Дымков М.П., Шилкина Е.И. Высшая математика: Линейная алгебра и аналитическая геометрия

Подождите немного. Документ загружается.



Пример 3.5.Решитьматричноеуравнение:

3 1 5 6 14 16

5 2 7 8 9 10



     

  

     



     



Решение. Обозначая

3 1

5 2



 



 



 



5 6

7 8

 



 

 

 ,

14 16

9 10

 



 

 



получим

АХВ = С

Если

det 0, det 0

 

А В

,то

-1 -1

Х = А СВ

.

Находим

3 1

det 6 5 1

5 2



     



,

 

2 1 2 1

1 ,

5 3 5 3



 

   

   

   

 

   



5 6

det 40 42 2

7 8

    

,

8 6 4 3

7 5 7 / 2 5 / 2



 

   

  

   

 

   



2 1 14 16 4 3 19 22 4 3 1 2

5 3 9 10 7 / 2 5 / 2 43 50 7 / 2 5 / 2 3 4

  

           

  

           

  

           



Нахождение обратной матрицы с помощью элементарных преоб-

разований ее строк.

ПустьА –невырожденнаяматрица.Назовемэлементарнымипре-

образованиямистрокэтойматрицы:

1. Переменудвухстрокместами.

2. Умножениевсехэлементовстрокиначисло,неравноенулю.

3. Прибавление ко всем элементам одной строки соответствую-

щихэлементовдругойстроки,умноженнойнанекотороечисло.

Применяяуказанныеэлементарныепреобразованиястроккматрице



11 12 1

21 22 2

1 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n n nn

a a a

 

 

  

 

 

 

A E



   





11 12 1

21 22 2

1 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1

n n nn

b b b

 

 

  

 

 

 

E B



   





Поскольку

   

 

 

   

-1 -1 -1 -1

А А Е = А А А Е = Е А

,то





В А

От-

сюдаполучаемследующийспособнахожденияобратнойматрицы



(приусловии,что

det 0) :





1. ЗаписываемматрицыАиЕрядомчерезчерту:

 

 

А Е

.

2. Спомощьюэлементарныхпреобразованийнадстрокамиполу-

ченнойматрицыприводимееквиду

 

 

Е В

.

3. Выписываемобратнуюматрицу

-1

А = В

.

Пример 3.6.Спомощьюэлементарныхпреобразованийнадстро-

каминайтиматрицу



обратнуюматрице

0 1 2

2 0 3

0 0 1

 

 



 

 

.

Решение.Выпишемматрицу

 

 

А Е

,указываявыполняемыеэле-

ментарныепреобразованиянадстроками(римскимицифрами указан

номерстроки):

0 1 2 1 0 0

2 0 3 0 1 0  

0 0 1 0 0 1

 

 

 



2 0 3 0 1 0 : 2

0 1 2 1 0 0

0 0 1 0 0 1

 

 

 





1 0 3 / 2 0 1 / 2 0

0 1 2 1 0 0

0 0 1 0 0 1

 

 

 

 

 



1 0 0 0 1/ 2 3 / 2

0 1 0 1 0 2 .

0 0 1 0 0 1

  

 



 

 



Тогда

0 1 / 2 3 / 2

1 0 2

0 0 1



 

 

 

 

 

.

Проверка.

0 1 2 0 1/ 2 3 / 2 1 0 0

2 0 3 1 0 2 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1



     

     

  

     

     

АА

.



0 1 / 2 3 / 2 0 1 2 1 0 0

1 0 2 2 0 3 0 1 0

0 0 1 0 0 1 0 0 1



     

     

  

     

     

-1

А А

.



3.8. Ранг матрицы

Понятие минора k-го порядка матрицы. Определение ранга

матрицы

РассмотримпрямоугольнуюматрицуА



.Пустьk–натуральное

число,удовлетворяющеенеравенствуk



min (m, n).Выберемвмат-

рице А k строк с номерами i

, i

, …, i

, где 1



< i

<…<i



m и k

столбцов сномерами

1 2

, ,  , ,

j j j

 где1



< j

<…<j



n.Изэле-

ментов,стоящихнапересечениивыбранныхkстрокиkстолбцов,со-

ставимопределитель k-гопорядка,которыйобозначим

, , ,

1 2

, , ,

1 2

i i i

j j j



и

назовем егоминором k-го порядкаматрицыА. Можнопоказать, что

изm



nматрицыА



можносоставить

k k

m n

С C



миноровk-гопорядка.



Например,еслиматрица

1 2 3 0

0 1 2 1 ,

3 7 11 1

 

 

 

 



 

то



Здесьчерез

обозначеночислосочетанийизnэлементовпо

kэлементов:

( 1) ( 1)

1 2

n n n k

    



  



.



1, 2

3, 4

3 0

2 1

  



;

1, 2, 3

2, 3, 4

2 3 0

1 2 1 0

7 11 1

  



.

Нетрудно проверить,что все миноры третьего порядка данной

матрицыравнынулю.Такимобразом,вматрицеАсуществуетминор

2-го порядка, отличный от нуля (например

1, 2

3, 4

М ), а все миноры

третьегопорядкаравнынулю.

Определение. Рангом матрицы называется наивысший порядок

отличныхотнуляминоровэтойматрицы.

Изэтогоопределениявытекает,чтоеслирангматрицыравенr,то

среди миноров этой матрицы есть по крайней мереодин минор r-го

порядка,отличныйотнуля(егобудемназыватьбазиснымминором),

авсеминорыпорядка



ивышеравнынулю.РангматрицыАобо-

значается





. По определению, ранг нулевой матрицы

 равен

нулю; тогда ранг





 произвольной матрицы

m n

А  удовлетворяет

неравенству

0  ( ) min( , )

r m n

 

.

Посколькувычислять ранг матрицы по определению достаточно

трудоемко, то с помощью элементарных преобразований матрицу

приводятктакомувиду,изкоторогорангматрицыочевиден.



Элементарные преобразования. Вычисление ранга матрицы с

помощью элементарных преобразований

Элементарнымипреобразованиямиматрицыназываются:

1. Транспонирование.

2. Переменаместамидвухстрокилидвухстолбцов.

3. Умножениевсехэлементовстрокиилистолбцаначислос,от-

личноеотнуля.

4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответ-

ствующихэлементовдругойстрокиилистолбца,умноженныхнаод-

ноитожечисло.



Теорема 3.5.Элементарныепреобразованиянеменяютрангматрицы.

Отметим, что с помощью элементарных преобразований любую

матрицуАможнопривестиквиду



1 0 0 0 0

0 1 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 0 0

 

 

 

 

 

      

 

      

 

(3.9)

где на главной диагонали стоят r единиц, а все остальные элементы

матрицыравнынулю.Ясно,чторангтакойматрицыравенr,тогдапо

теореме3.5.рангматрицы А равенr.

Пример 3.7. Вычислить ранг матрицы А с помощью элементар-

ныхпреобразований,если

1 2 3 0

0 1 2 1 .

3 7 11 1

 

 

 

 



 



Решение.Вычитаяутроеннуюпервуюстрокуизтретьей,азатем

вторуюстрокуизтретьей,получим:

1 2 3 0

0 1 2 1

3 7 11 1

 

 



 



 



1 2 3 0

0 1 2 1

 

 



 



 



1 2 3 0

0 1 2 1

0 0 0 0

 

 



 



 

,

гдезнакомобозначено,чтосоединяемыеимматрицыимеютодини

тотжеранг.

Вычитая теперь из второго столбца удвоенный первый, а из

третьегостолбца–утроенныйпервый,получим



А

1 0 0 0

0 1 2 1

0 0 0 0

 

 



 

 

.

Наконец,изтретьегостолбцавычтемудвоенныйвторой,акчет-

вертому столбцуприбавимвторой,врезультатечегоматрицаприве-

детсяквиду(3.9):А

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 0 0

 

 

 

,откуда









Замечание.Привычислении рангаматрицы спомощьюэлемен-

тарныхпреобразованийнеобязательнополучатьвид(3.9),достаточно

привести матрицу к трапециевидной форме, количество  ненулевых

строквкоторойравнорангуматрицы.



Понятие линейной зависимости строк (столбцов) матрицы.

Другое определение ранга матрицы

Рассмотрим прямоугольную матрицу

m n



А  Поскольку каждую

строкутакойматрицыможносчитатьn-мернымвектором,тогдамат-

рицеАсоответствуетсистемаmвекторов-строкn-мерногопростран-

ства вида:

1 11 12 1

( , , , )

a a a

a



,

2 21 22 2

( , , , )

a a a

a



, …,

1 2

( , , , )

m m m mn

a a aa



. Перенося определение линейной зависимости

векторовнастрокиматрицы,будемназыватьстрокиматрицылинейно

зависимыми, если существуют такие действительные числа

1 2

, , ,

  



,невсеодновременноравныенулю,чтолинейнаякомби-

нациястрокматрицыскоэффициентами

1 2

, , ,

  



обращаетсявну-

левуюстроку,т.е.выполняетсяравенство



1 2

  

   

a a a 0



(3.10)

Еслиравенство(3.10)возможнолишьдлятривиальнойлинейной

комбинации,вкоторой

1 2

  

   



,тострокиматрицыАна-

зываютсялинейнонезависимыми.



Например, строки матрицы

1 2 3 0

0 1 2 1

3 7 11 1

 

 

 

 



 

являются линей-

нозависимыми,поскольку



1 2 3

3 3(1, 2,3,0) (0,1, 2, 1) (3,7,11, 1)

       

а а а

(0,0,0, 0)



.

Какивслучаевекторов,можнопоказать,чтострокиматрицыяв-

ляютсялинейнозависимымитогдаитолькотогда,когдахотябыодна

изнихлинейновыражаетсячерезостальные.

Теорема 3.6.Еслирангматрицыравенr,товэтойматрицесуще-

ствует r линейно независимых строк, через которые линейно выра-

жаютсявсеостальныееестроки.

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых столб-

цовматрицыравномаксимальномуколичествулинейнонезависимых

строкэтойматрицы.

Следствие 2.Длятого,чтобыопределительбылравеннулю,не-

обходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно

зависимы.

Теперьможносформулироватьдругоеопределениерангаматри-

цы:рангомматрицыназываетсямаксимальноечислолинейнонезави-

симыхстрокэтойматрицы.



4. Системы линейных уравнений

4.1. Основные понятия

Системой n линейных уравнений с mнеизвестными (переменны-

ми)называетсясистемавида



11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,

........................................

....

...

n n

m m mn n m

а х а х а x b

a x a x a x b

   





   







   



 (4.1)

Здесь

1 2

, , ...,

x x x



неизвестные,

( 1, )

a j n



–заданныевещест-

венныечисла,называемыекоэффициентамиi-го

( 1, )

i m



уравнения;



( 1, )

i m

 

заданныевещественныечисла,называемыесвободными

членами.

Решением системы (4.1) называется такой упорядоченный набор

значенийнеизвестных

0 0 0

1 2

, , ...,

x x x

,приподстановкекоторыхвсис-

тему (4.1) все ее уравнения обращаются  в тождества. Два решения

(

0 0 0

1 2

, , ...,

x x x

) и (

1 1 1

1 2

, , ...,

x x x

)  называются различными, если хотя

быдляодногозначения

, 1, ,

i i m



равенство

0 1

i i

x x



невыполняется.

Система (4.1) называется совместной  (разрешимой), если она

имеетхотябыоднорешение.Впротивномслучаесистеманазывается

несовместной (неразрешимой).

Совместная система называется определенной, если она имеет

единственноерешениеинеопределенной,еслионаимеетболееодного

решения.

Есливвестиматрицу

,составленнуюизкоэффициентовприне-

известных:

11 12 1

21 22 2

1 2

m m mn

a a a

 

 



 

 



   



,



матрицу–столбец неизвестных

...

 

 



 

 

 и матрицу–столбец

...

 

 



 

 

 свободных членов, то систему (4.1) можно переписать в

матричнойформе:



А Х = В

.

Расширеннойматрицейсистемы(4.1)называетсяматрица

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

m m mn m

a a a b

 

 



 

 



    



,

получаемаяизматрицы

добавлениемкнейсправастолбцасвобод-

ныхчленов.

Критериемсовместностисистемы(4.1)являетсятеорема Кронеке-

ра-Капелли:длясовместностисистемы(4.1)необходимоидостаточно,

чтобырангматрицы

равнялсярангурасширеннойматрицы

.

Привыполненииэтогоусловия,если

( ) ( )

r A r A r

 



,товслучае

r n



 система (4.1) является определенной (имеет единственное ре-

шение),авслучае

являетсянеопределенной.



4.2. Система n линейных уравнений с n неизвестными.

Правило Крамера

Есливсистеме(4.1)числоуравненийmравночислунеизвестных

n,тоонаприметвид:





11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

... ,

........................................

...

n n

n n nn n n

а х а х а x b

a x a x a x b

   





   







   



(4.2)

Таккакматрица 

системы (4.2) – квадратная, то при условии

det

≠

существуетобратнаяматрица

-1

итогда(4.2),являясьча-

стнымслучаемматричногоуравнения



А Х = В

,имеетединственное

решение



-1

Х = А В

. Такой методрешения системы (4.2) называется

матричнымилиметодомобратнойматрицы.

Другимметодомрешениясистемы(4.1)вслучаевыполненияус-

ловия

det

≠

являетсяправилоКрамера:еслиопределительматри-

цы

системы(4.2)отличенотнуля,тосистемаимеетединственное

решение,определяемоеизформул:







,

i n



,

где



–определитель, полученныйизопределителя матрицы

за-

менойегоi-гостолбцастолбцомсвободныхчленов,.

Пример 4.1.Решитьсистемууравнений

1 2 3

3 2,

2 2 7

х х х

  





  





  



матричнымметодом.

Решение.Выпишемматрицу

3 1 1

1 1 1

1 2 2



 

 

 

 

 

Найдемееопределитель

3 1 1

det 1 1 1 6 1 2 1 6 16

1 2 2



           

≠