Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы

Подождите немного. Документ загружается.

508 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

При выполнении упр. 23—28 используйте формулу (2).

23. В ящие имеются 15 деталей, 5 из оторых орашены.

Наудачу извлеают 5 деталей. Найдите вероятность тоо, что

4 из них орашены, а одна — нет.

24. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу

отбирают m деталей. Найдите вероятность тоо, что среди ото-

бранных деталей k являются стандартными.

25. Каова вероятность лавноо выирыша в «Спортлото»

(уадать 6 номеров из 49)? Каова вероятность уадать 5; 4;

3 номера из 49?

26. Из олоды в 52 арты выбраны 6 арт. Каова вероят-

ность выбора: а) одноо туза; б) туза и ороля?

27. Имеются 6 билетов в театр, их них 4 билета на места в

первом ряду. Каова вероятность тоо, что из трех наудачу вы-

бранных билетов два оажутся на места в первом ряду?

28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 оманд. Слу-

чайным образом они делятся на две руппы по 10 оманд. Ка-

ова вероятность тоо, что две наиболее сильные оманды при

этом оажутся в одной руппе?

§ 86. Вычисление вероятностей

геометрическими методами

Существуют задачи, в оторых непосредственный подсчет

элементарных событий, основанный на их равновозможности и

онечности их числа, неприоден. Рассмотрим пример. Пусть

линия элетропередач, соединяющая пунты A и B, в резуль-

тате бури оборвалась. Каова вероятность тоо, что обрыв про-

изошел на участе, залюченном между пунтами C и D, при-

надлежащими отрезу AB? Множество элементарных событий

в данном случае бесонечно, та а обрыв равновозможен

в любой точе отреза AB. При этом естественно предполаать,

что вероятность обрыва на любом участе пропорциональна

длине этоо участа. Та а вероятность обрыва на всем уча-

сте равна единице (обрыв уже произошел), то вероятность об-

рыва на участе CD выразится следующим отношением:

P(A) = .

Пусть исходы испытания, число оторых бесонечно, рас-

пределены равномерно в неоторой области S. Это значит, что

-------- -

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами 509

вероятность события E, состоящео в том, что исход испытания

оазался залюченным в неоторой части области S, пропор-

ционален величине этой части и не зависит от ее расположения

и формы.

Таим образом,

P(E) = , (1)

де P(E) — вероятность события, залючающеося в том, что

наудачу выбранная точа из области S оажется в области s,

а m(s) и m(S) — величины соответствующих областей.

П р и м е р 1. Абонент ждет телефонноо вызова в течение

1 ч. Каова вероятность, что вызов произойдет в последние

20 мин этоо часа?

Р е ш е н и е. Пусть событие E состоит в том, что вызов про-

изошел в последние 20 мин. Изобразим пространство элемен-

тарных событий в виде отреза, имеющео длину 60. Тода эле-

ментарные события, блаоприятствующие E, залючены в по-

следней трети отреза. Следовательно, P(A) = .

Ответ..

1. Минное поле зараждения устроено та, что мины пос-

тавлены вдоль неоторой прямой с интервалами 100 м между

ними. Каова вероятность тоо, что орабль шириной 20 м,

проходящий минное поле зараждения под прямым улом, подо-

рвется на мине?

2. В ру радиуса R помещен меньший ру радиуса r. Най-

дите вероятность тоо, что наудачу брошенная в большой ру

точа попадет таже и в меньший ру. (Предполаается, что

вероятность попадания в ру пропорциональна площади ру-

а и не зависит от ео расположения.)

Если случайное событие, вероятность отороо следует най-

ти, состоит в попадании точи в неоторую часть плосой фи-

уры и при этом раницы фиуры и ее части являются рафи-

ами известных фунций, то вычисление площадей, входящих

в выражение (1), сводится  вычислению определенных инте-

ралов.

П р и м е р 2. Наудачу выбирают два действительных чис-

ла x и y, причем 0 m x m 1, 0 m y m 1. Найти вероятность тоо,

что y

m x.

ms()

mS()

--------------

---

508 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

При выполнении упр. 23—28 используйте формулу (2).

23. В ящие имеются 15 деталей, 5 из оторых орашены.

Наудачу извлеают 5 деталей. Найдите вероятность тоо, что

4 из них орашены, а одна — нет.

24. В партии из N деталей имеется n стандартных. Наудачу

отбирают m деталей. Найдите вероятность тоо, что среди ото-

бранных деталей k являются стандартными.

25. Каова вероятность лавноо выирыша в «Спортлото»

(уадать 6 номеров из 49)? Каова вероятность уадать 5; 4;

3 номера из 49?

26. Из олоды в 52 арты выбраны 6 арт. Каова вероят-

ность выбора: а) одноо туза; б) туза и ороля?

27. Имеются 6 билетов в театр, их них 4 билета на места в

первом ряду. Каова вероятность тоо, что из трех наудачу вы-

бранных билетов два оажутся на места в первом ряду?

28. В соревнованиях по футболу участвуют 20 оманд. Слу-

чайным образом они делятся на две руппы по 10 оманд. Ка-

ова вероятность тоо, что две наиболее сильные оманды при

этом оажутся в одной руппе?

§ 86. Вычисление вероятностей

геометрическими методами

Существуют задачи, в оторых непосредственный подсчет

элементарных событий, основанный на их равновозможности и

онечности их числа, неприоден. Рассмотрим пример. Пусть

линия элетропередач, соединяющая пунты A и B, в резуль-

тате бури оборвалась. Каова вероятность тоо, что обрыв про-

изошел на участе, залюченном между пунтами C и D, при-

надлежащими отрезу AB? Множество элементарных событий

в данном случае бесонечно, та а обрыв равновозможен

в любой точе отреза AB. При этом естественно предполаать,

что вероятность обрыва на любом участе пропорциональна

длине этоо участа. Та а вероятность обрыва на всем уча-

сте равна единице (обрыв уже произошел), то вероятность об-

рыва на участе CD выразится следующим отношением:

P(A) = .

Пусть исходы испытания, число оторых бесонечно, рас-

пределены равномерно в неоторой области S. Это значит, что

-------- -

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами 509

вероятность события E, состоящео в том, что исход испытания

оазался залюченным в неоторой части области S, пропор-

ционален величине этой части и не зависит от ее расположения

и формы.

Таим образом,

P(E) = , (1)

де P(E) — вероятность события, залючающеося в том, что

наудачу выбранная точа из области S оажется в области s,

а m(s) и m(S) — величины соответствующих областей.

П р и м е р 1. Абонент ждет телефонноо вызова в течение

1 ч. Каова вероятность, что вызов произойдет в последние

20 мин этоо часа?

Р е ш е н и е. Пусть событие E состоит в том, что вызов про-

изошел в последние 20 мин. Изобразим пространство элемен-

тарных событий в виде отреза, имеющео длину 60. Тода эле-

ментарные события, блаоприятствующие E, залючены в по-

следней трети отреза. Следовательно, P(A) = .

Ответ..

1. Минное поле зараждения устроено та, что мины пос-

тавлены вдоль неоторой прямой с интервалами 100 м между

ними. Каова вероятность тоо, что орабль шириной 20 м,

проходящий минное поле зараждения под прямым улом, подо-

рвется на мине?

2. В ру радиуса R помещен меньший ру радиуса r. Най-

дите вероятность тоо, что наудачу брошенная в большой ру

точа попадет таже и в меньший ру. (Предполаается, что

вероятность попадания в ру пропорциональна площади ру-

а и не зависит от ео расположения.)

Если случайное событие, вероятность отороо следует най-

ти, состоит в попадании точи в неоторую часть плосой фи-

уры и при этом раницы фиуры и ее части являются рафи-

ами известных фунций, то вычисление площадей, входящих

в выражение (1), сводится  вычислению определенных инте-

ралов.

П р и м е р 2. Наудачу выбирают два действительных чис-

ла x и y, причем 0 m x m 1, 0 m y m 1. Найти вероятность тоо,

что y

m x.

ms()

mS()

--------------

---

510 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

Р е ш е н и е. Поставим в соответствие паре чисел x и y точ-

у плосости с оординатами (x; y). Пространство элементар-

ных событий представляет собой вадрат, двумя сторонами о-

тороо являются единичные отрези осей оординат. Фиура,

множество точе оторой соответствует исходам, блаоприятст-

вующим событию y

m x, ораничена рафиами фунций y = 0,

x = 1, y

= x. Ее площадь вычисляется с помощью определенно-

о интерала:

S = dx = x

3/2

= .

Та а площадь единичноо вадрата равна единице, то

P(A) = .

Ответ..

3. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,

что |x| m 3, |y| m 5. Каова вероятность тоо, что дробь оа-

жется положительной?

4. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,

что |x| m 1, 0 m y m 1. Каова вероятность тоо, что x

< y?

5. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,

что |x| m 1 и |y| m 1. Каова вероятность тоо, что |x| < |y|?

 6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, аждое из

оторых не превосходит 2. Найдите вероятность тоо, что xy m 1,

а m 2.

 7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превы-

шающие 1. Каова вероятность тоо, что их сумма не превосхо-

дит 1, если сумма их вадратов больше ?

 8. Парабола асается нижней стороны вадрата и проходит

через вершины ео верхней стороны. Каова вероятность тоо,

что точа, наудачу брошенная в вадрат, попадет в область, за-

люченную между верхней стороной вадрата и параболой?

9. Парабола асается полуруа и проходит через раницы

ео диаметра. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу бро-

шенная в полуру, попадет в область, ораниченную дуой по-

луруа и параболой?

∫

---

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами 511

10. Пусть на отрезе [0; 1] задана таая фунция f(x), что

> 0 при x Ý [0; 1], причем f(0) = 0, f(1) = 1. Доажите, что

при бросании точи в вадрат, сторонами отороо являются

промежуто [0; 1] оси Ox и промежуто [0; 1] оси Oy, наиболь-

шая вероятность попасть в область, ораниченную линиями

y = f(x), y = f(a), y = 0, y = 1, достиается при a = 0,5.

 11. Область ораничена линиями x = 0, x = , y = sin x,

y =sina. Точу бросают в прямоуольни, сторонами отороо

являются промежуто 0; оси Ox и промежуто [0; 1] оси

Oy. При аом значении a вероятность попадания точи в за-

данную область наименьшая?

При решении ряда задач еометричесим методом удобно

предварительно ввести прямоуольную деартову систему о-

ординат.

П р и м е р 3. Два друа дооворились о встрече в опреде-

ленном месте между 11 и 12 ч дня. Пришедший первым ждет

второо в течение ч, после чео уходит. Найти вероятность

тоо, что встреча состоится, если аждый придет в произволь-

ный момент между 11 и 12 ч.

Р е ш е н и е. Та а момент прихода аждоо из друзей слу-

чаен, то, выбрав отрезо единичной длины, поставим в соответ-

ствие моменту прихода первоо друа произвольную случайно

выбранную точу этоо отреза, а моменту прихода второо

друа — случайно выбранную точу второо отреза единичной

длины. Отложим эти отрези на осях оординат: первый — на

оси Ox, второй — на оси Oy. Тода пространством элементар-

ных событий является вадрат единичной площади, вписанный

в первую четверть оординатной плосости, причем оордина-

ты аждой точи (x; y) этоо вадрата представляют собой мо-

менты времени прихода друзей.

Элементарные события (x; y), блаоприятствующие собы-

тию, состоящему в том, что друзья встретятся, должны удов-

летворять условию

|x – y| m . (*)

Геометричеси исомому событию соответствует пересечение

полосы (*) и единичноо вадрата, состоящео из точе, оор-

′

(x)

---

510 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

Р е ш е н и е. Поставим в соответствие паре чисел x и y точ-

у плосости с оординатами (x; y). Пространство элементар-

ных событий представляет собой вадрат, двумя сторонами о-

тороо являются единичные отрези осей оординат. Фиура,

множество точе оторой соответствует исходам, блаоприятст-

вующим событию y

m x, ораничена рафиами фунций y = 0,

x = 1, y

= x. Ее площадь вычисляется с помощью определенно-

о интерала:

S = dx = x

3/2

= .

Та а площадь единичноо вадрата равна единице, то

P(A) = .

Ответ..

3. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,

что |x| m 3, |y| m 5. Каова вероятность тоо, что дробь оа-

жется положительной?

4. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,

что |x| m 1, 0 m y m 1. Каова вероятность тоо, что x

< y?

5. Два действительных числа x и y выбирают наудачу та,

что |x| m 1 и |y| m 1. Каова вероятность тоо, что |x| < |y|?

 6. Наудачу взяты два положительных числа x и y, аждое из

оторых не превосходит 2. Найдите вероятность тоо, что xy m 1,

а m 2.

 7. Наудачу взяты два положительных числа x и y, не превы-

шающие 1. Каова вероятность тоо, что их сумма не превосхо-

дит 1, если сумма их вадратов больше ?

 8. Парабола асается нижней стороны вадрата и проходит

через вершины ео верхней стороны. Каова вероятность тоо,

что точа, наудачу брошенная в вадрат, попадет в область, за-

люченную между верхней стороной вадрата и параболой?

9. Парабола асается полуруа и проходит через раницы

ео диаметра. Каова вероятность тоо, что точа, наудачу бро-

шенная в полуру, попадет в область, ораниченную дуой по-

луруа и параболой?

∫

---

§ 86. Вычисление вероятностей геометрическими методами 511

10. Пусть на отрезе [0; 1] задана таая фунция f(x), что

> 0 при x Ý [0; 1], причем f(0) = 0, f(1) = 1. Доажите, что

при бросании точи в вадрат, сторонами отороо являются

промежуто [0; 1] оси Ox и промежуто [0; 1] оси Oy, наиболь-

шая вероятность попасть в область, ораниченную линиями

y = f(x), y = f(a), y = 0, y = 1, достиается при a = 0,5.

 11. Область ораничена линиями x = 0, x = , y = sin x,

y =sina. Точу бросают в прямоуольни, сторонами отороо

являются промежуто 0; оси Ox и промежуто [0; 1] оси

Oy. При аом значении a вероятность попадания точи в за-

данную область наименьшая?

При решении ряда задач еометричесим методом удобно

предварительно ввести прямоуольную деартову систему о-

ординат.

П р и м е р 3. Два друа дооворились о встрече в опреде-

ленном месте между 11 и 12 ч дня. Пришедший первым ждет

второо в течение ч, после чео уходит. Найти вероятность

тоо, что встреча состоится, если аждый придет в произволь-

ный момент между 11 и 12 ч.

Р е ш е н и е. Та а момент прихода аждоо из друзей слу-

чаен, то, выбрав отрезо единичной длины, поставим в соответ-

ствие моменту прихода первоо друа произвольную случайно

выбранную точу этоо отреза, а моменту прихода второо

друа — случайно выбранную точу второо отреза единичной

длины. Отложим эти отрези на осях оординат: первый — на

оси Ox, второй — на оси Oy. Тода пространством элементар-

ных событий является вадрат единичной площади, вписанный

в первую четверть оординатной плосости, причем оордина-

ты аждой точи (x; y) этоо вадрата представляют собой мо-

менты времени прихода друзей.

Элементарные события (x; y), блаоприятствующие собы-

тию, состоящему в том, что друзья встретятся, должны удов-

летворять условию

|x – y| m . (*)

Геометричеси исомому событию соответствует пересечение

полосы (*) и единичноо вадрата, состоящео из точе, оор-

′

(x)

---

512 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

динаты (x; y) оторых удовлетворяют неравенствам 0 m x m 1 и

0 m y m 1. Площадь фиуры, полученной в результате пересече-

ния множества (*) и вадрата, равна исомой вероятности, та

а площадь единичноо вадрата равна единице.

Ответ..

12. В течение 20 мин учени A в случайный момент звонит

по телефону учениу B и ждет 2 мин, после чео ладет трубу.

В течение тех же 20 мин в случайный момент времени учени

B приходит домой, де ждет 5 мин, после чео уходит. Каова

вероятность тоо, что разовор состоится?

 13. На единичный отрезо оси абсцисс наудачу бросают две

точи B и C. Найдите вероятность тоо, что длина отреза BC

оажется меньше, чем расстояние от начала оординат до бли-

жайшей точи.

14. Нето живет в ороде B, соединенном железной дороой

с ородами A и C. Между ородами A и C урсируют поезда, о-

торые останавливаются в ороде B. Расписание составлено та,

что поезда аждоо направления проходят через ород B с ин-

тервалами в 1 ч. Нето приходит на возал в случайный мо-

мент времени и садится на первый подошедший поезд. Ка

должно быть составлено расписание, чтобы вероятность уехать

в ород A была в 5 раз больше, чем вероятность уехать в ород C?

 15. Плосость разрафлена параллельными прямыми, отстоя-

щими дру от друа на расстояние 2a. На плосость наудачу

бросают илу длиной 2l (l < a). Найдите вероятность тоо, что

ила пересечет аую-нибудь прямую (задача Бюффона

§ 87. Вычисление вероятностей

сложных событий

События подразделяют на достоверные, невозможные и слу-

чайные: достоверные в результате опыта происходят вседа;

невозможные не происходят ниода; слчайные моут либо

произойти, либо нет. Достоверным является, например, собы-

тие, состоящее в том, что из урны, содержащей тольо белые

шары, вынимают белый шар, а невозможным— событие, со-

стоящее в том, что белый шар вынимают из урны, содержащей

тольо черные шары. Если в урне имеются и белые, и черные

шары, то извлечение шара аоо-либо определенноо цвета

является случайным событием.

------

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 513

Достоверное событие совпадает со всем пространством эле-

ментарных событий Ω, а случайное событие A является неото-

рым подмножеством в этом пространстве. Невозможное собы-

тие ¾ не содержит ни одноо элементарноо события.

Сммой двх событий A и B называют событие C, состоя-

щее в том, что произошло или событие A, или событие B. Сум-

му двух событий обозначают та:

C = A + B.(1)

Поясним понятие суммы двух событий на следующем при-

мере. Пусть мальчи упил билеты двух лотерей: «Спринт» и

«Старт». Рассмотрим случайное событие C, состоящее в том,

что мальчи выирает хотя бы в одной лотерее. Наступление

этоо события связано с наступлением хотя бы одноо из сле-

дующих событий: событие A— среди билетов, упленных маль-

чиом, есть выирышные билеты лотереи «Спринт»; событие B—

есть выирышные билеты лотереи «Старт».

Произведением двх событий A и B называют событие C,

состоящее в том, что произошли оба эти события. Произведе-

ние двух событий обозначают та:

C = AB.(2)

События A и B называют несовместными, если их произве-

дение представляет собой невозможное событие:

AB = ¾.

Поясним понятие произведения двух событий на следую-

щем примере.

Во время испытаний среди машин, потерпевших аварию,

имеются «Жиули» и «Воли». Часть машин при аварии пере-

вернулась. Событие A, состоящее в том, что наудачу выбранная

неперевернувшаяся автомашина есть «Вола», представляет со-

бой произведение двух событий: B— машина не перевернулась

и C— машина является «Волой», т. е. A = BC.

Определение вероятности сложноо события A, являющео-

ся омбинацией более простых событий A

, ..., A

, вероятности

оторых известны, основано на формулах сложения и умноже-

ния вероятностей.

Формла сложения вероятностей. Проведем эсперимент,

связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим ве-

роятность события C, состоящео в том, что сумма очов на вы-

павших ранях не превосходит числа 3. Пространство элемен-

тарных событий, возниающих в результате этоо эсперимен-

та, можно представить упорядоченными парами целых чисел,

512 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

динаты (x; y) оторых удовлетворяют неравенствам 0 m x m 1 и

0 m y m 1. Площадь фиуры, полученной в результате пересече-

ния множества (*) и вадрата, равна исомой вероятности, та

а площадь единичноо вадрата равна единице.

Ответ..

12. В течение 20 мин учени A в случайный момент звонит

по телефону учениу B и ждет 2 мин, после чео ладет трубу.

В течение тех же 20 мин в случайный момент времени учени

B приходит домой, де ждет 5 мин, после чео уходит. Каова

вероятность тоо, что разовор состоится?

 13. На единичный отрезо оси абсцисс наудачу бросают две

точи B и C. Найдите вероятность тоо, что длина отреза BC

оажется меньше, чем расстояние от начала оординат до бли-

жайшей точи.

14. Нето живет в ороде B, соединенном железной дороой

с ородами A и C. Между ородами A и C урсируют поезда, о-

торые останавливаются в ороде B. Расписание составлено та,

что поезда аждоо направления проходят через ород B с ин-

тервалами в 1 ч. Нето приходит на возал в случайный мо-

мент времени и садится на первый подошедший поезд. Ка

должно быть составлено расписание, чтобы вероятность уехать

в ород A была в 5 раз больше, чем вероятность уехать в ород C?

 15. Плосость разрафлена параллельными прямыми, отстоя-

щими дру от друа на расстояние 2a. На плосость наудачу

бросают илу длиной 2l (l < a). Найдите вероятность тоо, что

ила пересечет аую-нибудь прямую (задача Бюффона

§ 87. Вычисление вероятностей

сложных событий

События подразделяют на достоверные, невозможные и слу-

чайные: достоверные в результате опыта происходят вседа;

невозможные не происходят ниода; слчайные моут либо

произойти, либо нет. Достоверным является, например, собы-

тие, состоящее в том, что из урны, содержащей тольо белые

шары, вынимают белый шар, а невозможным— событие, со-

стоящее в том, что белый шар вынимают из урны, содержащей

тольо черные шары. Если в урне имеются и белые, и черные

шары, то извлечение шара аоо-либо определенноо цвета

является случайным событием.

------

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 513

Достоверное событие совпадает со всем пространством эле-

ментарных событий Ω, а случайное событие A является неото-

рым подмножеством в этом пространстве. Невозможное собы-

тие ¾ не содержит ни одноо элементарноо события.

Сммой двх событий A и B называют событие C, состоя-

щее в том, что произошло или событие A, или событие B. Сум-

му двух событий обозначают та:

C = A + B.(1)

Поясним понятие суммы двух событий на следующем при-

мере. Пусть мальчи упил билеты двух лотерей: «Спринт» и

«Старт». Рассмотрим случайное событие C, состоящее в том,

что мальчи выирает хотя бы в одной лотерее. Наступление

этоо события связано с наступлением хотя бы одноо из сле-

дующих событий: событие A— среди билетов, упленных маль-

чиом, есть выирышные билеты лотереи «Спринт»; событие B—

есть выирышные билеты лотереи «Старт».

Произведением двх событий A и B называют событие C,

состоящее в том, что произошли оба эти события. Произведе-

ние двух событий обозначают та:

C = AB.(2)

События A и B называют несовместными, если их произве-

дение представляет собой невозможное событие:

AB = ¾.

Поясним понятие произведения двух событий на следую-

щем примере.

Во время испытаний среди машин, потерпевших аварию,

имеются «Жиули» и «Воли». Часть машин при аварии пере-

вернулась. Событие A, состоящее в том, что наудачу выбранная

неперевернувшаяся автомашина есть «Вола», представляет со-

бой произведение двух событий: B— машина не перевернулась

и C— машина является «Волой», т. е. A = BC.

Определение вероятности сложноо события A, являющео-

ся омбинацией более простых событий A

, ..., A

, вероятности

оторых известны, основано на формулах сложения и умноже-

ния вероятностей.

Формла сложения вероятностей. Проведем эсперимент,

связанный с бросанием двух иральных остей, и вычислим ве-

роятность события C, состоящео в том, что сумма очов на вы-

павших ранях не превосходит числа 3. Пространство элемен-

тарных событий, возниающих в результате этоо эсперимен-

та, можно представить упорядоченными парами целых чисел,

514 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

изменяющихся от 1 до 6. Таих пар имеется 36. Среди этих со-

бытий блаоприятствуют событию C следующие: (1; 1), (1; 2),

(2; 1). Таим образом, соласно определению, введенному в § 85,

залючаем, что вероятность события C есть

P(C) = = .

Рассмотрим теперь событие C а омбинацию более прос-

тых событий. Для этоо заметим, что событие C происходит,

если происходит событие A— сумма очов на выпавших ра-

нях равна 2, или событие B— сумма очов на выпавших ранях

равна 3. Значит, событие C есть сумма событий A и B: C = A + B.

Из исходноо пространства элементарных событий событию A

блаоприятствует тольо пара (1; 1), а событию B— пары (1; 2)

и (2; 1). Следовательно, вероятности событий A и B таовы:

P(A) = , P(B) = .

Ита, в данном случае справедливо равенство

P(C) = P(A) + P(B).

Заметим, что в этом примере события A и B являются несов-

местными (сумма очов на выпавших ранях не может одно-

временно быть равной 2 и 3).

Вычислим вероятность события C, состоящео в том, что из

олоды в 52 арты наудачу взятая арта оазалась или тузом,

или артой червонной масти. Здесь пространство элементарных

событий состоит из 52 элементов. Элементарные события, бла-

оприятствующие событию C, залючаются в том, что взяли

арту червонной масти (имеются 13 арт одной масти) или туза

(имеются 4 туза). Учитывая, что один из тузов червонный и,

следовательно, блаоприятными оазываются 16 элементарных

событий, получаем

P(C) = = .

Представим теперь C в виде омбинации более простых со-

бытий: событие A — взятая наудачу арта оазалась червон-

ной, и событие B— взятая наудачу арта оазалась тузом.

Тода по определению суммы двух событий имеем C = A + B.

Вероятности событий A и B таовы:

P(A) = , P(B) = .

------

---

------

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 515

Нам понадобится таже вероятность произведения событий

A и B, т. е. события D = AB, оторое залючается в том, что на-

удачу взятой артой оазывается червонный туз. Очевидно,

что вероятность события D составляет

P(D) = .

Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(D).

Обобщением рассмотренных примеров служит формла

сложения вероятностей:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB), (3)

т. е. вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероят-

ностей этих событий минус вероятность их произведения.

В том случае, ода события A и B несовместны, формула

(3) примет вид

P(A + B) = P(A) + P(B). (4)

Формла множения вероятностей. Рассмотрим эспери-

мент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычис-

лим вероятность события C, состоящео в том, что число очов,

выпавших на первой ости, больше 3, а на второй — больше 4.

Элементарные события, блаоприятствующие событию C,— упо-

рядоченные пары чисел: (4; 5), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6).

Таим образом,

P(C) = = .

Представим теперь событие C в виде омбинации более

простых событий: события A, состоящео в том, что на первой

ости выпало больше 3 очов, и события B— на второй ости

выпало больше 4 очов. Тода, соласно определению, событие

C есть произведение событий A и B: C = AB.

Вычислим вероятности событий A и B. Прежде всео заме-

тим, что пространства элементарных событий, возниающие

при бросании аждой ости в отдельности, состоят из шести

равновозможных исходов. Элементарные события, блаоприят-

ствующие событию A, состоят в выпадении на первой ости 4,

5 или 6 очов. Следовательно, P(A) = .

Элементарные события, блаоприятствующие событию B,

состоят в выпадении на второй ости 5 или 6 очов. Поэтому

------

---

514 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

изменяющихся от 1 до 6. Таих пар имеется 36. Среди этих со-

бытий блаоприятствуют событию C следующие: (1; 1), (1; 2),

(2; 1). Таим образом, соласно определению, введенному в § 85,

залючаем, что вероятность события C есть

P(C) = = .

Рассмотрим теперь событие C а омбинацию более прос-

тых событий. Для этоо заметим, что событие C происходит,

если происходит событие A— сумма очов на выпавших ра-

нях равна 2, или событие B— сумма очов на выпавших ранях

равна 3. Значит, событие C есть сумма событий A и B: C = A + B.

Из исходноо пространства элементарных событий событию A

блаоприятствует тольо пара (1; 1), а событию B— пары (1; 2)

и (2; 1). Следовательно, вероятности событий A и B таовы:

P(A) = , P(B) = .

Ита, в данном случае справедливо равенство

P(C) = P(A) + P(B).

Заметим, что в этом примере события A и B являются несов-

местными (сумма очов на выпавших ранях не может одно-

временно быть равной 2 и 3).

Вычислим вероятность события C, состоящео в том, что из

олоды в 52 арты наудачу взятая арта оазалась или тузом,

или артой червонной масти. Здесь пространство элементарных

событий состоит из 52 элементов. Элементарные события, бла-

оприятствующие событию C, залючаются в том, что взяли

арту червонной масти (имеются 13 арт одной масти) или туза

(имеются 4 туза). Учитывая, что один из тузов червонный и,

следовательно, блаоприятными оазываются 16 элементарных

событий, получаем

P(C) = = .

Представим теперь C в виде омбинации более простых со-

бытий: событие A — взятая наудачу арта оазалась червон-

ной, и событие B— взятая наудачу арта оазалась тузом.

Тода по определению суммы двух событий имеем C = A + B.

Вероятности событий A и B таовы:

P(A) = , P(B) = .

------

---

------

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 515

Нам понадобится таже вероятность произведения событий

A и B, т. е. события D = AB, оторое залючается в том, что на-

удачу взятой артой оазывается червонный туз. Очевидно,

что вероятность события D составляет

P(D) = .

Нетрудно убедиться, что в данном случае справедливо равенство

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(D).

Обобщением рассмотренных примеров служит формла

сложения вероятностей:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(AB), (3)

т. е. вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероят-

ностей этих событий минус вероятность их произведения.

В том случае, ода события A и B несовместны, формула

(3) примет вид

P(A + B) = P(A) + P(B). (4)

Формла множения вероятностей. Рассмотрим эспери-

мент, связанный с бросанием двух иральных остей, и вычис-

лим вероятность события C, состоящео в том, что число очов,

выпавших на первой ости, больше 3, а на второй — больше 4.

Элементарные события, блаоприятствующие событию C,— упо-

рядоченные пары чисел: (4; 5), (4; 6), (5; 5), (5; 6), (6; 5), (6; 6).

Таим образом,

P(C) = = .

Представим теперь событие C в виде омбинации более

простых событий: события A, состоящео в том, что на первой

ости выпало больше 3 очов, и события B— на второй ости

выпало больше 4 очов. Тода, соласно определению, событие

C есть произведение событий A и B: C = AB.

Вычислим вероятности событий A и B. Прежде всео заме-

тим, что пространства элементарных событий, возниающие

при бросании аждой ости в отдельности, состоят из шести

равновозможных исходов. Элементарные события, блаоприят-

ствующие событию A, состоят в выпадении на первой ости 4,

5 или 6 очов. Следовательно, P(A) = .

Элементарные события, блаоприятствующие событию B,

состоят в выпадении на второй ости 5 или 6 очов. Поэтому

------

---

516 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

P(B) = . Нетрудно проверить, что в данном случае выполняет-

ся соотношение

P(C) = P(A) · P(B). (5)

События A и B, для оторых выполняется равенство (5), бу-

дем называть независимыми. Таим образом, вероятность про-

изведения двух независимых событий можно вычислить по

формуле (5). Если же для событий A и B условие (5) не выпол-

няется, то таие события называют зависимыми. В этом случае

можно оворить о та называемой условной вероятности наступ-

ления события A при условии, что событие B произошло.

Пусть, например, требуется вычислить вероятность собы-

тия A, состоящео в том, что сумма очов при бросании двух

остей не превысит 4, если известно, что на одной ости выпа-

ло число 1 (событие B). Та а событие B произошло, то, счи-

тая ео достоверным, можно рассмотреть новое пространство

элементарных событий, состоящее из 11 событий, блаоприят-

ствующих событию B:

(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6),

(2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1).

В этом новом пространстве элементарных событий событию A

блаоприятствуют 5 элементарных событий: (1; 1), (1; 2), (1; 3),

(2; 1), (3; 1). Значит, вероятность события A в этом пространст-

ве элементарных событий равна . Полученную величину бу-

дем называть словной вероятностью события A при усло-

вии, что произошло событие B, и обозначать P(A/B).

Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных

событий, возниающее при бросании двух остей, и вычислим

вероятность события C = AB, состоящео в том, что сумма оч-

ов, выпавших на остях, не превосходит 4 и что на одной из

остей выпало число 1. Элементарные события, блаоприятст-

вующие событию C, состоят из следующих пар чисел: (1; 1),

(1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Таим образом, P(C) = . Выше бы-

ли рассмотрены 11 элементарных событий, блаоприятствую-

щих событию B. Следовательно, P(B) = . Нетрудно убедить-

ся в справедливости соотношения

P(C) = P(A/B) · P(B).

---

------

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 517

Обобщением рассмотренных примеров является формла

множения вероятностей:

P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(B) ·P(A/B), (6)

т. е. вероятность произведения двух событий A и B равна про-

изведению вероятности одноо из этих событий на условную

вероятность друоо, вычисленную в предположении, что пер-

вое событие произошло.

Для случая трех событий обобщение формулы (6) имеет вид

P(ABC) = P(A/BC)·P(BC) = P(A/BC) ·P(B/C) ·P(C). (7)

П р и м е р 1. Из урны, содержащей n белых и m черных

шаров, извлеают два шара. Каова вероятность тоо, что они

разных цветов?

Р е ш е н и е. Представим событие C, залючающееся в том,

что вынутые шары разных цветов, в виде C = A + B, де собы-

тие A состоит в том, что первый шар белый, а второй черный;

событие B— в том, что первый шар черный, а второй белый.

Та а события A и B несовместны, то, соласно формуле (4),

имеем

P(C) = P(A) + P(B). (*)

Вероятности событий A и B вычислим, используя формулу

(6). Представим событие A в виде A = (Б; Ч), де бувы Б и Ч,

записанные в данной последовательности, означают, что пер-

вым был вынут белый шар, а вторым — черный. Тода

P(A) = P(Б) P(Ч/Б).

Вероятность P(Б) представляет собой отношение числа бе-

лых шаров  числу всех шаров, находящихся в урне. Условная

вероятность P(Ч/Б) тоо, что вторым вынут черный шар при

условии, что первым был вынут белый, представляет собой от-

ношение первоначальноо числа черных шаров  уменьшивше-

муся на единицу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таим

образом,

P(A) = · .

Аналоично получим

P(B) = · .

nm+

--------------- -

nm1–+

------------------------- -

nm+

--------------- -

nm1–+

------------------------- -

516 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей

P(B) = . Нетрудно проверить, что в данном случае выполняет-

ся соотношение

P(C) = P(A) · P(B). (5)

События A и B, для оторых выполняется равенство (5), бу-

дем называть независимыми. Таим образом, вероятность про-

изведения двух независимых событий можно вычислить по

формуле (5). Если же для событий A и B условие (5) не выпол-

няется, то таие события называют зависимыми. В этом случае

можно оворить о та называемой условной вероятности наступ-

ления события A при условии, что событие B произошло.

Пусть, например, требуется вычислить вероятность собы-

тия A, состоящео в том, что сумма очов при бросании двух

остей не превысит 4, если известно, что на одной ости выпа-

ло число 1 (событие B). Та а событие B произошло, то, счи-

тая ео достоверным, можно рассмотреть новое пространство

элементарных событий, состоящее из 11 событий, блаоприят-

ствующих событию B:

(1; 1), (1; 2), (1; 3), (1; 4), (1; 5), (1; 6),

(2; 1), (3; 1), (4; 1), (5; 1), (6; 1).

В этом новом пространстве элементарных событий событию A

блаоприятствуют 5 элементарных событий: (1; 1), (1; 2), (1; 3),

(2; 1), (3; 1). Значит, вероятность события A в этом пространст-

ве элементарных событий равна . Полученную величину бу-

дем называть словной вероятностью события A при усло-

вии, что произошло событие B, и обозначать P(A/B).

Рассмотрим теперь исходное пространство элементарных

событий, возниающее при бросании двух остей, и вычислим

вероятность события C = AB, состоящео в том, что сумма оч-

ов, выпавших на остях, не превосходит 4 и что на одной из

остей выпало число 1. Элементарные события, блаоприятст-

вующие событию C, состоят из следующих пар чисел: (1; 1),

(1; 2), (1; 3), (2; 1), (3; 1). Таим образом, P(C) = . Выше бы-

ли рассмотрены 11 элементарных событий, блаоприятствую-

щих событию B. Следовательно, P(B) = . Нетрудно убедить-

ся в справедливости соотношения

P(C) = P(A/B) · P(B).

---

------

§ 87. Вычисление вероятностей сложных событий 517

Обобщением рассмотренных примеров является формла

множения вероятностей:

P(AB) = P(A)·P(B/A) = P(B) ·P(A/B), (6)

т. е. вероятность произведения двух событий A и B равна про-

изведению вероятности одноо из этих событий на условную

вероятность друоо, вычисленную в предположении, что пер-

вое событие произошло.

Для случая трех событий обобщение формулы (6) имеет вид

P(ABC) = P(A/BC)·P(BC) = P(A/BC) ·P(B/C) ·P(C). (7)

П р и м е р 1. Из урны, содержащей n белых и m черных

шаров, извлеают два шара. Каова вероятность тоо, что они

разных цветов?

Р е ш е н и е. Представим событие C, залючающееся в том,

что вынутые шары разных цветов, в виде C = A + B, де собы-

тие A состоит в том, что первый шар белый, а второй черный;

событие B— в том, что первый шар черный, а второй белый.

Та а события A и B несовместны, то, соласно формуле (4),

имеем

P(C) = P(A) + P(B). (*)

Вероятности событий A и B вычислим, используя формулу

(6). Представим событие A в виде A = (Б; Ч), де бувы Б и Ч,

записанные в данной последовательности, означают, что пер-

вым был вынут белый шар, а вторым — черный. Тода

P(A) = P(Б) P(Ч/Б).

Вероятность P(Б) представляет собой отношение числа бе-

лых шаров  числу всех шаров, находящихся в урне. Условная

вероятность P(Ч/Б) тоо, что вторым вынут черный шар при

условии, что первым был вынут белый, представляет собой от-

ношение первоначальноо числа черных шаров  уменьшивше-

муся на единицу числу всех шаров, оставшихся в урне. Таим

образом,

P(A) = · .

Аналоично получим

P(B) = · .

nm+

--------------- -

nm1–+

------------------------- -

nm+

--------------- -

nm1–+

------------------------- -