Доронин С.В., Бабушкин А.В. Механика разрушения. Разрушения и дефектность технических систем

Подождите немного. Документ загружается.

2 3 4 5 6 7 8

x 10

0.5

1.5

2.5

3.5

x 10

-5

9.5 9.6 9.7 9.8 9.9 10 10.1 10.2 10.3 10.4 10.5

а б

Рис. 48. Плотности распределения нагрузки и толщины листа

В первом варианте расчета несколько ниже дисперсия и, соответствен-

но, диапазон рассеяния случайной величины интенсивности напряжений. Это

связано с тем, что в первом варианте только одна величина носит случайный

характер (нагрузка), а во втором – две (нагрузка и толщина листа). При этом,

несмотря на незначительный разброс толщины листа вокруг средней величи-

ны, влияние этого разброса на дисперсию интенсивности напряжений до-

вольно ощутимо.

Таблица 9

Параметры интенсивности напряжений в проушине

Интенсивность напряжений, МПа Вари-

ант

Минимум Максимум Медиана Среднее с. к. о.

1 229 567 398,5 395,8 67,3

2 252 598 396,0 401,8 75,3

В силу того, что логнормальное распределение толщины листа не явля-

ется симметричным, большинство значений толщины оказывается менее

10 мм, что привело к смещению в большую сторону основных статистиче-

ских параметров распределения интенсивности напряжений.

Логический анализ позволяет утверждать, что чем больше входящих в

расчет величин будут рассматриваться в качестве случайных, тем больше бу-

дет статистический разброс параметров напряженного состояния. Характер

распределения результатов будет определяться формой распределений ис-

ходных случайных величин. При этом по мере учета случайных свойств все

большего количества параметров результаты расчета будут все более качест-

венно описывать реальный разброс параметров напряженного состояния.

150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

x 10

-3

150 200 250 300 350 400 450 500 550 600 650

x 10

-3

а б

Рис. 49. Плотности распределения интенсивности напряжений

Рассмотрим один из возможных путей использования полученных при

моделировании распределений параметров НДС.

Модель «нагрузка-прочность» позволяет при известных параметрах

распределений напряжения в опасном сечении и прочностных свойств мате-

риала конструкции определить вероятность отсутствия разрушения. Допус-

тим, проушина изготовлена из стали с пределом прочности, характеризую-

щимся нормальным распределением с матожиданием 450 МПа и с. к. о.

30 МПа. Тогда вероятность отсутствия отказа для первого варианта расчета

составит 0,767, а для второго – 0,722. Таким образом, можно видеть сниже-

ние надежности во втором варианте расчета вследствие статистического раз-

броса толщины листа при прочих равных значениях параметров.

Метод граничных элементов в настоящее время не представлен такими

общепринятыми программными средствами, как МКЭ. Поэтому в большин-

стве случаев приходится подбирать тот вариант МГЭ, который пригоден для

решения конкретной задачи с учетом ее физической сути, и программно реа-

лизовывать вокруг него схему статистического моделирования.

С использованием алгоритмов МГЭ в виде метода фиктивных нагрузок

и разрывных смещений разработано программное обеспечение, позволяющее

осуществить статистическое моделирование параметров НДС и разрушения в

области вершины трещины. В качестве входных данных выбирают тип де-

фекта, задают типы и параметры распределений размеров дефекта и величи-

ны нагрузки.

В результате расчета выводится поле расчетных точек, для которых

получаем информацию о средних значениях и статистических характеристи-

ках напряжений и деформаций.

С использованием разработанного программного обеспечения решен

ряд задач исследования вероятностных характеристик коэффициента интен-

сивности напряжений [56] и получены следующие результаты.

Задача о центральной трещине в бесконечной пластине. В качестве ис-

ходных случайных величин рассматривались распределенная по закону Вейбул-

ла длина трещины и распределенные по нормальному закону приложенные

напряжения. Полудлина (большая полуось) трещины принималась распреде-

ленной по закону Вейбулла с параметрами β = 3,0 и θ = 50,0. Малая полуось

в каждой реализации составляла 0,005 от большой полуоси, коэффициент ва-

риации полудлины трещины – 0,363. Приложенные напряжения были распре-

делены по нормальному закону со средним значением 120 МПа и среднеквад-

ратическим отклонением 18 МПа (коэффициент вариации V

= 0,15).

По результатам моделирования получен массив из 225 значений

(МПа√мм) в точке, отстоящей от вершины трещины на расстояние 0,05 мм.

Статистическая обработка данного массива с использованием пакета показала,

что функция плотности распределения вероятностей f(Kj) имеет нормальный

вид (рис. 50):

 















































exp

где К

, К

– среднее значение и среднеквадратическое отклонение.

В процессе моделирования также выполнены три серии вычис-

лительных экспериментов по исследованию влияния параметров распределе-

ния случайных переменных на коэффициент интенсивности напряжений.

1. Исследование влияния вариации приложенных напряжений на вели-

чину и вариацию К

Расчеты выполнялись при следующих параметрах. Соотношение боль-

шой и малой полуосей а/с = 0,00001, что обеспечило практически «острую»

трещину. Математическое ожидание приложенных растягивающих напряже-

ний составляло 120 МПа. Параметры распределения длины трещины были

следующими: β = 3,0 и θ = 20,0. Статистическая погрешность результатов

10 %. Результаты моделирования представлены на графиках (рис. 51).

Рис. 50. Гистограмма и функция плотности распределения вероятностей ко-

эффициента интенсивности напряжений К

(МПа√мм)

Как следует из этих результатов, с ростом среднего квадратического от-

клонения напряжений коэффициент вариации коэффициента интенсивности

напряжений V

монотонно возрастает. Среднее значение K

остается примерно

постоянным.

Рис. 51. Зависимость математического ожидания и вариации коэффициента

интенсивности напряжений от среднего квадратического отклонения при-

ложенных напряжений

2. Исследование влияния соотношения полуосей на величину и ва-

риацию K

Исследование было проведено при следующих параметрах: математиче-

ское ожидание приложенных растягивающих напряжений 120 МПа; средне-

квадратическое отклонение напряжений 18 МПа. Параметры распределения

длины трещины составляли: Р = 3,0 и θ = 20,0. Статистическая погрешность

результатов 20 %. Количество реализаций в каждой серии в пределах

560–600. Результаты моделирования представлены на графиках (рис. 52).

Здесь коэффициент вариации V

коэффициента интенсивности напря-

жений практически не меняется. В то же время его среднее значение с

уменьшением остроты трещины до 0,5 постепенно снижается. При а/с > 0,6

начинается рост К

. Этот рост может быть связан с нарушением границ кор-

ректного использования характеристики К

для подобных дефектов.

Рис. 52. Зависимость математического ожидания коэффициента интенсив-

ности напряжений К

от соотношения размеров полуосей а и с трещины

3. Исследование влияния параметра формы β распределения размера

трещины на величину и вариацию К

Численные результаты получены при следующих параметрах:

а/с = 0,00001; θ = 20. Математическое ожидание растягивающих напряжений

120 МПа. Среднеквадратическое отклонение напряжений 18 МПа. Результа-

ты моделирования представлены на рис. 53.

Как видно из результатов, с ростом β снижается коэффициент вариации

и растет среднее значение коэффициента интенсивности напряжений К

При больших значениях β (>50) коэффициент вариации стабилизируется, по-

скольку функция распределения размеров трещин оказывается сосредоточен-

ной в узком диапазоне. При этом стабилизируется и среднее значение коэф-

фициента интенсивности напряжений.

Рис. 53. Зависимость математического ожидания и вариации коэффициента

интенсивности напряжения от параметра формы β распределения длины

трещины

Задача о краевой трещине в пластине конечных размеров при рас-

тяжении. В упругой постановке оценивался коэффициент интенсивности

напряжений К

, а в упругопластической постановке – J-интеграл. В упругой

задаче в качестве случайной величины рассматривалась распределенная по

закону Вейбулла с параметрами β = 4, θ = 2,2 длина краевой трещины. Вы-

бор параметров распределения основан на допущении, что генерируемая

случайная длина трещины с вероятностью 0,95 не должна превышать пре-

дельно допустимого размера дефекта в элементах листовых конструкций

толщиной до 30 мм (около 3 мм по нормам). При β = 4 коэффициент вариа-

ции размера трещины составляет 0,28, а математическое ожидание равно

1,9 мм.

В упругой задаче в результате 200 статистических испытаний модели

был получен массив перемещений узлов на разные расстояния от вершины

трещины при случайных вариациях ее длины. По известным формулам вы-

числительной механики разрушения для каждого испытания вычислялся К

на

разных расстояниях от края пластины. Результаты представлены на рис. 54.

При этом расстояние от края пластины заменено математическим ожиданием

расстояния от вершины трещины. Как видно из таблицы, максимальная ва-

риация К

наблюдается в вершине трещины. Причем она оказывается меньше

вариации размера трещины. Видимо, это обусловлено влиянием постоянных

факторов – геометрии, свойств материала и граничных условий. Статистиче-

ский анализ результатов, так же как и ранее, показал нормальный характер

распределения коэффициентов интенсивности напряжений.

Рис. 54. Изменение математического ожидания и вариации коэффициента ин-

тенсивности напряжения с расстоянием от вершины трещины

В упругопластической задаче также выполнено статистическое конечно-

элементное моделирование нагружения пластины с краевой трещиной. Длина

трещины принималась распределенной по закону Вейбулла с параметрами

β = 5,0 и θ = 40,0. В качестве нагрузки задавалось равномерное растяжение на-

пряжениями 10 МПа. Расчет контурного J-интеграла выполнен для двух ста-

дий: 1) начальное состояние при приложении нагрузки; 2) продвижение тре-

щины на один шаг.

Статистическое моделирование включало 250 реализаций модели. Ре-

зультаты моделирования получены в виде массивов значений J-интеграла,

оценок среднего значения и среднеквадратического отклонения. Статисти-

ческая обработка данных массивов показала, что функция плотности распре-

деления вероятностей f(J) может быть представлена в виде нормального или

двухпараметрического закона Вейбулла (рис. 55)

 























































Jf exp .

Рис. 55. Гистограмма и плотность распределения вероятности значений J-интеграла

Выделить какие-либо предпочтения указанных законов на исследо-

ванных массивах данных не удалось. На основании этого и с учетом результа-

тов моделирования коэффициентов интенсивности напряжений можно пола-

гать в качестве базовой модели для функций f(K) и f(J) нормальный закон рас-

пределения или закон распределения Вейбулла.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Рассмотренные в учебном пособии материалы представляют собой ре-

зультаты исследований, направленных на комплексное использование в ре-

шении инженерных задач методов механики разрушения, численных методов

исследования напряженного состояния, вероятностных моделей случайных

величин и методов развития процессов деградации материалов и конструк-

ций во времени. В настоящее время эти и ряд других научных направлений

объединяются в рамках междисциплинарной теории безопасности техниче-

ских систем, позволяющей осуществить постановку задач, организацию со-

ответствующих исследований и использование полученных результатов для

достижения таких параметров технических систем, которые не являются

предметом рассмотрения в классических методах инженерного проектирова-

ния и эксплуатации.

Основными результатами, которые должны быть получены в ближай-

шее время в этом направлении являются: 1) разработка комплекса количест-

венных характеристик живучести несущих конструкций и методов их оценки

и прогнозирования; 2) построение моделей и процедур управления напря-

женным состоянием, ресурсом, живучестью с использованием комплекса

конструктивно-технологических приемов; 3) развитие моделей и теории

формирования параметров дефектности с целью управления этими парамет-

рами и нормирования безопасных размеров дефектности; 4) исследование за-

кономерностей формообразования элементов конструкций повышенной жи-

вучести, устойчивых к выходу эксплуатационных параметров за пределы до-

пускаемых; 5) получение аналитических и численных результатов оптимиза-

ции стохастически дефектных типовых элементов конструкций; 6) нормиро-

вание коэффициентов запаса прочности с учетом как вероятностных характе-

ристик конструкции и среды, так и требований приемлемого риска и безо-

пасности проектируемых конструкций.

100

Приложение

СТАТИСТИЧЕСКИЕ ТАБЛИЦЫ И ФОРМУЛЫ

Таблица П1

Критические точки распределения 

Уровень значимости 

Число сте-

пеней сво-

боды f

0,01

0,025

0,05

0,95

0,975

0,99

1 6,6 5,0 3,8 0,0039 0,00098 0,00016

2 9,2 7,4 6,0 0,103 0,051 0,020

3 11,3 9,4 7,8 0,352 0,216 0,115

4 13,3 11,1 9,5 0,711 0,484 0,297

5 15,1 12,8 11,1 1,15 0,831 0,554

б 16,8 14,4 12,6 1,64 1,24 0,872

7 18,5 16,0 14,1 2,17 1,69 1,24

8 20,1 17,5 15,5 2,73 2,18 1,65

9 21,7 19,0 16,9 3,33 2,70 2,09

10 23,2 20,5 18,3 3,94 3,25 2,56

11 24,7 21,9 19,7 4,57 3,82 3,05

12 26,2 23,3 21,0 5,23 4,40 3,57

13 27,7 24,7 22,4 5,89 5,01 4,11

14 29,1 26,1 23,7 6,57 5,63 4,66

15 30,6 27,5 25,0 7,26 6,26 5,23

16 32,0 28,8 26,3 7,96 6,91 5,81

17 33,4 30,2 27,6 8,67 7,56 6,41

18 34,8 31,5 28,9 9,39 8,23 7,01

19 36,2 32,9 30,1 10,1 8,91 7,63

20 37,6 34,2 31,4 10,9 9,59 8,26

21 38,9 35,5 32,7 11,6 10,3 8,90

22 40,3 36,8 33,9 12,3 11,0 9,54

23 41,6 38,1 35,2 13,1 11,7 10,2

24 43,0 39,4 36,4 13,8 12,4 10,9

25 44,3 40,6 37,7 14,6 13,1 11,5

26 45,6 41,9 38,9 15,4 13,8 12,2

27 47,0 43,2 40,1 16,2 14,6 12,9

28 48,3 44,5 41,3 16,9 15,3 13,6

29 49,6 45,7 42,6 17,7 16,0 14,3

30 50,9 47,0 43,8 18,5 16,8 15,0