Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
31
рицы,расположенныесимметричноотносительноглавнойдиагонали,
равны,т.е.а
ij
= a
ji
.
Например,матрица
1 2 3
2 4 0
3 0 5
А
являетсясимметрической.
3.3. Определители второго порядка
Рассмотримсистемудвухлинейныхуравненийсдвумянеизвестными
11 1 12 2 1
21 1 22 2 2
,
.
a x a x b
a x a x b
(3.1)
Еёкоэффициентысоставляютквадратнуюматрицувторогопорядка
11 12
21 22
,
а а
а а
(3.2)
асвободныечлены–матрицустолбец
1
2
.
b
b
Уравняем коэффициенты при х
2
, для чего первое уравнение ум-
ножим на а
22
, второе – на а
12
. Вычитая затем из первого уравнения
второе, получим
11 22 12 21 1 1 22 2 12
– – .
а а а а х b a b a
Аналогично, ис-
ключаяизсистемы(3.1)неизвестноех
1
,получим
11 22 12 21 2
–
а а а а х
11 2 1 21
– .
a b b a
Предполагая, что
11 22 12 21
– 0,
а а а а
находим единст-
венноерешениесистемы(3.1):
1 22 2 12
1
11 22 12 21
,
b a b a
x
a a a a
11 2 1 21
2
11 22 12 21
.
a b b a
x
a a a a
(3.3)
Число
11 22 12 21
det
A a a a a
называется определителем (де-
терминантом) матрицы (3.2) или определителем второго порядка и
обозначается
11 12
11 22 12 21
21 22
det .
а а
A а а а а
а а
(3.4)
32
Такимобразом,определительвторогопорядкаесть число, равно
произведению элементов главной диагонали минус произведение
элементовпобочнойдиагонали.Слагаемые
11 22
а а
и
12 21
а а
называют-
сячленамиопределителявторогопорядка.
Формулы (3.3) выражают решение системы (3.1.) в явном виде
черезеекоэффициентыисвободныечленыиимеютважноезначение
длятеоретическихнаправленийлинейнойалгебры.
Еслиобозначитьчерез
1 2
определители,полученныеизоп-
ределителя (3.4) заменой первого (соответственно второго) столбца
столбцомсвободныхчленов:
1 12
1
2 22
,
b a
b a
11 1
2
21 2
,
a b
a b
тофор-
мулы(3.3)примутвид:
1 2
1 2
, , 0 .
x x
Этиформулына-
зываются формулами Крамера. Оказывается, аналогичные формулы
имеютместоидлясистемлинейныхуравненийсквадратнойматри-
цей порядка более двух. Для обоснования таких формул и решения
многихдругихзадачлинейнойалгебрыпонадобитсяпонятиеопреде-
лителяn-гопорядка.
3.4. Определители n-го порядка
Пустьимеетсяпроизвольнаяквадратнаяматрицаn-гопорядка:
11 12 1 1
21 22 2 2
1 2
1 2
k n
k n
i i ik in
n n nk nn
a a a a
a a a a
А
a a a a
a a a a
(3.5)
Каждой такой матрице поставим в соответствие число, называе-
мое определителем, соответствующим этой матрице. При
1
n
мат-
рица(3.5)имеетвид
11
[ ]
а
А и,поопределению,будемсчитатьоп-
33
ределителем этой матрицы (определителем первого порядка) само
числоа
11
,т.е.
11
det
A a
.Пустьтеперь
2.
n
Минором М
ik
элемента а
ik
матрицы (3.5) назовем определитель
( 1)
n
-го порядка, соответствующий матрице, полученной из (3.5)
вычеркиванием i-й строки и k-го столбца. Алгебраическим дополне-
ниемА
ik
элементаа
ik
матрицы(3.5)назовемпроизведениемножи-
теля
( 1)
i k
наминорМ
ik
,т.е.
( 1)
i k
ik ik
А М
.Определителем
порядка n, соответствующим матрице (3.5), назовем число, равное
сумме произведений элементов первой строкина их алгебраические
дополнения:
11 11 12 12 1 1 1 1
1
det .
n
n n k k
k
A a А a А а A a A
(3.6)
Формула(3.6)называетсяразложениемопределителяn-гопоряд-
капопервойстроке.Поаналогиис(3.6)выпишемразложениеопре-
делителявторогопорядкапоэлементамвторойстроки:
11 12
2 1 2 2
21 21 22 22
21 22
21 12 22 11 11 22 12 21
( 1) ( 1)
.
а а
а М а М
а а
а а а а а а а а
Получимрезультат,совпадающийс(3.4).Оказывается,справедливы
двеосновныетеоремы,утверждающиевозможностьразложенияоп-
ределителяn-гопорядкаполюбойстрокеилистолбцу.
Теорема 3.1. Для любого номера строки
, 1, 2, ,
i i n
спра-
ведливаформула:
1 1 2 2
1
det ,
n
i i i i in in ik ik
k
A a А a А а A a A
называемаяразложениемопределителяn-гопорядкапоi-йстроке.
Теорема 3.2.Длялюбогономерастолбца
, 1, 2, ,
k k
nспра-
ведливаформула:
1 1 2 2
1
det ,
n
k k k k nk nk ik ik
i
A a А a А а A a A
называемаяразложениемопределителяn-гопорядкапоk-мустолбцу.
34
Удобнеевычислятьопределитель,разлагаяегопоэлементамтой
строки(столбца),котораясодержитнаибольшееколичествонулевых
элементов.Например,
1 1 1 4
1 0 0 2
4 0 3 2 4 0
2 4 0 3
1 ( 1) 0 7 5 ( 2)( 1) 0 0 7
0 0 7 5
0 2 1 1 0 2
1 0 2 1
1 1 2 3
4 0 3 2 4 0
7 5 2 4
0 7 5 2 0 0 7 4 ( 1) 2 7 ( 1)
2 1 1 0
0 2 1 1 0 2
4 (7 10) 14 (0 4) 12 56 44 .
3.5. Определители третьего порядка
Вычислим определитель третьего порядка, разлагая его по эле-
ментампервойстроки:
11 12 13
22 23 21 23
1 1 1 2
21 22 23 11 12
32 33 31 33
31 32 33
21 22
1 3
13 11 22 33 23 32 12 21 33 23 31
31 32
13 21 32 22 31 11 22 33 12 23 31 13 21 32
( 1) ( 1)
( 1) ( ) ( )
( )
а а а
а а а а
а а а а а
а а а а
а а а
а а
а а а а а а а а а а а
а а
а а а а а а а а а а а а а а
13 22 31 12 21 33 11 23 32
.
а а а а а а а а а
………….
(3.7)
Каждоеизшестислагаемыхв(3.7)называетсячленомопредели-
телятретьегопорядкаиестьпроизведениетрехэлементов,взятыхпо
одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца.
Чтобы составить выражение (3.7), можно воспользоваться схемой
Саррюса(илиправиломтреугольников),согласнокоторойсознаком
плюсберутсяпроизведениеэлементовглавнойдиагоналиипроизве-
35
денияэлементов,находящихсяввершинахдвухравнобедренныхтре-
угольников, основания которых параллельны главной диагонали. Со
знакомминусберутсяпроизведенияэлементовпобочнойдиагоналии
произведения элементов, находящихся в вершинах двух равнобед-
ренных треугольников, основания которых параллельны побочной
диагонали:
3.6. Свойства определителей
1. Определительматрицы,полученнойизданнойтранспонирова-
нием,равенопределителюданнойматрицы:
| | | | .
А А
Это свойство является прямым следствием теоремы 3.2 и утвер-
ждает,чтовсесвойства, сформулированныедлястрокопределителя,
будутсправедливыидляегостолбцов.
2. При перестановке местами двух строк, определитель меняет
знак на противоположный, сохраняяпри этом свою абсолютнуюве-
личину.
3.Определительсдвумяодинаковымистрокамиравеннулю.
4. Если все элементы некоторой строки определителя умножить
наодноитожечисло,тосамопределительумножитсянаэточисло.
11 12 1 11 12 1
21 22 2 21 22 2
1 2 1 2
1 1
1 2 1 2
.
n n
n n
n n
ik ik ik ik
i i in i i in
k k
n n nn n n nn
а а а a a a
а а а a a a
ca A c a A c
са са са a a a
а а а a a a
36
Следствие 1.Общиймножительэлементовлюбойстрокиможно
выноситьзазнакопределителя.
Следствие 2.Еслиопределительсодержитнулевуюстроку,тоон
равеннулю.
Следствие 3.Определительсдвумяпропорциональнымистрока-
миравеннулю.
5.Есликаждыйэлементi-йстрокиопределителяестьсуммадвух
слагаемых:
ik ik ik
a a a ,
тоопределительестьсуммадвухопредели-
телей:
11 12 1
1 2 2 2
1
1 2
1 1
11 12 1 11 12 1
1 2 1 2
1 2
n
n
i i i i in in
ik ik ik
k
n n nn
n n
ik ik ik ik
k k
n n
i i in i i in
n n nn
a a a
a a a a a a a a A
a a a
a A a A
a a a a a a
a a a a a a
a a a
1 2
1 2
.
n n nn
a a a
6. Сумма произведений элементов какой-либо строки определи-
телянаалгебраическиедополнениясоответствующихэлементовдру-
гойстрокиравнанулю.
7. Если к элементам некоторой строки определителя прибавить
элементы другой строки, умноженные на произвольное число
, то
определительнеизменится.
37
Пример 3.1.Вычислитьопределительтреугольнойматрицы:
11
21 22
31 32 33
1 2 3
0 0 0
0 0
0
.
n n n nn
a
a a
a a aА
a a a a
Решение.Применяяпоследовательноформулу(3.6),получим
22
32 33
11 11 22 33
2 3
0 0
0
det .
nn
n n nn
a
a a
A a a a a a
a a a
Итак, определитель треугольной матрицы равен произведению
диагональныхэлементов.Аналогичноможнопоказать,чтоопредели-
тельматрицы,укоторойравнынулювсеэлементы,находящиесявы-
ше(ниже)побочнойдиагонали,равенпроизведениючисла
( 1)
2
( 1)
n n
ивсехэлементовпобочнойдиагонали.
Например,
4 3
2
1 4 3 5
1 2 2 0
( 1) 5 2 4 1 40 .
3 4 0 0
1 0 0 0
Пример 3.2.Вычислитьопределитель
2 5 1 2
3 7 1 4
.
5 9 2 7
4 6 1 2
Решение.Кпервойикчетвертойстрокамприбавимвторуюстро-
ку,ктретьей строкеприбавимвторуюстроку,умноженнуюнадваи
разложимполученныйопределительпотретьемустолбцу:
3
8
2 3
1 2 0 6
1 2 6 1 2 2
3 7 1 4
( 1) ( 1) 1 5 15 3 1 5 5 .
1 5 0 15
1 1 6 1 1 2
1 1 0 6
Прибавляятретьюстрокукпервойивторойстрокам,получим:
3 1
0 3 4
3 4
3 0 6 7 3 1 ( 1) 3 (21 24) 9 .
6 7
1 1 2
Теорема 3.3.Определительпроизведенияквадратныхматрицод-
ногопорядкаравенпроизведениюопределителейэтихматриц.
3.7. Обратная матрица, ее свойства и вычисление
Квадратная матрица А n-го порядка называется невырожденной
(неособенной), если ее определитель отличен от нуля:
det 0
A
.
Если
det 0
A
,томатрицаАназываетсявырожденной.
МатрицаВназываетсяобратнойкматрицеА,если
АВ ВА Е
,
где Е – единичная матрица. Обратную матрицу принято обозначать
1
А
.Можнопоказать,чтоеслидляданнойматрицыАсуществуетоб-
ратная,тоонаединственная.
Теорема 3.4.Длятого,чтобыматрицаАимелаобратнуюматри-
цу, необходимо и достаточно, чтобы А была невырожденной. Тогда
обратнаяматрицанаходитсяпоформуле:
11 21 1
12 22 2
1
1 2
1
,
det
n
n
n n nn
A A A
A A A
A
A
A A A
(3.8)
39
или
1
1
,
det
A А
где
А
называетсяприсоединеннойкматрицеА.Ее
элементами служат алгебраические дополнения транспонированной
матрицыА
.
Пример 3.3. Найти
1
А
, если она существует, для матрицы
a b
c d
A
det 0
a b
ad bc
c d
A
.
Находимпоследовательно
1 1
11 11
( 1)
А М d
,
1 2
12 12
( 1)
А М с
,
2 1
12 21
( 1)
А М b
,
2 2
22 22
( 1)
А М а
.
Тогда
1
1
d b
d b
ad bc ad bc
A
c a c a
ad bc
ad bc ad bc
.
Пример 3.4.Найти
1
А
,еслионасуществуетдля
0 1 2
2 0 3
0 0 1
A
.
Решение. Вычисляем
1 2
2 3
det 1 ( 1) 2 0
0 1
A
. Находим
алгебраическиедополнения:
11
0 3
0
0 1
А
;
12
2 3
2
0 1
А
;
13
2 0
0
0 0
А
;
21
1 2
1
0 1
А
;
22
0 2
0
0 1
А
;
23
0 1
0
0 0
А
;
31
1 2
3
0 3
А
;
32
0 2
4
2 3
А
;
33
0 1
2
2 0
А
.
40
Тогда
0 1 3
2 0 4
0 0 2
A
,
1
0 1 / 2 3 / 2
1 0 2
0 0 1
A
.
Проверкойубеждаемся,что
1
0 1 2 0 1/ 2 3 / 2 1 0 0
2 0 3 1 0 2 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Е
АA
.
0 1 / 2 3 / 2 0 1 2 1 0 0
1 0 2 2 0 3 0 1 0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
Е
-1
A А
.
Дляневырожденныхматрицимеютместоследующиесвойства:
1. (А
-1
)
-1
=А;2.(АВ)
-1
=В
-1
А
-1
;3.(А
n
)
-1
=(А
-1
)
n
;4.(А
-1
)
=(А
)
-1
,
справедливостькоторыхрекомендуетсяпроверитьсамостоятельно.
Решение матричных уравнений с помощью обратной матрицы
Матричнымназовемуравнение,вкоторомрольнеизвестногоиг-
раетнекотораяматрицаХ.
Простейшими примерами таких уравнений могут служить урав-
нения
АХ = С, ХВ = С, АХВ = С
, гдеХи С– прямоугольныемат-
рицы равных размеров, А и В – квадратные матрицы соответствую-
щихразмеров.Еслипредположить,чтоматрицыАиВневырожден-
ные, то эти уравнения имеют одно и только одно решение
-1 -1
Х = А С, Х = СВ
и
-1 -1
Х = А СВ
соответственно. Действительно,
рассмотрим, например, уравнение
АХ = С
, где
det 0
А
. Умножая
слеваобечастиэтогоуравненияна
1
,
А
получим:
-1 -1
А АХ = А С
,
-1 -1
А А Х = А С
,
-1 -1
ЕХ = А С, Х = А С
.