Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.



0, 0, 0, 0.

С А В D

   

ПлоскостьпараллельнаосиОz.

0, 0, 0, 0.

D А В С

   

 Плоскость проходит через начало ко-

ординат.

0,  0, 0.

А В С D

   

 Плоскость перпендикулярна оси Оz (па-

раллельнаплоскостихОу).

0,  0, 0.

А С В D

   

 Плоскость перпендикулярна оси Оу (па-

раллельнаплоскостихОz).

0,  0, 0.

В С А D

   

 Плоскость перпендикулярна оси Ох (па-

раллельнаплоскостиуОz).

0,  0, 0.

А D В С

   

ПлоскостьпроходитчерезосьОх.

0,  0, 0.

В D А С

   

ПлоскостьпроходитчерезосьОх.

10.

0,  0, 0.

С D А В

   

ПлоскостьпроходитчерезосьОz.

11.

0, 0.

А В D С

   

Плоскостьсовпадаетсплоскостью хОу







.

12.

0, 0.

А С D С

   

Плоскостьсовпадаетсплоскостью хОz







.

13.

0, 0.

В С D А

   

Плоскостьсовпадаетсплоскостью уОz (х= 0).

5.2.6. Уравнение плоскости в отрезках



ПлоскостьР,пересекающаяосьОхвточке(а, 0,0),осьОувточке

(0, b,0)иосьОzвточке(0,0, с),имеетуравнение

x y z

a b c

  

.(5.26)

Уравнение (5.26) называется уравнением плос-

костивотрезках.

При

0, 0, 0, 0

А В С D

   

изобщегоурав-

ненияплоскости(5.25)получаетсяуравнениеплос-

костивотрезках,еслиположить

 

,

 

,

 

.Отрезки

а, b, с, отсекаемыеплоскостьюнаосях координат, удобно использо-

ватьприпостроенииплоскости.

Рис.5.4



5.2.7. Уравнение плоскости, проходящей

через три данные точки



Пусть точки





1 1 1 1 2 2 2 2

,  ,  , ( ,  ,  )

М х у z М х у z

 

 и





3 3 3 3

,  , 

М х у z



нележатнаоднойпрямой,т.е.условие(5.19)невы-

полняется. Тогда уравнение плоскости  Р, проходящей через точки

,М

иМ

,имеетвид:

1 1 1

2 1 2 1 2 1

3 1 3 1 3 1

x x y y z z

  

   

  

(5.27)



5.2.8. Нормальное уравнение плоскости



Если обе части уравнения (5.25) умножить на нормирующий

множитель

2 2 2

А В С





  

,выбираязнакпередрадика-

ломиз  условия λּ D < 0(в случае, когдаD = 0, знак выбирается

произвольно),тополучитсянормальноеуравнениеплоскости



cos cos cos – 0.

x y z р

  

     

(5.28)

Здесь направляющие косинусы

cos , cos и cos

  

есть коор-

динаты единичного вектора нормали

(cos ,cos , cos )

  



, прове-

денногокплоскостиРизначалакоординат.Каждоеобщееуравнение

плоскостиможетбытьприведенокнормальномувиду,причем



2 2 2

cos

А В С





  

,

2 2 2

cos

А В С





  

,

2 2 2

cos

А В С





  

,

2 2 2

А В С



  

(знак   перед  ради-

каломвыбираетсятак,чтобывыполнялосьнеравенствор ≥ 0).



5.2.9. Расстояние от точки до плоскости



ПустьплоскостьРзаданауравнением(5.28)иданаточкаМ

= (х

, z

),лежащаявнеэтойплоскости.Тогдарасстояние



отточкиМ



доплоскостиРнаходитсяпоформуле

cos cos cos – .

о о о

d x y z р

  

  

(5.29)

Если плоскость Р задана уравнением (5.25), то расстояние d вы-

числяетсяпоформуле

2 2 2

o o o

Ах Ву Сz D

А В С

  



 

.(5.30)



5.2.10. Взаимное расположение двух плоскостей



Углом между плоскостями,заданнымиуравнениямиА

х + В

у +

z + +D

=0иА

х + В

у + С

z + D

=0,называетсяуголφмеждуих

нормальнымивекторами

1 1 1 1

( , , )

n A B C



и

2 2 2 2

( , , )

n A B C



.Длянахо-

жденияэтогоуглаиспользуютформулу

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2

2 2 2 2 2 2

1 2

1 1 1 1 1 1

( , )

cos cos( , )

n n A A B B C C

n n

A B C A B C



 

  

   

.(5.31)

Если выполняется условие

1 2 1 2 1 2

 0,

А А В В С С

  

 то плоскости

перпендикулярны.При

1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

  

плоскостипараллельны,а

если

1 1 1 1

2 2 2 2

A B C D

  

,топлоскостисливаютсяводну–совпадают.



5.2.11. Общие уравнения прямой



ВсякуюпрямуюLвпространствеможетрассматриватькаклинию

пересечениядвухплоскостейР

иР

,заданныхсвоимиобщимиурав-

нениями.Уравнения

1 1 1 1

A x B y C z D

A x B y С z D

   





   



(5.32)



гдечислаА

,В

,С

иА

,В

,С

непропорциональны,называютсяоб-

щими уравнениями прямой L. Направляющий вектор

( , , )

m n p

S



этойпрямойможетбытьнайденпоформуле

1 1 1 1 1 1

2 2 2 2 2 2

, ,

B C A C A B

 



 

 

.(5.33)

Выбираялюбоерешение





0 0 0 0

,  , 

М х у z



системы(5.32)получа-

ем точку

М L



 и, следовательно, можем записать канонические

уравненияпрямойLвида(5.17).



5.2.12. Взаимное расположение прямой и плоскости

ПустьпрямаяLзаданауравнениями(5.17),аплоскостьР–урав-

нением (5.25). Углом между прямой L и плоскостью Р называется

угол φ,образованныйпрямой L и ее проекциейна плоскостьР. Для

вычисленияуглаφиспользуетсяформула

2 2 2 2 2 2

( , )

sin

n S Am Bn Cp

n S

A B C m n p



 

 

   

.(5.33)

Есливыполняетсяравенство

Аm + Bn + Ср = 0,(5.34)

топрямаяLиплоскостьРпараллельны.Еслижесправедливысо-

отношения

A B C

m n p

 

,(5.35)

топрямаяLиплоскостьРперпендикулярны.

Еслиусловие(5.34)невыполняется,топрямаяиплоскостьпере-

секаютсявединственнойточкеМ

= (х

, у

, z

).Координатыэтойточ-

кинайдутсяизравенств:

1 1

1 1

1 1

 

х х mt

у у nt

z z рt

 





 





 



(5.36)



гдеt

естьтоединственноезначениепараметраt,прикоторомпрямая

LиплоскостьРпересекаются:

o o o

Ax By Cz D

Am Bn Cp

  



 

.

ЕслиАm + Вn + Ср = 0иАх

+ Ву

+ Сz

+ D ≠ 0,топрямаяLи

плоскостьРпараллельны(онинепересекаютсяниприодномзначе-

нииt).

ЕслиАm + Вn + Ср = 0,Ах

+ Ву

+ Сz

+ D = 0,топрямаяL

лежитнаплоскостиР(ониимеютбесчисленноемножествоточекпе-

ресечения).

5.3. Гиперплоскость в пространстве R

Множество точек пространства R

, координаты которых удовле-

творяютвекторномууравнению

( )



а, х

,(5.37)

называется гиперплоскостью пространства R

. Здесь

1 2

( , , , )

а а а

а



,

1 2

( , , , )

x x x

x



;а

,i = 0, 1, …, n–действительные

числа,



При



уравнение(5.37)задаетпрямуюнаплоскости

,при



–плоскостьвпространствеR

.Если



тогиперп-

лоскостьпроходитчерезначалокоординат.Гиперплоскость(5.37)пе-

ресекаетоськоординатОх

вточке

(0, 0,  , , 0, , 0).

i о i

А а а   Ес-

ли



 то гиперплоскость Ох

 не пересекает. Частным случаем

уравнения (5.37) является линейное уравнение



 В n-мерном

пространствеоноопределяеткоординатнуюгиперплоскость.

ПустьимеютсядвегиперплоскостиГ

иГ

,заданные уравнения-

ми

( )



а, х

и

( )



b, х

соответственно.

Если выполняется условие 

1 2

a a

b b

 



n o

a a

b b

  

, то гиперп-

лоскостиГ

иГ

совпадают.

Если выполняются равенства

1 2

a a

b b

 



n o

a a

b b

 

, то гиперп-

лоскостиГ

иГ

параллельны.



ПересечениемгиперплоскостейГ

иГ

называетсямножестворе-

шенийсистемы

( , )

( ,

а х а

b x b















или

1 1 2 2

n n o

a x a x a x a

b x b x b x b

   





   





(5.38)

Если система (5.38) совместна, то гиперплоскости пересекаются,

если

rang  2,



 где

1 2

a a a

b b b



 



 

 



, то система (5.38) по

теореме Кронекера-Капелли будет совместна: в этом случае

rang 2





,



1 2

2 ( 1)

1 2

n o

a a a a

b b b b

 

 



 

 







.

Если

rang  1,



тосистема(5.38)несовместна,т.е.гиперплоско-

сти параллельны. При

rang  1,



системасовместна игиперплоско-

стисовпадают.Еслирассматриватьпересечение(n–1)гиперплоско-

стей,топриусловии

rang –1,



где

–матрицакоэффициентов

полученнойсистемы,получим общие уравнения прямой в простран-

ствеR

.



5.4. Выпуклые множества



Пусть заданы две несовпадающие точки

1 2

( , , , )

M x x x

   





 и

1 2

( , , , )

M x x x

   





пространстваR

.Обозначимчерез

и

–ради-

ус-векторыточек



и



соответственно.

Отрезком n-мерного пространства, соединяющим точки



и



, называетсямножество точек

1 2

( , , , )

M x x x





этогопростран-

ства,радиус-векторыкоторых

находитсяпоформуле

(1 )

t t

  

r r r

,(5.39)

гдепараметрtпринимаетзначенияотнулядоединицы,





t 0, 1 .





Множество А



называетсявыпуклым,еслидля любыхточек



,



,





А,





А,отрезок, соединяющий эти точки, также

принадлежит множеству А. Пустое множество



 по определению

считаетсявыпуклым.

Справедливатеорема:пересечениевыпуклыхмножествявляется

выпуклыммножеством.

В n-мерном пространстве примерами выпуклых множествмогут

служитьотрезок,гиперплоскостьисамопространствоR

.

Точка

 называется внутренней точкой данного выпуклого

множестваА,еслисуществуетокрестностьэтойточки,вкоторойсо-

держатсятолькоточкимножестваА.Точка



называетсяграничной

точкой данного выпуклого множества А, если в любой сколь угодно

малойокрестностиэтойточкисодержатсякакточкимножестваА,так

иточки,непринадлежащиемножествуА.Точка



называется угло-

вой точкойвыпуклогомножестваА,еслионаявляетсяграничнойине

лежитвнутриотрезка,соединяющеголюбыедветочкиобласти.При



внутренние,граничныеиугловыеточкипоказанынарис.5.5.



А–угловаяточка;

В–внутренняяточка;



С–граничнаяточка.



ВыпуклоемножествоАназываетсяограниченным,еслисуществу-

ет N > 0, такое, что для любой точки

M A



, ее радиус-вектор



удовлетворяет неравенству



. В противном случае выпуклое

множествоназываетсянеограниченным.

Выпуклое множествоназывается замкнутым,еслионо содержит

всесвоиграничныеточки.

Например,множестворешенийлинейногонеравенства







а, х



являетсявыпуклымзамкнутыммножеством.

А

С



В



Рис.5.



Справедлива теорема: множеством решений линейного неравен-

ства







а, х

 является одно из полупространств, на которые делит

гиперплоскость







а, х

пространство R

, включая и эту гиперпло-

скость, другое же полупространство вместе с этой же гиперплоско-

стьюявляетсярешениемнеравенства







а, х

.Приn = 2данноеут-

верждениепозволяетрешатьлинейныенеравенствасдвумяперемен-

ными:прямая,заданнаяобщимуравнением

1 1 2 2

а х а х а

 

разбивает

плоскость на две полуплоскости, причем координаты любой точки

однойизних удовлетворяютнеравенству

1 1 2 2

а х а х а

   а другой –

неравенству

1 1 2 2

а х а х а

  Чтобыузнать,какаяименноиздвухпо-

луплоскостейопределяетсяданнымнеравенством,достаточнопрове-

ритьоднупроизвольновыбраннуюточку(удобнеевсегоначалокоор-

динат),подставивеекоординатывлевуючастьнеравенства.

Пример 5.2.Дантреугольник









5; 4 , 1; 2 , (5; 1)

А В С 

.Найти

точки,вкоторыхмедианыделятсянатриравныечасти.

Решение.КоординатыточкиК(рис.5.6.)определяетсяпоформуле:

А В С

х х х

 



,

А В С

у у у

 



.

Тогда

5 1 5

 

 

,

4 2 1

  

  

.

Итак,К (3;



).

КоординатыточекL,M,N,которымявляютсясерединамиотрез-

ковАК,ВКиСКсоответственно,определимпоформулам(5.3)деле-

нияотрезкапополам:

5 3

2 2

A K

x x



  

,

2 2

A K

y y

 



   

;L(- 4;



);

1 3

2 2

В K

x x



 

  

,

2 2

В K

y y





  

;М (1;

);



5 3

2 2

C K

x x



  

,

2 2

C K

y y





  

;N (4;

).



Рис.5.6

Пример 5.3. Даны две смежные вершины





2; 5

 и

(5; 3)

 па-

раллелограммаАВСDиточка





2;0

М 

пересеченияегодиагоналей.

Составитьуравнениясторонэтогопараллелограмма.

Решение. Для вершины А противополож-

ной являетсявершина С, для В – вершина D.

Точка М делит отрезки АС и ВD пополам

(рис.5.7) Поэтому координаты точек С и D

можно найти, воспользовавшись формулами

деленияотрезкапополам:



1 2

x x





,

1 2

у у





.

Соднойстороны:

A C

x x





;



 

; 4 2

  

,откуда

 6

 

;

A C

y y





;





,откуда

 5; ( 6; 5)

у С

   

.

Сдругойстороны:

В D

х х





;откуда



 

; 4 5

  

,

 9;

 



В D

y y





;

откуда





,

 5; ( 9; 3)

у D

   

.



Рис.5.7



Знаятеперькоординатывсехвершинпараллелограммаивосполь-

зовавшись уравнением прямой, проходящей через две данные точки

1 1

2 1 2 1

y y х х

 



 

,можемсоставитьуравнениясторонпараллелограмма.

УравнениеАВ:

3 5

5 3 2 5

y x

 



 

,

2 3 –19 0

х у

 

.

УравнениеВС:

5 6

3 5 5 6

y х

 



 

,

8 – 11 – 7 0

х у



.

УравнениеCD:

3 5



 

5 6





 

,

2 3 27 0

х у

  



УравнениеАD:

5 2

3 5 9 2

y x

 



   

,

8 – 11 39 0

х у

 

