Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы

  1. Файлы
  2. Абитуриентам и школьникам
  3. Математика
  4. Подготовка к экзамену по математике
Назад
458 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
§ 78. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
Геометричесие задачи этоо парарафа решаются с по-
мощью введения прямоуольной деартовой системы оорди-
нат на плосости или в пространстве. Приведенные ниже зада-
чи можно решить и методами элементарной еометрии. Одна-
о, а правило, таие решения требуют использования
нетривиальных, исусственных приемов.
П р и м е р 1. В равнобедренном треуольние ABC (AB =
= BC = 8) точа E делит боовую сторону AB в отношении 3 : 1
(считая от вершины B). Вычислить уол между веторами
и , если | | = 12.
Решение. Введем систему оор-
динат xOy та, ауазано на рис. 58
(соласно свойству высоты равнобед-
ренноо треуольниа, OA = OC). Из
BOC находим
OB = =
= = 2 .
Та а = , то = + . Отсюда, учи-
тывая, что = {–12; 0}, = {6; 2 }, находим =
= – ; . Подставляя оординаты веторов и в
формулу салярноо произведения веторов, получаем
cos α = = .
Ответ. arccos .
1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = BC = 15) точ-
а E делит сторону BC в отношении 1:4 (считая от вершины B).
Вычислите уол между веторами и , если = 20.
CE
CA CA
x
A
O
C
y
E
B
α
Рис. 58
BC
2
OC
2
–
8
2
6
2
– 7
AE
1
4
---
AB CE CA
1
4
---
AB
CA AB 7 CE
21
2
------
7
2
-------
CE
CA
12–()
21
2
------
–


⋅
12
21
2
------


2
7
2
-------


2
+
------------------------------------------------------ -
37
8
-----------
37
8
-----------
AE AC AC
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 459
2. В прямоуольном треуольние ABC уол B— прямой,
AB = 3, BC = 4. Вычислите уол между медианами AM и BD.
3. В прямоуольном треуольние с атетами AB = 8 и
BC = 6 проведена прямая AD, делящая BC в отношении BD : DC =
= 4 : 5. Вычислите уол между веторами и .
4. В прямоуольном треуольние с атетами BC = 4 и BA =
=3 проведена прямая AD, делящая сторону BC в отношении
BD : DC = 3 : 5. Вычислите уол между веторами и .
5. Дан равнобедренный прямоуольный треуольни ABC
с прямым улом при вершине B; BS — ео высота, K— сере-
дина высоты BS, а M— точа пересечения прямой AK со сто-
роной BC. Найдите отношение, в отором точа M делит отре-
зо BC.
П р и м е р 2. Доазать, что если основания высот треуоль-
ниа ABC соединить отрезами прямых, то получится тре-
уольни, для отороо эти высоты будут биссетрисами.
Р е ш е н и е. Опустим из вершин треуольниа ео высоты:
AA
1
B BC, BB
1
B AC и CC
1
B AB; точу пересечения высот обо-
значим через O. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало
совпало
с
точой
C
1
,
а
ось
Ox
прошла
через
вершину
B
(рис. 59). Тода ось Oy пройдет че-
рез вершину C. Пусть оордина-
ты вершин треуольниа таовы:
A(–a; 0), B(b; 0), C(0; c). Доажем,
что высота C
1
C— биссетриса у-
ла A
1
C
1
B
1
.
Уравнение прямой, проходя-
щей через точи A и C, имеет вид
y = x + c,(*)
а уравнение прямой, проходящей
через точи B и O перпендиуляр-
но прямой AC,— вид
y = – x + (**)
(чтобы получить последнее уравнение, мы использовали со-
отношение k
1
k
2
= –1 между уловыми оэффициентами двух
взаимно перпендиулярных прямых). Решив систему уравне-
AB
AD
AD BC
x
A
B
C
y
O
A
1
B
1
C
1
Рис. 59
c
a
---
a
c
---
ab
c
------
458 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
§ 78. Решение геометрических задач
с помощью метода координат
Геометричесие задачи этоо парарафа решаются с по-
мощью введения прямоуольной деартовой системы оорди-
нат на плосости или в пространстве. Приведенные ниже зада-
чи можно решить и методами элементарной еометрии. Одна-
о, а правило, таие решения требуют использования
нетривиальных, исусственных приемов.
П р и м е р 1. В равнобедренном треуольние ABC (AB =
= BC = 8) точа E делит боовую сторону AB в отношении 3 : 1
(считая от вершины B). Вычислить уол между веторами
и , если | | = 12.
Решение. Введем систему оор-
динат xOy та, ауазано на рис. 58
(соласно свойству высоты равнобед-
ренноо треуольниа, OA = OC). Из
BOC находим
OB = =
= = 2 .
Та а = , то = + . Отсюда, учи-
тывая, что = {–12; 0}, = {6; 2 }, находим =
= – ; . Подставляя оординаты веторов и в
формулу салярноо произведения веторов, получаем
cos α = = .
Ответ. arccos .
1. В равнобедренном треуольние ABC (AB = BC = 15) точ-
а E делит сторону BC в отношении 1:4 (считая от вершины B).
Вычислите уол между веторами и , если = 20.
CE
CA CA
x
A
O
C
y
E
B
α
Рис. 58
BC
2
OC
2
–
8
2
6
2
– 7
AE
1
4
---
AB CE CA
1
4
---
AB
CA AB 7 CE
21
2
------
7
2
-------
CE
CA
12–()
21
2
------
–


⋅
12
21
2
------


2
7
2
-------


2
+
------------------------------------------------------ -
37
8
-----------
37
8
-----------
AE AC AC
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 459
2. В прямоуольном треуольние ABC уол B— прямой,
AB = 3, BC = 4. Вычислите уол между медианами AM и BD.
3. В прямоуольном треуольние с атетами AB = 8 и
BC = 6 проведена прямая AD, делящая BC в отношении BD : DC =
= 4 : 5. Вычислите уол между веторами и .
4. В прямоуольном треуольние с атетами BC = 4 и BA =
=3 проведена прямая AD, делящая сторону BC в отношении
BD : DC = 3 : 5. Вычислите уол между веторами и .
5. Дан равнобедренный прямоуольный треуольни ABC
с прямым улом при вершине B; BS — ео высота, K— сере-
дина высоты BS, а M— точа пересечения прямой AK со сто-
роной BC. Найдите отношение, в отором точа M делит отре-
зо BC.
П р и м е р 2. Доазать, что если основания высот треуоль-
ниа ABC соединить отрезами прямых, то получится тре-
уольни, для отороо эти высоты будут биссетрисами.
Р е ш е н и е. Опустим из вершин треуольниа ео высоты:
AA
1
B BC, BB
1
B AC и CC
1
B AB; точу пересечения высот обо-
значим через O. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало
совпало
с
точой
C
1
,
а
ось
Ox
прошла
через
вершину
B
(рис. 59). Тода ось Oy пройдет че-
рез вершину C. Пусть оордина-
ты вершин треуольниа таовы:
A(–a; 0), B(b; 0), C(0; c). Доажем,
что высота C
1
C— биссетриса у-
ла A
1
C
1
B
1
.
Уравнение прямой, проходя-
щей через точи A и C, имеет вид
y = x + c,(*)
а уравнение прямой, проходящей
через точи B и O перпендиуляр-
но прямой AC,— вид
y = – x + (**)
(чтобы получить последнее уравнение, мы использовали со-
отношение k
1
k
2
= –1 между уловыми оэффициентами двух
взаимно перпендиулярных прямых). Решив систему уравне-
AB
AD
AD BC
x
A
B
C
y
O
A
1
B
1
C
1
Рис. 59
c
a
---
a
c
---
ab
c
------
460 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
ний (*) и (**), находим оординаты точи B
1
пересечения этих
прямых:
B
1
, .
Аналоично, составив уравнения прямых, проходящих
через пары точеB и C, A и O, получим оординаты точи A
1
:
A
1
, .
Записав уравнения прямых, проходящих через пары точе
A
1
и C
1
, B
1
и C
1
, находим уловые оэффициенты этих прямых:
= , = ,
отуда следует, что = – . Учитывая, что уловой о-
эффициент представляет собой таненс ула налона прямой
положительному направлению оси Ox, получаем
FBC
1
B
1
= π – FBC
1
A
1
,
отуда следует, что FAC
1
B
1
= FBC
1
A
1
. Та а прямая C
1
C
перпендиулярна прямой AB, то FB
1
C
1
C = FA
1
C
1
C, т. е. высо-
та C
1
C треуольниа ABC действительно является биссетри-
сой ула A
1
C
1
B
1
треуольниа A
1
B
1
C
1
.
Аналоично можно доазать, что и друие две высоты тре-
уольниа ABC являются биссетрисами соответствующих у-
лов треуольниа A
1
B
1
C
1
.
6. На высоте CC
1
треуольниа ABC дана произвольная точ-
а P. Прямые AP и BP пересеают стороны BC и CA соответ-
ственно в точах A
1
и B
1
. Доажите, что луч C
1
P является бис-
сетрисой ула A
1
C
1
B
1
.
7. Дан прямоуольный треуольни ABC с атетами a и b,
FC = 90°. Составьте уравнение множества точе M, для оторых
MA
2
+ MB
2
= 2MC
2
.
8. В плосости прямоуольниа ABCD дана точа M. Доа-
жите, что
MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2
.
aab c
2
–()
a
2
c
2
+
--------------------------- -
ac a b+()
a
2
c
2
+
-------------------------
bc
2
ab–()
b
2
c
2
+
---------------------------
bc a b+()
b
2
c
2
+
------------------------ -
k
A
1
C
1
ca b+()
c
2
ab–
---------------------
k
B
1
C
1
ca b+()
ab c
2
–
---------------------
k
B
1
C
1
k
A
1
C
1
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 461
19. Оружность вписана в ромб с улом 60°. Расстояние от
центра оружности до ближайшей вершины равно 1. Доажи-
те, что для любой точи P оружности выполняется равенство
PA
2
+ PB
2
+ PC
2
+ PD
2
= 11.
10. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи M,
взятой на диаметре неоторой оружности, до онцов любой из
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
11. Ооло оружности описан вадрат ABCD. Из вершин
вадрата  произвольной прямой, асающейся оружности, про-
ведены перпендиуляры AA
1
, BB
1
, CC
1
и DD
1
. Доажите, что
AA
1
· CC
1
= BB
1
· DD
1
.
12. Дан правильный треуольни ABC и оружность,ото-
рая проходит через вершины A и B, а ее центр D симметричен
вершине C относительно прямой AB. Доажите, что если M—
произвольная точа этой оружности, то из отрезов MA, MB,
MC можно составить прямоуольный треуольни.
13. В оружность вписан прямоуольни ABCD. Из произ-
вольной точи P оружности проведены перпендиуляры
 прямым AB, BC, CD и DA, пересеающие эти прямые соот-
ветственно в точах K, L, M и N. Доажите, что точа N— орто-
центр треуольниа KLM (точа пересечения ео высот).
14. Ввадрат вписана оружность. Доажите, что сумма
вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадра-
та не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту
сумму.
15. Ооло вадрата описана оружность. Доажите, что
сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин
вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите
эту сумму.
Если в задаче рассматривается уб или прямоуольный па-
раллелепипед, то наиболее удобной является система оорди-
нат, начало оторой совпадает с одной из вершин нижнео ос-
нования этих тел, а оординатные оси проходят через ребра,
выходящие из уазанной вершины.
П р и м е р 3. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. На
ребре AA
1
взята точа E та, что длина отреза AE равна , а
на ребре BC — точа F та, что длина отреза BF равна .
1
3
---
1
4
---
460 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
ний (*) и (**), находим оординаты точи B
1
пересечения этих
прямых:
B
1
, .
Аналоично, составив уравнения прямых, проходящих
через пары точеB и C, A и O, получим оординаты точи A
1
:
A
1
, .
Записав уравнения прямых, проходящих через пары точе
A
1
и C
1
, B
1
и C
1
, находим уловые оэффициенты этих прямых:
= , = ,
отуда следует, что = – . Учитывая, что уловой о-
эффициент представляет собой таненс ула налона прямой
положительному направлению оси Ox, получаем
FBC
1
B
1
= π – FBC
1
A
1
,
отуда следует, что FAC
1
B
1
= FBC
1
A
1
. Та а прямая C
1
C
перпендиулярна прямой AB, то FB
1
C
1
C = FA
1
C
1
C, т. е. высо-
та C
1
C треуольниа ABC действительно является биссетри-
сой ула A
1
C
1
B
1
треуольниа A
1
B
1
C
1
.
Аналоично можно доазать, что и друие две высоты тре-
уольниа ABC являются биссетрисами соответствующих у-
лов треуольниа A
1
B
1
C
1
.
6. На высоте CC
1
треуольниа ABC дана произвольная точ-
а P. Прямые AP и BP пересеают стороны BC и CA соответ-
ственно в точах A
1
и B
1
. Доажите, что луч C
1
P является бис-
сетрисой ула A
1
C
1
B
1
.
7. Дан прямоуольный треуольни ABC с атетами a и b,
FC = 90°. Составьте уравнение множества точе M, для оторых
MA
2
+ MB
2
= 2MC
2
.
8. В плосости прямоуольниа ABCD дана точа M. Доа-
жите, что
MA
2
+ MC
2
= MB
2
+ MD
2
.
aab c
2
–()
a
2
c
2
+
--------------------------- -
ac a b+()
a
2
c
2
+
-------------------------
bc
2
ab–()
b
2
c
2
+
---------------------------
bc a b+()
b
2
c
2
+
------------------------ -
k
A
1
C
1
ca b+()
c
2
ab–
---------------------
k
B
1
C
1
ca b+()
ab c
2
–
---------------------
k
B
1
C
1
k
A
1
C
1
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 461
19. Оружность вписана в ромб с улом 60°. Расстояние от
центра оружности до ближайшей вершины равно 1. Доажи-
те, что для любой точи P оружности выполняется равенство
PA
2
+ PB
2
+ PC
2
+ PD
2
= 11.
10. Доажите, что сумма вадратов расстояний от точи M,
взятой на диаметре неоторой оружности, до онцов любой из
параллельных этому диаметру хорд постоянна.
11. Ооло оружности описан вадрат ABCD. Из вершин
вадрата  произвольной прямой, асающейся оружности, про-
ведены перпендиуляры AA
1
, BB
1
, CC
1
и DD
1
. Доажите, что
AA
1
· CC
1
= BB
1
· DD
1
.
12. Дан правильный треуольни ABC и оружность,ото-
рая проходит через вершины A и B, а ее центр D симметричен
вершине C относительно прямой AB. Доажите, что если M—
произвольная точа этой оружности, то из отрезов MA, MB,
MC можно составить прямоуольный треуольни.
13. В оружность вписан прямоуольни ABCD. Из произ-
вольной точи P оружности проведены перпендиуляры
 прямым AB, BC, CD и DA, пересеающие эти прямые соот-
ветственно в точах K, L, M и N. Доажите, что точа N— орто-
центр треуольниа KLM (точа пересечения ео высот).
14. Ввадрат вписана оружность. Доажите, что сумма
вадратов расстояний от точи оружности до вершин вадра-
та не зависит от выбора точи на оружности. Найдите эту
сумму.
15. Ооло вадрата описана оружность. Доажите, что
сумма вадратов расстояний от точи оружности до вершин
вадрата не зависит от выбора точи на оружности. Найдите
эту сумму.
Если в задаче рассматривается уб или прямоуольный па-
раллелепипед, то наиболее удобной является система оорди-
нат, начало оторой совпадает с одной из вершин нижнео ос-
нования этих тел, а оординатные оси проходят через ребра,
выходящие из уазанной вершины.
П р и м е р 3. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. На
ребре AA
1
взята точа E та, что длина отреза AE равна , а
на ребре BC — точа F та, что длина отреза BF равна .
1
3
---
1
4
---
462 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Через центр уба O
1
и точи E и F проведена плосость. Найти
расстояние от вершины B
1
до этой плосости.
Р е ш е н и е. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало совпало с точой A, а оси Ox, Oy и Oz прошли через ребра
AB, AD и AA
1
соответственно. В этой системе оординат имеем
F 1; ; 0 , E 0; 0; , O
1
; ; .
Составим уравнение сеущей плосости. Пусть ветор =
={n
1
; n
2
; n
3
} перпендиулярен исомой плосости. Та а
веторы
= –1; – ; , = – ; ;
принадлежат этой плосости, то, используя условие перпенди-
улярности пар веторов и , и , запишем следую-
щую систему уравнений для n
1
, n
2
, n
3
:
Считая n
3
свободным неизвестным, находим n
1
= n
3
и n
2
=
=– n
3
. Полаая n
3
= 9, вачестве ветора, перпендиулярно-
о исомой плосости, получаем ветор = {5; –8; 9}. Уравне-
ние плосости, проходящей через точу E 0; 0; перпенди-
улярно ветору = {5; –8; 9}, имеет вид
5x – 8y + 9z – 3 = 0. (*)
Координатами точи B
1
в выбранной системе оординат яв-
ляются (1; 0; 1). Вычислим расстояние от точи B
1
(1; 0; 1) до
плосости (*). Пусть M(x
0
; y
0
; z
0
) — точа основания перпен-
1
4
---
1
3
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
n
FE
1
4
---
1
3
---
FO
1
1
2
---
1
4
---
1
2
---
n
FE n FO
1
–n
1
– + = 0,
– + + = 0.
n
2
4
------
n
3
3
------
n
1
2
------
n
2
4
------
n
3
2
------
5
9
---
8
9
---
n
1
3
---
n
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 463
диуляра  данной плосости, проходящео через точу B
1
.
Та а точа M принадлежит плосости (*), то оординаты
этой точи должны удовлетворять уравнению плосости:
5x
0
– 8y
0
+ 9z
0
– 3 = 0. (**)
С друой стороны, ветор перпендиулярен данной плос-
ости, и, значит, этот ветор оллинеарен ветору :
= k .
Последнее равенство в оординатной форме дает следующие три
уравнения:
(***)
Решив систему уравнений (**) и (***), находим оординаты точ-
и M:
x
0
= , y
0
= – , z
0
=
и длину ветора | | = , оторая и является исомым
расстоянием от точи B
1
до плосости.
Ответ..
16. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. На ребре BC
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
C
1
D
1
— точа F та, что длина отреза FD
1
равна . Через центр
уба и точи E и F проведена плосость. Найдите расстояние
от вершины A
1
до этой плосости.
17. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. На ребре AB
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
CC
1
— точа F та, что длина отреза FC равна . Через центр
B
1
M
n
B
1
M n
x
0
– 1 = 5k,
y
0
= –8k,
z
0
– 1 = 9k.
115
170
----------
88
170
----------
71
170
----------
B
1
M
11
170
--------------
11
170
--------------
1
4
---
2
5
---
2
5
---
2
3
---
462 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
Через центр уба O
1
и точи E и F проведена плосость. Найти
расстояние от вершины B
1
до этой плосости.
Р е ш е н и е. Выберем систему оординат та, чтобы ее на-
чало совпало с точой A, а оси Ox, Oy и Oz прошли через ребра
AB, AD и AA
1
соответственно. В этой системе оординат имеем
F 1; ; 0 , E 0; 0; , O
1
; ; .
Составим уравнение сеущей плосости. Пусть ветор =
={n
1
; n
2
; n
3
} перпендиулярен исомой плосости. Та а
веторы
= –1; – ; , = – ; ;
принадлежат этой плосости, то, используя условие перпенди-
улярности пар веторов и , и , запишем следую-
щую систему уравнений для n
1
, n
2
, n
3
:
Считая n
3
свободным неизвестным, находим n
1
= n
3
и n
2
=
=– n
3
. Полаая n
3
= 9, вачестве ветора, перпендиулярно-
о исомой плосости, получаем ветор = {5; –8; 9}. Уравне-
ние плосости, проходящей через точу E 0; 0; перпенди-
улярно ветору = {5; –8; 9}, имеет вид
5x – 8y + 9z – 3 = 0. (*)
Координатами точи B
1
в выбранной системе оординат яв-
ляются (1; 0; 1). Вычислим расстояние от точи B
1
(1; 0; 1) до
плосости (*). Пусть M(x
0
; y
0
; z
0
) — точа основания перпен-
1
4
---
1
3
---
1
2
---
1
2
---
1
2
---
n
FE
1
4
---
1
3
---
FO
1
1
2
---
1
4
---
1
2
---
n
FE n FO
1
–n
1
– + = 0,
– + + = 0.
n
2
4
------
n
3
3
------
n
1
2
------
n
2
4
------
n
3
2
------
5
9
---
8
9
---
n
1
3
---
n
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 463
диуляра  данной плосости, проходящео через точу B
1
.
Та а точа M принадлежит плосости (*), то оординаты
этой точи должны удовлетворять уравнению плосости:
5x
0
– 8y
0
+ 9z
0
– 3 = 0. (**)
С друой стороны, ветор перпендиулярен данной плос-
ости, и, значит, этот ветор оллинеарен ветору :
= k .
Последнее равенство в оординатной форме дает следующие три
уравнения:
(***)
Решив систему уравнений (**) и (***), находим оординаты точ-
и M:
x
0
= , y
0
= – , z
0
=
и длину ветора | | = , оторая и является исомым
расстоянием от точи B
1
до плосости.
Ответ..
16. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. На ребре BC
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
C
1
D
1
— точа F та, что длина отреза FD
1
равна . Через центр
уба и точи E и F проведена плосость. Найдите расстояние
от вершины A
1
до этой плосости.
17. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна 1. На ребре AB
взята точа E та, что длина отреза BE равна , а на ребре
CC
1
— точа F та, что длина отреза FC равна . Через центр
B
1
M
n
B
1
M n
x
0
– 1 = 5k,
y
0
= –8k,
z
0
– 1 = 9k.
115
170
----------
88
170
----------
71
170
----------
B
1
M
11
170
--------------
11
170
--------------
1
4
---
2
5
---
2
5
---
2
3
---
464 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
уба и точи E и F проведена плосость α. Найдите расстояние
от вершины A до плосости α.
18. Длина ребра уба KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
равна 1. На ребре
MM
1
взята точа A та, что длина отреза AM равна , а на
ребре K
1
N
1
— точа B та, что длина отреза K
1
B равна .
Через центр уба и точи A и B проведена плосость α. Точа
P— проеция вершины N на плосость α. Найдите длину от-
реза BP.
19. Длина ребра уба KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза AL равна , а на ребре
MM
1
— точа B та, что длина отреза MB равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Найдите длину
отреза BP, де точа P— проеция вершины N на уазанную
плосость.
20. Длина ребра уба KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза KA равна , а на ребре
MM
1
— точа B та, что длина отреза M
1
B равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Точа P— про-
еция вершины K
1
на эту плосость. Найдите длину отреза AP.
21. Дан уб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; точа K— середина ребра AA
1
,
L— центр рани CC
1
D
1
D. Найдите уол между плосостями
BKL и AD
1
C.
22. Найдите площадь сечения уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плосо-
стью, проходящей через вершину A и середины ребер B
1
C
1
и D
1
C
1
.
Ребро уба равно a.
23. В убе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром a точа K— середина
ребра AB, точа L— середина ребра DD
1
. Найдите стороны
треуольниа A
1
KL и определите, в аом отношении делит
объем уба плосость, проходящая через вершины этоо тре-
уольниа.
24. В убе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром a середины ребер AA
1
,
A
1
B
1
, B
1
C
1
, C
1
C, CD, DA и AA
1
последовательно соединены. До-
3
5
---
1
3
---
3
4
---
3
5
---
1
4
---
2
5
---
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 465
ажите, что полученная фиура есть правильный шестиуоль-
ни, и определите ео площадь.
25. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна a. Точи E и
F— середины ребер BC и B
1
C
1
соответственно. Рассматрива-
ются треуольнии, вершинами оторых служат точи пересе-
чения плосостей, параллельных основаниям уба, с прямыми
A
1
E, DF, AD
1
. Найдите:
а) площадь треуольниа, плосость отороо проходит че-
рез середину ребра AA
1
;
б) наименьшее возможное значение площади рассматривае-
мых треуольниов.
26. Вуб вписана сфера. Доажите, что сумма вадратов
расстояний от точи сферы до вершин уба не зависит от выбо-
ра точи. Найдите эту сумму.
П р и м е р 4. Основанием пирамиды SABC является пра-
вильный треуольни ABC, длина стороны отороо равна 4 .
Боовое ребро SC перпендиулярно плосости основания и имеет
длину 2. Вычислить величину ула и расстояние между сре-
щивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точ-
у S и середину ребра BC, а друая — через точу C и середину
ребра AB.
Р е ш е н и е. Введем прямоуольную систему оординат,
приняв за начало оординат точу C, за ось ординат — прямую
CD (точа D— середина AB), за ось апплиат — прямую CS, за
ось абсцисс — прямую, принадлежащую плосости треуольни-
а ABC и перпендиулярную прямой CD, а за единицу масшта-
ба — отрезо, длина отороо равна 1 (рис. 60). В этой системе
2
y
A
B
D
F
S
P
Q
C
z
x
E
Рис. 60
464 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
уба и точи E и F проведена плосость α. Найдите расстояние
от вершины A до плосости α.
18. Длина ребра уба KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
равна 1. На ребре
MM
1
взята точа A та, что длина отреза AM равна , а на
ребре K
1
N
1
— точа B та, что длина отреза K
1
B равна .
Через центр уба и точи A и B проведена плосость α. Точа
P— проеция вершины N на плосость α. Найдите длину от-
реза BP.
19. Длина ребра уба KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза AL равна , а на ребре
MM
1
— точа B та, что длина отреза MB равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Найдите длину
отреза BP, де точа P— проеция вершины N на уазанную
плосость.
20. Длина ребра уба KLMNK
1
L
1
M
1
N
1
равна 1. На ребре KL
взята точа A та, что длина отреза KA равна , а на ребре
MM
1
— точа B та, что длина отреза M
1
B равна . Через
центр уба и точи A и B проведена плосость. Точа P— про-
еция вершины K
1
на эту плосость. Найдите длину отреза AP.
21. Дан уб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
; точа K— середина ребра AA
1
,
L— центр рани CC
1
D
1
D. Найдите уол между плосостями
BKL и AD
1
C.
22. Найдите площадь сечения уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
плосо-
стью, проходящей через вершину A и середины ребер B
1
C
1
и D
1
C
1
.
Ребро уба равно a.
23. В убе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром a точа K— середина
ребра AB, точа L— середина ребра DD
1
. Найдите стороны
треуольниа A
1
KL и определите, в аом отношении делит
объем уба плосость, проходящая через вершины этоо тре-
уольниа.
24. В убе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром a середины ребер AA
1
,
A
1
B
1
, B
1
C
1
, C
1
C, CD, DA и AA
1
последовательно соединены. До-
3
5
---
1
3
---
3
4
---
3
5
---
1
4
---
2
5
---
§ 78. Решение геометрических задач с помощью метода координат 465
ажите, что полученная фиура есть правильный шестиуоль-
ни, и определите ео площадь.
25. Длина ребра уба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
равна a. Точи E и
F— середины ребер BC и B
1
C
1
соответственно. Рассматрива-
ются треуольнии, вершинами оторых служат точи пересе-
чения плосостей, параллельных основаниям уба, с прямыми
A
1
E, DF, AD
1
. Найдите:
а) площадь треуольниа, плосость отороо проходит че-
рез середину ребра AA
1
;
б) наименьшее возможное значение площади рассматривае-
мых треуольниов.
26. Вуб вписана сфера. Доажите, что сумма вадратов
расстояний от точи сферы до вершин уба не зависит от выбо-
ра точи. Найдите эту сумму.
П р и м е р 4. Основанием пирамиды SABC является пра-
вильный треуольни ABC, длина стороны отороо равна 4 .
Боовое ребро SC перпендиулярно плосости основания и имеет
длину 2. Вычислить величину ула и расстояние между сре-
щивающимися прямыми, одна из оторых проходит через точ-
у S и середину ребра BC, а друая — через точу C и середину
ребра AB.
Р е ш е н и е. Введем прямоуольную систему оординат,
приняв за начало оординат точу C, за ось ординат — прямую
CD (точа D— середина AB), за ось апплиат — прямую CS, за
ось абсцисс — прямую, принадлежащую плосости треуольни-
а ABC и перпендиулярную прямой CD, а за единицу масшта-
ба — отрезо, длина отороо равна 1 (рис. 60). В этой системе
2
y
A
B
D
F
S
P
Q
C
z
x
E
Рис. 60
466 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
веторы и (точа E— середина стороны CB) имеют
следующие оординаты:
= 0; CB; 0 = {0; 2 ; 0},
= ; ; –CS = { ; ; –2}.
Поэтому
cos F(, ) = = = ,
и, значит, исомый уол равен 45°.
Пусть PQ — общий перпендиуляр прямым SE и CD
(P Ý SE, Q Ý CD). Тода существуют таие числа α и β, что
= α , = β . Ясно, что
= + + = –α – + β ,
или, воординатной форме,
= {–α ; –α + β · 2 ; 2α – 2}.
Та а PQ B CD и PQ B SE, то · = 0, · = 0.
Последние два веторных уравнения в оординатной форме
имеют вид
или
отуда α = , β = . Ита,
= – ; 0; – , PQ = = .
Ответ.45°; .
27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный
прямоуольный треуольни ABC, длина ипотенузы AB ото-
CD
SE
CD
3
2
-------
6
SE
AB
4
--------
CD
2
-------- -
2 6
CD SE
CD SE⋅
CD SE⋅
----------------------------
12
26 12⋅
-------------------------- -
2
2
-------
SP SE CQ CD
PQ PS SC CQ SE CS CD
PQ 2 6 6
PQ CD PQ SE
(–α + β · 2 ) · 2 = 0,
–α · + (–α + β · 2 ) · + (2α – 2)(–2) = 0,
6 6 6
2 2 6 6 6
α = 2β,
–3α + 3β + 1 = 0,
2
3
---
1
3
---
PQ
22
3
-----------
2
3
---
8
9
---
4
9
---
+
2
3
-------
2
3
-------
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры 467
роо равна 4 . Боовое ребро пирамиды SC перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 2. Найдите величи-
ну ула и расстояние между срещивающимися прямыми, од-
на изоторых проходит через точу S и середину ребра AC,
а друая — через точу C и середину ребра AB.
28. Основанием пирамиды HPQR является правильный тре-
уольни PQR, длина стороны отороо равна 2 . Боовое
ребро HR перпендиулярно плосости основания и имеет дли-
ну 1. Найдите величину ула и расстояние между срещиваю-
щимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H
и середину ребра QR, а друая — через точу R и середину
ребра PQ.
29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный
прямоуольный треуольни PQR, длина ипотенузы PQо-
тороо равна 2 . Боовое ребро пирамиды перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 1. Найдите величину
ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из
оторых проходит через точу H и середину ребра PR, а дру-
ая — через точу R и середину ребра PQ.
30. Все ребра правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1
имеют длину a.
Рассматриваются отрези, параллельные плосости ABB
1
A
1
и
таие, что их онцы лежат на диаоналях BC
1
и CA
1
боовых
раней.
а) Один из этих отрезов проведен через таую точу M
диаонали BC
1
, что BM:BC
1
= 1:3. Найдите ео длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых от-
резов.
31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
имеет длину a, а боовое ребро — длину 2a. Рассматриваются
отрези, параллельные плосости рани SAD и таие, что их
онцы лежат на диаонали основания BD и боовом ребре SC.
Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов.
§ 79. Простейшие задачи
векторной алгебры
Два ветора и считают равными, если:
1) длина ветора равна длине ветора ;
2) лучи и одинаово направлены.
2
2
2
AB CD
AB CD
AB CD
466 Г л а в а 14. Метод координат и элементы векторной алгебры
веторы и (точа E— середина стороны CB) имеют
следующие оординаты:
= 0; CB; 0 = {0; 2 ; 0},
= ; ; –CS = { ; ; –2}.
Поэтому
cos F(, ) = = = ,
и, значит, исомый уол равен 45°.
Пусть PQ — общий перпендиуляр прямым SE и CD
(P Ý SE, Q Ý CD). Тода существуют таие числа α и β, что
= α , = β . Ясно, что
= + + = –α – + β ,
или, воординатной форме,
= {–α ; –α + β · 2 ; 2α – 2}.
Та а PQ B CD и PQ B SE, то · = 0, · = 0.
Последние два веторных уравнения в оординатной форме
имеют вид
или
отуда α = , β = . Ита,
= – ; 0; – , PQ = = .
Ответ.45°; .
27. Основанием пирамиды SABC является равнобедренный
прямоуольный треуольни ABC, длина ипотенузы AB ото-
CD
SE
CD
3
2
-------
6
SE
AB
4
--------
CD
2
-------- -
2 6
CD SE
CD SE⋅
CD SE⋅
----------------------------
12
26 12⋅
-------------------------- -
2
2
-------
SP SE CQ CD
PQ PS SC CQ SE CS CD
PQ 2 6 6
PQ CD PQ SE
(–α + β · 2 ) · 2 = 0,
–α · + (–α + β · 2 ) · + (2α – 2)(–2) = 0,
6 6 6
2 2 6 6 6
α = 2β,
–3α + 3β + 1 = 0,
2
3
---
1
3
---
PQ
22
3
-----------
2
3
---
8
9
---
4
9
---
+
2
3
-------
2
3
-------
§ 79. Простейшие задачи векторной алгебры 467
роо равна 4 . Боовое ребро пирамиды SC перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 2. Найдите величи-
ну ула и расстояние между срещивающимися прямыми, од-
на изоторых проходит через точу S и середину ребра AC,
а друая — через точу C и середину ребра AB.
28. Основанием пирамиды HPQR является правильный тре-
уольни PQR, длина стороны отороо равна 2 . Боовое
ребро HR перпендиулярно плосости основания и имеет дли-
ну 1. Найдите величину ула и расстояние между срещиваю-
щимися прямыми, одна из оторых проходит через точу H
и середину ребра QR, а друая — через точу R и середину
ребра PQ.
29. Основанием пирамиды HPQR является равнобедренный
прямоуольный треуольни PQR, длина ипотенузы PQо-
тороо равна 2 . Боовое ребро пирамиды перпендиулярно
плосости основания, а ео длина равна 1. Найдите величину
ула и расстояние между срещивающимися прямыми, одна из
оторых проходит через точу H и середину ребра PR, а дру-
ая — через точу R и середину ребра PQ.
30. Все ребра правильной призмы ABCA
1
B
1
C
1
имеют длину a.
Рассматриваются отрези, параллельные плосости ABB
1
A
1
и
таие, что их онцы лежат на диаоналях BC
1
и CA
1
боовых
раней.
а) Один из этих отрезов проведен через таую точу M
диаонали BC
1
, что BM:BC
1
= 1:3. Найдите ео длину.
б) Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых от-
резов.
31. Сторона основания ABCD правильной пирамиды SABCD
имеет длину a, а боовое ребро — длину 2a. Рассматриваются
отрези, параллельные плосости рани SAD и таие, что их
онцы лежат на диаонали основания BD и боовом ребре SC.
Найдите наименьшую длину всех рассматриваемых отрезов.
§ 79. Простейшие задачи
векторной алгебры
Два ветора и считают равными, если:
1) длина ветора равна длине ветора ;
2) лучи и одинаово направлены.
2
2
2
AB CD
AB CD
AB CD
  • 2008 — 2025 «СтудМед»