Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Подождите немного. Документ загружается.
51
Следовательно,матрица
А
неособеннаяидлянеесуществуетоб-
ратнаяматрица
-1
А
.Найдемалгебраическиедополненияматрицы
А
:
1 1
11
1 1
( 1) 2 2 4;
2 2
А
1 2
12
1 1
( 1) (2 1) 1;
1 2
А
1 3
13
1 1
( 1) 2 1 3;
1 2
А
2 1
21
1 1
( 1) (2 2) 4;
2 2
А
2 2
22
3 1
( 1) 6 1 7;
1 2
А
2 3
23
3 1
( 1) (6 1) 5;
1 2
А
3 1
31
1 1
( 1) 0;
1 1
А
3 2
32
3 1
( 1) (3 1) 4;
1 1
А
3 3
33
3 1
( 1) 4
1 1
А
.
Тогдаобратнаяматрица
1
4 4 0
1
1 7 4
16
3 5 4
А
=
0,25 0, 25 0
0,0625 0, 4375 0, 25
0,1875 0,3125 0, 25
.
Используяравенство
1
Х А В
,получим
52
Х
0,25 0, 25 0
0,0625 0, 4375 0, 25
0,1875 0,3125 0, 25
2
2
7
=
=
0,25 2 0, 25 2 0 7
0,0625 2 0, 4375 2 0, 25 7
0,1875 2 0,3125 2 0, 25 7
=
1
1
2
.
Пример 4.2.Решитьсистемууравнений
1 2 3
1 2 3
1 2 3
2 3 1,
3 2 1,
4 2
х х х
х х х
х х х
поформуламКрамера.
Решение.Выпишемматрицусистемы:
2 3 1
3 1 2
1 4 1
А
ивычислимееопределитель.
2 3 1
3 1 2
1 4 1
=2+6+12+1–16+9=14≠0.
Значит,системаявляетсяопределенной.Длянахожденияеереше-
ния вычисляем вспомогательные определители
1 2 3
, ,
, заменяя в
определителе
1-ый,2-ойи3-йстолбцыстолбцомсвободныхчленов:
1
1 3 1
1 1 2
2 4 1
=1+12+4+2+3–8=14,
2
2 1 1
3 1 2
1 2 1
=–2+2+6–1+3–8=0,
53
3
2 3 1
3 1 1
1 4 2
=–4+3+12+1–18–8=–14.
ПоформуламКрамеранаходим:
1
14
1;
14
х
2
0
0;
14
х
3
14
1.
14
х
4.3. Метод Гаусса решения и исследования
систем линейных уравнений
МетодГауссаприменяетсядлярешениясистемmлинейныхурав-
ненийсnнеизвестными,заданнойвобщемвиде(4.1).Этотметодина-
ченазываютметодомпоследовательногоисключениянеизвестных.
Элементарнымипреобразованиямисистемы(4.1)называются:
1) переменаместамилюбыхдвухуравненийсистемы;
2) умножениеобеихчастейкакого-либоизуравненийсисте-
мыначисло
≠0;
3) прибавлениекодномуизуравненийдругогоуравнения,умно-
женногонапроизвольноечисло
;
4) удалениеизсистемыуравнениявида
1 2
0 0 ... 0 0
n
х х х
Можно доказать, что элементарные преобразования системы
(4.1) приводят к системе, равносильной (эквивалентной) исходной.
МетодГауссасостоитиздвухчастей:прямогоиобратногохода.
В результате прямого хода система приводится к равносильной сис-
теместупенчатогоилитреугольноговидаспомощьюэлементарных
преобразований (если приэтом процессенеобнаружится несовмест-
ностьсистемы).Второйэтапрешениязадачи,называемыйобратным
ходом, состоит в последовательном нахождении значений неизвест-
ных
1 1
, , ...,
n n
х x x
изполученнойврезультатепрямогоходасистемы
специальноговида.
РешениесистемыметодомГауссаобычноосуществляют,работая
срасширеннойматрицейкоэффициентовсистемы,вкоторойкаждой
строкесоответствуетуравнениеисходнойсистемы.
54
Пример 4.3.РешитьсистемууравненийметодомГаусса:
2 3 4
2 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1
2 3 0,
2 2,
2 1,
2 3 1.
x x x x
x x
x x x x
x x x x
(4.4)
Решение.Переставивпервоеитретьеуравнениесистемы,полу-
чимрасширеннуюматрицувида:
1
1 1 2 1
2
0 1 0 2
0
2 1 3 1
1
1 2 1 3
(4.5)
Таккак
11
1
а
≠0,тоспомощьюпервогоуравненияисключим
1
х
из всехостальныхуравнений, длячегопервуюстрокуматрицы(4.5)
умножимна
( 2)
исложимстретьей,азатемвычтемпервуюстроку
изчетвертой.Получим:
1 1 2 1
1
2
0 1 0 2
2
0 3 1 1
2
0 3 3 2
(4.6)
Таккаквновойматрице(4.6)
'
22
а
≠0,тотеперьспомощьювторо-
гоуравненияисключим
2
х
изтретьегоичетвертого уравнения, для
чегооттретьейстрокивычтемвторую,умноженнуюна3иизчетвер-
той строкивычтем вторую, умноженную так же на 3. Получим мат-
рицувида:
1 1 2 1
1
0 1 0 2
2
4
0 0 1 5
4
0 0 3 8
(4.7)
55
Таккаквновойматрице(4.7)
33
''
а
≠0, то можно с помощью
третьего уравненияисключить
3
х
из четвертого уравнения, для чего
отчетвертойстрокиматрицы(4.7)вычтемтретью,умноженнуюна3.
Врезультатепридемкматрице:
1 1 2 1 1
0 1 0 2 2
0 0 1 5 4
0 0 0 7 8
(4.8)
Система, соответствующая матрице (4.8) является системой тре-
угольноговида.Выпишемее:
2 3 4
2 4
3 4
4
1
2 1,
2 2,
5 4,
7 8.
х х х х
х х
х х
х
(4.9)
Такаясистемаимеетединственноерешение,котороенаходитсяс
помощью обратного хода. Двигаясь от последнего уравнения к пер-
вому,получим:
4
7 8,
х
4
8
;
7
х
3 4
5 4,
х х
3
8
4 5 ( ),
7
х
3
12
;
7
х
2 4
2 2,
х х
2 4
2 2
х х
,
2
16 2
2
7 7
х
;
1 2 3 4
1 24 8 23
2 1 1
7 7 7 7
х х х х
.
Ответ:
1
23
,
7
х
2
2
,
7
х
3
12
,
7
х
4
8
.
7
х
Существуютразличныеметодыприведенияматрицыкступенча-
томувиду.ДляручногосчетаудобныправилаГауссоваисключения,
56
реализуемые с помощью так называемого разрешающего элемента,
которыйпривычисленияхзаключаетсяврамкуивсегдадолженбыть
отличен от нуля. Первыйшаг (исключениенеизвестной
1
х
) прямого
хода выполняется с разрешающим элементом
11
а
≠ 0, второй шаг
(исключение неизвестного
2
х
) спомощью
'
22
а
≠ 0 ( если
'
22
а
= 0, то
надопереставитьуравнениятак,чтобыоказалось
'
22
а
≠0,аесливсе
'
22
а
,
2,
i m
, то пытаемся исключить неизвестную
3
x
и т.д.). Пере-
счетэлементовматрицывыполняетсяпоследующимправилам:
1) элементы разрешающей строки и всех выше расположенных
строкостаютсянеизменными;
2) элементы разрешающего столбца, находящиеся ниже разре-
шающегоэлемента,обращаютсявнули;
3) всепрочиеэлементыматрицывычисляютсяпоправилу прямо-
угольника;преобразованныйэлемент
'
ij
а
новойматрицыравенразно-
стипроизведенийэлементовглавнойипобочнойдиагоналей.
0 0
0 0
0 0
ks kj
is ij
a а
а a
'
ij ks ij is kj
a a a a a
Здесь
,
ks ij
а a
– главная диагональ,
...
is кj
а a
– побочная диаго-
наль.
Пример 4.4. Решитьсистему:
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 2 4,
4 3 2 6,
8 5 3 4 12,
3 3 2 2 6
х х х х
х х х х
х х х х
х х х х
Решение. Запишемрасширеннуюматрицусистемы:
57
2 2 1 1 4
4 3 1 2 6
8 5 3 4 12
3 3 2 2 6
Элемент
11
2 0
а
принимаемзаразрешающий.Первуюстроку
составляем безизменения,остальные элементыпервого (разрешаю-
щего) столбца заполняем нулями, а остальные элементы вычисляем
поправилупрямоугольника:
2 2 1 1 4
0 2 3 4 2 2 ( 1) 4 ( 1) 2 2 4 1 2 6 4 4
0 2 5 8 2 2 ( 3) 8 ( 1) 2 4 8 1 2 12 8 4
0 2 3 3 2 2 ( 2) 3 ( 1) 2 2 3 1 2 6 3 4
=
=
2 2 1 1 4
0 2 2 0 4
0 6 2 0 8
0 0 1 1 0
.
Вполученной матрице элементы второй и третьейстроки разде-
лимна2.
2 2 1 1 4
0 1 1 0 2
0 6 2 0 8
0 0 1 1 0
На втором шаге разрешающим является элемент
'
22
–1 0
а
.
Первые две строки и первый столбец переписываем без изменения,
подразрешающимэлементомзаписываемнули,аостальныеэлемен-
тывычисляемпоправилупрямоугольника:
58
2 2 1 1 4
0 1 1 0 2
0 0 1 1 ( 3) 1 1 0 ( 3) 0 1 ( 4) ( 3) ( 2)
0 0 1 ( 1) 0 1 1 1 0 0 ( 1) 0 0 ( 4)
=
=
2 2 1 1 4
0 1 1 0 2
0 0 2 0 2
0 0 1 1 0
.
Вполученнойматрицеэлементытретьей строкиразделимна2и
натретьемшагеразрешающимявляетсяэлемент
'
33
1 0
а
.Элемен-
ты первых трех строк сохраняем без изменений, под разрешающим
элементом запишем нуль. Остальные элементы пересчитаем по пра-
вилупрямоугольника:
2 2 1 1 4 2 2 1 1 4
0 1 1 0 2 0 1 1 0 2
~ ~
0 0 1 0 1 0 0 1 0 1
0 0 1 1 0 0 0 0 1 ( 1) 1 0 1 0 1 ( 1)
2 2 1 1 4
0 1 1 0 2
0 0 1 0 1
0 0 0 1 1
.
Так как система привелась к треугольному виду, то она имеет
единственное решение. Найдемего,выписав систему, соответствую-
щуюпоследнейматрице:
1 2 3 4
2 3
3
4
2 2 4,
2,
1,
1.
х
х х х
х х
х
х
.
59
Отсюда
4 3 2 3
1, 1, 2 1,
х х х х
1 2 3 4
2 2 4,
х х х х
1 1
2 2 1 ( 1) ( 1) 4, 2 2,
х х
1
1.
х
Ответ:
1 2 3 4
1, 1, 1, 1.
х х х х
Пример 4.5. Решитьсистемууравнений.
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
1 2 3 4
2 3 1,
8 12 9 8 3,
4 6 3 2 3,
2 3 9 7 3.
х х х х
х х х х
х х х х
х х х х
.
Решение.Начинаясрасширеннойматрицысистемы,подвергаяее
последовательногауссовымисключениям,получим:
2 3 1 1
2 3 1 1 1 1
3 0 0 10 8 2
8 12 9 8
~ ~
3 2
4 6 3 2 0 0 10 8
3 4
2 3 9 7 0 0 20 16
2 3 1 1 1
0 0 10 8 2
~
0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
.
Матрица системы приведена к ступенчатому виду. Последней
матрицесоответствуетсистемауравненийвида:
1 2 3 4
3 4
2 3 1,
10 8 2.
х х х х
х х
Онаимеет бесконечноемножество решений.Первым ненулевым
элементамступенексоответствуютпеременные
1
х
и
3
х
(базисные пе-
ременные).Оставшиесяпеременные
2
х
и
4
х
–свободные,имприда-
димпроизвольныезначения:
2 1
х С
,
4 2
х С
,
1 2
,
С С R
.
60
В последнем уравнении подставим
4 2
х С
, тогда
3 2
10 2 8 ,
х С
3 2
1 4
.
5 5
х С
Подставим
3
х
и
4
х
в первое уравне-
ние системы:
1 2 2 2
1 4
2 3 1.
5 5
х х С С
Тогда
1 1 2
6 1
2 3 ,
5 5
х С С
1 1 2
3 3 1
,
5 2 10
х С С
Ответ:системаимеетмножестворешенийвида
1 1 2
3 3 1
,
5 2 10
х С С
2 1
х С
,
3 2
1 4
.
5 5
х С
4 2
х С
где
1 2
,
С С R
.
5.Геометрия пространства R
n
5.1. Прямые в R
2
5.1.1. Уравнение линии на плоскости R
2
Уравнением линии на плоскости Оху называется равенство, со-
держащее переменные х и у, вида
, 0,
F х у
которому удовлетво-
ряют все точки данной линии и только они. Для вывода уравнения
линиичастоиспользуютсяформулы:
а)расстояниемеждудвумяточками
1 1 1
,
М х у
и
2 2 2
, .
М х у
2 2
2 1 2 1
( ) ( )
d х х у у
(5.1)
б)делениеотрезкавданномотношении:еслиточка
,
М х у
делит
отрезок, определяемый точками
1 1 1
,
М х у
и
2 2 2
, .
М х у
в отноше-
нии
1
2
М М
ММ
,токоординатыточкиМопределяютсяпоформулам:
1 2
1
х х
х
,
1 2
1
у у
у
.(5.2)