Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
498 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. При бросании монеты будет считать успехом выпадение
ерба и неудачей выпадение цифры. Сольо различных испы-
таний моло привести 52 успехам при 100 подбрасываниях
монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 броса-
ний; два испытания считаются различными, если не совпадают
результаты хотя бы двух бросаний.)
8. Два варианта онтрольной работы были выданы 12 учени-
ам. Сольими способами можно посадить учениов в два ря-
да по 6 челове та, чтобы у сидящих рядом не было одинао-
вых вариантов, а у сидящих дру за друом был один и тот же
вариант?
9. На нижной поле находятся нии по математие и лои-
е — всео 20 ни. Доажите, что наибольшее оличество ва-
риантов омплета, содержащео 5 ни по математие и 5 ни
по лоие, возможно в том случае, ода число ни на поле
по аждому предмету равно 10.
§ 84. Бином Ньютона
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по
формуле
= a
n
+ a
n – 1
b + a
n – 2
b
2
+ ...
... + a
n – m
b
m
+ ... + . (1)
Правую часть этой формулы называют разложением степени
бинома, а оэффициенты = — биномиальными
оэффициентами. Общий вид слааемых в правой части фор-
мулы (1) обычно записывают следующим образом*:
T
k
= a
n – k
b
k
, k = 0, 1, 2, ..., n.(2)
Число всех слааемых разложения равно n + 1.
* Используют таже формулу
T
k
= a
n – k
b
k
= a
n – k
b
k
.
(ab)
n
+ C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
m
C
n
n
b
n
C
n
m
n!
m! nm–()!
----------------------------- -
C
n
k
nn 1–()... nk–1+()
k!
-----------------------------------------------------------
C
n
k
§ 84. Бином Ньютона 499
П р и м е р 1. Найти член разложения x + , не со-
держащий x (т. е. содержащий x в нулевой степени).
Р е ш е н и е. Соласно формуле общео члена (2), имеем
T
k
= x
10 – k
.
По условию число k должно удовлетворять уравнению
10 – k – 4k = 0, (*)
оторое имеет единственный орень k = 2. Таим образом, ис-
омым является второй член разложения:
T
2
= x
8
= = 45.
Ответ. 45.
П р и м е р 2. Найти шестой член разложения ,
если биномиальный оэффициент третьео от онца члена ра-
вен 45.
Р е ш е н и е. Сначала найдем степень бинома. Соласно ус-
ловию, число n удовлетворяет уравнению
= = = 45,
оторое имеет орни n
1
= 10, n
2
= –9. Та а n
2
= –9 не явля-
ется натуральным числом, то степень бинома есть число n = 10.
Следовательно, шестой член разложения запишется в виде
T
6
= (y
1/2
)
4
(x
1/2
)
6
= y
2
x
3
= 210y
2
x
3
.
Ответ.210y
2
x
3
.
1. Найдите сумму биномиальных оэффициентов, если сте-
пень бинома равна 10.
2. Найдите номер члена разложения (x + x
–2
)
12
, не содержа-
щео x.
3. Найдите член разложения бинома , содержа-
щий x
6,5
, если девятый член разложения имеет наибольший
оэффициент.
1
x
4
------
10
C
10
k
1
x
4
------
k
C
10
2
1
x
8
------
C
10
2
(y
1/2
x
1/3
)
n
+
C
n
n 2–
C
n
2
nn 1–()
2
-----------------------
C
10
6
C
10
4
( xx
3–
4
)
n
+
498 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
7. При бросании монеты будет считать успехом выпадение
ерба и неудачей выпадение цифры. Сольо различных испы-
таний моло привести 52 успехам при 100 подбрасываниях
монеты? (Испытанием считается серия опытов из 100 броса-
ний; два испытания считаются различными, если не совпадают
результаты хотя бы двух бросаний.)
8. Два варианта онтрольной работы были выданы 12 учени-
ам. Сольими способами можно посадить учениов в два ря-
да по 6 челове та, чтобы у сидящих рядом не было одинао-
вых вариантов, а у сидящих дру за друом был один и тот же
вариант?
9. На нижной поле находятся нии по математие и лои-
е — всео 20 ни. Доажите, что наибольшее оличество ва-
риантов омплета, содержащео 5 ни по математие и 5 ни
по лоие, возможно в том случае, ода число ни на поле
по аждому предмету равно 10.
§ 84. Бином Ньютона
Натуральная степень суммы двух величин вычисляется по
формуле
= a
n
+ a
n – 1
b + a
n – 2
b
2
+ ...
... + a
n – m
b
m
+ ... + . (1)
Правую часть этой формулы называют разложением степени
бинома, а оэффициенты = — биномиальными
оэффициентами. Общий вид слааемых в правой части фор-
мулы (1) обычно записывают следующим образом*:
T
k
= a
n – k
b
k
, k = 0, 1, 2, ..., n.(2)
Число всех слааемых разложения равно n + 1.
* Используют таже формулу
T
k
= a
n – k
b
k
= a
n – k
b
k
.
(ab)
n
+ C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
m
C
n
n
b
n
C
n
m
n!
m! nm–()!
----------------------------- -
C
n
k
nn 1–()... nk–1+()
k!
-----------------------------------------------------------
C
n
k
§ 84. Бином Ньютона 499
П р и м е р 1. Найти член разложения x + , не со-
держащий x (т. е. содержащий x в нулевой степени).
Р е ш е н и е. Соласно формуле общео члена (2), имеем
T
k
= x
10 – k
.
По условию число k должно удовлетворять уравнению
10 – k – 4k = 0, (*)
оторое имеет единственный орень k = 2. Таим образом, ис-
омым является второй член разложения:
T
2
= x
8
= = 45.
Ответ. 45.
П р и м е р 2. Найти шестой член разложения ,
если биномиальный оэффициент третьео от онца члена ра-
вен 45.
Р е ш е н и е. Сначала найдем степень бинома. Соласно ус-
ловию, число n удовлетворяет уравнению
= = = 45,
оторое имеет орни n
1
= 10, n
2
= –9. Та а n
2
= –9 не явля-
ется натуральным числом, то степень бинома есть число n = 10.
Следовательно, шестой член разложения запишется в виде
T
6
= (y
1/2
)
4
(x
1/2
)
6
= y
2
x
3
= 210y
2
x
3
.
Ответ.210y
2
x
3
.
1. Найдите сумму биномиальных оэффициентов, если сте-
пень бинома равна 10.
2. Найдите номер члена разложения (x + x
–2
)
12
, не содержа-
щео x.
3. Найдите член разложения бинома , содержа-
щий x
6,5
, если девятый член разложения имеет наибольший
оэффициент.
1
x
4
------
10
C
10
k
1
x
4
------
k
C
10
2
1
x
8
------
C
10
2
(y
1/2
x
1/3
)
n
+
C
n
n 2–
C
n
2
nn 1–()
2
-----------------------
C
10
6
C
10
4
( xx
3–
4
)
n
+
500 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
14. Найдите член разложения + , оторый содер-
жит x
2
.
5. Доажите, что сумма всех оэффициентов разложения
(2y – x)
k
при любом натуральном k равна 1.
16. Биномиальные оэффициенты второо и девятоо членов
разложения равны. Найдите член разложения,
не содержащий x.
7. Найдите наибольший член разложения + .
18. Найдите номер наибольшео члена разложения
+ .
9. Сумма биномиальных оэффициентов разложения равна
1024. Найдите член разложения x
2
+ , содержащий x
11
.
10. Доажите, что если степень бинома n— нечетное число,
то сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся
на четных местах, равна сумме биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах.
11. В разложении бинома a – определите член,
содержащий a
3
, если сумма биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах, равна 2048.
12. Найдите наибольший член разложения ( + )
20
.
13. Третье слааемое разложения 2x + не содержит x.
При аих x это слааемое равно второму слааемому разложе-
ния (1 + x
3
)
30
?
14. При аих положительных значениях x наибольшим сла-
аемым в разложении (5 + 3x)
10
является четвертое?
15. Найдите x, при отором 50-й член разложения (x + y)
100
имеет наибольшее значение, если известно, что x + y = 1,
x >0, y >0.
x
a
---
a
x
2
------
8
(5x
–3/2
x
1/3
)
n
–
1
2
---
1
2
---
100
9
10
------
1
10
------
100
1
x
---
n
a
3
---
5
b
a
3
7
---------- -
n
5 2
1
x
2
------
m
§ 84. Бином Ньютона 501
16. Найдите x, при отором k-й член разложения (x + y)
n
имеет наибольшее значение, если x + y = 1 и x > 0, y > 0.
П р и м е р 3. В разложении бинома ( + )
5
найти чле-
ны, не содержащие иррациональности.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой общео члена разло-
жения:
T
k
= ( )
5 – k
()
k
= · .
Полученное выражение является рациональным, если и
— целые числа. Очевидно, что число k следует исать среди
четных чисел, меньших 5. Непосредственной проверой убеж-
даемся, что единственное значение, оторое оно может прини-
мать, равно 2. Следовательно, в разложении бинома есть толь-
о один член, удовлетворяющий сформулированному условию:
T
2
= · 3 · 2 = 6 · = 60.
Ответ.60.
17. В разложении ( + )
24
найдите член, не содержа-
щий иррациональности.
18. Сольо рациональных членов содержится в разложе-
нии ( + )
100
?
19. В разложении бинома + первые три оэф-
фициента образуют арифметичесую прорессию. Найдите все
рациональные члены разложения.
20. Доажите, что
1 – + – + ... + = 0.
21. Сравнив оэффициенты при x в обеих частях равенства
доажите, что
+ + ... + = .
3
3
2
C
5
k
3
3
2 C
5
k
3
5 k–
3
--------- ----
2
k
2
---
5 k–
3
-------------
k
2
---
C
5
2
54⋅
2
-----------
3
5
2
7
2 3
4
x
1
2 x
4
------------
n
C
n
1
C
n
2
C
n
3
(–1)
n
C
n
n
(1 x)
m
(1 + x)
n
+(1x)
mn+
+=,
C
n
k
C
m
0
C
n
k 1–
C
m
1
C
n
0
C
m
k
C
mn+
k
500 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
14. Найдите член разложения + , оторый содер-
жит x
2
.
5. Доажите, что сумма всех оэффициентов разложения
(2y – x)
k
при любом натуральном k равна 1.
16. Биномиальные оэффициенты второо и девятоо членов
разложения равны. Найдите член разложения,
не содержащий x.
7. Найдите наибольший член разложения + .
18. Найдите номер наибольшео члена разложения
+ .
9. Сумма биномиальных оэффициентов разложения равна
1024. Найдите член разложения x
2
+ , содержащий x
11
.
10. Доажите, что если степень бинома n— нечетное число,
то сумма биномиальных оэффициентов членов, находящихся
на четных местах, равна сумме биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах.
11. В разложении бинома a – определите член,
содержащий a
3
, если сумма биномиальных оэффициентов
членов, находящихся на нечетных местах, равна 2048.
12. Найдите наибольший член разложения ( + )
20
.
13. Третье слааемое разложения 2x + не содержит x.
При аих x это слааемое равно второму слааемому разложе-
ния (1 + x
3
)
30
?
14. При аих положительных значениях x наибольшим сла-
аемым в разложении (5 + 3x)
10
является четвертое?
15. Найдите x, при отором 50-й член разложения (x + y)
100
имеет наибольшее значение, если известно, что x + y = 1,
x >0, y >0.
x
a
---
a
x
2
------
8
(5x
–3/2
x
1/3
)
n
–
1
2
---
1
2
---
100
9
10
------
1
10
------
100
1
x
---
n
a
3
---
5
b
a
3
7
---------- -
n
5 2
1
x
2
------
m
§ 84. Бином Ньютона 501
16. Найдите x, при отором k-й член разложения (x + y)
n
имеет наибольшее значение, если x + y = 1 и x > 0, y > 0.
П р и м е р 3. В разложении бинома ( + )
5
найти чле-
ны, не содержащие иррациональности.
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой общео члена разло-
жения:
T
k
= ( )
5 – k
()
k
= · .
Полученное выражение является рациональным, если и
— целые числа. Очевидно, что число k следует исать среди
четных чисел, меньших 5. Непосредственной проверой убеж-
даемся, что единственное значение, оторое оно может прини-
мать, равно 2. Следовательно, в разложении бинома есть толь-
о один член, удовлетворяющий сформулированному условию:
T
2
= · 3 · 2 = 6 · = 60.
Ответ.60.
17. В разложении ( + )
24
найдите член, не содержа-
щий иррациональности.
18. Сольо рациональных членов содержится в разложе-
нии ( + )
100
?
19. В разложении бинома + первые три оэф-
фициента образуют арифметичесую прорессию. Найдите все
рациональные члены разложения.
20. Доажите, что
1 – + – + ... + = 0.
21. Сравнив оэффициенты при x в обеих частях равенства
доажите, что
+ + ... + = .
3
3
2
C
5
k
3
3
2 C
5
k
3
5 k–
3
--------- ----
2
k
2
---
5 k–
3
-------------
k
2
---
C
5
2
54⋅
2
-----------
3
5
2
7
2 3
4
x
1
2 x
4
------------
n
C
n
1
C
n
2
C
n
3
(–1)
n
C
n
n
(1 x)
m
(1 + x)
n
+(1x)
mn+
+=,
C
n
k
C
m
0
C
n
k 1–
C
m
1
C
n
0
C
m
k
C
mn+
k
502 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
22. Воспользовавшись результатом упр. 21, доажите, что
сумма вадратов биномиальных оэффициентов равна .
23. Доажите справедливость равенства
1 – 10 + 10
2
– 10
3
+ ... – 10
2n – 1
+ 10
2n
= 81
n
.
Неоторые формулы омбинатории можно получить, диф-
ференцируя или интерируя обе части разложения бинома
, оторое справедливо при всех x.
П р и м е р 4. Доазать справедливость равенства
n + (n – 1) + ... + = n ·
Р е ш е н и е. Дифференцируя разложение бинома для
имеем
+ x
n – 1
+ ... + =
= nx
n – 1
+ (n – 1) x
n – 2
+ ... + .
С друой стороны, справедливо равенство
=
Подставив в тождество
= nx
n – 1
+ (n – 1) x
n – 2
+ ... +
значение x = 1, получим требуемое равенство:
n · = n + (n – 1) + ... + .
24. Доажите, что
n(n – 1) + (n – 1) (n – 2) + ... + 2 .
25. Доажите, что
+ + + ... + = – .
26. Доажите, что
n – (n – 1) + (n – 2) – (n – 3) + ... + = 0.
C
2n
n
C
2n
1
C
2n
2
C
2n
3
C
2n
1
(1 x)
n
+
C
n
0
C
n
1
C
n
n 1–
2
n 1–
.
(1 x)
n
+,
(x
n
C
n
1
C
n
n
)
′
C
n
1
C
n
n 1–
[(1 x)
n
]
′
+ n(1 x)
n 1–
+
·
.
n(1 x)
n 1–
+ C
n
1
C
n
n 1–
2
n 1–
C
n
0
C
n
1
C
n
n 1–
C
n
0
C
n
1
C
n
n 2–
C
n
0
n 1+
------------- -
C
n
1
n
------ -
C
n
2
n 1–
-------------
C
n
n
1
------ -
2
n 1+
------------- -
2
n
1
2
---
C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
3
(–1)
n 1–
C
n
n 1–
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики 503
27. Доажите, что
– + ... – =
28. Упростите выражение P
1
+ 2P
2
+ ... + nP
n
.
29. Доажите, что
+ + ... + = – .
30. Доажите неравенство m ( )
2
.
§ 85. Вычисление вероятностей
с помощью формул комбинаторики
Пусть в лотерее, де разырывается 10 билетов, принимают
участие несольо челове. На аждом билете записывают имя
одноо из участниов, после чео все билеты тщательно переме-
шивают. Затем науад выбирают один билет, и тот, чье имя за-
писано на билете, получает приз. Каовы шансы получить
приз неоторому участниу лотереи? Если имя этоо участни-
а написано тольо на одном билете, то у нео один шанс из де-
сяти, если на двух, то два из десяти, и т. д.
Извлечение любоо билета с именем этоо участниа счита-
ется блаоприятным исходом. Число таих исходов, очевидно,
совпадает с числом билетов, на оторых написано ео имя.
Шансы данноо участниа на выирыш определяются долей
блаоприятных исходов среди всех равновозможных исходов
эсперимента. Чтобы найти эту долю, нужно число блаопри-
ятных исходов разделить на число всех исходов эсперимента.
При мнооратном проведении эсперимента ео результа-
ты поазывают, что отношение числа исходов, при оторых
данный участни выирывает, числу всех исходов эспери-
мента оазывается близим доле тех билетов, на оторых на-
писано имя участниа, среди всех билетов, разырываемых
в лотерее. Поэтому вероятностью выирыша естественно счи-
тать отношение числа блаоприятных исходов числу всех
возможных исходов эсперимента.
Подойдем теперь понятию вероятности более формально.
Для этоо введем следующее определение: будем называть эле-
ментарным событием любой из равновозможных исходов
C
n
1
n
------ -
C
n
2
n 1–
-------------
1–()
n
C
n
n
2
----------------------
0, n = 2l,
, n = 2l + 1.
2
n 1+
------------- -
C
n
m
C
n 1–
m
C
n 10–
m
C
n 1+
m 1+
C
n 10–
m 1+
C
2nx+
n
C
2nx–
n
C
2n
n
502 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
22. Воспользовавшись результатом упр. 21, доажите, что
сумма вадратов биномиальных оэффициентов равна .
23. Доажите справедливость равенства
1 – 10 + 10
2
– 10
3
+ ... – 10
2n – 1
+ 10
2n
= 81
n
.
Неоторые формулы омбинатории можно получить, диф-
ференцируя или интерируя обе части разложения бинома
, оторое справедливо при всех x.
П р и м е р 4. Доазать справедливость равенства
n + (n – 1) + ... + = n ·
Р е ш е н и е. Дифференцируя разложение бинома для
имеем
+ x
n – 1
+ ... + =
= nx
n – 1
+ (n – 1) x
n – 2
+ ... + .
С друой стороны, справедливо равенство
=
Подставив в тождество
= nx
n – 1
+ (n – 1) x
n – 2
+ ... +
значение x = 1, получим требуемое равенство:
n · = n + (n – 1) + ... + .
24. Доажите, что
n(n – 1) + (n – 1) (n – 2) + ... + 2 .
25. Доажите, что
+ + + ... + = – .
26. Доажите, что
n – (n – 1) + (n – 2) – (n – 3) + ... + = 0.
C
2n
n
C
2n
1
C
2n
2
C
2n
3
C
2n
1
(1 x)
n
+
C
n
0
C
n
1
C
n
n 1–
2
n 1–
.
(1 x)
n
+,
(x
n
C
n
1
C
n
n
)
′
C
n
1
C
n
n 1–
[(1 x)
n
]
′
+ n(1 x)
n 1–
+
·
.
n(1 x)
n 1–
+ C
n
1
C
n
n 1–
2
n 1–
C
n
0
C
n
1
C
n
n 1–
C
n
0
C
n
1
C
n
n 2–
C
n
0
n 1+
------------- -
C
n
1
n
------ -
C
n
2
n 1–
-------------
C
n
n
1
------ -
2
n 1+
------------- -
2
n
1
2
---
C
n
0
C
n
1
C
n
2
C
n
3
(–1)
n 1–
C
n
n 1–
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики 503
27. Доажите, что
– + ... – =
28. Упростите выражение P
1
+ 2P
2
+ ... + nP
n
.
29. Доажите, что
+ + ... + = – .
30. Доажите неравенство m ( )
2
.
§ 85. Вычисление вероятностей
с помощью формул комбинаторики
Пусть в лотерее, де разырывается 10 билетов, принимают
участие несольо челове. На аждом билете записывают имя
одноо из участниов, после чео все билеты тщательно переме-
шивают. Затем науад выбирают один билет, и тот, чье имя за-
писано на билете, получает приз. Каовы шансы получить
приз неоторому участниу лотереи? Если имя этоо участни-
а написано тольо на одном билете, то у нео один шанс из де-
сяти, если на двух, то два из десяти, и т. д.
Извлечение любоо билета с именем этоо участниа счита-
ется блаоприятным исходом. Число таих исходов, очевидно,
совпадает с числом билетов, на оторых написано ео имя.
Шансы данноо участниа на выирыш определяются долей
блаоприятных исходов среди всех равновозможных исходов
эсперимента. Чтобы найти эту долю, нужно число блаопри-
ятных исходов разделить на число всех исходов эсперимента.
При мнооратном проведении эсперимента ео результа-
ты поазывают, что отношение числа исходов, при оторых
данный участни выирывает, числу всех исходов эспери-
мента оазывается близим доле тех билетов, на оторых на-
писано имя участниа, среди всех билетов, разырываемых
в лотерее. Поэтому вероятностью выирыша естественно счи-
тать отношение числа блаоприятных исходов числу всех
возможных исходов эсперимента.
Подойдем теперь понятию вероятности более формально.
Для этоо введем следующее определение: будем называть эле-
ментарным событием любой из равновозможных исходов
C
n
1
n
------ -
C
n
2
n 1–
-------------
1–()
n
C
n
n
2
----------------------
0, n = 2l,
, n = 2l + 1.
2
n 1+
------------- -
C
n
m
C
n 1–
m
C
n 10–
m
C
n 1+
m 1+
C
n 10–
m 1+
C
2nx+
n
C
2nx–
n
C
2n
n
504 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
эсперимента (в рассмотренном примере элементарным исхо-
дом является извлечение одноо из билетов). Множество всех
равновозможных исходов назовем пространством элементар-
ных событий, а аждое элементарное событие — точой это-
о пространства (в рассмотренном примере пространство эле-
ментарных событий состоит из 10 точе).
Совоупность элементарных событий, объединяющая все
исходы, при оторых происходит событие A, называют множе-
ством элементарных событий, блаоприятствющих со-
бытию B. Вероятностью события A называют отношение
числа блаоприятствующих ему элементарных событий числу
всех возможных элементарных событий. Если число исходов,
блаоприятствующих событию A, равно m, а число всех точе,
составляющих пространство элементарных событий, равно n,
то вероятность P(A) события A выразится дробью:
P(A) = . (1)
В задачах, де число всех возможных элементарных собы-
тий является онечным, число элементарных событий, блао-
приятствующих событию A, можно найти непосредственно.
П р и м е р 1. В лассе, состоящем из 20 учениов, 15 чело-
ве занимаются в математичесом руже. Каова вероятность
тоо, что наудачу выбранный учени оажется членом матема-
тичесоо ружа?
Р е ш е н и е. Пусть событие A состоит в том, что наудачу
выбранный учени является членом математичесоо ружа.
Тода число элементарных событий, блаоприятствующих собы-
тию A, равно 15. Число всех элементарных событий в данном
случае равно 20. Следовательно, исомая вероятность равна
P(A) = = .
Ответ..
П р и м е р 2. Бросают две иральные ости. Каое событие
более вероятно: сумма очов на выпавших ранях равна 11 или
сумма очов на выпавших ранях равна 4?
Р е ш е н и е. Поставим в соответствие исходу эсперимента
упорядоченную пару чисел (x; y), де x означает число очов,
выпавших на первой ости, а y— на второй. Тода пространст-
во всех элементарных событий состоит их множества пар (x; y),
m
n
---- -
15
20
------
3
4
---
3
4
---
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики 505
де x и y принимают значения от 1 до 6. Число таих пар рав-
но 36. Событию A, состоящему в том, что сумма очов, выпав-
ших на двух остях, равна 11, блаоприятствуют два элемен-
тарных события, оторым соответствуют пары (6; 5) и (5; 6).
Событию B, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на
двух остях, равна 4, блаоприятствуют три элементарных со-
бытия, оторым соответствуют пары (1; 3), (3; 1), (2; 2).
Вероятности событий A и B равны соответственно
P(A) = = и P(B) = = ,
и, следовательно, событие B более вероятно.
Ответ. Второе событие более вероятно.
11. Каова вероятность тоо, что наудачу вырванный лис-
то из новоо алендаря соответствует первому числу месяца?
(Год считается не висоосным.)
12. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное число
от 1 до 12 оажется делителем числа 12? (Единица считается
делителем любоо числа.)
3. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное двузнач-
ное число делится на 3?
14. Найдите вероятность тоо, что наудачу выбранный член
последовательности u
n
= n
2
+ 1 (n = 1, 2, ..., 10) делится на 5.
15. В урне находятся 10 белых шаров и 3 расных. Каова
вероятность извлечь из урны расный шар?
6. Монету бросают три раза. Каое из событий более вероят-
но: событие A— все три раза выпала цифра, или событие B—
два раза выпала цифра и один раз ерб? Найдите вероятности
этих событий.
17. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях равна 7?
18. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях четная?
19. При перевозе 100 деталей, из оторых 10 были забрао-
ваны, утеряна одна стандартная деталь. Найдите вероятность
тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась стандартной.
10. В условиях упр. 9 найдите вероятность тоо, что науда-
чу извлеченная деталь оазалась браованной.
11. В семье трое детей. Каова вероятность тоо, что все они
мальчии? (Предполаается, что вероятности рождения маль-
чиа и девочи одинаовы.)
2
36
------
1
18
------
3
36
------
1
12
------
504 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
эсперимента (в рассмотренном примере элементарным исхо-
дом является извлечение одноо из билетов). Множество всех
равновозможных исходов назовем пространством элементар-
ных событий, а аждое элементарное событие — точой это-
о пространства (в рассмотренном примере пространство эле-
ментарных событий состоит из 10 точе).
Совоупность элементарных событий, объединяющая все
исходы, при оторых происходит событие A, называют множе-
ством элементарных событий, блаоприятствющих со-
бытию B. Вероятностью события A называют отношение
числа блаоприятствующих ему элементарных событий числу
всех возможных элементарных событий. Если число исходов,
блаоприятствующих событию A, равно m, а число всех точе,
составляющих пространство элементарных событий, равно n,
то вероятность P(A) события A выразится дробью:
P(A) = . (1)
В задачах, де число всех возможных элементарных собы-
тий является онечным, число элементарных событий, блао-
приятствующих событию A, можно найти непосредственно.
П р и м е р 1. В лассе, состоящем из 20 учениов, 15 чело-
ве занимаются в математичесом руже. Каова вероятность
тоо, что наудачу выбранный учени оажется членом матема-
тичесоо ружа?
Р е ш е н и е. Пусть событие A состоит в том, что наудачу
выбранный учени является членом математичесоо ружа.
Тода число элементарных событий, блаоприятствующих собы-
тию A, равно 15. Число всех элементарных событий в данном
случае равно 20. Следовательно, исомая вероятность равна
P(A) = = .
Ответ..
П р и м е р 2. Бросают две иральные ости. Каое событие
более вероятно: сумма очов на выпавших ранях равна 11 или
сумма очов на выпавших ранях равна 4?
Р е ш е н и е. Поставим в соответствие исходу эсперимента
упорядоченную пару чисел (x; y), де x означает число очов,
выпавших на первой ости, а y— на второй. Тода пространст-
во всех элементарных событий состоит их множества пар (x; y),
m
n
---- -
15
20
------
3
4
---
3
4
---
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики 505
де x и y принимают значения от 1 до 6. Число таих пар рав-
но 36. Событию A, состоящему в том, что сумма очов, выпав-
ших на двух остях, равна 11, блаоприятствуют два элемен-
тарных события, оторым соответствуют пары (6; 5) и (5; 6).
Событию B, состоящему в том, что сумма очов, выпавших на
двух остях, равна 4, блаоприятствуют три элементарных со-
бытия, оторым соответствуют пары (1; 3), (3; 1), (2; 2).
Вероятности событий A и B равны соответственно
P(A) = = и P(B) = = ,
и, следовательно, событие B более вероятно.
Ответ. Второе событие более вероятно.
11. Каова вероятность тоо, что наудачу вырванный лис-
то из новоо алендаря соответствует первому числу месяца?
(Год считается не висоосным.)
12. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное число
от 1 до 12 оажется делителем числа 12? (Единица считается
делителем любоо числа.)
3. Каова вероятность тоо, что наудачу выбранное двузнач-
ное число делится на 3?
14. Найдите вероятность тоо, что наудачу выбранный член
последовательности u
n
= n
2
+ 1 (n = 1, 2, ..., 10) делится на 5.
15. В урне находятся 10 белых шаров и 3 расных. Каова
вероятность извлечь из урны расный шар?
6. Монету бросают три раза. Каое из событий более вероят-
но: событие A— все три раза выпала цифра, или событие B—
два раза выпала цифра и один раз ерб? Найдите вероятности
этих событий.
17. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях равна 7?
18. Брошены две иральные ости. Каова вероятность тоо,
что сумма очов на выпавших ранях четная?
19. При перевозе 100 деталей, из оторых 10 были забрао-
ваны, утеряна одна стандартная деталь. Найдите вероятность
тоо, что наудачу извлеченная деталь оазалась стандартной.
10. В условиях упр. 9 найдите вероятность тоо, что науда-
чу извлеченная деталь оазалась браованной.
11. В семье трое детей. Каова вероятность тоо, что все они
мальчии? (Предполаается, что вероятности рождения маль-
чиа и девочи одинаовы.)
2
36
------
1
18
------
3
36
------
1
12
------
506 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
В неоторых случаях для непосредственноо подсчета вероят-
ности события A удобно использовать формулы омбинатории.
П р и м е р 3. Найти вероятность тоо, что все учащиеся
в руппе, состоящей из 40 челове, родились в разные дни ода.
Р е ш е н и е. Все возможные исходы эсперимента представ-
ляются различными выборами, содержащими по 40 элемен-
тов из исходноо множества объема 365. При этом выбора мо-
жет содержать одинаовые элементы (та а любой день мо-
жет быть днем рождения несольих челове). Следовательно,
пространство элементарных событий содержит 40
365
различ-
ных выборо. Блаоприятным событиям будут соответствовать
выбори, не содержащие одинаовых элементов. Имеется
таих выборо. Ита, исомая вероятность равна P(A) = .
При выполнении упр. 12—17 используйте формулы числа
размещений, сочетаний, перестаново.
12. В урне находятся n белых и m расных шаров. Каова
вероятность тоо, что наудачу взятые два шара оажутся рас-
ными?
13. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние
цифры и, помня тольо, что они различны, набрал их наудачу.
Каова вероятность, что он набрал нужные цифры?
14. К онцу дня в маазине осталось 60 арбузов, из оторых
50 спелых. Поупатель выбирает два арбуза. Каова вероят-
ность тоо, что они оба спелые?
15. В урне находятся n белых, m черных, k расных шаров.
Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что все
они разноо цвета?
16. В эзаменационный билет входят 4 вопроса прораммы,
насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов
прораммы. Каова вероятность тоо, что он вытянет билет,
де все вопросы ему известны?
17. На арточах написаны целые числа от 1 до 15. Науда-
чу извлеают две арточи. Каова вероятность тоо, что сум-
ма цифр, написанных на этих арточах, будет равна 10?
При выполнении упр. 18—22 используйте формулу числа
перестаново с заданным числом повторений.
18. Каова вероятность тоо, что при случайном расположе-
нии в ряд убиов, на оторых написаны бувы «а», «а», «а»,
«н», «н», «с», получится слово «ананас»?
A
365
40
A
365
40
40
365
-------------- -
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики 507
19. На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом
садятся семь учениов. Найдите вероятность тоо, что три оп-
ределенных учениа оажутся рядом.
20. На нижной поле случайным образом расставлены
4 нии по алебре и 3 по еометрии. Каова вероятность тоо,
что нии по аждому предмету стоят рядом?
21. Найдите вероятность тоо, что при ире в бридж (четы-
рем ироам из олоды в 52 арты раздаются по 13 арт) аж-
дый иро получит по одному тузу.
22. Известно, что при 10-ратном бросании монеты 5 раз
выпали ербы и 5 раз цифры. Каова вероятность тоо, что все
ербы выпали при первых пяти бросаниях?
П р и м е р 4. Из 15 строительных рабочих 10 — штуату-
ры, а 5 — маляры. Наудачу отбирают бриаду из 5 рабочих.
Каова вероятность тоо, что среди них будет 3 маляра и
2 штуатура?
Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий содер-
жит все выбори различноо состава, объем оторых равен 5,
из множества, имеющео объем 15. Число таих выборо рав-
но . Блаоприятным событиям соответствуют выбори, со-
держащие трех маляров и двух штуатуров. Трех маляров из
пяти можно выбрать способами, а двух штуатуров (неза-
висимо от предыдущео выбора) способами.
Следовательно, число выборо, соответствующих блаопри-
ятным событиям, равно произведению . Ита, исомая
вероятность определяется выражением P(A) = .
Ответ..
В общем случае вероятность получить выбору объема k + r,
де k элементов принадлежат одной руппе, состоящей из n эле-
ментов, а r— друой, состоящей из m элементов, определяется
формулой
P(A) = . (2)
C
15
5
C
5
3
C
10
2
C
5
3
C
10
2
C
5
3
C
10
2
C
15
5
----------------
C
5
3
C
10
2
C
15
5
----------------
C
n
k
C
m
r
C
mn+
kr+
----------------
506 Г л а в а 15. Комбинаторика. Элементы теории вероятностей
В неоторых случаях для непосредственноо подсчета вероят-
ности события A удобно использовать формулы омбинатории.
П р и м е р 3. Найти вероятность тоо, что все учащиеся
в руппе, состоящей из 40 челове, родились в разные дни ода.
Р е ш е н и е. Все возможные исходы эсперимента представ-
ляются различными выборами, содержащими по 40 элемен-
тов из исходноо множества объема 365. При этом выбора мо-
жет содержать одинаовые элементы (та а любой день мо-
жет быть днем рождения несольих челове). Следовательно,
пространство элементарных событий содержит 40
365
различ-
ных выборо. Блаоприятным событиям будут соответствовать
выбори, не содержащие одинаовых элементов. Имеется
таих выборо. Ита, исомая вероятность равна P(A) = .
При выполнении упр. 12—17 используйте формулы числа
размещений, сочетаний, перестаново.
12. В урне находятся n белых и m расных шаров. Каова
вероятность тоо, что наудачу взятые два шара оажутся рас-
ными?
13. Набирая номер телефона, абонент забыл три последние
цифры и, помня тольо, что они различны, набрал их наудачу.
Каова вероятность, что он набрал нужные цифры?
14. К онцу дня в маазине осталось 60 арбузов, из оторых
50 спелых. Поупатель выбирает два арбуза. Каова вероят-
ность тоо, что они оба спелые?
15. В урне находятся n белых, m черных, k расных шаров.
Наудачу вынимают три шара. Каова вероятность тоо, что все
они разноо цвета?
16. В эзаменационный билет входят 4 вопроса прораммы,
насчитывающей 45 вопросов. Абитуриент не знает 15 вопросов
прораммы. Каова вероятность тоо, что он вытянет билет,
де все вопросы ему известны?
17. На арточах написаны целые числа от 1 до 15. Науда-
чу извлеают две арточи. Каова вероятность тоо, что сум-
ма цифр, написанных на этих арточах, будет равна 10?
При выполнении упр. 18—22 используйте формулу числа
перестаново с заданным числом повторений.
18. Каова вероятность тоо, что при случайном расположе-
нии в ряд убиов, на оторых написаны бувы «а», «а», «а»,
«н», «н», «с», получится слово «ананас»?
A
365
40
A
365
40
40
365
-------------- -
§ 85. Вычисление вероятностей с пом. формул комбинаторики 507
19. На один ряд, состоящий из 7 мест, случайным образом
садятся семь учениов. Найдите вероятность тоо, что три оп-
ределенных учениа оажутся рядом.
20. На нижной поле случайным образом расставлены
4 нии по алебре и 3 по еометрии. Каова вероятность тоо,
что нии по аждому предмету стоят рядом?
21. Найдите вероятность тоо, что при ире в бридж (четы-
рем ироам из олоды в 52 арты раздаются по 13 арт) аж-
дый иро получит по одному тузу.
22. Известно, что при 10-ратном бросании монеты 5 раз
выпали ербы и 5 раз цифры. Каова вероятность тоо, что все
ербы выпали при первых пяти бросаниях?
П р и м е р 4. Из 15 строительных рабочих 10 — штуату-
ры, а 5 — маляры. Наудачу отбирают бриаду из 5 рабочих.
Каова вероятность тоо, что среди них будет 3 маляра и
2 штуатура?
Р е ш е н и е. Пространство элементарных событий содер-
жит все выбори различноо состава, объем оторых равен 5,
из множества, имеющео объем 15. Число таих выборо рав-
но . Блаоприятным событиям соответствуют выбори, со-
держащие трех маляров и двух штуатуров. Трех маляров из
пяти можно выбрать способами, а двух штуатуров (неза-
висимо от предыдущео выбора) способами.
Следовательно, число выборо, соответствующих блаопри-
ятным событиям, равно произведению . Ита, исомая
вероятность определяется выражением P(A) = .
Ответ..
В общем случае вероятность получить выбору объема k + r,
де k элементов принадлежат одной руппе, состоящей из n эле-
ментов, а r— друой, состоящей из m элементов, определяется
формулой
P(A) = . (2)
C
15
5
C
5
3
C
10
2
C
5
3
C
10
2
C
5
3
C
10
2
C
15
5
----------------
C
5
3
C
10
2
C
15
5
----------------
C
n
k
C
m
r
C
mn+
kr+
----------------