Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Учитывая множество допустимых значений исходноо не-
равенства, определяемое условием x − –2, оончательно полу-
чаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ
Ÿ (–2; –0,5).
Ответ.(–×; –2) Ÿ (–2; –0,5).
На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приве-
денноо неравенства.
Решите неравенство:
25. |x – 3| > –1. 26. |4 – 3x| m 0,5.
27. x
2
+ 2|x + 3| – 10 m 0. 28. |x
2
– 1| – 2x < 0.
29. x
2
+ x – 10 < 2|x – 2|. 30. x
2
– |3x + 2| + x l 0.
31. |x
2
– 3| + 2x + 1 l 0. 32. l |x – 2|.
33. > 2. 34. |x – 2| m |x + 4|.
35. |x
2
+ x + 1| < 2x
2
– 4x + 7. 36. > 0.
§ 18. Показательные неравенства
Простейшими поазательными неравенствами называют
неравенства вида
a
x
> b,(1)
a
x
< b,(2)
де a и b— неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
x
y
–2 1
O
1
y =
x + 2
x – 1
–0,5
Рис. 5
9
x 5–3–
--------------------------
2x 1–
x 1–
-----------------
|x 2| x–+
4 x
3
–
---------------------------
§ 18. Показательные неравенства 91
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (1) имеет следующий вид:
если a > 1, b > 0, то x Ý (log
a
b; +×);
если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; log
a
b);
если b < 0, то x Ý R.
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (2) имеет следующий вид:
если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; log
a
b);
если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (log
a
b; +×);
если b < 0, то x = ¾.
Множество решений аждоо из нестроих неравенств a
x
l b
и a
x
m b находят а объединение множеств решений соответ-
ствующео строоо неравенства и уравнения a
x
= b.
Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай,
ода поазателем степени является неоторая фунция от x.
Та, множеством решений неравенства
2
f(x)
> 3 (3)
является множество решений неравенства
f(x) > log
2
3,
эвивалентноо неравенству (3).
Методы сведения более сложных поазательных неравенств
неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используе-
мым при решении поазательных уравнений. Например, реше-
ние поазательноо неравенства вида
P(a
x
) > 0,
де P(a
x
) — мноочлен уазанноо арумента, заменой a
x
= y
сводят последовательному решению неравенства P(y) > 0 и
решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2)
или систем простейших поазательных неравенств.
П р и м е р. Решить неравенство
– 2 · – > 0. (*)
Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последова-
тельными членами еометричесой прорессии, то неравенст-
во (*) можно свести вадратному относительно неизвестноо
4
x
5
2x
10
x
90 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Учитывая множество допустимых значений исходноо не-
равенства, определяемое условием x − –2, оончательно полу-
чаем, что неравенство (*) выполняется при всех x Ý (–×; –2) Ÿ
Ÿ (–2; –0,5).
Ответ.(–×; –2) Ÿ (–2; –0,5).
На рис. 5 дана рафичесая иллюстрация решения приве-
денноо неравенства.
Решите неравенство:
25. |x – 3| > –1. 26. |4 – 3x| m 0,5.
27. x
2
+ 2|x + 3| – 10 m 0. 28. |x
2
– 1| – 2x < 0.
29. x
2
+ x – 10 < 2|x – 2|. 30. x
2
– |3x + 2| + x l 0.
31. |x
2
– 3| + 2x + 1 l 0. 32. l |x – 2|.
33. > 2. 34. |x – 2| m |x + 4|.
35. |x
2
+ x + 1| < 2x
2
– 4x + 7. 36. > 0.
§ 18. Показательные неравенства
Простейшими поазательными неравенствами называют
неравенства вида
a
x
> b,(1)
a
x
< b,(2)
де a и b— неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
x
y
–2 1
O
1
y =
x + 2
x – 1
–0,5
Рис. 5
9
x 5–3–
--------------------------
2x 1–
x 1–
-----------------
|x 2| x–+
4 x
3
–
---------------------------
§ 18. Показательные неравенства 91
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (1) имеет следующий вид:
если a > 1, b > 0, то x Ý (log
a
b; +×);
если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (–×; log
a
b);
если b < 0, то x Ý R.
В зависимости от значений a и b множество решений нера-
венства (2) имеет следующий вид:
если a > 1, b > 0, то x Ý (–×; log
a
b);
если 0 < a < 1, b > 0, то x Ý (log
a
b; +×);
если b < 0, то x = ¾.
Множество решений аждоо из нестроих неравенств a
x
l b
и a
x
m b находят а объединение множеств решений соответ-
ствующео строоо неравенства и уравнения a
x
= b.
Неравенства вида (1) или (2) можно обобщить на случай,
ода поазателем степени является неоторая фунция от x.
Та, множеством решений неравенства
2
f(x)
> 3 (3)
является множество решений неравенства
f(x) > log
2
3,
эвивалентноо неравенству (3).
Методы сведения более сложных поазательных неравенств
неравенствам вида (1) — (3) аналоичны методам, используе-
мым при решении поазательных уравнений. Например, реше-
ние поазательноо неравенства вида
P(a
x
) > 0,
де P(a
x
) — мноочлен уазанноо арумента, заменой a
x
= y
сводят последовательному решению неравенства P(y) > 0 и
решению простейших поазательных неравенств вида (1) и (2)
или систем простейших поазательных неравенств.
П р и м е р. Решить неравенство
– 2 · – > 0. (*)
Р е ш е н и е. Та а числа 4, 10, 25 являются последова-
тельными членами еометричесой прорессии, то неравенст-
во (*) можно свести вадратному относительно неизвестноо
4
x
5
2x
10
x
92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
y = . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст-
ва на = :
– 2 – > 0.
Полаая = y, получим неравенство
y
2
– y – 2 > 0. (**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объеди-
нение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное
неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным не-
равенствам
< –1, > 2.
Решением первоо неравенства является пустое множество, а ре-
шением второо — промежуто (–×; log
2/5
2).
Ответ.(–×; log
2/5
2).
Решите неравенство:
1. + – 6 m 0. 2. – 7 · – 4 < 0.
3. + l 50. 4. – 3 · + 1 l 0.
5. 2 · + 4 m .
6. > .
7. 98 – l .
8. 5 · + 2 · m 7 · .
9. m –
10. + 3 < · 28.
11. – 4 · < .
12. < 2
3 – x
+ .
13. – < 10 ·
14. + > 30 + · .
2
5
---
x
25
x
5
2x
4
25
------
x
25⋅
25
-----------
x
2
5
---
x
2
5
---
x
2
5
---
x
4
x
2
x 1+
4
x–0,5+
2
x–
25
x–
5
x–1+
4
x
2
2
x
2
3
2x
2
3
x
2
2+
1
3
---
x 4+
1
3
---
x
2
3x 4++
7
x
2
5x 48–+
49
x
2
5x 49–+
4
x
25
x
10
x
13
x
5– 2(13
x
12)+ 13
x
5+.
9
x
2
3–
3
x
2
3–1–
5
2x 10–3x 2––
5
x 5–
5
13x 2–+
1
4
---
x
25
1/log
3
5
25
x
2
2log
4
61–
5
x 1–
.
5
2x 1+
6
x 1+
5
x
30
x
§ 19. Логарифмические неравенства 93
15. + > 5.
16. – 5 > .
17. < .
18. m 3 ·
+ .
19.
20. |3
tg πx
– 3
1 – tg πx
| l 2.
§ 19. Логарифмические неравенства
Простейшими лоарифмичесими неравенствами называ-
ют неравенства вида
log
a
x > b,(1)
log
a
x < b,(2)
де a и b— неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (1) имеет следующий вид:
если a > 1, то x Ý (a
b
; +×);
если 0 < a < 1, то x Ý (0; a
b
).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (2) имеет следующий вид:
если a > 1, то x Ý (0; a
b
);
если 0 < a < 1, то x Ý (a
b
; +×).
Множество решений аждоо из нестроих неравенств
log
a
x l b и log
a
x m b находят а объединение множеств решений
соответствующео строоо неравенства и уравнения log
a
x = b.
Неравенство вида
log
a
f(x) > b (3)
эвивалентно следующим системам неравенств*:
если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > a
b
;
если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < a
b
;
* В случае, если неравенство (3) нестроое, вторые неравенства этих
систем таже нестроие.
82
3 x–1+
4
3 x–
–+ 2
3 x–1+
4
x 1+
17+ 2
x
3
x 1+
9
4x
2
27
-----------
4
x
2
xx+
4
1 x+
– + 6 > 0,
– 2 · – 27 < 0.
3
2x 1+
3
x 2+
3
2x 2+
3
x 2+
92 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
y = . Для этоо разделим обе части исходноо неравенст-
ва на = :
– 2 – > 0.
Полаая = y, получим неравенство
y
2
– y – 2 > 0. (**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объеди-
нение промежутов: (–×; –1) Ÿ (2; +×). Таим образом, исходное
неравенство эвивалентно двум простейшим поазательным не-
равенствам
< –1, > 2.
Решением первоо неравенства является пустое множество, а ре-
шением второо — промежуто (–×; log
2/5
2).
Ответ.(–×; log
2/5
2).
Решите неравенство:
1. + – 6 m 0. 2. – 7 · – 4 < 0.
3. + l 50. 4. – 3 · + 1 l 0.
5. 2 · + 4 m .
6. > .
7. 98 – l .
8. 5 · + 2 · m 7 · .
9. m –
10. + 3 < · 28.
11. – 4 · < .
12. < 2
3 – x
+ .
13. – < 10 ·
14. + > 30 + · .
2
5
---
x
25
x
5
2x
4
25
------
x
25⋅
25
-----------
x
2
5
---
x
2
5
---
x
2
5
---
x
4
x
2
x 1+
4
x–0,5+
2
x–
25
x–
5
x–1+
4
x
2
2
x
2
3
2x
2
3
x
2
2+
1
3
---
x 4+
1
3
---
x
2
3x 4++
7
x
2
5x 48–+
49
x
2
5x 49–+
4
x
25
x
10
x
13
x
5– 2(13
x
12)+ 13
x
5+.
9
x
2
3–
3
x
2
3–1–
5
2x 10–3x 2––
5
x 5–
5
13x 2–+
1
4
---
x
25
1/log
3
5
25
x
2
2log
4
61–
5
x 1–
.
5
2x 1+
6
x 1+
5
x
30
x
§ 19. Логарифмические неравенства 93
15. + > 5.
16. – 5 > .
17. < .
18. m 3 ·
+ .
19.
20. |3
tg πx
– 3
1 – tg πx
| l 2.
§ 19. Логарифмические неравенства
Простейшими лоарифмичесими неравенствами называ-
ют неравенства вида
log
a
x > b,(1)
log
a
x < b,(2)
де a и b— неоторые действительные числа (a > 0, a − 1).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (1) имеет следующий вид:
если a > 1, то x Ý (a
b
; +×);
если 0 < a < 1, то x Ý (0; a
b
).
В зависимости от значений a множество решений неравен-
ства (2) имеет следующий вид:
если a > 1, то x Ý (0; a
b
);
если 0 < a < 1, то x Ý (a
b
; +×).
Множество решений аждоо из нестроих неравенств
log
a
x l b и log
a
x m b находят а объединение множеств решений
соответствующео строоо неравенства и уравнения log
a
x = b.
Неравенство вида
log
a
f(x) > b (3)
эвивалентно следующим системам неравенств*:
если a > 1, то f(x) > 0, f(x) > a
b
;
если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) < a
b
;
* В случае, если неравенство (3) нестроое, вторые неравенства этих
систем таже нестроие.
82
3 x–1+
4
3 x–
–+ 2
3 x–1+
4
x 1+
17+ 2
x
3
x 1+
9
4x
2
27
-----------
4
x
2
xx+
4
1 x+
– + 6 > 0,
– 2 · – 27 < 0.
3
2x 1+
3
x 2+
3
2x 2+
3
x 2+
94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
а неравенство вида
log
a
f(x) < b (4)
— следующим системам неравенств:
если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < a
b
;
если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > a
b
.
Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят не-
равенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, ото-
рые используются при решении лоарифмичесих уравнений.
Та, множество решений неравенства вида
P(log
a
x) > 0, (5)
а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P— мноочлен уа-
занноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое
неизвестное y = log
a
x и решают неравенство (5) а алебраи-
чесое относительно неизвестноо y. После этоо решение ис-
ходноо неравенства сводят решению соответствующих про-
стейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств.
П р и м е р 1. Решить неравенство
(log
1/2
x)
2
– log
1/2
x
2
> (log
1/2
3)
2
– 1. (*)
Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых зна-
чений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобра-
зуем это неравенство виду
(log
1/2
x)
2
– 2 log
1/2
x > (log
1/2
3)
2
–1.
Полаая y = log
1/2
x, получаем относительно y неравенство
y
2
– 2y – (log
1/2
3)
2
+ 1 > 0. (**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объ-
единение промежутов: (–×; 1 + log
1/2
3) Ÿ (1 – log
1/2
3; +×).
Таим образом, решения исходноо неравенства определяются
условиями
log
1/2
x < 1 + log
1/2
3 _ x > ,
log
1/2
x > 1 – log
1/2
3 _ 0 < x < .
Ответ.0; Ÿ ; +× .
3
2
---
1
6
---
1
6
---
3
2
---
§ 19. Логарифмические неравенства 95
Решите неравенство:
1. log
1/2
(2x + 3) > 0. 2. log
2
< 0.
3. log
5/8
2x
2
– x – l 1. 4. log
1/4
< cos .
5. x + log
2
x – 2 m 0.
6. 2log
4
(2x
2
+ 3) < log
2
(x
2
+ 6).
7. log
2
– 2 x + 1 l 0.
8. log
1/4
(2x + 3) > log
9
27.
9. lg (x – 4) + lg x < lg 21.
10. log
7
x – log
x
l 2.
11. log
2
[(x – 3)(x + 2)] + log
1/2
(x – 3) < – 3.
12. log
100
x
2
+ lg
2
x < 2.
13. log
3
(7 – x) m + log
7 – x
9.
14. log
3
x – x m 4.
15. log
1/2
(4 – x) l log
1/2
2 – log
1/2
(x – 1).
16. log
2
(3 – x) – log
2
> + log
2
(x + 7).
17. 2log
1/4
(x + 5) > 9 + 2.
18. log
4
log
1/4
m .
19. log
1/2
x m log
1/4
x.
20. log
3
< 2 log
9
7.
21. lg |2x + 3|
3
+ 2 10 < 3.
22. log
x/2
8 + log
x/4
8 < .
23. – 2x
2
> x – 2.
24. 2log
4
x – log
2
(x
2
– 3x + 2) m cos .
25. log
4/3
cos x l log
4/9
при x Ý (–1; 1).
x 3–
x 2+
------------- -
3
8
---
2x 1–
x 1+
-----------------
2π
3
------ -
log
2
2
x log
1/4
2
1
7
---
log
1/ 2
9
16
------
log
22
2
1
4
---
log
3
2
3
2
---
log
1/ 2 2()
sin
3π
4
------ -
5 x–
----------------
1
2
---
9
4
---
log
1/ 3 3()
log
x 5+
(3
x
1)–
3
x
1–
16
----------------
3
4
---
(3
4x
3
2x 1+
–3)+
log
2x 3+()
3
log
2
x
4
log
2
x
2
4–
-----------------------------
8
log
2
x
1
2
---
4π
3
------ -
3
2
---
94 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
а неравенство вида
log
a
f(x) < b (4)
— следующим системам неравенств:
если a > 1, то f(x) > 0, f(x) < a
b
;
если 0 < a < 1, то f(x) > 0, f(x) > a
b
.
Более сложные лоарифмичесие неравенства сводят не-
равенствам вида (1) — (4) методами, аналоичными тем, ото-
рые используются при решении лоарифмичесих уравнений.
Та, множество решений неравенства вида
P(log
a
x) > 0, (5)
а таже неравенств P < 0, P l 0, P m 0, де P— мноочлен уа-
занноо арумента, находят следующим образом. Вводят новое
неизвестное y = log
a
x и решают неравенство (5) а алебраи-
чесое относительно неизвестноо y. После этоо решение ис-
ходноо неравенства сводят решению соответствующих про-
стейших неравенств (1) и (2) или систем этих неравенств.
П р и м е р 1. Решить неравенство
(log
1/2
x)
2
– log
1/2
x
2
> (log
1/2
3)
2
– 1. (*)
Р е ш е н и е. Учитывая, что множеством допустимых зна-
чений неравенства (*) является промежуто (0; +×), преобра-
зуем это неравенство виду
(log
1/2
x)
2
– 2 log
1/2
x > (log
1/2
3)
2
–1.
Полаая y = log
1/2
x, получаем относительно y неравенство
y
2
– 2y – (log
1/2
3)
2
+ 1 > 0. (**)
Множество решений неравенства (**) представляет собой объ-
единение промежутов: (–×; 1 + log
1/2
3) Ÿ (1 – log
1/2
3; +×).
Таим образом, решения исходноо неравенства определяются
условиями
log
1/2
x < 1 + log
1/2
3 _ x > ,
log
1/2
x > 1 – log
1/2
3 _ 0 < x < .
Ответ.0; Ÿ ; +× .
3
2
---
1
6
---
1
6
---
3
2
---
§ 19. Логарифмические неравенства 95
Решите неравенство:
1. log
1/2
(2x + 3) > 0. 2. log
2
< 0.
3. log
5/8
2x
2
– x – l 1. 4. log
1/4
< cos .
5. x + log
2
x – 2 m 0.
6. 2log
4
(2x
2
+ 3) < log
2
(x
2
+ 6).
7. log
2
– 2 x + 1 l 0.
8. log
1/4
(2x + 3) > log
9
27.
9. lg (x – 4) + lg x < lg 21.
10. log
7
x – log
x
l 2.
11. log
2
[(x – 3)(x + 2)] + log
1/2
(x – 3) < – 3.
12. log
100
x
2
+ lg
2
x < 2.
13. log
3
(7 – x) m + log
7 – x
9.
14. log
3
x – x m 4.
15. log
1/2
(4 – x) l log
1/2
2 – log
1/2
(x – 1).
16. log
2
(3 – x) – log
2
> + log
2
(x + 7).
17. 2log
1/4
(x + 5) > 9 + 2.
18. log
4
log
1/4
m .
19. log
1/2
x m log
1/4
x.
20. log
3
< 2 log
9
7.
21. lg |2x + 3|
3
+ 2 10 < 3.
22. log
x/2
8 + log
x/4
8 < .
23. – 2x
2
> x – 2.
24. 2log
4
x – log
2
(x
2
– 3x + 2) m cos .
25. log
4/3
cos x l log
4/9
при x Ý (–1; 1).
x 3–
x 2+
------------- -
3
8
---
2x 1–
x 1+
-----------------
2π
3
------ -
log
2
2
x log
1/4
2
1
7
---
log
1/ 2
9
16
------
log
22
2
1
4
---
log
3
2
3
2
---
log
1/ 2 2()
sin
3π
4
------ -
5 x–
----------------
1
2
---
9
4
---
log
1/ 3 3()
log
x 5+
(3
x
1)–
3
x
1–
16
----------------
3
4
---
(3
4x
3
2x 1+
–3)+
log
2x 3+()
3
log
2
x
4
log
2
x
2
4–
-----------------------------
8
log
2
x
1
2
---
4π
3
------ -
3
2
---
96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
26. log
1/2
|x – 3| > –1. 27. log
2
( – x – 1) m 0.
28. < 1. 29. m 1.
30. log
3
· log
x
3 < 1. 31. log
2
x m 1.
32. + 1 > log
2
.
33. < 1. 34. m .
Лоарифмичесое неравенство вида
log
g(x)
f(x) > c (6)
эвивалентно двум системам неравенств:
(7)
П р и м е р 2. Решить неравенство
log
2x
(x
2
– 5x + 6) < 1. (*)
Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвива-
лентно двум системам неравенств:
Множество решений исходноо неравенства получаем а
объединение множеств решений этих двух систем.
Ответ. x Ý 0; Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).
Решите неравенство:
35. log
x
x
2
– > 4. 36. x – > 0.
37. log
x + 4
(5x + 20) m log
x + 4
(x + 4)
2
.
38. log
1/x
l 1. 39. x
2
+ – 4 l 1.
x 3+
log
1/2
2
x 81–2+
log
1/2
x 1–
-------------------------------------------------
log
1/2
x 4+
log
1/2
x 2+()
------------------------------------
52x– log
x
x
2
-------
log
4
2x
2
3x–3+
2
---------------------------------- -
2x
2
3x–3+
2
---------------------------------- -
118log
2
2
x––
2log
2
x
---------------------------------------------
log
8
x
log
2
12x+()
-----------------------------------
log
2
12x+
3
log
2
x
----------------------------------- -
f(x) > 0,
g(x) > 1,
f(x) > (g(x))
c
;
f(x) > 0,
0 < g(x) < 1,
f(x) < (g(x))
c
.
0 < x
2
– 5x + 6 < 2x,
2x > 1;
x
2
– 5x + 6 > 2x,
0 < 2x < 1.
1
2
---
3
16
------
log
2xx
2
–
3
2
---
4
2 x 2–()
x 1+()x 5–()
------------------------------------- -
log
xx
1–
+
1
x
2
------
§ 19. Логарифмические неравенства 97
40. (x
2
– 3x + 1) l 0.
41. log
|x + 6|
2· log
2
(x
2
– x – 2) l 1.
42. log
(x + 6)/3
log
2
> 0.
43. (6 + 2x – x
2
) m . 44. x
lg x
< 10 · x
–lg x
+ 3.
45. log
|x|
( – x – 1) l 1. 46. log
x
(2x) m .
47. (x
2
– 10x + 22) > 0.
При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находя-
щиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и
это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей
по одному и тому же основанию
48. > 1000.
49. x
3
> · . 50. < 1.
51. < 1. 52. x
1/lg x
· lg x < 1.
При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное не-
равенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств
или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.
53. log
|sin x|
(x
2
– 8x + 23) > .
54. – 2x < (2x – 1).
55. (log
sin x
2)
2
< log
sin x
(4 sin
3
x).
56. (log
tg x
(2 + 4 cos
2
x) – 2) l 0.
57. log
5
sin x > log
125
(3 sin x – 2).
58. – + 3 l 0.
Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:
59. – > 83.
60. x – < 2 log
5
(x + 2).
61. l 0.
log
x 1+ x 1––
x 1–
2 x+
------------- -
log
9x
2
1
2
---
9 x
2
– log
x
(2x
3
)
log
log
2
0,5x()
x
lg
2
x 3lgx–1+
2
15 log
22
3
3
log
x
3
(x
2
x–1)–
x
2
1–
x
x
2
x–2–
3
log
2
sin x
---------------------------- -
log
cos x
2
3
2
---
log
cos x
2
tg x 1–
log
sin x 3cosx+
x
2
2
------
5x
2
-------
3
5
2
---
log
3
12 3x–()
3
log
2
x
1
2
---
log
2cos
2π
7
------ -
x–8+
x 5+1–
10 x–
----------------------------
96 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
26. log
1/2
|x – 3| > –1. 27. log
2
( – x – 1) m 0.
28. < 1. 29. m 1.
30. log
3
· log
x
3 < 1. 31. log
2
x m 1.
32. + 1 > log
2
.
33. < 1. 34. m .
Лоарифмичесое неравенство вида
log
g(x)
f(x) > c (6)
эвивалентно двум системам неравенств:
(7)
П р и м е р 2. Решить неравенство
log
2x
(x
2
– 5x + 6) < 1. (*)
Р е ш е н и е. Данное лоарифмичесое неравенство эвива-
лентно двум системам неравенств:
Множество решений исходноо неравенства получаем а
объединение множеств решений этих двух систем.
Ответ. x Ý 0; Ÿ (1; 2) Ÿ (3; 6).
Решите неравенство:
35. log
x
x
2
– > 4. 36. x – > 0.
37. log
x + 4
(5x + 20) m log
x + 4
(x + 4)
2
.
38. log
1/x
l 1. 39. x
2
+ – 4 l 1.
x 3+
log
1/2
2
x 81–2+
log
1/2
x 1–
-------------------------------------------------
log
1/2
x 4+
log
1/2
x 2+()
------------------------------------
52x– log
x
x
2
-------
log
4
2x
2
3x–3+
2
---------------------------------- -
2x
2
3x–3+
2
---------------------------------- -
118log
2
2
x––
2log
2
x
---------------------------------------------
log
8
x
log
2
12x+()
-----------------------------------
log
2
12x+
3
log
2
x
----------------------------------- -
f(x) > 0,
g(x) > 1,
f(x) > (g(x))
c
;
f(x) > 0,
0 < g(x) < 1,
f(x) < (g(x))
c
.
0 < x
2
– 5x + 6 < 2x,
2x > 1;
x
2
– 5x + 6 > 2x,
0 < 2x < 1.
1
2
---
3
16
------
log
2xx
2
–
3
2
---
4
2 x 2–()
x 1+()x 5–()
------------------------------------- -
log
xx
1–
+
1
x
2
------
§ 19. Логарифмические неравенства 97
40. (x
2
– 3x + 1) l 0.
41. log
|x + 6|
2· log
2
(x
2
– x – 2) l 1.
42. log
(x + 6)/3
log
2
> 0.
43. (6 + 2x – x
2
) m . 44. x
lg x
< 10 · x
–lg x
+ 3.
45. log
|x|
( – x – 1) l 1. 46. log
x
(2x) m .
47. (x
2
– 10x + 22) > 0.
При решении упр. 49—52 учтите, что выражения, находя-
щиеся в левой и правой частях неравенства, положительны, и
это неравенство решается лоарифмированием обеих ео частей
по одному и тому же основанию
48. > 1000.
49. x
3
> · . 50. < 1.
51. < 1. 52. x
1/lg x
· lg x < 1.
При решении упр. 53 — 58 воспользуйтесь тем, что данное не-
равенство эвивалентно системе трионометричесих неравенств
или системе алебраичесих и трионометричесих неравенств.
53. log
|sin x|
(x
2
– 8x + 23) > .
54. – 2x < (2x – 1).
55. (log
sin x
2)
2
< log
sin x
(4 sin
3
x).
56. (log
tg x
(2 + 4 cos
2
x) – 2) l 0.
57. log
5
sin x > log
125
(3 sin x – 2).
58. – + 3 l 0.
Найдите все целые числа, удовлетворяющие неравенству:
59. – > 83.
60. x – < 2 log
5
(x + 2).
61. l 0.
log
x 1+ x 1––
x 1–
2 x+
------------- -
log
9x
2
1
2
---
9 x
2
– log
x
(2x
3
)
log
log
2
0,5x()
x
lg
2
x 3lgx–1+
2
15 log
22
3
3
log
x
3
(x
2
x–1)–
x
2
1–
x
x
2
x–2–
3
log
2
sin x
---------------------------- -
log
cos x
2
3
2
---
log
cos x
2
tg x 1–
log
sin x 3cosx+
x
2
2
------
5x
2
-------
3
5
2
---
log
3
12 3x–()
3
log
2
x
1
2
---
log
2cos
2π
7
------ -
x–8+
x 5+1–
10 x–
----------------------------
98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
§ 20. Решение неравенств,
содержащих сложные функции
Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фун-
ции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и
алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сво-
дится последовательному решению простейших неравенств,
получающихся при замене арументов сложных фунций но-
выми переменными.
П р и м е р. Решить неравенство
< 1.
Р е ш е н и е. Полаая z = log
3
log
1/5
x
2
– , сведем ис-
ходное неравенство простейшему поазательному неравенст-
ву относительно z:
< (0,5)
0
_ z > 0.
Далее положим y = log
1/5
x
2
– и получим неравенство
log
3
y > 0 _ y > 1.
Наонец, полаая v = x
2
– , имеем
log
1/5
v > 1 _ 0 < v < .
Ита, мы пришли неравенству, эвивалентному исходному:
0 < x
2
– < .
Ответ.–1; – Ÿ ; 1.
При решении неравенств, рассмотренных в данном приме-
ре, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо от-
дельноо этапа решения.
На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация ре-
шения этоо примера.
На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтап-
но получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-
(0,5)
log
3
log
1/5
x
2
4
5
---
–
4
5
---
(0,5)
z
4
5
---
4
5
---
1
5
---
4
5
---
1
5
---
2
5
-------
2
5
-------
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции 99
ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множе-
ство значений очередной простейшей фунции, а на оризон-
тальной оси ищется соответствующее ему множество значений
арумента. Это множество, обозначенное штриховой на ори-
зонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на верти-
альной оси.
Решите неравенство:
1. > 1. 2. < 1.
3. m 2,5. 4. < 1.
5. > 1. 6. m 1.
Найдите область определения фунции:
7. y = . 8. y = .
9. y = log
2
.10. y = .
z
u
O
1
u = (0,5)
z
y
z
O
1
z = log
3
y
v
y
O
1
1
y = log
1
/
5
v
1
5
x
v
O 1
–1
v = x
2
–
4
5
–
4
5
–
2
5
2
5
1
5
а)
б)
в) )
Рис. 6
1
2
---
log
2
x
2
1–()
5
log
2
x
2
2
5
---
log
0,25
x
2
5x 8++()
(0,5)
log
5
log
0,3
x 0,7–()
(0,5)
log
1/3
x 5+
x
2
3+
---------------- -
1
3
---
log
1/9
x
2
10
3
------
x–1+
log
1/2
x 1–
3x 5+
----------------- -
log
1/2
x
x
2
1–
----------------
sin x cos x–32+
2
----------------------------------------------------
log
1/3
log
3
x 3–
98 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
§ 20. Решение неравенств,
содержащих сложные функции
Рассмотрим неравенства, в оторые входят сложные фун-
ции, состоящие из неоторой омпозиции трансцендентных и
алебраичесих фунций. Решение подобных неравенств сво-
дится последовательному решению простейших неравенств,
получающихся при замене арументов сложных фунций но-
выми переменными.
П р и м е р. Решить неравенство
< 1.
Р е ш е н и е. Полаая z = log
3
log
1/5
x
2
– , сведем ис-
ходное неравенство простейшему поазательному неравенст-
ву относительно z:
< (0,5)
0
_ z > 0.
Далее положим y = log
1/5
x
2
– и получим неравенство
log
3
y > 0 _ y > 1.
Наонец, полаая v = x
2
– , имеем
log
1/5
v > 1 _ 0 < v < .
Ита, мы пришли неравенству, эвивалентному исходному:
0 < x
2
– < .
Ответ.–1; – Ÿ ; 1.
При решении неравенств, рассмотренных в данном приме-
ре, полезно проводить рафичесую иллюстрацию аждоо от-
дельноо этапа решения.
На рис. 6, а— представлена рафичесая иллюстрация ре-
шения этоо примера.
На аждом рисуне изображены рафии фунций, поэтап-
но получающихся в процессе решения. При этом на вертиаль-
(0,5)
log
3
log
1/5
x
2
4
5
---
–
4
5
---
(0,5)
z
4
5
---
4
5
---
1
5
---
4
5
---
1
5
---
2
5
-------
2
5
-------
§ 20. Решение неравенств, содержащих сложные функции 99
ной оси аждоо рафиа отмечается интересующее нас множе-
ство значений очередной простейшей фунции, а на оризон-
тальной оси ищется соответствующее ему множество значений
арумента. Это множество, обозначенное штриховой на ори-
зонтальной оси, на следующем рисуне отмечается на верти-
альной оси.
Решите неравенство:
1. > 1. 2. < 1.
3. m 2,5. 4. < 1.
5. > 1. 6. m 1.
Найдите область определения фунции:
7. y = . 8. y = .
9. y = log
2
.10. y = .
z
u
O
1
u = (0,5)
z
y
z
O
1
z = log
3
y
v
y
O
1
1
y = log
1
/
5
v
1
5
x
v
O 1
–1
v = x
2
–
4
5
–
4
5
–
2
5
2
5
1
5
а)
б)
в) )
Рис. 6
1
2
---
log
2
x
2
1–()
5
log
2
x
2
2
5
---
log
0,25
x
2
5x 8++()
(0,5)
log
5
log
0,3
x 0,7–()
(0,5)
log
1/3
x 5+
x
2
3+
---------------- -
1
3
---
log
1/9
x
2
10
3
------
x–1+
log
1/2
x 1–
3x 5+
----------------- -
log
1/2
x
x
2
1–
----------------
sin x cos x–32+
2
----------------------------------------------------
log
1/3
log
3
x 3–