Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
30 Г л а в а 2. Уравнения
де n— целое неотрицательное число; a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n – 1
, a
n
—
оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a
0
, называе-
мый старшим оэффициентом, считается не равным нулю.
Мноочлен первой степени называют таже линейным мно-
очленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноо-
член третьей степени — бичесим мноочленом.
Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0.
Уравнение вида
ax + b = 0, a − 0, (1)
называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет
единственный орень x = – .
Уравнение вида
ax
2
+ bx + c = 0, a − 0, (2)
называют вадратным равнением. Выражение b
2
– 4ac = D
называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если
D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня:
x
1
= , x
2
= . (3)
Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-
рень ратности 2: x = – . Если D < 0, то уравнение (2) дейст-
вительных орней не имеет.
Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение
мноих уравнений залючается в сведении их уравнениям
вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение
вспомоательноо неизвестноо.
П р и м е р 1. Решить уравнение
– + 1 = 0.
Р е ш е н и е. Полаая y = , запишем исходное урав-
нение в виде
– y + 1 = 0. (*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
виду
y
2
– 3y + 2 = 0. (**)
b
a
---
b– D+
2a
----------------------- -
b– D–
2a
-----------------------
b
2a
-------
(x
2
2x)
2
–(x 1)
2
–
(x 1)
2
–
(y 1)
2
–
§ 6. Нахождение корней многочленов 31
Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное урав-
нение эвивалентно двум вадратным уравнениям
= 1 и = 2,
орни оторых x
1
= 2, x
2
= 0 и x
3, 4
= 1 ä являются орня-
ми исходноо уравнения.
Ответ. x
1
= 2, x
2
= 0, x
3, 4
= 1 ä .
Решите уравнение:
1. (x
2
+ 2x)
2
– (x + 1)
2
= 55.
2. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12 = 0.
3. (x
2
– 5x + 7)
2
– (x – 2)(x – 3) = 0.
4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.
5. (2x
2
+ 3x – 2)(5 – 6x – 4x
2
) = –5(2x
2
+ 3x + 2).
6. x
4
– 13x
2
+ 36 = 0.
7. 2x
8
+ x
4
– 15 = 0.
8. (2x – 1)
6
+ 3(2x – 1)
3
= 10.
9. (1 + x)
8
+ (1 + x
2
)
4
= 2x
4
.
10. (x – 2)
6
– 19(x – 2)
3
= 216.
Метод разложения на множители. Один из способов реше-
ния уравнения n-й степени (n l 2)
P
n
(x) = 0
состоит в разложении мноочлена P
n
(x) на множители, что по-
зволяет свести решение исходноо уравнения решению не-
сольих уравнений более низих степеней. Этот способ осно-
ван на следующем свойстве орней мноочлена
n-й степени:
если x = c является орнем мноочлена
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ ... + a
n – 1
x + a
n
,(4)
то мноочлен (4) можно записать в виде
P
n
(x) = (x – c) Q
n – 1
(x), (5)
де Q
n – 1
(x)— мноочлен степени n – 1, т. е. мноочлен P
n
(x)
делится на мноочлен x – c.
Разложение мноочлена (4) на множители равносильно на-
хождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе
является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена
n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уа-
зать универсальноо способа нахождения орней. Однао для
мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема,
позволяющая находить их рациональные орни.
(x 1)
2
–(x 1)
2
–
2
2
30 Г л а в а 2. Уравнения
де n— целое неотрицательное число; a
0
, a
1
, a
2
, ..., a
n – 1
, a
n
—
оэффициенты мноочлена, причем оэффициент a
0
, называе-
мый старшим оэффициентом, считается не равным нулю.
Мноочлен первой степени называют таже линейным мно-
очленом, мноочлен второй степени — вадратным, а мноо-
член третьей степени — бичесим мноочленом.
Число c называют орнем мноочлена, если P(c) = 0.
Уравнение вида
ax + b = 0, a − 0, (1)
называют линейным равнением. Линейное уравнение имеет
единственный орень x = – .
Уравнение вида
ax
2
+ bx + c = 0, a − 0, (2)
называют вадратным равнением. Выражение b
2
– 4ac = D
называют дисриминантом вадратноо уравнения. Если
D > 0, то уравнение (2) имеет два действительных орня:
x
1
= , x
2
= . (3)
Если D = 0, то уравнение (2) имеет один действительный о-
рень ратности 2: x = – . Если D < 0, то уравнение (2) дейст-
вительных орней не имеет.
Метод введения вспомоательноо неизвестноо. Решение
мноих уравнений залючается в сведении их уравнениям
вида (1) или (2). Одним из таих способов является введение
вспомоательноо неизвестноо.
П р и м е р 1. Решить уравнение
– + 1 = 0.
Р е ш е н и е. Полаая y = , запишем исходное урав-
нение в виде
– y + 1 = 0. (*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
виду
y
2
– 3y + 2 = 0. (**)
b
a
---
b– D+
2a
----------------------- -
b– D–
2a
-----------------------
b
2a
-------
(x
2
2x)
2
–(x 1)
2
–
(x 1)
2
–
(y 1)
2
–
§ 6. Нахождение корней многочленов 31
Решив вадратное уравнение (**), получаем, что исходное урав-
нение эвивалентно двум вадратным уравнениям
= 1 и = 2,
орни оторых x
1
= 2, x
2
= 0 и x
3, 4
= 1 ä являются орня-
ми исходноо уравнения.
Ответ. x
1
= 2, x
2
= 0, x
3, 4
= 1 ä .
Решите уравнение:
1. (x
2
+ 2x)
2
– (x + 1)
2
= 55.
2. (x
2
+ x + 1)(x
2
+ x + 2) – 12 = 0.
3. (x
2
– 5x + 7)
2
– (x – 2)(x – 3) = 0.
4. (x – 2)(x + 1)(x + 4)(x + 7) = 19.
5. (2x
2
+ 3x – 2)(5 – 6x – 4x
2
) = –5(2x
2
+ 3x + 2).
6. x
4
– 13x
2
+ 36 = 0.
7. 2x
8
+ x
4
– 15 = 0.
8. (2x – 1)
6
+ 3(2x – 1)
3
= 10.
9. (1 + x)
8
+ (1 + x
2
)
4
= 2x
4
.
10. (x – 2)
6
– 19(x – 2)
3
= 216.
Метод разложения на множители. Один из способов реше-
ния уравнения n-й степени (n l 2)
P
n
(x) = 0
состоит в разложении мноочлена P
n
(x) на множители, что по-
зволяет свести решение исходноо уравнения решению не-
сольих уравнений более низих степеней. Этот способ осно-
ван на следующем свойстве орней мноочлена
n-й степени:
если x = c является орнем мноочлена
P
n
(x) = a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ ... + a
n – 1
x + a
n
,(4)
то мноочлен (4) можно записать в виде
P
n
(x) = (x – c) Q
n – 1
(x), (5)
де Q
n – 1
(x)— мноочлен степени n – 1, т. е. мноочлен P
n
(x)
делится на мноочлен x – c.
Разложение мноочлена (4) на множители равносильно на-
хождению орней этоо мноочлена. Последнее само по себе
является трудной задачей, и в общем случае для мноочлена
n-й степени с действительными оэффициентами нельзя уа-
зать универсальноо способа нахождения орней. Однао для
мноочленов с целыми оэффициентами существует теорема,
позволяющая находить их рациональные орни.
(x 1)
2
–(x 1)
2
–
2
2
32 Г л а в а 2. Уравнения
Рациональными орнями мноочлена
a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ ... + a
n – 1
x + a
n
,
де a
0
, a
1
, ..., a
n – 1
, a
n
— целые числа, моут быть лишь числа
вида (m— целое, p— натуральное), при этом число |m| яв-
ляется делителем числа |a
n
|, а число p — делителем числа |a
0
|.
П р и м е р 2. Найти орни уравнения
3x
3
– 4x
2
+ 5x – 18 = 0.
Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3,
6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значе-
ний m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество зна-
чений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел
вида образуют следующее множество рациональных чисел:
ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä , ä . Подставляя эти числа в уравне-
ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно,
мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2).
Произведя деление улом, находим частное — мноочлен
3x
2
+ 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита,
x = 2 — единственный действительный орень исходноо урав-
нения.
Ответ. x = 2.
Решите уравнение методом разложения ео на множители:
11. 8x
4
+ 6x
3
– 13x
2
– x + 3 = 0.
12. x
3
+ 6x + 4x
2
+ 3 = 0.
13. 2x
4
– x
3
– 9x
2
+ 13x – 5 = 0.
14. (x – 1)
3
+ (2x + 3)
3
= 27x
3
+ 8.
15. x
3
– (2a + 1)x
2
+ (a
2
+ a)x – (a
2
– a) = 0.
16. x
4
– 4x
3
– 19x
2
+ 106x – 120 = 0.
Неоторые равнения специальноо вида. Уравнение чет-
вертой степени вида
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (6)
при условии
a + b = c + d = p
сводится вадратному уравнению относительно неизвестноо
y = x
2
+ px.
m
p
---- -
m
p
---- -
1
3
---
2
3
---
§ 6. Нахождение корней многочленов 33
Пример 3. Решить уравнение
x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625. (*)
Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2),
имеем
(x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = 0,5625.
Введя вспомоательное неизвестное y = x
2
+ 3x, после оче-
видных преобразований получаем вадратное уравнение
y
2
+ 2y – 0,5625 = 0,
орнями отороо являются числа y
1
= 0,25 и y
2
= –2,25.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям:
x
2
+ 3x – 0,25 = 0, x
2
+ 3x + 2,25 = 0.
Первое уравнение имеет два различных орня: x
1
=
и x
2
= , второе — один двуратный орень x
3, 4
= – .
Ответ. x
1
= , x
2
= , x
3, 4
= – .
Найдите орни уравнения:
17. (x + a)(x + 2a)(x – 3a)(x – 4a) = b
4
.
18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680.
19. (6x + 5)
2
(3x + 2)(x + 1) = 35.
20. x
4
– 2x
3
+ x – 132 = 0.
21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24.
22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.
23. (x
2
+ x + 1) (2x
2
+ 2x + 3) = 3(1 – x – x
2
).
Алебраичесое уравнение четвертой степени вида
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0, e − 0, (7)
называют возвратным, если оэффициенты уравнения связа-
ны равенствами d = λb, c = λ
2
a (λ — неоторое отличное от ну-
ля число).
Решение возвратноо уравнения (7) можно свести реше-
нию вадратноо уравнения заменой
y = x + .
3–10+
2
---------------------------
3–10–
2
--------------------------
3
2
---
3–10+
2
---------------------------
3–10–
2
--------------------------
3
2
---
λ
x
---
32 Г л а в а 2. Уравнения
Рациональными орнями мноочлена
a
0
x
n
+ a
1
x
n – 1
+ ... + a
n – 1
x + a
n
,
де a
0
, a
1
, ..., a
n – 1
, a
n
— целые числа, моут быть лишь числа
вида (m— целое, p— натуральное), при этом число |m| яв-
ляется делителем числа |a
n
|, а число p — делителем числа |a
0
|.
П р и м е р 2. Найти орни уравнения
3x
3
– 4x
2
+ 5x – 18 = 0.
Р е ш е н и е. Делителями числа 18 являются числа 1, 2, 3,
6 и 9, а делителями числа 3 — числа 1 и 3. Множество значе-
ний m есть {–9, –6, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 6, 9}, а множество зна-
чений p есть {1, 3}. Всевозможные различные значения чисел
вида образуют следующее множество рациональных чисел:
ä1, ä2, ä3, ä6, ä9, ä , ä . Подставляя эти числа в уравне-
ние, получаем орень уравнения — число 2. Следовательно,
мноочлен в левой части уравнения делится на (x – 2).
Произведя деление улом, находим частное — мноочлен
3x
2
+ 2x + 9, оторый действительных орней не имеет. Ита,
x = 2 — единственный действительный орень исходноо урав-
нения.
Ответ. x = 2.
Решите уравнение методом разложения ео на множители:
11. 8x
4
+ 6x
3
– 13x
2
– x + 3 = 0.
12. x
3
+ 6x + 4x
2
+ 3 = 0.
13. 2x
4
– x
3
– 9x
2
+ 13x – 5 = 0.
14. (x – 1)
3
+ (2x + 3)
3
= 27x
3
+ 8.
15. x
3
– (2a + 1)x
2
+ (a
2
+ a)x – (a
2
– a) = 0.
16. x
4
– 4x
3
– 19x
2
+ 106x – 120 = 0.
Неоторые равнения специальноо вида. Уравнение чет-
вертой степени вида
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (6)
при условии
a + b = c + d = p
сводится вадратному уравнению относительно неизвестноо
y = x
2
+ px.
m
p
---- -
m
p
---- -
1
3
---
2
3
---
§ 6. Нахождение корней многочленов 33
Пример 3. Решить уравнение
x(x + 1) (x + 2) (x + 3) = 0,5625. (*)
Р е ш е н и е. Перемножив попарно x(x + 3) и (x + 1) (x + 2),
имеем
(x
2
+ 3x)(x
2
+ 3x + 2) = 0,5625.
Введя вспомоательное неизвестное y = x
2
+ 3x, после оче-
видных преобразований получаем вадратное уравнение
y
2
+ 2y – 0,5625 = 0,
орнями отороо являются числа y
1
= 0,25 и y
2
= –2,25.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям:
x
2
+ 3x – 0,25 = 0, x
2
+ 3x + 2,25 = 0.
Первое уравнение имеет два различных орня: x
1
=
и x
2
= , второе — один двуратный орень x
3, 4
= – .
Ответ. x
1
= , x
2
= , x
3, 4
= – .
Найдите орни уравнения:
17. (x + a)(x + 2a)(x – 3a)(x – 4a) = b
4
.
18. (x – 4) (x – 5) (x – 6) (x – 7) = 1680.
19. (6x + 5)
2
(3x + 2)(x + 1) = 35.
20. x
4
– 2x
3
+ x – 132 = 0.
21. (x – 1)(x + 1) (x + 2)x = 24.
22. (x – 4)(x + 2) (x + 8)(x + 14) = 354.
23. (x
2
+ x + 1) (2x
2
+ 2x + 3) = 3(1 – x – x
2
).
Алебраичесое уравнение четвертой степени вида
ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + e = 0, e − 0, (7)
называют возвратным, если оэффициенты уравнения связа-
ны равенствами d = λb, c = λ
2
a (λ — неоторое отличное от ну-
ля число).
Решение возвратноо уравнения (7) можно свести реше-
нию вадратноо уравнения заменой
y = x + .
3–10+
2
---------------------------
3–10–
2
--------------------------
3
2
---
3–10+
2
---------------------------
3–10–
2
--------------------------
3
2
---
λ
x
---
34 Г л а в а 2. Уравнения
П р и м е р 4. Решить уравнение
18x
4
– 3x
3
– 25x
2
+ 2x + 8 = 0.
Решение. Заметим, что x = 0 не является орнем урав-
нения, поэтому, разделив обе ео части на x
2
, перейдем эви-
валентному уравнению
18x
2
– 3x – 25 + + = 0. (*)
Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) сле-
дующим образом:
18 x
2
+ – 3 x – – 25 = 0.
Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно
выбрать y = x – ; та а x
2
+ = y
2
+ , то уравнение (*)
примет вид
18y
2
– 3y – 1 = 0. (**)
Корни уравнения (**) равны и – . Таим образом, исход-
ное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям:
x – = и x – = – .
Первое уравнение имеет орни x
1
= 1 и x
2
= – , а второе —
орни x
3, 4
= .
Ответ. x
1
= 1, x
2
= – , x
3, 4
= .
Решите уравнение:
24. x
4
+ 5x
3
+ 2x
2
+ 5x + 1 = 0.
25. 2x
4
+ 3x
3
– 4x
2
– 3x + 2 = 0.
26. 15x
5
+ 34x
4
+ 15x
3
– 15x
2
– 34x – 15 = 0.
27. 6x
3
– x
2
– 20x + 12 = 0.
28. x
4
+ 1 = 2(1 + x)
4
.
2
x
---
8
x
2
------
4
9
---
x
2
------
2
3
---
x
---
2
3
---
x
---
4
9
---
x
2
------
4
3
---
1
3
---
1
6
---
2
3
---
x
---
1
3
---
2
3
---
x
---
1
6
---
2
3
---
1 ä 97–
12
------------------------
2
3
---
1 ä 97–
12
------------------------
§ 6. Нахождение корней многочленов 35
Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2)
допусают понижение поряда, если использовать формулу би-
нома Ньютона (см. л. 15, § 84).
Пример 5. Решить уравнение
8x
3
+ 36x
2
+ 54x = 98.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что
(2x + 3)
3
= 8x
3
+ 36x
2
+ 54x + 27,
запишем исходное уравнение в виде
(2x + 3)
3
= 125,
или
2x + 3 = 5.
Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения
является x = 1.
Ответ. x = 1.
Решите уравнение:
29. 8x
3
– 36x
2
+ 54x = 28.
30. 16x
4
+ 32x
3
+ 24x
2
+ 8x – 80 = 0.
31. x
4
– 8x
3
+ 24x
2
– 32x = 65.
Уравнение вида
a
1
u
n
+ a
2
u
n – 1
v + a
3
u
n – 2
v
2
+ ... + a
n
v
n
= 0 (8)
называют однородным равнением n-й степени относительно
неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравне-
ния (8) на v
n
ео сводят уравнению n-й степени относительно
неизвестноо y = .
Если a
n
= 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода
v = 0.
Сводя уравнения однородным и производя уазанную вы-
ше замену, инода удается понизить степень исходноо уравне-
ния.
Пример 6. Решить уравнение
(x
2
+ 27)
2
– 5(x
2
+ 27) (x
2
+ 3) + 6(x
2
+ 3)
2
= 0. (*)
Р е ш е н и е. Положим x
2
+ 27 = u, x
2
+ 3 = v. Тода исход-
ное уравнение примет вид однородноо уравнения второй сте-
пени относительно неизвестных u и v:
u
2
– 5uv + 6v
2
= 0.
u
v
---
34 Г л а в а 2. Уравнения
П р и м е р 4. Решить уравнение
18x
4
– 3x
3
– 25x
2
+ 2x + 8 = 0.
Решение. Заметим, что x = 0 не является орнем урав-
нения, поэтому, разделив обе ео части на x
2
, перейдем эви-
валентному уравнению
18x
2
– 3x – 25 + + = 0. (*)
Сруппируем слааемые в правой части уравнения (*) сле-
дующим образом:
18 x
2
+ – 3 x – – 25 = 0.
Теперь очевидно, что в ачестве новоо неизвестноо можно
выбрать y = x – ; та а x
2
+ = y
2
+ , то уравнение (*)
примет вид
18y
2
– 3y – 1 = 0. (**)
Корни уравнения (**) равны и – . Таим образом, исход-
ное уравнение эвивалентно следующим двум уравнениям:
x – = и x – = – .
Первое уравнение имеет орни x
1
= 1 и x
2
= – , а второе —
орни x
3, 4
= .
Ответ. x
1
= 1, x
2
= – , x
3, 4
= .
Решите уравнение:
24. x
4
+ 5x
3
+ 2x
2
+ 5x + 1 = 0.
25. 2x
4
+ 3x
3
– 4x
2
– 3x + 2 = 0.
26. 15x
5
+ 34x
4
+ 15x
3
– 15x
2
– 34x – 15 = 0.
27. 6x
3
– x
2
– 20x + 12 = 0.
28. x
4
+ 1 = 2(1 + x)
4
.
2
x
---
8
x
2
------
4
9
---
x
2
------
2
3
---
x
---
2
3
---
x
---
4
9
---
x
2
------
4
3
---
1
3
---
1
6
---
2
3
---
x
---
1
3
---
2
3
---
x
---
1
6
---
2
3
---
1 ä 97–
12
------------------------
2
3
---
1 ä 97–
12
------------------------
§ 6. Нахождение корней многочленов 35
Неоторые алебраичесие уравнения n-й степени (n > 2)
допусают понижение поряда, если использовать формулу би-
нома Ньютона (см. л. 15, § 84).
Пример 5. Решить уравнение
8x
3
+ 36x
2
+ 54x = 98.
Р е ш е н и е. Воспользовавшись тем, что
(2x + 3)
3
= 8x
3
+ 36x
2
+ 54x + 27,
запишем исходное уравнение в виде
(2x + 3)
3
= 125,
или
2x + 3 = 5.
Таим образом, единственным орнем исходноо уравнения
является x = 1.
Ответ. x = 1.
Решите уравнение:
29. 8x
3
– 36x
2
+ 54x = 28.
30. 16x
4
+ 32x
3
+ 24x
2
+ 8x – 80 = 0.
31. x
4
– 8x
3
+ 24x
2
– 32x = 65.
Уравнение вида
a
1
u
n
+ a
2
u
n – 1
v + a
3
u
n – 2
v
2
+ ... + a
n
v
n
= 0 (8)
называют однородным равнением n-й степени относительно
неизвестных u и v. Делением обеих частей однородноо уравне-
ния (8) на v
n
ео сводят уравнению n-й степени относительно
неизвестноо y = .
Если a
n
= 0, то отдельно следует рассмотреть случай, ода
v = 0.
Сводя уравнения однородным и производя уазанную вы-
ше замену, инода удается понизить степень исходноо уравне-
ния.
Пример 6. Решить уравнение
(x
2
+ 27)
2
– 5(x
2
+ 27) (x
2
+ 3) + 6(x
2
+ 3)
2
= 0. (*)
Р е ш е н и е. Положим x
2
+ 27 = u, x
2
+ 3 = v. Тода исход-
ное уравнение примет вид однородноо уравнения второй сте-
пени относительно неизвестных u и v:
u
2
– 5uv + 6v
2
= 0.
u
v
---
36 Г л а в а 2. Уравнения
Выполнив замену = y, получаем уравнение
y
2
– 5y + 6 = 0,
орни отороо y = 2 и y = 3.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям
x
2
+ 27 = 3(x
2
+ 3), x
2
+ 27 = 2(x
2
+ 3),
орнями оторых являются числа ä3 и ä соответственно.
Ответ. x
1, 2
= ä3, x
3, 4
= ä .
Решите уравнение:
32. (x
2
– 1)
2
+ 5(x
4
– 1) – 6(x
2
+ 1)
2
= 0.
33. (x
2
– 3)
2
– 7(x
4
– 9) + 6(x
2
+ 3)
2
= 0.
34. (x – 2)
2
(x + 1)
2
– (x – 2)(x
2
– 1) – 2(x – 1)
2
= 0.
Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди
орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x.
Пример 7. Решить уравнение
(x
2
– 4x + 6)
2
– 4(x
2
– 4x + 6) + 6 = x.
Р е ш е н и е. Квадратное уравнение
x
2
– 4x + 6 = x (*)
имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записан-
ный в левой части исходноо уравнения, делится на произведе-
ние (x – 2) (x – 3).
Выполнив деление улом, находим частное: x
2
– 3x + 3.
Таим образом, исходное уравнение можно представить
ввиде
(x
2
– 5x + 6) (x
2
– 3x + 3) = 0
и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям
x
2
– 5x + 6 = 0, x
2
– 3x + 3 = 0. (**)
Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет,
и действительными орнями исходноо уравнения являются
орни уравнения (*).
Ответ. x
1
= 2, x
2
= 3.
Решите уравнение:
35. (x
2
+ 2x – 5)
2
+ 2(x
2
+ 2x – 5) – 5 = x.
36. (x
2
– x – 3)
2
– (x
2
– x – 3) – 3 = x.
u
v
---
21
21
§ 7. Рациональные уравнения 37
§ 7. Рациональные уравнения
Рациональным алебраичесим равнением называют
уравнение вида
= 0, (1)
де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем
полаать, что P(x)— мноочлен m-й степени, а Q(x)— мноо-
член n-й степени.
Множество допустимых значений рациональноо алебраи-
чесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда
следует, что x − c
1
, x − c
2
, ..., x − c
n
, де c
1
, c
2
, ..., c
n
— орни
мноочлена Q(x).
Метод решения уравнения (1) залючается в следующем.
Сначала решают уравнение
P(x) = 0;
пусть x
1
, x
2
, ..., x
m
— ео орни. Затем сравнивают множества
орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), о-
торые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют со-
бой орни (решения) рациональноо уравнения (1).
П р и м е р 1. Решить уравнение
= – 3.
Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению
9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0
при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим
x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений
неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ. ¾.
П р и м е р 2. Решить уравнение
– = . (*)
Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде
– + = 0
и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).
Px()
Qx()
------------ -
9 x–
x 4–
-------------
5
x 4–
-------------
x
x 1+
------------- -
9x 13+
x
2
2x–3–
------------------------------
5
3 x–
-------------
x
x 1+
------------- -
9x 13+
(x 1+)(x 3)–
--------------------------------------
5
x 3–
-------------
36 Г л а в а 2. Уравнения
Выполнив замену = y, получаем уравнение
y
2
– 5y + 6 = 0,
орни отороо y = 2 и y = 3.
Возвращаясь исходному неизвестному, залючаем, что
уравнение (*) эвивалентно двум уравнениям
x
2
+ 27 = 3(x
2
+ 3), x
2
+ 27 = 2(x
2
+ 3),
орнями оторых являются числа ä3 и ä соответственно.
Ответ. x
1, 2
= ä3, x
3, 4
= ä .
Решите уравнение:
32. (x
2
– 1)
2
+ 5(x
4
– 1) – 6(x
2
+ 1)
2
= 0.
33. (x
2
– 3)
2
– 7(x
4
– 9) + 6(x
2
+ 3)
2
= 0.
34. (x – 2)
2
(x + 1)
2
– (x – 2)(x
2
– 1) – 2(x – 1)
2
= 0.
Если уравнение можно записать в виде f(f(x)) = x, то среди
орней этоо уравнения содержится орень уравнения f(x) = x.
Пример 7. Решить уравнение
(x
2
– 4x + 6)
2
– 4(x
2
– 4x + 6) + 6 = x.
Р е ш е н и е. Квадратное уравнение
x
2
– 4x + 6 = x (*)
имеет орни x = 2 и x = 3. Следовательно, мноочлен, записан-
ный в левой части исходноо уравнения, делится на произведе-
ние (x – 2) (x – 3).
Выполнив деление улом, находим частное: x
2
– 3x + 3.
Таим образом, исходное уравнение можно представить
ввиде
(x
2
– 5x + 6) (x
2
– 3x + 3) = 0
и, следовательно, оно эвивалентно двум уравнениям
x
2
– 5x + 6 = 0, x
2
– 3x + 3 = 0. (**)
Второе из уравнений (**) действительных орней не имеет,
и действительными орнями исходноо уравнения являются
орни уравнения (*).
Ответ. x
1
= 2, x
2
= 3.
Решите уравнение:
35. (x
2
+ 2x – 5)
2
+ 2(x
2
+ 2x – 5) – 5 = x.
36. (x
2
– x – 3)
2
– (x
2
– x – 3) – 3 = x.
u
v
---
21
21
§ 7. Рациональные уравнения 37
§ 7. Рациональные уравнения
Рациональным алебраичесим равнением называют
уравнение вида
= 0, (1)
де P(x) и Q(x) — мноочлены. Далее для определенности будем
полаать, что P(x)— мноочлен m-й степени, а Q(x)— мноо-
член n-й степени.
Множество допустимых значений рациональноо алебраи-
чесоо уравнения (1) определяется условием Q(x) − 0, отуда
следует, что x − c
1
, x − c
2
, ..., x − c
n
, де c
1
, c
2
, ..., c
n
— орни
мноочлена Q(x).
Метод решения уравнения (1) залючается в следующем.
Сначала решают уравнение
P(x) = 0;
пусть x
1
, x
2
, ..., x
m
— ео орни. Затем сравнивают множества
орней мноочленов P(x) и Q(x). Те орни мноочлена P(x), о-
торые не являются орнями мноочлена Q(x), представляют со-
бой орни (решения) рациональноо уравнения (1).
П р и м е р 1. Решить уравнение
= – 3.
Р е ш е н и е. Исходное уравнение эвивалентно уравнению
9 – x – 5 + 3(x – 4) = 0
при условии x – 4 − 0. Решив полученное уравнение, находим
x = 4. Однао x = 4 не входит в область допустимых значений
неизвестноо, поэтому данное уравнение решений не имеет.
Ответ. ¾.
П р и м е р 2. Решить уравнение
– = . (*)
Р е ш е н и е. Перепишем данное уравнение в виде
– + = 0
и умножим все члены последнео уравнения на (x + 1) (x – 3).
Px()
Qx()
------------ -
9 x–
x 4–
-------------
5
x 4–
-------------
x
x 1+
------------- -
9x 13+
x
2
2x–3–
------------------------------
5
3 x–
-------------
x
x 1+
------------- -
9x 13+
(x 1+)(x 3)–
--------------------------------------
5
x 3–
-------------
38 Г л а в а 2. Уравнения
Тода получим уравнение
x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0,
или
x
2
– 7x – 8 = 0, (**)
эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем
орни вадратноо уравнения (**): x
1
= –1, x
2
= 8. Та а
x = –1 не принадлежит области допустимых значений неиз-
вестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.
Ответ. x = 8.
Пример 3. Решить уравнение
– = .
Р е ш е н и е. Полаая z = x
2
+ 2x, запишем исходное урав-
нение в виде
– = . (*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
уравнению
= 0, (**)
оторое эвивалентно уравнению z
2
+ z – 12 = 0. Эвивалент-
ность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео
уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых
значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение
эвивалентно двум вадратным уравнениям: x
2
+ 2x – 3 = 0 и
x
2
+ 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x
1
= 1,
x
2
= –3. Второе уравнение действительных орней не имеет.
Ответ. x
1
= 1, x
2
= –3.
Решите уравнение:
1. – = .
2. – + – = 0.
3. = .
1
xx 2+()
---------------------- -
1
x 1+()
2
--------------------- -
1
12
------
1
z
---
1
z 1+
-------------
1
12
------
z
2
z 12–+
12zz 1+()
-----------------------------
12x 1+
6x 2–
---------------------
9x 5–
3x 1+
----------------- -
108x 36x
2
–9–
49x
2
1–()
-------------------------------------------- -
1
2x 3+
----------------- -
1
x
2
16–
------------------- -
1
2x
2
11x 12++
------------------------------------------
x 8–
2x
3
3x
2
32x–48–+
-----------------------------------------------------------
x
2
x 1++
x
2
x–1+
----------------------------
7
9
---
x 1+
x 1–
------------- -
§ 7. Рациональные уравнения 39
4. = + .
5. + = – .
6. = .
7. = .
8. + = .
9. – x
2
+ 4x = 6.
10. + = 2.
11. – 2 = .
12. – = 2.
13. 7 x + – 2 x
2
+ = 9.
14. + = .
15. 20 – 5 + 48 = 0.
16. + = 12 .
17. – 2 – 3 = 0.
Уравнение вида
+ = c
сводится уравнению
+ = c
x 1+
2 x 1–()
----------------------
9
2 x 4+()
---------------------- -
1
x 1–
-------------
x
2
x
2
4–
----------------
x 1+
2 x 2–()
----------------------
1
2 x–
-------------
1
x 2+
------------- -
4x
2
29x 45 x 1+()2x 15+()–++
2 x 1–()()
2
2 x 1+()x 2–()–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
x 1+()x 5+()
x 1–()x 2–()
--------------------------------------
ax–()
4
xb–()
4
+
ab2x–+()
2
-------------------------------------------------
a
4
b
4
+
ab+()
2
---------------------
1
x
2
2x–2+
-------------------------------
2
x
2
2x–3+
-------------------------------
6
x
2
2x–4+
-------------------------------
21
x
2
4x–10+
----------------------------------
4
x
2
4+
---------------- -
5
x
2
5+
---------------- -
x
2
6x–()
2
x 3–()
2
----------------------------
81
x 3–()
2
---------------------
24
x
2
2x 8–+
-------------------------------
15
x
2
2x 3–+
-------------------------------
1
x
---
1
x
2
------
x
2
2x 1++
x
2
2x 2++
-------------------------------
x
2
2x 2++
x
2
2x 3++
-------------------------------
7
6
---
x 2–
x 1+
------------- -
2
x 2+
x 1–
------------- -
2
x
2
4–
x
2
1–
----------------
x 1+
x 2–
------------- -
2
x 1+
x 4–
------------- -
x 2–
x 4–
-------------
2
x 1+
x 1–
------------- -
2
x 2–
x 1–
-------------
x 2–
x 1+
------------- -
2
ax
cx
2
hx d++
---------------------------------- -
bx
cx
2
rx d++
----------------------------------
a
yh+
--------------
b
yr+
------------ -
38 Г л а в а 2. Уравнения
Тода получим уравнение
x(x – 3) – (9x + 13) + 5(x + 1) = 0,
или
x
2
– 7x – 8 = 0, (**)
эвивалентное исходному при условиях x − –1, x − 3. Найдем
орни вадратноо уравнения (**): x
1
= –1, x
2
= 8. Та а
x = –1 не принадлежит области допустимых значений неиз-
вестноо, то уравнение (*) имеет единственный орень x = 8.
Ответ. x = 8.
Пример 3. Решить уравнение
– = .
Р е ш е н и е. Полаая z = x
2
+ 2x, запишем исходное урав-
нение в виде
– = . (*)
С помощью несложных преобразований сведем уравнение (*)
уравнению
= 0, (**)
оторое эвивалентно уравнению z
2
+ z – 12 = 0. Эвивалент-
ность этих уравнений следует из тоо, что орни последнео
уравнения z = 3, z = –4 принадлежат множеству допустимых
значений уравнения (**). Таим образом, исходное уравнение
эвивалентно двум вадратным уравнениям: x
2
+ 2x – 3 = 0 и
x
2
+ 2x + 4 = 0. Корнями первоо уравнения являются x
1
= 1,
x
2
= –3. Второе уравнение действительных орней не имеет.
Ответ. x
1
= 1, x
2
= –3.
Решите уравнение:
1. – = .
2. – + – = 0.
3. = .
1
xx 2+()
---------------------- -
1
x 1+()
2
--------------------- -
1
12
------
1
z
---
1
z 1+
-------------
1
12
------
z
2
z 12–+
12zz 1+()
-----------------------------
12x 1+
6x 2–
---------------------
9x 5–
3x 1+
----------------- -
108x 36x
2
–9–
49x
2
1–()
-------------------------------------------- -
1
2x 3+
----------------- -
1
x
2
16–
------------------- -
1
2x
2
11x 12++
------------------------------------------
x 8–
2x
3
3x
2
32x–48–+
-----------------------------------------------------------
x
2
x 1++
x
2
x–1+
----------------------------
7
9
---
x 1+
x 1–
------------- -
§ 7. Рациональные уравнения 39
4. = + .
5. + = – .
6. = .
7. = .
8. + = .
9. – x
2
+ 4x = 6.
10. + = 2.
11. – 2 = .
12. – = 2.
13. 7 x + – 2 x
2
+ = 9.
14. + = .
15. 20 – 5 + 48 = 0.
16. + = 12 .
17. – 2 – 3 = 0.
Уравнение вида
+ = c
сводится уравнению
+ = c
x 1+
2 x 1–()
----------------------
9
2 x 4+()
---------------------- -
1
x 1–
-------------
x
2
x
2
4–
----------------
x 1+
2 x 2–()
----------------------
1
2 x–
-------------
1
x 2+
------------- -
4x
2
29x 45 x 1+()2x 15+()–++
2 x 1–()()
2
2 x 1+()x 2–()–
-----------------------------------------------------------------------------------------------
x 1+()x 5+()
x 1–()x 2–()
--------------------------------------
ax–()
4
xb–()
4
+
ab2x–+()
2
-------------------------------------------------
a
4
b
4
+
ab+()
2
---------------------
1
x
2
2x–2+
-------------------------------
2
x
2
2x–3+
-------------------------------
6
x
2
2x–4+
-------------------------------
21
x
2
4x–10+
----------------------------------
4
x
2
4+
---------------- -
5
x
2
5+
---------------- -
x
2
6x–()
2
x 3–()
2
----------------------------
81
x 3–()
2
---------------------
24
x
2
2x 8–+
-------------------------------
15
x
2
2x 3–+
-------------------------------
1
x
---
1
x
2
------
x
2
2x 1++
x
2
2x 2++
-------------------------------
x
2
2x 2++
x
2
2x 3++
-------------------------------
7
6
---
x 2–
x 1+
------------- -
2
x 2+
x 1–
------------- -
2
x
2
4–
x
2
1–
----------------
x 1+
x 2–
------------- -
2
x 1+
x 4–
------------- -
x 2–
x 4–
-------------
2
x 1+
x 1–
------------- -
2
x 2–
x 1–
-------------
x 2–
x 1+
------------- -
2
ax
cx
2
hx d++
---------------------------------- -
bx
cx
2
rx d++
----------------------------------
a
yh+
--------------
b
yr+
------------ -