблюкения биномиального распределения возможно.

Теперь произведем проверку на непрерывность. Дискретное значение, равное 14,

заменяем непрерывной случайной величиной на промежутке от 13,5 до 14,5.

Вместо

тото,

чтобы находить вероятность дискретной величины 14 и более дефек-

тов,

мы найдем вероятность значения непрерывной случайной величины более чем

13,5 дефектов. Среднее нормального распределения: пр = 8, отсюда стандартное

отклонение равно:

Vnpq

V 20

0,4

0,6 = 2,19.

Рассчитаем значение z для 13,5:

, 13.5 - 8 ,,.,

(значение случайной величины на 2,51 стандартных отклонения больше среднего).

По таблице стандартного нормального распределения находим:

Р (2^2,51) =0,0060.

Следовательно,

Р(чнсло дефектов i 13,5) = 0,0060.

Очевидно, что полученный с малыми затратами труда результат Р(число

дефектов Ь 13,5) = 0,0060, почти ничем не отличается от результата расчетов с

биномиальным распределением Р(14 и более дефектов в выборке из 20 образцов)

= 0,0065.

Ч. I. Принятие решений в условиях недостатка информации

Вероитносгь,

которую нужно

найти

Рис.

2.18. Вероятность того, что бракованных чипсов более чем 13,5

О пример 2.15. Рассмотрим пример замены биномиального распределения нор-

мальным для определения вероятности пропорции (доли). Из прошлого опыта

аудиторы "ABC и Со Ltd" знают, что в среднем из 1000 бухгалтерских проводок

35 бывают с ошибками. Какова вероятность, что при ближайшей проверке ошибок

будет больше 5%?

Решение.

Средняя доля = р =

1000

••

0,035;

„ Л/РТ

Л/0,035

0,965

---,.

Стандартное отклонение = Ч-*^-* = N—'—?nnn ~ 0,0058.

В качестве иллюстрации результата см. рис. 2.19.

В данном случае доля ошибок в общем числе проводок является непрерывной

случайной величиной и поэтому можно использовать нормальное распределение

без поправки на непрерывность. Последствия применения поправки на непрерыв-

ность в такого рода задаче мы рассмотрим в примере 6.13 гл. 6.

0,0058

Требуемся

•ероятность

0,01 0,02 0,03 0,04 0,05

Доля оижбок

Рис.

2.19. Вероагиость доли ошибок

Гл.

Вероятностные распределения

Вычислим значение г для р = 0,05:

, 0.05 -

0,035

, ...

" 0,0058 = 2'^^^

(на 2,586 стандартных отклонения выше средней доли).

По таблицам стандартного нормального распределения вероятность равна:

P(z > 2,586) = 0,0048.

Следовательно,

Р(доля ошибок > 0,05) = 0,0048.

2.9.

НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ КАК ЗАМЕНА

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ПУАССОНА

Нормальное распределение может использоваться и как замена распределения

Пуассона. Для замещения дискретной случайной величины непрерывной применя-

ется та же поправка на непрерывность с учетом среднего m и стандартного

отклонения Vm. Чем больше ш, тем точнее результат, обычно m ^ 10, но в

приведенном ниже примере при меньшем значении среднего получен вполне

приемлемый итог.

О Пример 2.16. В среднем при установке компьютеров происходят две неполадки

в неделю. Найдите вероятность, что в течение 4-х недель будет

не

больше

неполадок.

Решетле.

Среднее m равно восьми неполадкам в месяц. Вероятность неполадок в месяц

вычисляется по распределению Пуассона:

8'е"*

Р(г неполадок в месяц) =

—j—;

г=0,1,2,3,...

Требуется найти:

P(ri 10) =

- {Р(0) + Р(1) + Р(2) + ... +

Р(10)}.

По распределению Пуассона:

Р(г

10) =

- 0,816 = 0,184.

Вероятность того, что произойдет более чем 10 неполадок в течение месяца

равна 0,184. Несмотря на то, что среднее меньше 10, мы будем использовать

нормальное распределение.

В соответствии с поправкой на непрерьшность находим вероятность более, чем

10,5 неполадок в месяц. Для использования нормального распределения при

среднем, равном 8, стандартном отклонении V§^, для более чем 10,5 неполадок в

месяц получаем значение z:

70 Ч. 1.

Принятие решений

условиях недостатка информации

iM^.0.884

(значение случайной величины на

0,884

стандартных

отклонения больше среднего).

По таблице стандартного нормального распределения получаем вероятность:

Р (Z i

0,884)

= 0,1894.

Таким образом, вероятность более, чем 10,5 неполадок в месяц с использованием

нормального распределения, равна 0,1894.

По распределению Пуассона эта же вероятность равна 0,184. Как видим,

использование нормального распределения дало близкий результат.

2.10. КОМБИНАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

2.10.1.

Независимые случайные величины

Иногда возникает необходимость объединить случайные величины в новую

случайную величину. Например, сборка продукции состоит из двух этапов.

Время, которое уходит на каждый из них, независимо друг от друга, поэтому

общее время равно:

t2,

где t. и tj — время сборки на первом и втором этапах соответственно.

На другой фабрике специальные коробочки заполняются апельсиновым соком.

Затем, взятые наугад четыре коробочки, объединяются в упаковку. Если обозначить

вес каждой коробочки

—

w, а вес упаковки

—

Т, то:

Т = W, + wj +

vr^.

Пока нас не интересует тип распределения исходных случайных величин. При

условии, что случайные величины не зависимы друг от друга, мы можем вывести

формулы средней и дисперсии объединенной случайной величины. Итак, если

значения двух не зависимых друг от друга случайных величин обозначить х и у,

то значение объединенной случайной величины z будет:

+ у.

Вне зависимости от типа распределения х и у среднее z есть сумма средних хну:

То же соотношение для дисперсий:

Дне (z) = Дис (х)+Дис (у).

Гл.

Вероятноапные распределения

Следует отметить, что стандартные отклонения не суммируются, суммируются

только дисперсии.

П Пример 2.17. Ежедневный спрос на товар

—

100 единиц, стандартное откло-

нение

—

12 единиц в день. Используя данные средних продаж за день, вычислите

среднее количество товара, продаваемое за неделю.

Решение

Так как проданное за день количество товара не зависит от предыдущих дней,

то общее количество товара, проданное за семь дней рассчитывается как:

Средний недельный спрос =

дней х 100 = 700 ед. в неделю.

Для того, чтобы рассчитать стандартное отклонение для недельных данных,

сначала вычислим дисперсию. Для дневного спроса дисперсия равна 12 ^ = 144.

Для недельного спроса: 7x12 ^ = 7 х 144; следовательно, стандартное отклонение

равно: V7

144 »31,75 ед./в неделю.

Может потребоваться формирование новой случайной величины z как разности

исходных случайных величин х и у. Порядок действий остается тем же самым, что

в случае суммирования. Если мы имеем две независимые случайные величины х и у,

тогда:

Z = X - у.

Вне зависимости от типа распределения х и у среднее z есть разность средних

хну:

Однако дисперсия z равна сумме дисперсий х и у:

Дис (z) = Дне (х) + Дис (у).

П Пример 2.18. На лесопилке из готовых досок (L1), средняя длина которых

200 см, а стандартное отклонение

—

1,7 см, делают доски (L2) со средней длиной

70 см и стандартным отклонением 0,3 см. Каково среднее и стандартное отклонение

обрезков (L3)?

Решение

Исходная длина и длина обрезка не зависят друг от друга, т.е.:

Средняя длина = Среднее (L1) - Среднее (L2) = 200 - 70 = 130 см.

Дисперсия = Дис (L1) + Дис (L2) = 1,7

+ 0,3

= 2,98.

Следовательно, стандартное отклонение (L3)

•=

>/2,98 = 1,73 см.

Независимо от того, складываем мы случайные величины или вычитаем, их

дисперсии складываются.

Рассмотренные выше формулы могут быть применены к любому количеству

независимых случайных величин. Мы не будем рассматривать ситуацию, когда

случайные величины зависимы, кроме одного случая, приведенного ниже.

72 Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка информации

2.10.2. Особый случай зависимых случайных величин

Если новая случайная величина (z) получается при умножении х на какое-то

число а, т.е. z = ах, то мы имеем дело уже не с комбинацией независимых

случайных величин. Среднее величины z равно:

а дисперсия:

Дис (z) = а^ Дне (х).

О Пример 2.19. Товар, упомянутый в примере 2.17, состоит из пяти идентичных

компонентов. Каково среднее и стандартное

отклонение дневного

спроса на компоненты?

Решение.

На первый взгляд может показаться, что эта ситуация подобна ситуащш с

недельным спросом, но на самом же деле это не так. Мы имеем не пять независимых

случайных величин, а одну величину за день, которую умножаем на 5, чтобы

получить число необходимых компонентов.

Дневной спрос на компонеты:

Среднее = 5 х 100 = 500 компонентов в день.

Дисперсия = 5

12 .

Следовательно, стандартное отклонение = 5 х 12 = 60 компонентов в день.

2.10.3. Природа распределения объединенных случайных величин

Если объединяемые независимые случайные величины являются нормально рас-

пределенньши, тогда и объединенная случайная величина будет подчиняться

нормальному распределению. Например, если z = x + y, хиу — независимые

нормально расп1)еделенные переменные, то z тоже будет распределено нормально.

То же для

- у. Аналогично, если z = ах, где а

—

константа, х распределено

норМ£1льно, то и z имеет нормальное распределение. Но это правило верно не для

всех распределений. Например, если хиу

—

независимы и имеют биномиальное

распределение, то z не будет иметь биномиального распределения. Это правило

верно для любого числа независимых случайных величин. Вернемся к задаче с

корюбочками, которые наполняются апельсиновым соком и затем объединяются в

упаковки по 4 штуки. Если вес полной коробочки распределяется нормально со

средним весом w (гр) и стандартным отклонением а^, то вес упаковки подчинен

нормальному распределению со средним весом, равным:

T=w + \v + w + w = 4xw,

а дисперсия:

о^

а^

о^

(т^

а .

Т W W W W W