Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
488 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Возводя обе части равенства (**) в вадрат и подставляя выра-
жения (***), получаем
cos
2
F(, ) = ,
отуда
cos F(, ) = ,cosF(, ) = – .
Ответ. arccos или arccos – .
1. Дано: | | = 3, | | = 4, F( , ) = . Вычислите:
а)
2
;б)( + )
2
;в)(3 – 2)( + 2).
2. Зная, что | | = 3, | | = 1, | | = 4 и + + = , вычис-
лите · + · + · .
3. Каому условию должны удовлетворять веторы и ,
чтобы имело место равенство | + | = | – |?
4. Доажите, что ветор ( ) – ( ) перпендиулярен
ветору .
5. Доажите, что если , , — произвольные веторы,
причем не перпендиулярен , то существует таое число k,
что веторы и + k перпендиулярны дру друу. Найди-
те число k.
Если веторы , и являются сторонами треуольниа
ABC, то из равенства + + = следует равенство
2
=
2
+
2
– 2 · ,
представляющее собой веторную запись теоремы осинусов.
При выполнении упр. 6—21 используйте веторную запись
теоремы осинусов.
6. В треуольние ABC проведена медиана CC
1
. Доажите,
что если BC > AC, то уол CC
1
B— тупой.
7. Доажите, что уол C треуольниа ABC является острым,
прямым или тупым в зависимости от тоо, что медиана CC
1
,
проведенная из вершины C, больше, равна или меньше AB.
a
b
19
2
25 43⋅
------------------
a b
19
543
-------------- -
a b
19
543
-------------- -
19
543
-------------- -
19
543
-------------- -
a
b a b
2π
3
------ -
a a b a b a b
a b c a b c 0
a b b c c a
a b
a b a b
a b c a c b
a
a b c
a c
a b c
a b c
a b c 0
c a b a b
1
2
---
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения 489
18. Найдите:
1а) длину медианы AD треуольниа ABC, зная длины сто-
рон AC = b, AB = c и величину ула A;
1б) длину биссетрисы AE треуольниа ABC, зная длины
сторон AC = b, AB = c и величину ула A.
19. Известны стороны треуольниа ABC. Найдите:
1а) длину медианы AD = m
a
;
1б) длину биссетрисы AE = l
a
.
10. В треуольние ABC уол B— прямой, медианы AD и
BE взаимно перпендиулярны. Найдите величину ула C.
11. В треуольние ABC на сторонах BC и AC соответствен-
но выбраны точи D и E та, что BD = DC, AE = 2CE. Найдите
BC : AB, если известно, что AD B BE и FABC = 60°.
12. В четырехуольние ABCD уол при вершине A равен
120°, а диаональ AC является биссетрисой этоо ула. Из-
вестно, что AC = AB = AD. Найдите осинус ула между
веторами и .
13. Доажите, что если в треуольние ABC имеет место ра-
венство a
2
+ b
2
= 2c
2
, то am
a
+ bm
b
= 2cm
c
, де m
a
, m
b
, m
c
—
длины медиан треуольниа, a, b, c— длины ео сторон.
14. В треуольние ABC проведен отрезо A
1
B
1
, параллель-
ный стороне AB, де точи A
1
и B
1
лежат соответственно на сто-
ронах AC и BC. Доажите, что если AB
1
= BA
1
, то треуольни
ABC равнобедренный.
15. В треуольние ABC проведены медианы AA
1
и BB
1
. Доа-
жите, что если FC + F(, ) = 180°, то CA
2
+ CB
2
= 2AB
2
.
16. Доажите, что если G— центр тяжести треуольниа
ABC, а O— неоторая точа пространства, то
OA
2
+ OB
2
+ OC
2
= 3OG
2
+ AG
2
+ BG
2
+ CG
2
(теорема Лейбница).
17. Доажите, что если O— центр описанной ооло тре-
уольниа ABC оружности и H— ео ортоцентр, то:
1) = + + ;
2) OH
2
= 9R
2
– (a
2
+ b
2
+ c
2
);
3) AH = 2R |cosFA |.
18. Доажите, что в произвольном треуольние центр O
описанной оружности, центр тяжести G и ортоцентр H прина-
длежат одной прямой (прямой Эйлера
), причем OG : GH = 1 : 2.
1
5
---
1
3
---
BA CD
AA
1
BB
1
OH OA OB OC
488 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Возводя обе части равенства (**) в вадрат и подставляя выра-
жения (***), получаем
cos
2
F(, ) = ,
отуда
cos F(, ) = ,cosF(, ) = – .
Ответ. arccos или arccos – .
1. Дано: | | = 3, | | = 4, F( , ) = . Вычислите:
а)
2
;б)( + )
2
;в)(3 – 2)( + 2).
2. Зная, что | | = 3, | | = 1, | | = 4 и + + = , вычис-
лите · + · + · .
3. Каому условию должны удовлетворять веторы и ,
чтобы имело место равенство | + | = | – |?
4. Доажите, что ветор ( ) – ( ) перпендиулярен
ветору .
5. Доажите, что если , , — произвольные веторы,
причем не перпендиулярен , то существует таое число k,
что веторы и + k перпендиулярны дру друу. Найди-
те число k.
Если веторы , и являются сторонами треуольниа
ABC, то из равенства + + = следует равенство
2
=
2
+
2
– 2 · ,
представляющее собой веторную запись теоремы осинусов.
При выполнении упр. 6—21 используйте веторную запись
теоремы осинусов.
6. В треуольние ABC проведена медиана CC
1
. Доажите,
что если BC > AC, то уол CC
1
B— тупой.
7. Доажите, что уол C треуольниа ABC является острым,
прямым или тупым в зависимости от тоо, что медиана CC
1
,
проведенная из вершины C, больше, равна или меньше AB.
a
b
19
2
25 43⋅
------------------
a b
19
543
-------------- -
a b
19
543
-------------- -
19
543
-------------- -
19
543
-------------- -
a
b a b
2π
3
------ -
a a b a b a b
a b c a b c 0
a b b c c a
a b
a b a b
a b c a c b
a
a b c
a c
a b c
a b c
a b c 0
c a b a b
1
2
---
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения 489
18. Найдите:
1а) длину медианы AD треуольниа ABC, зная длины сто-
рон AC = b, AB = c и величину ула A;
1б) длину биссетрисы AE треуольниа ABC, зная длины
сторон AC = b, AB = c и величину ула A.
19. Известны стороны треуольниа ABC. Найдите:
1а) длину медианы AD = m
a
;
1б) длину биссетрисы AE = l
a
.
10. В треуольние ABC уол B— прямой, медианы AD и
BE взаимно перпендиулярны. Найдите величину ула C.
11. В треуольние ABC на сторонах BC и AC соответствен-
но выбраны точи D и E та, что BD = DC, AE = 2CE. Найдите
BC : AB, если известно, что AD B BE и FABC = 60°.
12. В четырехуольние ABCD уол при вершине A равен
120°, а диаональ AC является биссетрисой этоо ула. Из-
вестно, что AC = AB = AD. Найдите осинус ула между
веторами и .
13. Доажите, что если в треуольние ABC имеет место ра-
венство a
2
+ b
2
= 2c
2
, то am
a
+ bm
b
= 2cm
c
, де m
a
, m
b
, m
c
—
длины медиан треуольниа, a, b, c— длины ео сторон.
14. В треуольние ABC проведен отрезо A
1
B
1
, параллель-
ный стороне AB, де точи A
1
и B
1
лежат соответственно на сто-
ронах AC и BC. Доажите, что если AB
1
= BA
1
, то треуольни
ABC равнобедренный.
15. В треуольние ABC проведены медианы AA
1
и BB
1
. Доа-
жите, что если FC + F(, ) = 180°, то CA
2
+ CB
2
= 2AB
2
.
16. Доажите, что если G— центр тяжести треуольниа
ABC, а O— неоторая точа пространства, то
OA
2
+ OB
2
+ OC
2
= 3OG
2
+ AG
2
+ BG
2
+ CG
2
(теорема Лейбница).
17. Доажите, что если O— центр описанной ооло тре-
уольниа ABC оружности и H— ео ортоцентр, то:
1) = + + ;
2) OH
2
= 9R
2
– (a
2
+ b
2
+ c
2
);
3) AH = 2R |cosFA |.
18. Доажите, что в произвольном треуольние центр O
описанной оружности, центр тяжести G и ортоцентр H прина-
длежат одной прямой (прямой Эйлера
), причем OG : GH = 1 : 2.
1
5
---
1
3
---
BA CD
AA
1
BB
1
OH OA OB OC
490 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
19. Доажите, что расстояние от центра O оружности, опи-
санной ооло треуольниа ABC, до ео центра тяжести G опре-
деляется формулой
OG
2
= R
2
– (a
2
+ b
2
+ c
2
).
20. Доажите, что если Q— произвольная точа, H— орто-
центр и O— центр описанной оружности треуольниа ABC, то
= ( + + – ).
21. В оружность вписан четырехуольни ABCD. Доажи-
те, что если AB
2
+ CD
2
= 4R
2
, де R— радиус описанной о-
ружности, то диаонали четырехуольниа перпендиулярны.
С помощью салярноо произведения можно доазать спра-
ведливость неоторых неравенств для трионометричесих
фунций улов треуольниа.
П р и м е р 2. Доазать, что для всяоо треуольниа ABC
выполняется неравенство
cos 2A + cos 2B + cos 2C l – .
Решение. Пусть O— центр описанной ооло треуоль-
ниа ABC оружности, радиус оторой равен R. Очевидно, что
( + + )
2
l 0. Расрыв соби, получим
2
+ 2 · +
2
+ 2 · +
+ 2 · +
2
l 0. (*)
Та а центральный уол, образуемый радиусами OA и OB,
вдвое больше ула C, вписанноо в оружность, то
· = R
2
cos 2C.
Аналоично
· = R
2
cos 2B, · = R
2
cos 2A.
Но
2
=
2
=
2
= R
2
и, значит, неравенство (*) примет
вид
2R
2
(cos 2A + cos 2B + cos 2C) + 3R
2
l 0,
1
9
---
QO
1
2
---
QA QB QC QH
3
2
---
OA OB OC
OA OA OB OB OB OC
OC OA OC
OA OB
OC OA OB OC
OA OB OC
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения 491
или
cos 2A + cos 2B + cos 2C l – ,
что и требовалось доазать.
22. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
cos A + cos B + cos C m .
23. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C m .
24. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC спра-
ведливо неравенство
cos 2A + cos 2B – cos 2C m .
При аом условии неравенство обращается в равенство?
25. Доажите, что для любоо трехранноо ула с плоси-
ми улами α, β, γ выполняется неравенство
cos α + cos β + cos γ > – .
3
2
---
3
2
---
9
4
---
3
2
---
3
2
---
490 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
19. Доажите, что расстояние от центра O оружности, опи-
санной ооло треуольниа ABC, до ео центра тяжести G опре-
деляется формулой
OG
2
= R
2
– (a
2
+ b
2
+ c
2
).
20. Доажите, что если Q— произвольная точа, H— орто-
центр и O— центр описанной оружности треуольниа ABC, то
= ( + + – ).
21. В оружность вписан четырехуольни ABCD. Доажи-
те, что если AB
2
+ CD
2
= 4R
2
, де R— радиус описанной о-
ружности, то диаонали четырехуольниа перпендиулярны.
С помощью салярноо произведения можно доазать спра-
ведливость неоторых неравенств для трионометричесих
фунций улов треуольниа.
П р и м е р 2. Доазать, что для всяоо треуольниа ABC
выполняется неравенство
cos 2A + cos 2B + cos 2C l – .
Решение. Пусть O— центр описанной ооло треуоль-
ниа ABC оружности, радиус оторой равен R. Очевидно, что
( + + )
2
l 0. Расрыв соби, получим
2
+ 2 · +
2
+ 2 · +
+ 2 · +
2
l 0. (*)
Та а центральный уол, образуемый радиусами OA и OB,
вдвое больше ула C, вписанноо в оружность, то
· = R
2
cos 2C.
Аналоично
· = R
2
cos 2B, · = R
2
cos 2A.
Но
2
=
2
=
2
= R
2
и, значит, неравенство (*) примет
вид
2R
2
(cos 2A + cos 2B + cos 2C) + 3R
2
l 0,
1
9
---
QO
1
2
---
QA QB QC QH
3
2
---
OA OB OC
OA OA OB OB OB OC
OC OA OC
OA OB
OC OA OB OC
OA OB OC
§ 81. Задачи, решаемые с помощью скалярного произведения 491
или
cos 2A + cos 2B + cos 2C l – ,
что и требовалось доазать.
22. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
cos A + cos B + cos C m .
23. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC вы-
полняется неравенство
sin
2
A + sin
2
B + sin
2
C m .
24. Доажите, что для улов всяоо треуольниа ABC спра-
ведливо неравенство
cos 2A + cos 2B – cos 2C m .
При аом условии неравенство обращается в равенство?
25. Доажите, что для любоо трехранноо ула с плоси-
ми улами α, β, γ выполняется неравенство
cos α + cos β + cos γ > – .
3
2
---
3
2
---
9
4
---
3
2
---
3
2
---
Глава 15
Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей
§ 82. Размещения, сочетания,
перестановки
Пусть дано множество {a
1
, ..., a
n
}, состоящее из n различ-
ных элементов. Выберем из нео множество, содержащее r эле-
ментов, т. е. произведем выбор объема r. Выбори моут
отличаться дру от друа а составом, та и порядом распо-
ложения элементов. Если допустить, что среди элементов вы-
бори есть одинаовые, то объем выбори в отдельных случаях
может превышать объем исходноо множества.
Примером таих выборо служат телефонные номера. Пусть
номер состоит из 12 цифр, а телефонный дис содержит 10 цифр;
тода при наборе номера осуществляется выбора 12 элементов
из множества, содержащео 10 элементов. Та а дис после
набора аждой цифры возвращается в исходное положение, то
цифры телефонноо номера моут повторяться. Это означает,
что выбора может содержать одинаовые элементы.
Пусть исходное множество содержит n различных элемен-
тов. Тода число различных выборо объема r, элементы ото-
рых моут повторяться, равно n
r
. Если же элементы выбори
не повторяются, то ее объем не может превысить объем исход-
ноо множества. Число различных выборо объема r с неповто-
ряющимися элементами из исходноо множества объема n вы-
ражается формулой
= n(n – 1) ... (n – r + 1); (1)
уазывает число различных размещений из n элементов
по r позициям. Если n = r, то различные выбори отличаются
тольо порядом элементов. Таие выбори называют пере-
становами из n элементов. Число различных перестаново
из n элементов находится по формуле
= n(n – 1) ... 1 = n!(2)
A
n
r
A
n
r
P
n
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки 493
В неоторых задачах порядо элементов в выборе не имеет
значения. Например, при выборе трех челове в президиум
собрания, состоящео из 200 челове, или при поупе в маа-
зине пяти наименований продутов из имеющихся там 100 на-
именований. В этом случае выбори одноо состава (т. е. выбор-
и, элементы оторых совпадают) считаются неразличимыми.
Число выборо различноо состава, объем оторых равен r, из
множества объема n находится по формуле
= = = ; (3)
называют числом сочетаний из n элементов по r.
П р и м е р 1. Бувы азбуи Морзе представляют собой по-
следовательности точе и тире. Сольо различных був мож-
но получить, если использовать 5 символов?
Р е ш е н и е. Исходное множество состоит из двух элемен-
тов: точи и тире. Та а используется 5 символов, то выбор-
а содержит 5 элементов, оторые моут повторяться. Таим
образом, число различных выборо, аждая из оторых пред-
ставляет аую-нибудь буву, равно 2
5
= 32.
Ответ.32бувы.
1. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров?
2. Сольо существует различных телефонных номеров, если
аждый номер содержит не более семи цифр? (Считается, что
телефонный номер может начинаться с нуля.)
3. Пусть бувы неоторой азбуи представляют собой по-
следовательности точе, тире и пробелов. Сольо различных
був можно образовать, если использовать 5 символов?
4. В неотором осударстве нет двух жителей с одинаовым
набором зубов. Каова может быть наибольшая численность
населения осударства (наибольшее число зубов равно 32)?
5. Пусть p
1
, ..., p
m
— различные простые числа. Сольо
делителей имеет число q = ... , де k
1
, k
2
, ..., k
m
— не-
оторые натуральные числа (делители 1 и q влючаются)?
6. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров, если в аждом номере нет повторяющихся цифр?
C
n
r
A
n
r
P
r
------ -
nn 1–() ... nr–1+()
r!
--------------------------------------------------------------
n!
r! nr–()!
------------------------ -
C
n
r
p
1
k
1
p
2
k
2
p
m
k
m
Глава 15
Комбинаторика. Бином Ньютона.
Элементы теории вероятностей
§ 82. Размещения, сочетания,
перестановки
Пусть дано множество {a
1
, ..., a
n
}, состоящее из n различ-
ных элементов. Выберем из нео множество, содержащее r эле-
ментов, т. е. произведем выбор объема r. Выбори моут
отличаться дру от друа а составом, та и порядом распо-
ложения элементов. Если допустить, что среди элементов вы-
бори есть одинаовые, то объем выбори в отдельных случаях
может превышать объем исходноо множества.
Примером таих выборо служат телефонные номера. Пусть
номер состоит из 12 цифр, а телефонный дис содержит 10 цифр;
тода при наборе номера осуществляется выбора 12 элементов
из множества, содержащео 10 элементов. Та а дис после
набора аждой цифры возвращается в исходное положение, то
цифры телефонноо номера моут повторяться. Это означает,
что выбора может содержать одинаовые элементы.
Пусть исходное множество содержит n различных элемен-
тов. Тода число различных выборо объема r, элементы ото-
рых моут повторяться, равно n
r
. Если же элементы выбори
не повторяются, то ее объем не может превысить объем исход-
ноо множества. Число различных выборо объема r с неповто-
ряющимися элементами из исходноо множества объема n вы-
ражается формулой
= n(n – 1) ... (n – r + 1); (1)
уазывает число различных размещений из n элементов
по r позициям. Если n = r, то различные выбори отличаются
тольо порядом элементов. Таие выбори называют пере-
становами из n элементов. Число различных перестаново
из n элементов находится по формуле
= n(n – 1) ... 1 = n!(2)
A
n
r
A
n
r
P
n
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки 493
В неоторых задачах порядо элементов в выборе не имеет
значения. Например, при выборе трех челове в президиум
собрания, состоящео из 200 челове, или при поупе в маа-
зине пяти наименований продутов из имеющихся там 100 на-
именований. В этом случае выбори одноо состава (т. е. выбор-
и, элементы оторых совпадают) считаются неразличимыми.
Число выборо различноо состава, объем оторых равен r, из
множества объема n находится по формуле
= = = ; (3)
называют числом сочетаний из n элементов по r.
П р и м е р 1. Бувы азбуи Морзе представляют собой по-
следовательности точе и тире. Сольо различных був мож-
но получить, если использовать 5 символов?
Р е ш е н и е. Исходное множество состоит из двух элемен-
тов: точи и тире. Та а используется 5 символов, то выбор-
а содержит 5 элементов, оторые моут повторяться. Таим
образом, число различных выборо, аждая из оторых пред-
ставляет аую-нибудь буву, равно 2
5
= 32.
Ответ.32бувы.
1. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров?
2. Сольо существует различных телефонных номеров, если
аждый номер содержит не более семи цифр? (Считается, что
телефонный номер может начинаться с нуля.)
3. Пусть бувы неоторой азбуи представляют собой по-
следовательности точе, тире и пробелов. Сольо различных
був можно образовать, если использовать 5 символов?
4. В неотором осударстве нет двух жителей с одинаовым
набором зубов. Каова может быть наибольшая численность
населения осударства (наибольшее число зубов равно 32)?
5. Пусть p
1
, ..., p
m
— различные простые числа. Сольо
делителей имеет число q = ... , де k
1
, k
2
, ..., k
m
— не-
оторые натуральные числа (делители 1 и q влючаются)?
6. Сольо существует различных семизначных телефонных
номеров, если в аждом номере нет повторяющихся цифр?
C
n
r
A
n
r
P
r
------ -
nn 1–() ... nr–1+()
r!
--------------------------------------------------------------
n!
r! nr–()!
------------------------ -
C
n
r
p
1
k
1
p
2
k
2
p
m
k
m
494 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. Сольо существует различных исходов эсперимента, свя-
занноо с n бросаниями монеты? (Исходы двух эспериментов
считаются различными, если очередность выпадения ербов в
этих эспериментах не совпадает с очередностью выпадения
цифр.)
18. Сольо существует таих перестаново семи учениов,
при оторых три определенных учениа находятся рядом дру
с друом?
19. На нижной поле находится собрание сочинений в 30 то-
мах. Сольими различными способами можно переставить ни-
и, чтобы:
1а) тома I и II находились рядом;
1б) тома III и IV не находились рядом?
10. Сольо различных аордов можно взять на 10 выбран-
ных лавишах рояля, если аждый аорд содержит от трех
до десяти звуов?
11. Собрание из 40 челове избирает председателя, серета-
ря и 5 членов неоторой омиссии. Сольо различных омис-
сий можно составить?
Если требуется определить число различных выборо, состав-
ленных из несольих разнородных рупп элементов, то удоб-
но считать, что элементы аждой руппы выбираются из своео
исходноо множества, т. е. число различных исходных мно-
жеств совпадает с числом различных рупп, элементы оторых
представлены в выборе. Та, например, пусть требуется соста-
вить сборную оманду восьми областей, состоящую из 24
спортсменов, в оторую от аждой области войдет 3 спортсме-
на. Эта выбора содержит 24 элемента, оторые набираются из
восьми исходных множеств, причем из аждоо отдельноо
множества выбирается 3 элемента.
П р и м е р 2. В урне находятся m белых и n черных шаров.
Сольими способами можно выбрать из урны r шаров, из о-
торых k шаров оажутся белыми? (Считается, что шары аж-
доо цвета различны, например, пронумерованы.)
Р е ш е н и е. Число способов, оторыми можно выбрать k бе-
лых шаров из имеющихся m белых шаров, равно ; тода ос-
тавшиеся r – k черных шаров из руппы в n шаров можно вы-
брать способами. При этом аждому способу выбора k
белых шаров соответствует различных способов выбора
C
m
k
C
n
rk–
C
n
rk–
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки 495
черных. Следовательно, общее число различных выборо равно
произведению .
Ответ. способами.
12. Из 10 роз и 8 еоринов нужно составить бует, содер-
жащий две розы и три еорина. Сольо можно составить раз-
личных буетов?
13. В олоде 36 арт, из них четыре туза. Сольими спосо-
бами можно сдать 6 арт та, чтобы среди них было два туза?
14. Комплесная бриада состоит из двух маляров, трех шту-
атуров и одноо столяра. Сольо различных бриад можно
создать из рабочео оллетива, в отором 15 маляров, 10 шту-
атуров и 5 столяров?
15. В лотерее «Спортлото» разырываются 6 из 49 видов
спорта. Главный выирыш падает на ту арточу, де уаданы
правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта уазан под нео-
торым номером.) Меньшие призы достаются тем, что уадал 5,
4 и 3 номера из 6. Сольо может быть различных арточе,
де уаданы: а) 5; б) 4; в) 3 из 6 номеров, если на аждой ар-
точе произвольно зачериваются 6 номеров? (Карточи, на о-
торых вычериваются одни и те же номера, считаются одина-
овыми.)
16. Сольо оружностей можно провести через 10 точе,
из оторых ниаие четыре не лежат на одной оружности и
ниаие три не лежат на одной прямой, если аждая оруж-
ность проходит через три точи?
17. Из олоды, содержащей 52 арты (из них четыре туза),
извлели 10 арт. В сольих случаях среди этих арт будет
хотя бы один туз?
18. Сольими способами из олоды в 52 арты (из них че-
тыре туза и четыре ороля) можно извлечь 6 арт, содержащих
туза и ороля одной масти?
19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 жен-
щин. Сольими способами можно составить четыре смешан-
ные пары?
20. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом чис-
ле содержалась одна цифра 1?
21. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
ставить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе
содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)
C
m
k
C
n
rk–
C
m
k
C
n
rk–
494 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. Сольо существует различных исходов эсперимента, свя-
занноо с n бросаниями монеты? (Исходы двух эспериментов
считаются различными, если очередность выпадения ербов в
этих эспериментах не совпадает с очередностью выпадения
цифр.)
18. Сольо существует таих перестаново семи учениов,
при оторых три определенных учениа находятся рядом дру
с друом?
19. На нижной поле находится собрание сочинений в 30 то-
мах. Сольими различными способами можно переставить ни-
и, чтобы:
1а) тома I и II находились рядом;
1б) тома III и IV не находились рядом?
10. Сольо различных аордов можно взять на 10 выбран-
ных лавишах рояля, если аждый аорд содержит от трех
до десяти звуов?
11. Собрание из 40 челове избирает председателя, серета-
ря и 5 членов неоторой омиссии. Сольо различных омис-
сий можно составить?
Если требуется определить число различных выборо, состав-
ленных из несольих разнородных рупп элементов, то удоб-
но считать, что элементы аждой руппы выбираются из своео
исходноо множества, т. е. число различных исходных мно-
жеств совпадает с числом различных рупп, элементы оторых
представлены в выборе. Та, например, пусть требуется соста-
вить сборную оманду восьми областей, состоящую из 24
спортсменов, в оторую от аждой области войдет 3 спортсме-
на. Эта выбора содержит 24 элемента, оторые набираются из
восьми исходных множеств, причем из аждоо отдельноо
множества выбирается 3 элемента.
П р и м е р 2. В урне находятся m белых и n черных шаров.
Сольими способами можно выбрать из урны r шаров, из о-
торых k шаров оажутся белыми? (Считается, что шары аж-
доо цвета различны, например, пронумерованы.)
Р е ш е н и е. Число способов, оторыми можно выбрать k бе-
лых шаров из имеющихся m белых шаров, равно ; тода ос-
тавшиеся r – k черных шаров из руппы в n шаров можно вы-
брать способами. При этом аждому способу выбора k
белых шаров соответствует различных способов выбора
C
m
k
C
n
rk–
C
n
rk–
§ 82. Размещения, сочетания, перестановки 495
черных. Следовательно, общее число различных выборо равно
произведению .
Ответ. способами.
12. Из 10 роз и 8 еоринов нужно составить бует, содер-
жащий две розы и три еорина. Сольо можно составить раз-
личных буетов?
13. В олоде 36 арт, из них четыре туза. Сольими спосо-
бами можно сдать 6 арт та, чтобы среди них было два туза?
14. Комплесная бриада состоит из двух маляров, трех шту-
атуров и одноо столяра. Сольо различных бриад можно
создать из рабочео оллетива, в отором 15 маляров, 10 шту-
атуров и 5 столяров?
15. В лотерее «Спортлото» разырываются 6 из 49 видов
спорта. Главный выирыш падает на ту арточу, де уаданы
правильно все 6 номеров. (Каждый вид спорта уазан под нео-
торым номером.) Меньшие призы достаются тем, что уадал 5,
4 и 3 номера из 6. Сольо может быть различных арточе,
де уаданы: а) 5; б) 4; в) 3 из 6 номеров, если на аждой ар-
точе произвольно зачериваются 6 номеров? (Карточи, на о-
торых вычериваются одни и те же номера, считаются одина-
овыми.)
16. Сольо оружностей можно провести через 10 точе,
из оторых ниаие четыре не лежат на одной оружности и
ниаие три не лежат на одной прямой, если аждая оруж-
ность проходит через три точи?
17. Из олоды, содержащей 52 арты (из них четыре туза),
извлели 10 арт. В сольих случаях среди этих арт будет
хотя бы один туз?
18. Сольими способами из олоды в 52 арты (из них че-
тыре туза и четыре ороля) можно извлечь 6 арт, содержащих
туза и ороля одной масти?
19. В теннисном турнире участвуют 10 мужчин и 6 жен-
щин. Сольими способами можно составить четыре смешан-
ные пары?
20. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом чис-
ле содержалась одна цифра 1?
21. Сольо всевозможных четырехзначных чисел можно со-
ставить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 та, чтобы в аждом числе
содержалась цифра 1? (Цифры в числе не должны повторяться.)
C
m
k
C
n
rk–
C
m
k
C
n
rk–
496 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
§ 83. Перестановки и сочетания
с заданным числом повторений
Рассмотрим выбори, отдельные элементы оторых повто-
ряются заданное число раз. Пусть выбора состоит из m элемен-
тов, среди оторых неоторый элемент (будем для определеннос-
ти считать ео первым) повторяется n
1
раз, друой (второй) —
n
2
раз, ..., k-й элемент повторяется n
k
раз. Очевидно, что
n
1
+ n
2
+ ... + n
k
= m.
Набор натуральных чисел (n
1
, ..., n
k
) будем называть соста-
вом выбори. Состав выбори определяет, из сольих различ-
ных рупп элементов состоит выбора и сольо одинаовых
элементов аждой руппы в ней присутствует. Та, например,
выбора состава (1, 2, 4) состоит из трех рупп элементов, при-
чем из первой руппы в выборе присутствует один элемент, из
второй — два, а из третьей — четыре одинаовых элемента.
Число различных выборо одноо состава называют числом
перестаново из m элементов с заданным числом повторе-
ний n
1
, ..., n
k
. Оно находится по формуле
P
m
(n
1
, ..., n
k
) = . (1)
П р и м е р 1. Требуется составить расписание отправления
поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы
три дня отправлялись по два поезда в день, два дня — по од-
ному поезду, два дня — по три поезда. Сольо можно соста-
вить различных расписаний?
Р е ш е н и е. Количество поездов, отправляемых в день (чис-
ла 1, 2, 3) — это три руппы одинаовых элементов, из ото-
рых должна быть составлена выбора. При этом в расписании
на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется
3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Таим образом, оличест-
во различных расписаний равно
P(2, 3, 2) = = 210.
Ответ.210расписаний.
m!
n
1
!...n
k
!
----------------------- -
7!
2! 3! 2!⋅⋅
-------------------------
§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений 497
Число различных составов выбори объема m, образованной
из k рупп одинаовых элементов, выражается формулой*
= = . (2)
Пример 2. По k ящиам следует разместить R шаров.
Сольими способами это можно сделать? (Считается, что вмес-
тимость ящиа достаточна для всех шаров.)
Р е ш е н и е. Для удобства будем считать, что имеется k
ящиов, в аждом из оторых число шаров может меняться
от 0 до R. Тода, считая, что аждый ящи соответствует руп-
пе однородных элементов, получим k различных рупп, из ото-
рых производится выбора с повторениями, имеющая объем R.
Различные способы размещения шаров соответствуют различ-
ным составам уазанной выбори, т. е.
= = .
1. Сольо различных омбинаций був можно получить из
був слова «МИССИСИПИ»?
2. Сольо различных наборов по 8 пирожных в аждом мож-
но составить, используя 4 сорта пирожных?
3. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 этажах.
На аждом этаже может выйти определенное число пассажи-
ров (от нуля до семи). Сольими способами моут распреде-
литься между этими остановами пассажиры, находящиеся
в абине лифта? (Способы различаются тольо числом людей,
вышедших на данном этаже.)
4. При ире в бридж между четырьмя ироами распределя-
ется олода из 52 арт по 13 арт аждому ироу. Сольо су-
ществует различных способов раздать арты?
5. Бросают 12 иральных остей. Сольо существует спосо-
бов, при оторых аждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает
дважды?
6. Имеются m белых и n черных шаров, причем m > n. Соль-
ими способами можно разложить все шары в ряд та, чтобы
ниаие два черных шара не лежали рядом?
* Формулу (2) можно получить, если найти число перестаново
с повторениями из m + k – 1 элементов, де m— число элементов ис-
ходной выбори, а k – 1 — число раниц, отделяющих руппы одина-
овых элементов.
C
k
m
C
km1–+
m
km1–+()!
m! k 1–()!
--------------------------------
C
k
R
C
Rk1–+
R
Rk1–+()!
R! k 1–()!
-------------------------------
496 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
§ 83. Перестановки и сочетания
с заданным числом повторений
Рассмотрим выбори, отдельные элементы оторых повто-
ряются заданное число раз. Пусть выбора состоит из m элемен-
тов, среди оторых неоторый элемент (будем для определеннос-
ти считать ео первым) повторяется n
1
раз, друой (второй) —
n
2
раз, ..., k-й элемент повторяется n
k
раз. Очевидно, что
n
1
+ n
2
+ ... + n
k
= m.
Набор натуральных чисел (n
1
, ..., n
k
) будем называть соста-
вом выбори. Состав выбори определяет, из сольих различ-
ных рупп элементов состоит выбора и сольо одинаовых
элементов аждой руппы в ней присутствует. Та, например,
выбора состава (1, 2, 4) состоит из трех рупп элементов, при-
чем из первой руппы в выборе присутствует один элемент, из
второй — два, а из третьей — четыре одинаовых элемента.
Число различных выборо одноо состава называют числом
перестаново из m элементов с заданным числом повторе-
ний n
1
, ..., n
k
. Оно находится по формуле
P
m
(n
1
, ..., n
k
) = . (1)
П р и м е р 1. Требуется составить расписание отправления
поездов на различные дни недели. При этом необходимо, чтобы
три дня отправлялись по два поезда в день, два дня — по од-
ному поезду, два дня — по три поезда. Сольо можно соста-
вить различных расписаний?
Р е ш е н и е. Количество поездов, отправляемых в день (чис-
ла 1, 2, 3) — это три руппы одинаовых элементов, из ото-
рых должна быть составлена выбора. При этом в расписании
на неделю число 1 повторяется 2 раза, число 2 повторяется
3 раза и число 3 повторяется 2 раза. Таим образом, оличест-
во различных расписаний равно
P(2, 3, 2) = = 210.
Ответ.210расписаний.
m!
n
1
!...n
k
!
----------------------- -
7!
2! 3! 2!⋅⋅
-------------------------
§ 83. Перестановки и сочетания с заданным числом повторений 497
Число различных составов выбори объема m, образованной
из k рупп одинаовых элементов, выражается формулой*
= = . (2)
Пример 2. По k ящиам следует разместить R шаров.
Сольими способами это можно сделать? (Считается, что вмес-
тимость ящиа достаточна для всех шаров.)
Р е ш е н и е. Для удобства будем считать, что имеется k
ящиов, в аждом из оторых число шаров может меняться
от 0 до R. Тода, считая, что аждый ящи соответствует руп-
пе однородных элементов, получим k различных рупп, из ото-
рых производится выбора с повторениями, имеющая объем R.
Различные способы размещения шаров соответствуют различ-
ным составам уазанной выбори, т. е.
= = .
1. Сольо различных омбинаций був можно получить из
був слова «МИССИСИПИ»?
2. Сольо различных наборов по 8 пирожных в аждом мож-
но составить, используя 4 сорта пирожных?
3. Лифт с семью пассажирами останавливается на 10 этажах.
На аждом этаже может выйти определенное число пассажи-
ров (от нуля до семи). Сольими способами моут распреде-
литься между этими остановами пассажиры, находящиеся
в абине лифта? (Способы различаются тольо числом людей,
вышедших на данном этаже.)
4. При ире в бридж между четырьмя ироами распределя-
ется олода из 52 арт по 13 арт аждому ироу. Сольо су-
ществует различных способов раздать арты?
5. Бросают 12 иральных остей. Сольо существует спосо-
бов, при оторых аждое из значений 2, 3, 4, 5, 6 выпадает
дважды?
6. Имеются m белых и n черных шаров, причем m > n. Соль-
ими способами можно разложить все шары в ряд та, чтобы
ниаие два черных шара не лежали рядом?
* Формулу (2) можно получить, если найти число перестаново
с повторениями из m + k – 1 элементов, де m— число элементов ис-
ходной выбори, а k – 1 — число раниц, отделяющих руппы одина-
овых элементов.
C
k
m
C
km1–+
m
km1–+()!
m! k 1–()!
--------------------------------
C
k
R
C
Rk1–+
R
Rk1–+()!
R! k 1–()!
-------------------------------