Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
11
Этидвеоперацииобладаютпривычнымидлянассвойствами:
a b b a
,
a b c a b c
,
a b a b
ит.д.
Единичныйвектор,параллельный
a
исонаправленныйсним,на-
зываетсяортомвектора
a
иобозначается
0
a
:
0
a a a
.Любойне-
нулевойвекторможно представить в видепроизведенияединичного
вектора(егоорта)наегодлину:
0
a а а
Линейной комбинацией векторов
1
, ,
k
a a
с коэффициента-
ми
1 2
, , ,
k
называется вектор
b
вида
1
1
k
k
b a a
, или
1
k
i
i
i
b a
Иначе говоря, вектор
b
разлагается по векторам
1
, ,
k
a a
(линейно выражается через них).
Система векторов
1
, ,
n
a a
называется линейно-зависимой,
еслисуществуютчисла
1 2
, , ,
n
,невсеравныенулюитакие,что
1
1
n
n
a a 0
. Если же равенство
1
k
i
i
i
a 0
возможно лишь
при
1 2
0
n
, то система векторов
1
n
j
j
a
называетсялинейно независимой.
Базисом на плоскости
2
( )
в R
являетсялюбая
упорядоченная пара неколлинеарных векторов
этой плоскости. Базис обозначают
,
a b
.
Если
,
a b
–произвольныйбазиснаплоскости,толюбой
12
вектор
c
этой плоскости единственнымобразом представляетсяв виде
линейнойкомбинациивекторов
a
,
b
т.е.
c a b
.Числа
,
на-
зываюткоординатами вектора
c
в базисе
(
a
;
b
)изаписывают
c
=
(;)или
c
(;).
Базисом в пространстве
3
R
называется любая упорядоченная
тройка некомпланарных векторов
, ,
a b c
. Любой
вектор
d
пространства
3
R
можно разложить по
этому базису, т.е. записать его в виде
d a b c
.Числаλ,μ,δназываютсякоорди-
натамивектора
d
вбазисе
; ;
a b c
.Вектор
d
за-
писываютввиде
; ;
d
или
; ;
d
.
Если
1 2 3
, ,
e e e
– базис в пространстве
3
R
, то любой вектор
a
единственным образом представляется в виде линейной комбинации
векторов
1 2 3
, ,
e e e
, т.е.
1 2 3
х у z
a e e e
. Числа
, ,
x y z
называют
координатами вектора
a
в базисе
1 2 3
, ,
e e e
и записывают
; ;
x у z
a
или
; ;
x у z
a
.
Базисов на плоскости и в пространстве бесконечно много. Если
базис фиксирован, то каждый вектор однозначно определяется
своими координатами. Операциям над векторами ссответствуют
операции над их координатами.
Присложениивекторовскладываютсяихсоответствующиекоор-
динаты;приумножениивектораначислокаждаякоординатавектора
умножаетсянаэточисло.
Векторы
1 1 1
; ;
x у z
a
и
2 2 2
; ;
x у z
b
коллинеарны только в
том случае, если координаты этих векторов пропорциональны:
2 2 2
1 1 1
x у z
x у z
,где
–коэффициентпропорциональности:
b a
.
Прямуюсвыбраннымнанейнаправлениемназываютосью.Осьс
заданыыминачаломотсчетаиединиччнымотрезкомназываюткоор-
динатной осью.Например,ортлюбогоненулевогосвязанноговекто-
разадаетнекоторуюкоординатнуюось.
c
a b
13
Угломмеждудвумявекторами(илимеждувек-
тором иосью,илимежду двумя осями)называется
наименьший угол
, на которыйнужно повернуть
одинвектор(ось),чтобыонсовпалпонаправлению
cдругимвектором(осью).Очевидно,что
0
.
Двавектораназываютсяортогональными,еслиуголмеждуними
равен
2
.
Есливекторы
1 2 3
, ,
e e e
в
3
R
единичныеивзаимноперпендику-
лярны, то они образуют ортонормированный (декартов прямоуголь-
ный)базис.
Упорядоченнаятройканекомпланарныхвекторов
1 2 3
, ,
a a a
обра-
зуетправую (левую) тройку,еслипослесовмещенияихначалпутём
параллельного переноса,кратчайшийповоротот первого вектора
1
a
ко второму вектору
2
a
виден из конца третьего вектора
3
a
, совер-
шающимсяпротив(по)часовой стрелки.
Для ортонормированного базиса
1 2 3
, ,
e e e
в
3
R
, образующего
правую тройку, приняты обозначения
1 2 3
, ,
e i e j e k
.
В пространстве
3
R
с ортонормированным
базисом
i, j, k
связывают декартову прямо-
угольную систему координат, задав дополни-
тельноточкуO–началокоординат.ОсиOx, Oy, Oz,проведённыече-
резточкуOпараллельновекторам
i, j, k
,называюткоординатными
осями. ОсьOхназываетсяосьюабсцисс,осьOу-осьюординатиось
Oz - осью апликат. Орты координатных осей Ох, Оy, Оz – векторы
, ,
i j k
соответственно.
Посколькувекторы
, ,
i j k
образуютдекартов прямоугольный ба-
зис в пространстве
3
R
, то любой вектор из
3
R
выражается через
, ,
i j k
, причем коэффициенты разложения находятся единственным
образом и их называют координатами вектора в базисе
, ,
i j k
(де-
картовыми прямоугольными координатами вектора). В частности,
14
радиус-вектор
OM
произвольнойточки
( , , )
M x y z
имеетразложение
x y z
OM i j k
,т.е.
, ,
x y z
OM
.
Координатами точки М называют координаты ее радиус-
вектора
, ,
x y z
OM
ипишут
, ,
M x y z
или
, ,
M x y z
.
Точки
)
( , , )
A A A
A x y z
и
)
( , , )
B B B
B x y z
опре-
деляют (см. рис.) вектор
( ) ( ) ( )
B A B A B A B A
x x y y z z
AB r r i j k
,
т.е.
( , , )
B A B A B A
x x y y z z
AB
. Итак, что-
бы найти координаты вектора, нужно из коор-
динат его конца вычесть соответственно координаты начала.
Длину вектора
AB
и длину отрезка
AB
можно вычислить по
формуле
2 2 2
( ) ( ) ( )
B A B A B A
x x y y z z AB
.Здесьидалее,если
явнонеоговоренодругое,подразумеваютсядекартовы прямоугольные
координаты.
Проекцией вектора
a
на вектор
b
(или на
ось,параллельнуюисонаправленную
b
)назы-
ваютчисло
пр cos
b
a a
,где–уголмеж-
дувекторами
a
и
b
.
В ортонормированном базисе координаты x,
y, z вектора
a
совпадают с его проекциями на
базисныеорты
, ,
i j k
:
=пр , =пр , =пр ,
x i y j z k
x a y a z a
a a a
приэтом
2 2 2
x y z
a .
Обозначим через
, ,
углы между вектором
x y z
a i j k
и векторами
, ,
i j k
соответственно.
Числа
cos , cos , cos
называютсянаправляющи-
микосинусамивектора
a
.Имеютместоформулы:
2 2 2
cos
x
x y z
,
2 2 2
cos
y
x y z
,
2 2 2
cos .
z
x y z
15
Частовместо
x y z
a i j k
пишут
; ;
x y z
a
.
Аналогичныеопределенияпринятынамножествевекторовплос-
кости.
Векторным произведением
a b
(или
,
a b
) упорядоченной
парынеколлинеарныхвекторов
a
и
b
называетсявектор
c
,удовле-
творяющийследующимтрёмтребованиям:
1)
sin
c a b
,где–уголмеждувекторами
a
и
b
;
2)
c
перпендикуляренкаждомуизвекторов
a
и
b
;
3)
a
,
b
,
c
образуютправуютройку.
Векторноепроизведениеобладаетсвойствами:
a)Длинавектора
a b
(т.е.
a b
)равнаплощади
параллелограмма,построенногонавекторах
a
и
b
;
б)аb=–ba;в)а(b+c)=аb+аc;г)(а)b=(аb).
в) Если
1 1 1
x y z
a i j k
,
2 2 3
x y z
b i j k
, то
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
y z z y z x x z x y y x
a b i j k
,
или,всимволическойзаписи,
1 1 1
2 2 2
x y z
x y z
i j k
a b
.
Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов
a
,
b
,
c
называетсячисло
a b c
.Смешанноепроизведениевекторов
а,b,с(обозначается
, ,
a b c
или
abc
)обдадаетсвойствами:
а)
a
,
b
,
c
компланарнытогдаитолькотогда,когда
, , 0
a b c
;
б) для некомпланарной тройки векторов
a
,
b
,
c
произведение
, , 0
a b c
в том и тольков
томслучае,еслиа,b,собразуютправуютройку,
и
, , 0
a b c
в том и только в том случае, если
a
,
b
,
c
образуютлевуютройку;
16
в)
, ,
a b c
равенобъёмупараллелепипеда,построенногонавек-
торах
a
,
b
,
c
;
г)
, , , , ( , , ) – , , – , , – , , .
а b с b c a c a b b a с а c b c b a
д)Если
1 1 1
x y z
a i j k
,
2 2 3
x y z
b i j k
,
3 3 3
x y z
c i j k
,
то
1 1 1
2 2 2
3 3 3
, ,
х y z
х у z
х у z
a b c
.
Векторы
1 1 1
; ; ,
a x у z
2 2 2
; ;
b х у z
,
3 3 3
; ;
с х у z
впростран-
стве
3
R
образуютбазис(некомпланарны)тогдаитолькотогда,когдаоп-
ределительматрицы,составленнойизихкоординатвкаком-либобазисе,
неравеннулю:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
0
х y z
х у z
х у z
.
Итак,свойствагеометрическихвекторовмогутбытьпредставленыана-
литически через соотношения между их координатами. Впространствах
большойразмерности,гдеколичествобазисныхвекторовбольшетрех,этот
подход (представление векторов их координатами) является единственно
возможным.Вегоосновуположенопонятиеарифметического вектора.
1.2. Арифметические векторы. Линейные операции над век-
торами. n-мерное арифметическое пространство
Упорядоченная совокупность (
1 2
, , ...,
n
х х х
)
n
вещественных чи-
селназываетсяn-мерным вектором,а числа
( 1, )
i
x i n
–координа-
тамивектора.
Если,например,некотороепредприятиевыпускает
n
видовпро-
дукции в количестве
1 2
, , ...,
n
х х х
единиц соответственно, то вектор
1 2
, , ...,
n
х х х
х
является
n
-мернымвектором.
17
Суммой n-мерныхвекторов
а
(
1 2
, , ...,
n
а а а
)и
b
(
1 2
, , ...,
n
b b b
)
называетсяn-мерныйвектор
1 1 2 2
( , , ..., )
n n
а b а b а b
с а b
.
Произведением n-мерноговектора
1 2
( , , ..., )
n
а а а
а
навеществен-
ноечисло
называютn-мерныйвектор
1 2
( , , ... , )
n
а а а
c а
.
Введенныеоперациинадn-мернымивекторами,называемыели-
нейными операциями,удовлетворяютследующимсвойствам
:
1.
а b b а
(коммутативностьсложения);
2.
( ) ( )
a b c a b c
(ассоциативностьсложения);
3.
( ) ( )
a a
(ассоциативностьумножения);
4.
( )
a b a b
(дистрибутивность относительно сложения
векторов);
5.
( )
a a a
(дистрибутивность относительно сложения
чисел);
6.
а 0 а
,где
(0, 0, ..., 0)
0 ;
7.
1
a a
,длявсех
a
.
8. Длявсех
a
существуетвектор
a
,такой,что
( ) 0
a a
.
Совокупностьвсехn-мерныхвекторов,рассматриваемаясопре-
деленными в нейоперациямисложенияи умножения на число, под-
чиняющимся 1–8, называется n-мерным линейным векторным про-
странством. Если координаты векторов – вещественные числа, то
пространствоназываютарифметическимиобозначают
n
R
.
Ненулевые векторы
а
и
b
коллинеарны тогда и только тогда,
когда
b a
,где
≠0.Этоозначает,чтоуколлинеарныхвекторов
иходноименныекоординатыпропорциональны:
1
1
...
n
n
aa
b b
18
Пространство
n
R
можнорассматриватьикакточечное,т.е.упо-
рядоченныйнаборnчисел
1 2
, , ,
n
х x x
называтьточкой.Приэтом
точка
0, 0, , 0
O
–начало отсчета, координатыточки М– это ко-
ординаты ее радиус-вектора
.
ОМ
В этом случае пишут
1 2
, , ,
n
М х x x
или
1 2
, , , .
n
M х x x
1.3. Скалярное произведение n-мерных векторов. Модуль
вектора. Угол между n-мерными векторами. Расстояние между
точками n-мерного пространства
Скалярным произведением n-мерныхвекторов
а
(
1 2
, , ...,
n
а а а
)и
b
(
1 2
, , ...,
n
b b b
) называется число, обозначаемое
( , )
a b
и равное
суммепроизведенийсоответствующихкоординат:
1 1 2 2
1
( , )
n
n n i i
i
а b а b а b a b
a b
.
Если,например,предприятиереализует4видатовароввколиче-
ствах10,20,15и5единицсоответственнопоценам2,3,4и6денеж-
ныхединиц,тоскалярноепроизведениевекторацен
с
(2,3,4,6)на
векторобъемов продаж
х
(10, 20, 15, 5) дастожидаемую выручку,
котораясоставит
( , )
с х
2ּ10+3ּ20+4ּ15+6ּ5=20+60+60+30=
170(денежныхединиц).
Модулем(длиной)n-мерноговектора
а
(
1 2
, , ...,
n
а а а
)называется
число
2 2 2
1 2
( , ) ...
n
а а а
а а а .
Углом
между n-мерными векторами
а
и
b
называется угол,
косинускотороговычисляетсяпоформуле:
1 1 2 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2
...
( , )
cos .
... ...
n n
n n
а b а b а b
a b
a b
а а а b b b
19
Расстоянием
( , )
d А В
между точками
1 2
( , , ,
n
А х х х
) и
1 2
( , , ..., )
n
В у у у
n-мерного пространства называется длина вектора
АВ
,т.е.
2 2 2
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( ) ( ) ... ( ) .
n n
d A B y x y x y x АВ АВ
Справедливыследующиесвойстваскалярногопроизведения:
1.
( , ) ( , )
a b b a
;
2.
( , ) ( , )
a b a b
;
3.
( , ) ( , ) ( , )
a b c a b b c
;
4.
( , ) 0
a a
,причемзнакравенствавыполняетсялишьприусло-
вии
a 0
.
Линейное n-мерное векторное пространство, в котором введена
операцияскалярногоумножениявекторов,удовлетворяющаясвойст-
вам1–4,называетсяевклидовым пространством.
2. Системы векторов
2.1. Линейно зависимые и линейно независимые
системы векторов
Вектор
b
называется линейной комбинацией
m
векторов n-
мерного пространства
1 2
, , ... ,
m
a a a
с коэффициентами
1 2
, , ,
m
, если
b
1 1 2 2
...
m m
a a a
. Например, если
b
(3,1,4,5),
1
а
(1,2,3,8),
2
а
(4,–2,2,–6),то
1 2
1
2
b а а
.
Система векторов
1 2
, , ... ,
m
a a a
называется линейно зависимой,
еслисуществуюттакие числа
1 2
, ,...,
m
, невсе одновременнорав-
20
нынулю,чтолинейнаякомбинация
1 1 2 2
...
m m
a a a
обращается
внулевойвектор,т.е.
1 1 2 2
...
m m
a a a
=
0
(2.1)
Если равенство (2.1) возможно только при условии, что
1 2
... 0
m
, то векторы
1 2
, , ... ,
m
a a a
называются линейно
независимыми.
Например,векторы
1
а
(1,3,5,7)и
2
а
(2,6,10,14)являются
линейнозависимыми,таккак
1 2
2 1 0
а а
.
Справедливыследующиесвойства линейной зависимости:
а)еслисредивекторов системы есть нулевой вектор,то система
линейнозависима;
б) если система векторов содержит линейно зависимую подсис-
тему,тооналинейнозависима;
в)любаяподсистемалинейнонезависимойсистемывекторовяв-
ляетсялинейнонезависимой;
г) для того, чтобы система векторов
1 2
, , ...,
m
a a a
была линейно
зависимой, необходимо и достаточно, чтобыхотя бы один из векто-
ровлинейновыражалсячерезостальные;
д)диагональнаясистемавекторовлинейнонезависима;
е) диагональная система единичных векторов n-мерного про-
странствалинейнонезависима;
ж)любойвекторn-мерногопространстваявляетсякомбинацией
единичныхвекторовэтогопространства.
Например,в
3
R
( , , ) (1, 0, 0) (0, 1, 0) (0, 0,1)
x y z x y z
a
.