Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений

Подождите немного. Документ загружается.

Гл.

Вероятностные распределения

РЕЗЮМЕ

Случайная величина представляет собой численный исход эксперимента. Случай-

ная величина может быть или дискретной (только целые числа) или непрерывной

(любые). Для дискретной случайной величины вероятность значения г находится

по формуле дискретной вероятности:

Р(г) = f (г) на определенном промежутке г.

Математическое ожидание случайной величины находится по формуле:

Е(г)

2гР(г).

Стандартное отклонение:

a = VXr^P(r)-(E(r))^

При биномиальном распределении мы рассматриваем п независимых, идентич-

ных опытов. Каждый опыт имеет два возможных исхода: "успех" и "неудачу".

Вероятность "успеха" одинакова для всех опытов. Формула вероятности биноми-

ального распределения:

Е (г) = п

р и о

= Vn

р q .

Распределение Пуассона используется для большого числа идентичных неза-

висимых опытов, каждый из которых имеет малую постоянную вероятность

"успеха". Формула вероятности биномиального распределения:

Р(г)

^'Чг-; г = 0,

1,2,3,

....

Е (г) = га и а = Viin.

Распределение Пуассона используется для упрющения расчета биномиальных

вероятностей при п = 30, р ^ 0,1 и пр 5 5.

Вероятность непрерывной случайной величины представляет собой площадь

под кривой плотности вероятности. Вероятность существует только для интервала

значений случайной величины, но не для отдельно взятого значения.

Все нормааьные распределения зависят от средней и стандартного отклонения

и могут бьггь сведены к единому распределению. Это стандартное нормальное

распределение. Значения случайной величины выражаются в количестве стандарт-

ных отклонений от средней z. Существуют таблицы вероятностей для каждого

значения z.

74 Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка

информации

Нормальное распределение может использоваться в качестве замены биномиаль-

ного,

если пр и nq больше 5. Нормальное распределение также может заменять

пуассоновское, если m ^ 10.

Если складывать или вычитать независимые нормальные слз^айные величины

получается также нормальная случайная величина. Среднее значение объединенной

случайной величины есть сумма или разность ивдивидуалных средних. Дисперсия

объединеной случайной величины есть сумма индивидуальных дисперсий.

Если

— нормальная случайная величина и z = ах, где а

—

константа, тогда

средняя Z является нормально распределенной величиной со средней ц = а х и

Л1сперсией ст ?л = а акл.

УПРАЖНЕНИЯ

Упражнение 2.1

Какая из следующих ситуаций описывается биномиальным распределением?

Обоснуйте ответы (без расчетов).

"Sparks Garage Ltd" продает 10 машин одной марки в месяц. Какова вероятность,

что владельцы двух купленных машин обратятся за гарантийным обслуживанием,

если известно, что 5% покупателей машин данной марки им пользуются?

Оцените вероятность того, что у недавно купленной машины расход бензина

будет превышать 30 л на 100 км, если известно по статистическим данным, что

среднее потребление бензина у машин этого типа составляет 33 л на 100 км.

Упражнение 2.2

Практика показывает, что 7% накладных, проходящих проверку в бухгалтерии,

оказываются неправильно оформленными. Наугад отобраны 20 накладных. Какова

вероятность, что:

Три из них оформлены правильно'.

Как минимум три оформлены неправильно?

Упражнение 2.3

Старинная семейная фирма решила начать продажу своих акций на бирже.

Известно, что 80% брокеров посоветовали своим клиентам купить эти акции.

Предположим, что совет был правильным.

Наугад отобраны 6 брокеров. Найти вероятность, что по крайней мере четверо

из них предложили своим клиентам купить акции фирмы.

Упражнение 2.4

Торговец фруктами и овощами закупает бананы у заготовителей большими

партиями. Но учитывая, что это товар скоропортящийся, он предполагает, что до

10%

бананов будут подпорчены. Не имея возможности проверить всю закупаемую

партию, он разработал следующую процедуру выборочной проверки качества.

Гл.

Вероятностные распределения

Из поступившей партии наугад отбираются 30 гроздьев бананов, если подпор-

ченные бананы имееются не более, чем в двух гроздях, то он покупает всю партию

товара. Если подпорченные бананы имеются более чем в двух гроздях, сделка не

состоится.

Какова вероятность того, что сделка не состоится, если в партии имеется 5%

недобракачественных бананов?

Упражнение 2.5

Производитель транзисторов хочет добиться того, чтобы брак составлял не более 1%.

Для проверки качества с поточной линии берется 10 образцов.

Назовите тип распределения вероятностей, который описывает число брако-

ванных образцов в выборке.

Упражнение 2.6

Среднее число грузовиков, прибывающих на склад под разгрузку в течение часа

равно 3.

Назовите тип распределения вероятностей, описывающий распределение числа

грузовиков, прибывающих в течение часа.

Кгосова вероятность, что в течение часа под разгрузку придет более четырех машин?

Упражнение 2.7

Компания "Pearsons Engineering Ltd" имеет оборудование для производства болтов и

других метизов. В среднем два станка в течение часа выходят из строя. Для

устранения неполадок на заводе работает специальный инженер, однако ему прихо-

дится вызывать ассистента, если происходит более двух поломок в час. Как часто в

среднем потребуется помощь ассистента в течение 120 ч рабочей недели?

Упражнение 2.8

В компьютере компании "Star Holdings pic" хранится вся использсяанная информация.

Специалист, ответственный за компьютеры в этой фирме, предлагает сохранить

все файлы пятилетней давности. Для изучения спроса на архивную информацию

он запросил данные за последние 100 дней:

Число использовавшихся

старых файлов

Число дней

76 Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка

информации

Вьпислите среднее и число старых файлов, запрашиваемых в день, и стандарт-

ное отклонение.

Объясните, почему число старых файлов, запрашиваемых в день, подчиняется

распределению Пуассона?

Предположим, число использовавшихся старых файлов подчиняется распреде-

лению Пуассона со средним значением, вычисленным в п. 1. Определите

ожидаемые частоты этого распределения.

Упражнение 2.9

В среднем за месяц бухгалтерия компании "Star Holdings pic" использует 4

коробки флоппи-дискет. Предполагая, что потребность во флоппи-дискетах под-

чиняется распределению Пуассона, найдите число коробок дискет, которые бух-

галтерия должна заказывать к началу очередного месяца такое, чтобы вероятность

перерасхода была меньше, чем 4%.

Упражнение 2.10

Для транспортировки апельсины упаковываютя в специальные ящики по 250 шт.

в каждом. При вскрьггии обнаруживается, что в среднем 0,6% апельсинов испорчены.

Какова вероятность, что во взятом для проверки ящике окажется не более двух

испорченных плодов?

Упражнение 2.11

Упаковочный аппарат расфасовывает стиральный порошок в пакеты, средний вес

которых 930 ф., а стандартное отклонение

—

20 гр.

Какая доля пакетов будет иметь вес до 900 гр.? Если требуется, чтобы не

более чем 2,5% пакетов содержали меньше, чем 900 гр., то как должна быть

переналажена машина, чтобы соответствовать этому требованию?

Упражнение 2.12

Срок работы электрических компонент подчиняется нормальному распределению

со средней продолжительностью работы 80 ч и стандартным отклонением

—

30 ч.

Допустим, поизводитель решил заменить все компоненты, которые вышли из

строя до гарантийного срока работы, составляющего 45 ч. Какую долю общего

выпуска составит эта часть продукции?

Допустим, производитель решил заменить только 10% общего вьшуска, т.е.

компоненты с самым коротким сроком работы. Какой гарантийный срок работы он

должен назначить, чтобы выполнять это условие?

Упражнение 2.13

Фирма "Щ Woolley & Sons Ltd" производит вязальные спицы. Наиболее популяр-

ны размеры:

Гл.

Вероятностные распределения

Т.

Номер 10

Номер И

Номер 12

Диаметр

(мм)

3,25

3,00

2,75

Точность

(мм)

± 0,125

±0,125

"WoUey" производит нарезку игл из проволоки и их дальнейшую обработку.

В результате чего средний диаметр заготовок становится 3,10 мм, а его стандарт-

ное отклонение — 0,10 мм. Допустим, значение диаметра подчиняется закону

нормального распределения.

Определите число заготовок, пригодных для производства спиц №11, учиты-

вая,

что дальнейшая обработка не изменяет диаметр заготовок.

Упражнение 2.14

Работа машины, расфасовывающей сахар, подчиняется правилам нормального

распределения, со стандартным отклонением 20 гр. Машина может быть настроена

на любой средний вес упаковки с точностью до грамма. В данном случае требуе-

мый вес упаковки составляет 1000 гр. Чтобы вес товара соответствовал требовани-

ям "Закона о мерах и весах" 1979 г., упаковка сахара должна удовлетворять трем

следующим условиям:

Срюдний вес упаковки

—

не менее 1000 гр.

Вес не более, чем 2,5% упаковок, может быть меньше 975 гр.

Вес не более, чем одной из 10000 упаковок, может быть меньшее 950 гр.

На данный момент машина налажена на средний вес упаковки

—

1010 гр.

Какова доля упаковок, содержаощх менее 975 гр?

Какова доля упаковок, содержащих менее 950 гр?

Какой новый минимум среднего веса должен быть задан машине при том же

стандартном отклонении, чтобы все упаковки продукции соответствовали Закону

1979 г.?

Упражнение 2.15

Компания "EG Mersoe & Со"

—

небольшая фирма, занимающаяся помолом муки.

Фасовочный аппарат нужно заменить и м-ру Mersoe было предложено два варианта.

По первому можно обеспечить работу фасовочного аппарата в соответствии с

правилом нормального распределения, при стандартном отклонении 15 гр. Если

заплатить на 50000 ф. ст. больше, то можно купить аппарат, который обеспечивает

расфасовку со стандартным отклонением до 5 гр.

Расфасовывая муку в упаковки по 1 кг, аппарат должен соответствовать трем

условиям:

Средний вес упаковки как минимум 1000 гр.

Вес не более 2,5% упаковок может быть меньше 985 гр.

Вес не более 0,01% упаковок может быть меньше 970 гр.

Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка информации

Компания продает 4 млн. килограммовых упаковок муки в год. Цена кило-

грамма муки примерно 15 центов.

Сколько денег компания сэкономит в год, если кушгг более дорогой аппарат.

Упражнение 2.16

По данным опроса общественного мнения, из 10800 зарегистрированных избирате-

лей 45% собираются проголосовать за либеральную партию. Если все, кто имеет

право голосовать, придут на избирательные участки и данные опроса объективны,

то какова вероятность, что либеральная партия получит менее 5000 голосов?

Упражнение 2.17

Для получения работы оператора компьютера кандидаты должны пройти письмен-

ное тестирование, состоящее из 100 вопросов с тремя вариантами ответа на

каждый из них, причем лишь один из них правильный. Чтобы успешно пройти

тестирование, нужно правильно ответить на 40 и более вопросов.

Какова вероятность того, что кандидат, выбирающий правильный ответ на-

угад, сдаст экзамен?

Упражнение 2.18

Компания "Achilles" продает специальные фломастеры для оформления плакатов

в упаковке по 5 шт. Ввиду различных причин бракованные фломастеры можно

обнаружить только после

продажа.

Менеджер, отвепсгвенный за качество, считает,

что число бракованных фломастеров примерно одинаково. Тем не менее в последнее

время стало поступать все больше нареканий от покупателей. Поэтому было

решено отобрать наугад 500 упаковок для проверки качества:

Число

бракованных

фломастеров

о упаковке

Число

упаковок

392

а) По данным выборки найдите долю бракованных фломастеров.

б) Подразумевается, что число бракованных образцов подчиняется биномиаль-

ному распределению. Учитывая это, найдите количество упаковок (из этих пятисот),

в которых О, 1, 2 бракованных фломастеров соответственно.

Упражнение 2.19

В одной из трех предложенных ситуаций используйте биномиальное, пуассонов-

ское или нормальное распределение. Объясните, почему вы выбрали тот или иной

тип распределения, обоснуйте свою точку зрения.

Гл.

Вероятностные распределения

Ситуация 1. Средний срок работы электросхемы — 800 ч, стандартное

отклонение

—

160 ч.

а) Минимальный гарантированный срок работы

—

600 ч, сколько электрю-

схем не проработает этого времени, т.е. сколько электросхем производи-

телю придется заменить?

б) Если производитель согласен заменять только 1% электросхем с наибо-

лее коротким сроком работы, какой срок гарантии ему следует устано-

вить?

в) Какова вероятность, что средний срок работы 25 выбранных наугад

электросхем превысит 850 ч?

Ситуация 2. Зеленщик покупает персики большими партиями. Учитывая

скоропортящийся характер товара, он допускает, что 15% фруктов будут

подпорчены. Для проверки качества зеленщик выбирает 10 персиков, и если не

более двух плодов оказались подпорчены, он покупает всю партию. Найдите

вероятность того, что при нормальных условиях поставки партия товара будет

куплена.

Ситуация 3. Участок дороги с односторонним движением два автомобиля

проходят за 10-секундный интервал. Найдите вероятность того, что более трех

автомобилей пройдут узкий участок дороги за 20-секундный интервал.

Упражнение 2.20

По данным Лондонского банка, недельная потребность в купюрах 1-

фунтового достоинства подчиняется закону нормального распределения:

5-,

10-

Номинал

(ф.

ст.)

Число банкнот

среднее

1,200

600

стандартное отклонение

250

100

Информация о других купюрах существенного значения не имеет. Данные по

этим трем видам купюр независимы друг от друга.

Какова вероятность, что спрос на наличность в какой-либо из дней превысит

5000 ф. ст.?

На начало одного из дней в банке имелось 1600 ф. ст. в 1-фунтовых, 3500 ф.

ст. в 5-фунтовых и 600 ф. ст. — 10-фунтовых банкнотах. Учитывая, что

поступления наличности в течение дня не будет, ответьте на вопрос, какова

вероятность, что банк сможет удовлетворить дневной спрос на наличность?

(Замена купюры большего номинала на купюры меньшего не допускается; т.е.

нельзя выдать две 5-фунтовых банкноты вместо 10-фунтовой.) По какому из

трех видов банкнот положение банка более трудное?

Если допустить возможность замены купюр, объясните (не подсчитьшая),

каким образом изменится ситуация.

80 Ч. 1. Принятие решений в условиях

недостатка информации

Упражнение 2.21

Компания "Classic Cars Ltd " сдает внаем автомобили. Из 15 имеющихся машин 10

берут внаем постоянные клиенты, а спрос на остальные подчиняется закону

распределения Пуассона со средним 4.

Определите вероятность, что 10, И, 12, 13, 14 или 15 машин будут сданы внаем

в течение дня. Вычислите математическое ожидание числа машин, сданных

внаем в течение дня.

Расходы на содержание машины вне зависимости от того, используется она или

нет, составляют 6 ф. ст. Если же машина используется, то расходы увеличива-

ются на 2 ф. ст.. Подсчитайте математическое ожидание дневной прибыли

компании, если плата за аренду составляет 20 ф. ст. в день.

Определите, целесообразно ли компании изменить количество машин с

до 14

или 16, учитывая, что распределение дневного спроса не изменяется. В каких

пределах расходы на содержание 15 машин будут оптимальны?

Упражнение 2.22

"Electra Ltd" — маленькая электронная компания, специализирующаяся на сбор-

ке электрокики из покупных компонентов. Из-за недавних изменений в номенкла-

туре выпускаемых товаров на складе скопилось 2000 соленоидов, основной харак-

теристикой которых является электрическое сопротивление. Скопившиеся на

складе соленоиды могзо' быть использованы только в приборе с сопротивлением

210-220 Ом. Так как первоначально соленоиды закупались для товаров с другими

характеристиками, то имеются некоторые проблемы с их дальнейшим использова-

нием. Известно, что сопротивление соленоидов, имеющихся на складе, колеблется

от 205 до 225 Ом и распределение подчинено нормальному закону со стандартным

отклонением, равным 5 Ом.

Существуют два пути использования запасов. Первый — продать все 2000

соленоидов на металлолом по 0,50 ф. ст. за штуку и закупить новые с требуемыми

характеристиками. Второй — измерить сопротивление всех соленоидов и разде-

лить их на две группы: те, у которых сопротивление не попадает в требуемые

210-220 Ом, продать на металлолом по 0,50 ф. ст. за ппуку; остальные использовать

для сборки приборов. Стоимость измерения и сортировки соленоидов составляет

1,40 ф. ст. за ппуку, тогда как покупка нового соленоида потребует 4 ф. ст. за штуку.

Если среднее сопротивление соленоидов на складе составляет 210 Ом, сколько

из них попадут в требуемый интервал 210-220 Ом? Что экономичнее

—

пустить

все соленоиды на металлолом или измерить сопротивление каждого и продать

в металлалом только ненужные?

Рассчитайте результаты обоих путей использования соленоидов, если среднее

сопротивление равно: 205 Ом, 210, 215, 220, 225 Ом. Представьте результаты

графически. Используя полученные графики, определите, каково должно быть

среднее сопротивление, чтобы было экономически выгодно протестировать

каждый соленоид?

Если вероятности средних сопротивлений соленоидов, приведенные в п. 2,

равны, какой из вариантов их использования вы рекомендуете? Изменятся ли

ваши рекомендации, если станет известно, что среднее сопротивление

—

215 Ом в

два раза более вероятно, чем остальных?

Глава 3. ПРАВИЛА

СХЕМЫ

ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

3.1.

ВВЕДЕНИЕ

Принятие правильного решения вовремя — главная задача управленческого пер-

сонала любой компаниии. Неправильное или просто глупое решение может дорого

стоить компании, иметь фатальные, непоправимые последствия. Поэтому важно,

чтобы те, кто вовлечен в процесс принятия решений, использовали все имеющиеся

у них средства и приняли "наилучшее" решение.

Прежде всего определимся с приоритетами: "наилучшее"

—

для кого или для чего?

Перея тем, как принимать решение, следует тщательно продумать его цель. Трудность

состоит в

том,

что задачи различных подразделений предприятия очень противоречивы.

Например, такой простой вопрос, как размер запасов

на

складе.

Интересы прюизводства

требуют иметь большой запас сырья и материалов, что приводит к возникновению

незавершенного производства и несоразмерно меньшему вьшуску готовой продукщи.

Однако процесс производства не прекращается. В то же самое время отдел маркетинга

требует больших запасов готовой продукции на складе и гибких производственных

линий, которые можно перюналадить для небольших заказов.

бухгалтерия настаивает

на увеличении оборачиваемости капитала и соответственно минимизации запасов, чтобы

освободившиеся деньги можно было использовать для других целей.

Как определить оптимальные для компании запасы? Рассчитывать ли эти

цифры для компании в целом или выбрать приоритетные направления в ущерб

остальным и осуществлять контроль запасов так, чтобы обеспечить оптимальные

затраты для выполнения отдельных функций без учета других? Этот процесс

называется субоптимизацней. Принятие решений

—

достаточно сложный и инте-

ресный процесс, который носит исключительно субъективный характер. Как вы,

например, выбираете любимый фильм, книгу, спектакль? То же самое и в бизнесе

—

как организовать фирму: по принципу жесткой централизации или наоборот;

какого стиля придерживаться в менеджменте: авторитарного или демократического.

Но в этой главе мы рассмотрим другие вопросы.

Бухгалтеры часто сталкиваются с проблемами, которые приводят их к количе-

ственному подходу принятия р)ешений. Поэтому в этой главе мы займемся количе-

ственным анализом. Однако вы должны помнить, что обычно решение является

результатом применения как количественного, так и субъективного подходов.

Итак, чтобы найти хорюшее рюшекие, следует:

Определить, цель решения.

Опр)еделить возможные варианты решения прюблемы.

Ч. 1.

Принятие решений

условиях недостатка информации

Определить возможные исходы каждого решения.

Оценить каждый исход.

5. Выбрать оптимальное решение на основе поставленной цели.

Как видите, поиск решения начинается с перечисления возможных вариантов

и их исходов, затем производится оценка каждого исхода. Такова схема рассуждений

при проведении количественного анализа. Вышеперечисленные этапы важны как в

очень сложных случаях, так и в очень простых. Несмотря на то, что эта глава

охватывает лишь малую часть серьезной и обширной темы, мы рассмотрим лишь

некоторые из возможных целей пришпия

решений,

но

любом случае выбор "лучшего

варианта" зависит от обстоятельств и точки зрения того, кто принимает решение.

О Пример 3.1. Отдел маркетинга компании "Singles pic" представил своему

руководству данные об ожидаемом объеме сбыта программных продуктов при трех

вариантах цены.

Таблица 3.1. Предполатемые объемы продаж программных продуктов

по разным ценам, ф. ст.

Возможная

цена за едингщу

Предполагаемый объем продаж при данной

цене (единиц в год):

лучший из возможного

наиболее вероятный

худший нз возможного

8,00

16000

14000

10000

8.ео

14000

12500

8000

8,80

12S00

12000

6000

Постоянные затраты составляют 40000 ф. ст. в год, переменные

—

4,00 ф. ст.

на единицу.

Решение состоит

том,

чтобы

назначить (яттимальную

цену.

Заметим, у нас имеется

всего

лишь три вариа1тта

цены,

т.е.

только три

возможных решения, и,

чтобы

облепиггь

расчеты, для каждого из вариашов по три исхода

—

различные объемы продаж.

Решение.

Для каждого исхода рассчитаем доход. В данном случае доход

—

это годовая

прибыль.

Таблица 3-2. Расчет

прибыли

за год, ф. ст.

Цена за единицу

Переменные затраты на единицу продукции

Прибыль на единицу продукции

Общая прибыль за год:

лучшая из возможного

наиболее вероятная

худшая из возможного

8,00

4,00

64000

56000

40000

8.60

4,00

4,60

64000

57500

36800

8,80

4,00

4,80

60000

57600

28800

Для того чтобы объяснить, какие трудности возникают в результате неопреде-

ленности, мы будем использовать данные из этой таблицы. Можно представить

убедительные аргументы, которые приведут нас к одному из трех возможных