Доронин С.В., Бабушкин А.В. Механика разрушения. Разрушения и дефектность технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

Таким образом, гранично-элементное моделирование напряженно-

деформированного состояния плоских элементов конструкций является во

многих наиболее эффективным подходом, который должен быть дополнен

моделями и алгоритмами механики разрушения для решения задач конструк-

ционной прочности.

3.4. Расчет параметров механики разрушения

Наибольшее применение численные методы в механике разрушения

получили для расчета основных параметров разрушения (коэффициент ин-

тенсивности напряжений (КИН), инвариантные энергетические интегралы,

раскрытие трещины). Исторически МКЭ более распространен для решения

таких задач [53, 55], однако МГЭ также становится популярным инструмен-

том в механике разрушения [50–52, 54]. Рассмотрим численные методы

оценки параметров разрушения с использованием МКЭ [55].

Оценка коэффициента интенсивности напряжений. В настоящее

время известны различные методы расчета КИН, основанные на использова-

нии МКЭ. Остановимся на наиболее распространенных методах.

Прямой метод. В этом случае в зависимости, связывающие компонен-

ты напряжений и перемещений в вершине трещины и КИН, непосредственно

подставляют возникающие в окрестности вершины трещины напряжения или

перемещения, полученные с помощью МКЭ. Далее КИН выражают через эти

напряжения или перемещения. Расчет величины КИН прямым методом тре-

бует, чтобы решение для напряжений и перемещений имело достаточно вы-

сокую точность в окрестности вершины трещины, чего нельзя обеспечить с

помощью обычных конечных элементов. Поэтому предусматривают сле-

дующие меры, позволяющие улучшить точность решения.

Во-первых, у вершины трещины, насколько это возможно, используют

разбиение на малые элементы (мелкую дискретизацию).

Во-вторых, в тех случаях, когда мелкая дискретизация неприемлема с

точки зрения вычислительных ресурсов, используют поэтапный способ ре-

шения. При этом сначала находят решения для грубого разбиения, а затем

выделяют окрестность вершины трещины, выполняют мелкое разбиение и

решают задачу. В качестве граничных условий используют перемещения уз-

лов и узловые силы, полученные в предыдущем решении.

В-третьих, в точках, расположенных на различных расстояниях r от

вершины трещины, расчетным путем определяют значения КИН и строят

график зависимости КИН от r. Искомое значение КИН, соответствующее

рассматриваемой трещине, принимают равным тому значению, которое по-

лучается в результате экстраполяции при r  0 (рис. 37). Значения КИН, со-

ответствующие точкам, наиболее близко расположенным к трещине, обла-

дают не очень хорошей точностью. Поэтому при проведении экстраполяции

эти значения исключают.

В-четвертых, используют всевозможные разбиения от грубых до мел-

ких и определяют значения КИН, также проводя экстраполяцию при r  0.

Энергетический метод. Данный метод представлен методом полной

энергии и методом J-интеграла. В широко применяемом методе полной энер-

гии учитывают зависимость КИН и интенсивности освобождения энергии,

имеющую место при распространении трещины в упругом теле. При опреде-

лении интенсивности освобождения энергии используют один из следующих

способов. В первом случае проводят численное решение для рассматривае-

мой трещины и определяют энергию упругой деформации. Затем рассматри-

вают рост трещины на один элемент. При тех же самых граничных условиях

вновь решают задачу и определяют приращение упругой энергии, относя его

к приращению площади трещины, и определяют интенсивность освобожде-

ния энергии. Во втором случае не рассматривают рост трещины на один эле-

мент, а за счет соответствующего смещения координаты вершины трещины

задают ее распространение (рис. 38). В результате такой операции будет про-

исходить изменение жесткости у элементов, окружающих вершину трещины.

Это дает возможность за одно решение определить приращение упругой

энергии.

Использование специальных конечных элементов. В этом случае ис-

пользуют конечные элементы, при формулировке которых использованы со-

отношения, так или иначе учитывающие особенности поля напряжений и де-

формаций в области вершины трещины. При построении специальных эле-

ментов выделяют: 1) методы, использующие аналитические решения; 2) ме-

тоды, использующие простые функции для описания особенностей; 3) де-

формированные изопараметрические элементы.

В первом случае используют решение, полученное из функций напря-

жений Мусхелишвили (рис. 39). Здесь восьми степеням свободы узлов соот-

ветствует восемь независимых переменных: три переменные, характеризую-

щие перемещение твердого тела, три средних напряжения и коэффициенты

интенсивности напряжений K

и K

Рис. 37. Оценка КИН путем экстраполяции Рис. 38. Виртуальный рост трещины

Во втором случае используют элементы, для описания перемещения

которых применяют простые функции, описывающие особенности поля НДС

в вершине трещины. Одним из таких элементов является равнобедренный

треугольник, вершина которого находится в вершине трещины (рис. 40).

а б

Рис. 39. Специальные элементы Бис-

кова (а) и Уилсона (б)

Рис. 40. Специальный элемент Уил-

сона

В третьем случае узлы, находящиеся на серединах сторон конечного

элемента, смещаются в точки, соответствующие четверти длины стороны

(рис. 41). При этом оказывается возможным учет сингулярности в вершине

трещины.

Оценка J-интеграла. Поскольку в данном случае необходим нелиней-

ный анализ, то постепенно увеличивая нагрузку проводят упругопластиче-

ское решение. Для каждого шага нагрузки определяют перемещения, дефор-

мации, напряжения, энергию деформации и другие параметры, с помощью

которых вычисляется J-интеграл различными способами [55].

Рис. 41. Деформированные изопараметрические элементы

Обычно расчет выполняют непосредственно в соответствии с опреде-

лением J-интеграла, вследствие чего в явном виде в конечно-элементной мо-

дели задаются контуры интегрирования (рис. 42).

Оценка раскрытия трещины. Точное определение раскрытия трещи-

ны при помощи МКЭ оказывается затруднительным, так как необходимо ис-

пользовать решение, учитывающее большие деформации. В обычных про-

граммах МКЭ предполагается малость деформаций, причем узлы в вершине

трещины полагают фиксированными. Поэтому в месте расположения таких

узлов раскрытие трещины оказывается равным нулю. Чтобы по результатам

такого решения оценить раскрытие трещины, приходится использовать раз-

личные приемы.

Экстраполяция. Предположим, что можно исключить из рассмотрения

один-два узла, располагающиеся в окрестности вершины трещины. При этом

перемещения других узлов, расположенных на контуре трещины, укладыва-

ются почти на одну прямую линию. Если для такой линии выполнить экстра-

поляцию до вершины трещины, то можно получить соответствующую оцен-

ку для раскрытия трещины.

Рис. 42. Контуры интегрирования при определении J-интеграла

Использование специальных элементов. В окрестности вершины тре-

щины могут быть использованы специальные секторные элементы, с помо-

щью которых можно отразить пластическое поведение у вершины трещины,

которое развивается в неупрочняющемся материале. При этом расходятся

ранее совпадавшие узлы, что позволяет оценить раскрытие трещины.

Оценка параметров механики разрушения в современных пакетах

конечно-элементного моделирования. В силу интенсивного развития меха-

ники разрушения и востребованностью ее параметров инженерными метода-

ми расчетов в последнее десятилетие моделирование соответствующих вели-

чин становится одной из стандартных функций известных пакетов конечно-

элементного моделирования. При этом вначале выполняют стандартный уп-

ругий или упруго-пластический анализ НДС, а затем с помощью специаль-

ных макросов на стадии постпроцессинга вычисляют параметры механики

разрушения.

Рассмотрим некоторые особенности решения задач механики разруше-

ния в среде пакета ANSYS.

Во-первых, для решения задач механики разрушения в плоских и объ-

емных телах используют специальные изопараметрические деформирован-

ные элементы PLANE82 и SOLID95 (рис. 43).

Во-вторых, в качестве вычисляемых параметров рассматриваются ко-

эффициенты интенсивности напряжений K

, K

III

, J-интеграл, интенсив-

ность освобождения упругой энергии.

В-третьих, стандартными средствами могут быть рассчитаны только

трещины прямолинейной конфигурации, причем плоскость трещины должна

совпадать с направлением оси X.

Рис. 43. Специальные конечные элементы в вершине трещины

В-четвертых, необходимо предварительное назначение нескольких то-

чек, определяющих путь вдоль поверхности трещины. Первая из этих точек

должна располагаться в вершине трещины (рис. 44).

Рассмотрим пример определения параметров механики разрушения в

среде пакета ANSYS в сравнении с аналитическими расчетами и результата-

ми гранично-элементного моделирования. В качестве модели принята растя-

гиваемая пластина с острой краевой трещиной. Выполнен расчет коэффици-

ента интенсивности напряжений в вершине трещины в зависимости от ее

длины (рис. 45).

Как видно, результаты расчета, полученные аналитически и численны-

ми методами, близки друг к другу, причем в сравнении с теоретическими мо-

делями метод конечных элементов (ANSYS) дает несколько заниженные,

а метод граничных элементов (TWOFS) – несколько завышенные значения

коэффициента интенсивности напряжений.

Рис. 44. Определение пути вдоль поверхности трещины

20 10 4

Длина трещины, мм

Коэффициент интенсивности

напряжений

ANSYS tw ofs Теория

Рис. 45. Коэффициент интенсивности напряжений в вершине краевой ост-

рой трещины в растягиваемой пластине

3.5. Вероятностная оценка параметров НДС и разрушения

Предпосылкой к вероятностной постановке задач конструкционной

прочности является случайный характер большинства факторов, определяю-

щих предельные состояния несущих конструкций. Среди этих факторов наи-

большая вариация характерна для условий нагружения и параметров дефект-

ности, следовательно, они оказывают основное влияние на статистические

свойства прочностных характеристик. Основной технологией решения веро-

ятностных задач является метод статистического моделирования (Монте-

Карло). Общая схема метода применительно к задачам конструкционной

прочности с учетом случайного характера дефектности и нагрузок оказыва-

ется независимой от особенностей применяемого алгоритма решения крае-

вых задач теории упругости (рис. 46). Особенности метода решения заклю-

чены в отдельном модуле – вычислительном блоке, вокруг которого и вы-

строена логическая схема метода Монте-Карло.

Рассмотрим примеры статистического моделирования прочностных за-

дач с использованием МКЭ и МГЭ. Что касается метода конечных элемен-

тов, современные универсальные пакеты содержат в себе встроенные средст-

ва для реализации метода Монте-Карло. При этом, задавая закон распределе-

ния входных величин, в результате решения получаем случайный массив ха-

рактеристик напряжений, подвергаемый стандартной статистической обра-

ботке.

Рассмотрим в качестве примера статистическое моделирование проч-

ности простого типового элемента машиностроительных конструкций – про-

ушины (рис. 47). При растяжении проушины наибольшие сжимающие на-

пряжения характерны для зоны приложения нагрузок в верхней части отвер-

стия, а наибольшие растягивающие локализуются в ослабленном отверстием

сечении проушины примерно на уровне середины отверстия. Именно это се-

чение и является лимитирующим с точки зрения прочности.

Рассмотрим ситуацию, когда входящие в расчет величины могут харак-

теризоваться статистическим разбросом. При этом диапазон рассеяния этих

случайных величин определяется как техническими и технологическими

факторами, так и природой материала конструкции.

Практически всегда в качестве случайного параметра может рассмат-

риваться внешняя нагрузка. Технология машиностроения предполагает воз-

можность случайных, хотя и небольших, отклонений как геометрических

размеров в плане, так и толщины листа металла. Известны многочисленные

данные о статистическом разбросе пределов прочности и текучести, а также

других свойств металлов.

Рис. 46. Схема алгоритма Монте-Карло в задачах конструкционной прочности

Рис. 47. Схема нагружения и распределение интенсивности напряжений в проушине

Ограничимся рассмотрением случайных характеристик сначала внеш-

них нагрузок (вариант 1), затем внешних нагрузок и толщины листа (вари-

ант 2).

Допустим, внешняя нагрузка является нормально распределенной слу-

чайной величиной с матожиданием 50 кН и средним квадратическим откло-

нением (с. к. о.) 10 кН (рис. 48, а).

Основанием для рассмотрения толщины листа в качестве случайной

величины являются возможные отклонения от заданного значения при про-

катке, а также уменьшение толщины в эксплуатации вследствие коррозии.

Толщину листа проушины будем считать логнормально распределенной слу-

чайной величиной с медианой 10 мм и с. к. о. 0,005 мм (рис. 48, б).

В первом варианте расчета в упругой постановке задачи максимальная

интенсивность напряжений в ослабленном сечении является нормально рас-

пределенной случайной величиной (рис. 49, а), и задача сводится к оценке

параметров распределения по результатам серии статистических испытаний.

Во втором варианте расчета нормальность распределения интенсивно-

сти напряжений уже не очевидна, так как результаты сформированы при вза-

имном влиянии различных распределений исходных данных. В данном слу-

чае результирующее распределение оказалось близким к нормальному

(рис. 49, б) в силу небольшой дисперсии толщины листа и сравнительно ма-

лого влияния разброса этого параметра на результат.

Основные статистические параметры интенсивности напряжений

(табл. 9) и характер функции плотности вероятности (рис. 49) распределения

интенсивности напряжений позволяют сделать следующие выводы.