Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.



Вчастности,еслиточкиМ –серединаотрезка

1 2

М М

тоλ = 1и

формулы(5.2)принимаютвид:



1 2

х х





,

1 2

у у





.(5.3)

Пример 5.1. Найтиуравнениемножестваточек,равноудаленных

отточек





1; 3

и

(3;1).



Решение. Пусть





, 

М х у

 – произвольная точка искомой линии,

тогда,согласноусловию,имеем

АМ ВМ



илипо(5.1)

2 2 2 2

( 1) ( 3) ( 3) ( 1) .

х у х у      



Возведяобечастиравенствавквадратиупрощая,получим

2 2 2 2

– 2  1  – 6  9  – 6  9  – 2  1

х х у у х х у у

      

,

откуда получаем у = х. Это серединный перпендикуляр, восставлен-

ныйизсерединыотрезкаАВ.

5.1.2. Общее уравнение прямой



Прямая L на плоскости определяется однозначно, если известны

точка





о о о

,  ,

М х у



черезкоторуюонапроходитиненулевойвектор

( , ),

A B

n

перпендикулярныйпрямойL.Пусть





, 

М х у

–произволь-

наяточкапрямойL,

( , )

x y

r

и

0 0

( , )

x y

r

–радиус-векторыточекМ

и

соответственно.Подрадиус-векторомточкиМпонимаетсявек-

тор

ОМ

сначаломвточкеОиконцомвточкеМ.Уравнение

( ) 0



n, r - r

(5.4)

называется уравнением прямой в векторной форме. В координатной

форме(5.4)принимаетвид:





0 0

– ( – ) 0

А х х В у у

 

или

Ах Ву С

  

(5.5)

где

2 2

0 0

– – , 0.

С Ах Ву А В

  

Справедливатеорема:всякоеуравне-

ниепервойстепениотносительнохиу(т.еуравнениевида(5.5))опре-

деляетнаплоскостинекоторуюпрямуюинаоборот,всякаяпрямаяна



плоскостиопределяетсяуравнениемпервойстепени.Заметим,чтовек-

тор

( , )

A B

n

определяетсясточностьюдопостоянногомножителя.

Частные случаи:

0; 0; 0.

С А В

  

 Прямая, определяемая уравнением (5.5),

проходитчерезначалокоординат.

0; 0; 0.

А В С

  

 Прямая, определяемая уравнением

Ву С

 

(или

у b



,где

 

),параллельнаосиОх.

0; 0; 0.

В А С

  

 Прямая, определяемая уравнением

Ах С

 

(или

х а



где

 

),параллельнаосиОу.

0; 0; 0.

В С А

  

Прямая,определяемаяуравнением

Ах





(или



поскольку



),совпадаетсосьюОу.

0; 0.

В С В

  

 Прямая, определяемая уравнением

Ву





(или



поскольку



),совпадаетсосьюОх.

Посколькууравнение(5.5)охватываетвсевозможныеположения

прямойнаплоскости,ононазываетсяобщим уравнением прямой.



5.1.3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом



Углом наклонапрямойLкосиОхназы-

ваетсяугол



,отсчитываемыйотположи-

тельного направления оси  до прямой L

против движения часовой стрелки (рис.

5.1.). Если прямая параллельна оси Ох, то

полагают





. Таким образом, угол на-

клона



 удовлетворяет неравенству

 

 

.

Угловым коэффициентом прямой называется число, равное тан-

генсуугланаклонапрямойкосиОх:





.Изэтогоопределения

следует,что:



1) величинаkможетприниматьлюбыедействительныезначения,

т.е.

k R



;

2) прямая,параллельнаяосиординат,неимеетугловогокоэффи-

циента,посколькувэтомслучае







;

3) всякаяпрямая,непараллельнаосиОу,имеетединственныйуг-

ловойкоэффициентk;

4) каждому числу

k R



 соответствует единственное значение

угланаклонаL,





 



.

Еслиточки





1 1 1

, 

М х у



и





2 2 2

, 

М х у



принадлежатпрямойL,

причем

1 2

х х

 тоугловойкоэффициентkнаходитсяпоформуле

2 1

y y

x x







(5.6)

Прямая L на плоскости определится однозначно, если известны

точка





0,  ,

В b



 принадлежащая этойпрямой и угловой коэффици-

ентkэтойпрямой(Рис.5.1).ВэтомслучаеуравнениепрямойLимеет

вид

у = kx + b(5.7)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.

Числоb,называемоеначальной ординатой,показываетвеличинуна-

правленного отрезка, отсекаемого прямой L на оси ординат. При



общееуравнениепрямой(5.5)легкопреобразуетсявуравнение

прямойсугловымкоэффициентом(5.7):

 

,

 

.

Частные случаи:

0, 0.

b k

 

Прямая,определяемаяуравнением

у kх



прохо-

дитчерезначалокоординат;

0, 0.

k b

 

Прямая,определяемаяуравнениемм

y b



парал-

лельнаосиОх;

0, 0.

k b

 

 Прямая, определяемая уравнением



 совпа-

даетсосьюОх.



5.1.4. Уравнение прямой, проходящей через данную точку

в заданном направлении. Уравнение пучка прямых

Еслиточка





0 0 0

, 

М х у



принадлежитпрямойLиизвестенугло-

войкоэффициентkэтойпрямой,тоееуравнениеимеетвид

0 0

– ( – )

у у k х х

 (5.8)

которое называется уравнением прямой, проходящей через данную

точку в заданном направлении. Если k "пробегает" все действитель-

ныезначения

k R



,тоуравнение(5.8)описываетмножествопрямых,

проходящихчерезточку

иназываетсяуравнением пучка прямых с

центром в

.



5.1.5. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

Пусть  прямая   L  проходит  через  точки  





1 1 1

, 

М х у



и





2 2 2

, 

М х у



,

1 2 1 2

, .

х х у у

  Тогдаееуравнениеимеетвид:

1 1

2 1 2 1

у у х х

 



 

.(5.9)

При





1 2 1 2

 ,  

х х у у

 

 уравнение прямой L примет вид

х х









у у



Еслиточка





3 3 3

, 

М х у



лежитнапрямойL,определяемой

уравнение(5.9),товыполняетсяусловие принадлежноститрехточек

однойпрямой:

3 1 3 1

2 1 2 1

у у х х

 



 

.(5.10)

Вектор





2 1 2 1

х х у у

 

M M

–направляющийвекторпрямойL.

Уравнениепрямойпонаправляющемуветру

( , )

l m

иточке





0 0

, 

х у



0 0

х х у у

l m

 





называютканоническим,ауравнение



x x mt

y y nt

 





 





t R





–параметрическим.



5.1.6. Уравнение прямой в отрезках

Если известны а и b, где а – абсцисса

точкипересеченияпрямойLсосьюОх,b–

ордината точки пересечения прямой L с

осьюОу,причем

аb



(рис.5.2.),топря-

мая L определяется однозначно, и ее урав-

нениеимеетвид:

x y

a b

 

(5.11)

Уравнение (5.11) называется уравнение прямой в отрезках. При

0, 0, 0

А В С

  

 уравнение (5.5) приводится к уравнению (5.11),

где

 

,

 

.Отрезки,отсекаемыепрямойнаосяхкоординат,

удобноиспользоватьприпостроениипрямой.



5.1.7. Нормальное уравнение прямой

Еслиобечастиуравнения(5.5)умножитьначисло

2 2

А В





 



(нормирующий множитель), выбрав знак



 из условия





(при



знак



выберемпроизвольно),тополучитсяуравнение

cos sin 0 ,

x y p

 

  

(5.12)

которое называется нормальным уравнением

прямой. Здесь



 – длина перпендикуляра,

опущенногоиз началакоординатнапрямую,а



 –  угол, образованный этим перпендикуля-

ром с положительным направлением оси Ох,

0 2

 

 

,(рис.5.3).

Рис.5.2

Рис.5.3



5.1.8. Расстояние от точки до прямой

Пусть прямая L задана уравнением (5.12) и дана точка





0 0 0

,  ,

М х у



лежащаявнеэтойпрямой.Тогдарасстояниеdотточки

допрямойLнаходитсяпоформуле:

cos sin

o o

d x y p

 

  

.(5.13)

ЕслиуравнениепрямойLдаетсяввиде(5.5),то

2 2

o o

Ax By C

A B

 





.(5.14)



5.1.9. Угол между прямыми. Условия параллельности

и перпендикулярности двух прямых

ПустьдвепрямыеL

иL

,каждаяизкоторыхнепараллельнаоси

Оу,заданы уравнением:

1 1 1

: 

L у k х b

 

и

2 2 2

:  ,

L у k х b

 



1 1



 

и

2 2



 .Углом



междупрямымиL

иL

называетсяугол,от-

считываемыйот первойпрямой до второйпротив движения часовой

стрелки.Справедливаформула

2 1

1 2

k k









.(5.15)

Еслипрямыепараллельны,тоk

=k

.

Еслипрямыеперпендикулярны,то

 

.

Случай, когда одна из прямых параллельна оси Оу, исcледуется

безспециальныхформул.

Если прямые L

 и L

 заданы уравнениями  

1 1 1

 0,

А х В у С

  



2 2 2

А х В у С

  

тоугол



определитсяпоформуле

1 2 2 1

1 2 1 2

А В А В

А А В В









,



ипрямыеL

иL

будут:

параллельны,если

1 1

2 2

А В





иперпендикулярны,если

1 2 1 2

А А В В

 



5.1.10. Точка пересечения двух прямых

Пусть  две  прямые  заданы  уравнениями  

1 1 1

А х В у С

  

 и

2 2 2

 0

А х В у С

  

. Для нахождения точки





1 1 1

, 

М х у



 их пересече-

ниянеобходиморешитьсистемууравнений:

1 1 1

2 2 2

А х В у С

  





  



(5.16)

Если

1 1

2 2

А В



,тосистема(5.16)имеетединственноерешение

1 2 2 1

В С В С

А В А В







,

1 2 2 1

С А С А

А В А В







.

Если

1 1 1

2 2 2

А В С

 

,тосистема(5.16)неопределеннаяисовмест-

ная (имеет бесчисленное множество решений). В этом случае две

прямыесливаютсяводну.

Если

1 1 1

2 2 2

А В С

 

,тосистема(5.16)несовместна,апрямыеL

и

параллельны,следовательно,неимеютточекпересечения.

Еслипрямыезаданыуравнениями

1 1

у k х b

 

и

2 2

у k х b

 

то

при

1 2



k k



координатыточкипересечения





1 1 1

, 

М х у



находятсяпо

формулам:

1 2

2 1

b b

k k







,

1 1 1 2

2 1

k b k b

k k







.



5.2. Прямая и плоскость в пространстве



5.2.1. Канонические уравнения прямой

ПрямаяLв пространствеопределяетсяоднозначно,еслиизвест-

ны точка





0 0 0 0

,  ,  ,

М х у z



принадлежащая прямойи ненулевойвек-

тор

( , , )

m n p

S

,параллельныйпрямой(направляющийвектор).

Уравнения



0 0 0

x x y y z z

m n p

  

 

(5.17)

называютсяканоническими уравнениями прямой.



5.2.2. Уравнения прямой, проходящей через две данные точки

ПрямаяLв пространствеопределяетсяоднозначно,еслиизвест-

ны две различные точки 





1 1 1 1

,  , 

М х у z



 и 





2 2 2 2

,  , 

М х у z









1 2



М М

,лежащиенаэтойпрямой.ВэтомслучаепрямаяLзада-

етсяуравнениями

1 1 1

2 1 2 1 2 1

x x y y z z

х х у у z z

  

 

  

(5.18)

Если точка





3 3 3 3

,  , 

М х у z



 лежит на прямой, определяемой

уравнениями (5.18), то выполняются условия принадлежности трех

точекоднойпрямой:



3 1 3 1

2 1

2 1 2 1 2 1

y y z z

x x

х х у у z z

 



 

  

.(5.19)



5.2.3. Векторное и параметрические уравнения прямой

Если известны точка





0 0 0 0

,  ,  ,

М х у z



 принадлежащая прямой

L, и ее направляющийвектор

( , , )

m n p

S

, тообозначаячерез точку





,  , 

М х у z



 произвольную точку прямой, через

 и

 радиус-



векторыточекМ

иМсоответственно,получаемвекторноеуравнение

прямой

 

r r M M

.(5.20)

Используя коллинеарность векторов

 и

M M

, заключаем, что

o o

 

r r S

(векторноепараметрическоеуравнениепрямой),или

, ,

о о о

х х tm у у tn z z tр

     

(5.21)

параметрическиеуравненияпрямой.Вуравнениях(5.21)параметрt

«пробегает»вседействительныезначения.



5.2.4. Угол между прямыми.

Взаимное расположение двух прямых



УгломмеждудвумяпрямымиL

иL

суравнениями

:

x x



1 1

y y z z

n p

 

 

иL

:

x x





2 2

y y z z

n p

 





называется угол γ между их направляющими векторами

1 1 1

( , , )

m n p

S

и

2 2 2

( , , )

m n p

S

.Имеетместоформула





1 2

1 2 1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 1 2 2 2

cos

S S

m m n n p p

S S

m n p m n p



 

 

   

.(5.22)

Если выполняетсяусловие

1 2 1 2 1 2

m m n n р р

  

топрямые L

и

 перпендикулярны. При условии, что

1 2





S S

 или

1 1 1

2 2 2

m n p

 



прямыеL

иL

параллельны.Если,крометого,прямыеL

иL

имеют

общуюточку,онисовпадают.

Условие



2 1 2 1 2 1

1 1 1

2 2 2

x x y y z z

m n p

  



(5.23)



является необходимым и достаточным условием нахождения двух

прямых в одной плоскости (условие компланарности двух прямых).

Если выполняется условие (5.23) и не выполняется условие парал-

лельностипрямыхL

иL

,топрямыеL

иL

пересекаются.



5.2.5. Общее уравнение плоскости

Плоскость Р в пространстве определяется однозначно, если из-

вестны точка





0 0 0 0

,  ,  ,

М х у z



принадлежащаяплоскостии ненуле-

вой вектор

( , , )

A B C

n

, перпендикулярный этой плоскости (нор-

мальныйвекторплоскостииливекторнормали).Пусть





,  , 

М х у z





произвольнаяточкаплоскостиР,

и

радиус-векторыточекМ и

соответственно.

Уравнение





, 0

 

n r r

(5.24)

называется векторным уравнением плоскости Р. Из (5.24) следует

уравнениеплоскостивкоординатнойформе













– – – 0.

о о о

А х х В у у С z z

  



Обозначая

– – ,

о о о

D Ах Ву Сz

   получаем общее уравнение

плоскостиРснормальнымвектором

( , , )

A B C

n

:

Ах Ву Сz D

   

(5.25)

причем

2 2 2

  0.

А В С  

 Верно и обратное утверждение: всякое

линейное относительно  х, у, z  уравнение вида (5.25) при

2 2 2

А В С

  

задаетвпространственекоторуюплоскость.



Частные случаи:

0, 0, 0, 0.

А В С D

   

 Плоскость, определяемая уравнением

(5.25)параллельнаосиОх.

0, 0, 0, 0.

В А С D

   

ПлоскостьпараллельнаосиОу.