Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных
методов:
11. l –2.
12. log
3
log
9/16
(x
2
– 4x + 3) m 0.
13. log
x
[log
2
(– 6)] m 1.
14. 12x + · log
2
x
2
>
> 3 + 4x
3
log
4
x
4
.
§ 21. Уравнения и неравенства
с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами являются тради-
ционно наиболее трудными задачами урса элементарной мате-
матии. Решение этих задач по существу представляет собой
исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим
решением уравнений или неравенств с числовыми оэффи-
циентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами
необходимо выяснить, при аих значениях параметров урав-
нение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения.
П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство
ax > .
Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде
> 0.
Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам нера-
венств:
(*) (**)
Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство
в виде
ax
2
> 1.
Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x
2
> , множество
решений отороо имеет вид x < – и x > . В этом случае
log
1/ 5
(6
x 1+
36
x
)–
4
x
3x
4
4x
5
4x
6
–+
34x 4x
2
–+
1
x
---
ax
2
1–
x
--------------------
ax
2
– 1 > 0,
x > 0;
ax
2
– 1 < 0,
x < 0.
1
a
---
1
a
-------
1
a
-------
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 101
решения системы (*) таовы: x Ý ; +× . Если же a m 0, то
левая часть неравенства ax
2
– 1 > 0 отрицательна при любом x
и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет ре-
шений и система (*).
Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-
венства ax
2
– 1 < 0 являются значения x Ý – ; , а реше-
ниями системы (**) — значения x Ý – ; 0. Если же a m 0,
то левая часть неравенства ax
2
– 1 < 0 отрицательна при любых
значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R
и, следовательно, решениями системы (**) являются значения
x Ý (–×; 0).
Ответ.Если a m 0, то x Ý (–×; 0);
если a > 0, то x Ý –; 0 Ÿ ; +× .
Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1.
Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и
a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фун-
ций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравен-
ства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой
решение неравенства в рассматриваемых случаях.
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
x
y
O
y = ax, a > 0
–
1
a
1
a
x
y
O
y = ax, a m 0
а) б)
Рис. 7
100 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Решите неравенство, используя омбинацию рассмотренных
методов:
11. l –2.
12. log
3
log
9/16
(x
2
– 4x + 3) m 0.
13. log
x
[log
2
(– 6)] m 1.
14. 12x + · log
2
x
2
>
> 3 + 4x
3
log
4
x
4
.
§ 21. Уравнения и неравенства
с параметрами
Уравнения и неравенства с параметрами являются тради-
ционно наиболее трудными задачами урса элементарной мате-
матии. Решение этих задач по существу представляет собой
исследование фунций, входящих в уравнение, и последующим
решением уравнений или неравенств с числовыми оэффи-
циентами. При решении уравнения (неравенства) с параметрами
необходимо выяснить, при аих значениях параметров урав-
нение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения.
П р и м е р 1. Для всех значений a решить неравенство
ax > .
Р е ш е н и е. Запишем неравенство в виде
> 0.
Тода исходное неравенство эвивалентно двум системам нера-
венств:
(*) (**)
Рассмотрим систему (*). Запишем ее первое неравенство
в виде
ax
2
> 1.
Если a > 0, то оно эвивалентно неравенству x
2
> , множество
решений отороо имеет вид x < – и x > . В этом случае
log
1/ 5
(6
x 1+
36
x
)–
4
x
3x
4
4x
5
4x
6
–+
34x 4x
2
–+
1
x
---
ax
2
1–
x
--------------------
ax
2
– 1 > 0,
x > 0;
ax
2
– 1 < 0,
x < 0.
1
a
---
1
a
-------
1
a
-------
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 101
решения системы (*) таовы: x Ý ; +× . Если же a m 0, то
левая часть неравенства ax
2
– 1 > 0 отрицательна при любом x
и неравенство решений не имеет, а следовательно, не имеет ре-
шений и система (*).
Рассмотрим систему (**). Если a > 0, то решениями нера-
венства ax
2
– 1 < 0 являются значения x Ý – ; , а реше-
ниями системы (**) — значения x Ý – ; 0. Если же a m 0,
то левая часть неравенства ax
2
– 1 < 0 отрицательна при любых
значениях x, т. е. это неравенство выполняется при всех x Ý R
и, следовательно, решениями системы (**) являются значения
x Ý (–×; 0).
Ответ.Если a m 0, то x Ý (–×; 0);
если a > 0, то x Ý –; 0 Ÿ ; +× .
Приведем рафичесую иллюстрацию решения примера 1.
Для этоо рассмотрим отдельно два случая: a > 0 (рис. 7, а) и
a m 0 (рис. 7, б) и для аждоо из них построим рафии фун-
ций, находящихся в левой и правой частях исходноо неравен-
ства. Заштрихованные промежути оси Ox представляют собой
решение неравенства в рассматриваемых случаях.
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
1
a
-------
x
y
O
y = ax, a > 0
–
1
a
1
a
x
y
O
y = ax, a m 0
а) б)
Рис. 7
102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и
неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо ре-
шения уравнения с параметрами.
П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение
2|x| + |a| = x + 1. (*)
Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x,
а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосос-
ти (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удов-
летворяют данному уравнению, образует фиуру, изображен-
ную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*)
решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответ-
ствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0.
При 0 m a < 1 орни находим из сле-
дующих уравнений:
x + a = 1 и –3x + a = 1;
они равны x = 1 – a и x = соответ-
ственно.
При –1 < a < 0 орни находим из
уравнений
x – a = 1 и –3x – a = 1;
они равны x = 1 + a и x = – соответ-
ственно.
Ответ.Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений;
если |a| = 1, то x = 0;
если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = ;
если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – .
1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
|x – a + 1| + |x – 2a| = x.
2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
|3x – a| + |2x + a| m 5.
3. Для аждоо действительноо значения параметра a ре-
шите уравнение
x
2
+ |x| + a = 0.
4. Для аждоо значения параметра a определите число реше-
ний уравнения: а) = a; б) |x
2
– 2x – 3| = a.
x
a
1
1
–1
–
1
3
O
Рис. 8
a 1–
3
-------------
a 1+
3
------------- -
a 1–
3
-------------
a 1+
3
------------- -
2 xx
2
–
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 103
5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
2|x – a| < 2ax – x
2
– 2.
6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
+ > a.
7. Найдите все значения a, при оторых неравенство
3 – |x – a| > x
2
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
= 1 –
9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
144
|x|
– 2 · 12
|x|
+ a = 0.
10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение
log
3
= x
имеет два решения.
11. Найдите все значения параметра c, при оторых нера-
венство
1 + log
2
2x
2
+ 2x + l log
2
(cx
2
+ c)
имеет хотя бы одно решение.
12. Найдите все значения a, при оторых неравенство
(|x| + 4) > 1
выполняется для любоо значения x.
13. Найдите все значения a, при оторых неравенство
log
a/(a + 1)
(x
2
+ 2) > 1
выполняется для любоо значения x.
14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3,
оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству
(x – 2ax) > 1.
15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удов-
летворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями нера-
венства
(x + 2b – 1) < 1.
16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых
при всех x справедливо равенство
ae
x
+ b = e
ax + b
.
ax+
ax–
a(2
x
2)–1+ 2
x
.
(9
x
9a
3
)+
7
2
---
log
a(a 1)+
log
2ax
2
–
log
x
2
x+()/b
102 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Графичесая иллюстрация облечает решение уравнений и
неравенств с параметрами. Приведем пример рафичесоо ре-
шения уравнения с параметрами.
П р и м е р 2. Для аждоо значения a решить уравнение
2|x| + |a| = x + 1. (*)
Р е ш е н и е. Будем отладывать на оси абсцисс значения x,
а на оси ординат — значения a. Тода в оординатной плосос-
ти (x, a) еометричесое место точе, оординаты оторых удов-
летворяют данному уравнению, образует фиуру, изображен-
ную на рис. 8. Из рисуна видно, что при |a| > 1 уравнение (*)
решений не имеет. Если |a| < 1, то аждому значению a соответ-
ствуют два орня уравнения, а если |a| = 1 — один орень x = 0.
При 0 m a < 1 орни находим из сле-
дующих уравнений:
x + a = 1 и –3x + a = 1;
они равны x = 1 – a и x = соответ-
ственно.
При –1 < a < 0 орни находим из
уравнений
x – a = 1 и –3x – a = 1;
они равны x = 1 + a и x = – соответ-
ственно.
Ответ.Если |a| > 1, то уравнение не имеет решений;
если |a| = 1, то x = 0;
если 0 m a < 1, то x = 1 – a и x = ;
если –1 < a < 0, то x = 1 + a и x = – .
1. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
|x – a + 1| + |x – 2a| = x.
2. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
|3x – a| + |2x + a| m 5.
3. Для аждоо действительноо значения параметра a ре-
шите уравнение
x
2
+ |x| + a = 0.
4. Для аждоо значения параметра a определите число реше-
ний уравнения: а) = a; б) |x
2
– 2x – 3| = a.
x
a
1
1
–1
–
1
3
O
Рис. 8
a 1–
3
-------------
a 1+
3
------------- -
a 1–
3
-------------
a 1+
3
------------- -
2 xx
2
–
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 103
5. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
2|x – a| < 2ax – x
2
– 2.
6. Для аждоо значения параметра a решите неравенство
+ > a.
7. Найдите все значения a, при оторых неравенство
3 – |x – a| > x
2
имеет хотя бы одно отрицательное решение.
8. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
= 1 –
9. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
144
|x|
– 2 · 12
|x|
+ a = 0.
10. Найдите все значения параметра a, при оторых уравнение
log
3
= x
имеет два решения.
11. Найдите все значения параметра c, при оторых нера-
венство
1 + log
2
2x
2
+ 2x + l log
2
(cx
2
+ c)
имеет хотя бы одно решение.
12. Найдите все значения a, при оторых неравенство
(|x| + 4) > 1
выполняется для любоо значения x.
13. Найдите все значения a, при оторых неравенство
log
a/(a + 1)
(x
2
+ 2) > 1
выполняется для любоо значения x.
14. Найдите все таие значения x, по модулю меньшие 3,
оторые при всех a l 5 удовлетворяют неравенству
(x – 2ax) > 1.
15. Найдите все значения x > 1, оторые при всех b, удов-
летворяющих условию 0 < b m 2, являются решениями нера-
венства
(x + 2b – 1) < 1.
16. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для оторых
при всех x справедливо равенство
ae
x
+ b = e
ax + b
.
ax+
ax–
a(2
x
2)–1+ 2
x
.
(9
x
9a
3
)+
7
2
---
log
a(a 1)+
log
2ax
2
–
log
x
2
x+()/b
104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с пара-
метрами связаны с определением расположения орней вад-
ратноо трехчлена y = ax
2
+ bx + c на действительной оси. При
решении этих задач следует учитывать, что если вадратный
трехчлен y = ax
2
+ bx + c имеет два действительных орня x
1
и
x
2
(x
1
< x
2
), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицатель-
ные значения на промежуте (x
1
; x
2
) и положительные значе-
ния вне промежута [x
1
; x
2
]; при a < 0 — положительные зна-
чения на промежуте (x
1
; x
2
) и отрицательные значения вне про-
межута [x
1
; x
2
]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя
орней уравнения ax
2
+ bx + c = 0), принадлежит ли произ-
вольное число α промежуту (x
1
; x
2
), достаточно установить зна
выражения aα
2
+ bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0
и aα
2
+ bα + c > 0, то α находится вне промежута [x
1
; x
2
].
Если известно, что число α не находится между орнями x
1
и x
2
, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от проме-
жута (x
1
; x
2
) (справа или слева) лежит число α, достаточно
сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим
уазанному промежуту, например с выражением – , являю-
щимся абсциссой вершины параболы y = ax
2
+ bx + c.
П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня
уравнения x
2
+ ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос
следует дать, не вычисляя орни уравнения.
Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x
2
+
+ ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффи-
циент при x
2
равен 1, то ветви параболы направлены вверх.
Для тоо чтобы орни уравнения x
1
и x
2
(x
1
m x
2
) были меньше
чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее
промежута (x
1
; x
2
). Условия, при оторых будет выполнено
это требование, определяются следующей системой неравенств:
(*)
Первое неравенство (оторое выполняется при всех значениях
a
)
арантирует существование действительных орней, второе и
a
2b
------
a
2
+ 4 l 0,
9 + 3a – 1 > 0,
– < 3.
a
2
---
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 105
третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежут-
а (x
1
; x
2
) справа от нео.
Решив систему неравенств (*), получаем a Ý – ; +× .
Ответ. a Ý – ; +× .
17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо трехчлена
x
2
– 6ax + (2 – 2a + 9a
2
)
действительны и больше чем 3.
18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо уравнения
x
2
– ax + 2 = 0
действительны и принадлежат промежуту (0; 3).
Одно неравенство является следствием друоо, если множе-
ство решений первоо неравенства целиом содержит множест-
во решений второо. Например, если x удовлетворяет неравен-
ству | x | < 2, то x
2
< 5, т. е. неравенство x
2
< 5 является следст-
вием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений
(– ; ) неравенства x
2
< 5 целиом содержит множество ре-
шений (–2; 2) неравенства | x | < 2.
19. При аих действительных значениях m неравенство
x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0
выполняется для любых x Ý (1; 2)?
20. Найдите все значения m, при оторых неравенство
mx
2
– 4x + 3m + 1 > 0
выполнено для всех x > 0.
21. При аих действительных значениях m из неравенства
x
2
– (3m + 1)x + m > 0
следует неравенство x > 1?
22. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенства ax
2
– x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1.
23. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенства 0 m x m 1 следует неравенство
(a
2
+ a – 2)x
2
– (a + 5)x – 2 m 0.
8
3
---
8
3
---
5
5
104 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Мноие задачи на решение уравнений и неравенств с пара-
метрами связаны с определением расположения орней вад-
ратноо трехчлена y = ax
2
+ bx + c на действительной оси. При
решении этих задач следует учитывать, что если вадратный
трехчлен y = ax
2
+ bx + c имеет два действительных орня x
1
и
x
2
(x
1
< x
2
), то при a > 0 фунция y(x) принимает отрицатель-
ные значения на промежуте (x
1
; x
2
) и положительные значе-
ния вне промежута [x
1
; x
2
]; при a < 0 — положительные зна-
чения на промежуте (x
1
; x
2
) и отрицательные значения вне про-
межута [x
1
; x
2
]. Поэтому для тоо чтобы выяснить (не находя
орней уравнения ax
2
+ bx + c = 0), принадлежит ли произ-
вольное число α промежуту (x
1
; x
2
), достаточно установить зна
выражения aα
2
+ bα + c и зна оэффициента a. Та, если a > 0
и aα
2
+ bα + c > 0, то α находится вне промежута [x
1
; x
2
].
Если известно, что число α не находится между орнями x
1
и x
2
, то для тоо чтобы выяснить, по аую сторону от проме-
жута (x
1
; x
2
) (справа или слева) лежит число α, достаточно
сравнить ео с неоторым числом, заведомо принадлежащим
уазанному промежуту, например с выражением – , являю-
щимся абсциссой вершины параболы y = ax
2
+ bx + c.
П р и м е р 3. При аих значениях параметра a оба орня
уравнения x
2
+ ax – 1 = 0 меньше чем 3? Ответ на этот вопрос
следует дать, не вычисляя орни уравнения.
Р е ш е н и е. Рассмотрим вадратичную фунцию y = x
2
+
+ ax – 1, входящую в левую часть уравнения. Та а оэффи-
циент при x
2
равен 1, то ветви параболы направлены вверх.
Для тоо чтобы орни уравнения x
1
и x
2
(x
1
m x
2
) были меньше
чем 3, необходимо и достаточно, чтобы число 3 лежало правее
промежута (x
1
; x
2
). Условия, при оторых будет выполнено
это требование, определяются следующей системой неравенств:
(*)
Первое неравенство (оторое выполняется при всех значениях
a
)
арантирует существование действительных орней, второе и
a
2b
------
a
2
+ 4 l 0,
9 + 3a – 1 > 0,
– < 3.
a
2
---
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 105
третье обеспечивают расположение точи x = 3 вне промежут-
а (x
1
; x
2
) справа от нео.
Решив систему неравенств (*), получаем a Ý – ; +× .
Ответ. a Ý – ; +× .
17. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо трехчлена
x
2
– 6ax + (2 – 2a + 9a
2
)
действительны и больше чем 3.
18. Найдите все значения параметра a, при оторых оба
орня вадратноо уравнения
x
2
– ax + 2 = 0
действительны и принадлежат промежуту (0; 3).
Одно неравенство является следствием друоо, если множе-
ство решений первоо неравенства целиом содержит множест-
во решений второо. Например, если x удовлетворяет неравен-
ству | x | < 2, то x
2
< 5, т. е. неравенство x
2
< 5 является следст-
вием неравенства | x | < 2. Действительно, множество решений
(– ; ) неравенства x
2
< 5 целиом содержит множество ре-
шений (–2; 2) неравенства | x | < 2.
19. При аих действительных значениях m неравенство
x
2
+ mx + m
2
+ 6m < 0
выполняется для любых x Ý (1; 2)?
20. Найдите все значения m, при оторых неравенство
mx
2
– 4x + 3m + 1 > 0
выполнено для всех x > 0.
21. При аих действительных значениях m из неравенства
x
2
– (3m + 1)x + m > 0
следует неравенство x > 1?
22. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенства ax
2
– x + 1 – a < 0 следует неравенство 0 < x < 1.
23. Найдите все значения параметра a, при оторых из не-
равенства 0 m x m 1 следует неравенство
(a
2
+ a – 2)x
2
– (a + 5)x – 2 m 0.
8
3
---
8
3
---
5
5
106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
24. Найдите все значения a, при оторых справедливо нера-
венство
2x
2
– 4a
2
x – a
2
+ 1 > 0
для любых | x | < 1.
25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни
уравнения
x
2
+ x + a = 0
действительны и больше a.
26. Найдите все значения a, при оторых неравенство
< 0
выполняется для x таих, что 1 m x m 2.
При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоариф-
мичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр,
с помощью замены переменной сводятся вадратным нера-
венствам.
27. Найдите все решения неравенства
a
2
– – 8 · · a > 0.
28. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
– α · – α + 3 m 0
имеет хотя бы одно решение.
29. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
α · + 4(α – 1) · + α > 1
справедливо для всех x.
При решении упр.30—40 учтите, что в процессе сведения
трионометричесих уравнений и неравенств рациональным
использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаа-
ет выполнение неравенства | y | m 1.
30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение
sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2.
31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
(lg sin x)
2
– 2a lg sin x – a
2
+ 2 = 0.
32. Найдите все значения b, при аждом из оторых нера-
венство
cos
2
x + 2b sin x – 2b < b
2
– 4
выполняется для любоо числа x.
x 2a–1–
xa–
---------------------------
9
x 1+
3
x
4
x
2
x
9
x
3
x
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 107
33. Определите все значения a, при аждом из оторых
уравнение
cos
4
x – (a + 2) cos
2
x – (a + 3) = 0
имеет решения, и найдите эти решения.
34. При аих значениях параметра a уравнение
sin
2
x + (a
2
– 3) sin 4x + a
2
– 4 = 0
имеет четыре орня, расположенных на отрезе ; 2π ?
35. При аих значениях b уравнение
=
имеет решения? Найдите эти решения.
36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
log
|sin x|
2 · 3 = a.
37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравен-
ство
x
sin x – a
> 1
при условии, что x Ý 0; .
38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из
оторых при всех x справедливо равенство
a(cos x – 1) + b
2
= cos (ax + b
2
) – 1.
39. Определите, при аих целых значениях k система
имеет решения, и найдите все эти решения.
40. Найдите все значения a, при оторых уравнения
a cos 2x + | a |cos4x + cos 6x = 1
и
sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – sin 5x
эвивалентны.
3π
2
------ -
b cos x
2cos2x 1–
--------------------------------
b sin x+
cos
2
x 3 sin
2
x–()tg x
--------------------------------------------------------------
log
sin
2
x
π
2
---
(arctg x)
2
+ (arccos y)
2
= ,
arctg x + arccos y =
π
2
k
----- -
π
2
---
1
2
---
106 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
24. Найдите все значения a, при оторых справедливо нера-
венство
2x
2
– 4a
2
x – a
2
+ 1 > 0
для любых | x | < 1.
25. Найдите все значения параметра a, при оторых орни
уравнения
x
2
+ x + a = 0
действительны и больше a.
26. Найдите все значения a, при оторых неравенство
< 0
выполняется для x таих, что 1 m x m 2.
При решении упр. 27—29 воспользуйтесь тем, что лоариф-
мичесие и поазательные неравенства, содержащие параметр,
с помощью замены переменной сводятся вадратным нера-
венствам.
27. Найдите все решения неравенства
a
2
– – 8 · · a > 0.
28. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
– α · – α + 3 m 0
имеет хотя бы одно решение.
29. Найдите все значения параметра α, при оторых нера-
венство
α · + 4(α – 1) · + α > 1
справедливо для всех x.
При решении упр.30—40 учтите, что в процессе сведения
трионометричесих уравнений и неравенств рациональным
использование подстанови y = sin x или y = cos x предполаа-
ет выполнение неравенства | y | m 1.
30. Для аждоо действительноо числа a решите уравнение
sin x + cos (a + x) + cos (a – x) = 2.
31. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
(lg sin x)
2
– 2a lg sin x – a
2
+ 2 = 0.
32. Найдите все значения b, при аждом из оторых нера-
венство
cos
2
x + 2b sin x – 2b < b
2
– 4
выполняется для любоо числа x.
x 2a–1–
xa–
---------------------------
9
x 1+
3
x
4
x
2
x
9
x
3
x
§ 21. Уравнения и неравенства с параметрами 107
33. Определите все значения a, при аждом из оторых
уравнение
cos
4
x – (a + 2) cos
2
x – (a + 3) = 0
имеет решения, и найдите эти решения.
34. При аих значениях параметра a уравнение
sin
2
x + (a
2
– 3) sin 4x + a
2
– 4 = 0
имеет четыре орня, расположенных на отрезе ; 2π ?
35. При аих значениях b уравнение
=
имеет решения? Найдите эти решения.
36. Для аждоо значения параметра a решите уравнение
log
|sin x|
2 · 3 = a.
37. Для аждоо значения параметра a > 0 решите неравен-
ство
x
sin x – a
> 1
при условии, что x Ý 0; .
38. Найдите множество всех пар чисел (a; b), для аждой из
оторых при всех x справедливо равенство
a(cos x – 1) + b
2
= cos (ax + b
2
) – 1.
39. Определите, при аих целых значениях k система
имеет решения, и найдите все эти решения.
40. Найдите все значения a, при оторых уравнения
a cos 2x + | a |cos4x + cos 6x = 1
и
sin x cos 2x = sin 2x cos 3x – sin 5x
эвивалентны.
3π
2
------ -
b cos x
2cos2x 1–
--------------------------------
b sin x+
cos
2
x 3 sin
2
x–()tg x
--------------------------------------------------------------
log
sin
2
x
π
2
---
(arctg x)
2
+ (arccos y)
2
= ,
arctg x + arccos y =
π
2
k
----- -
π
2
---
1
2
---
108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
41. Определите, при аих значениях a уравнение
x – = 4 |4|x |– a
2
|
имеет три орня. Найдите эти орни.
42. Найдите все значения a, при оторых уравнение
|1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax
2
имеет одно решение.
43. Решите уравнение
|x + 3| – a|x – 1| = 4
и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.
§ 22. Доказательство неравенств
Свед+ение очевидном неравенств.
Пример 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справед-
ливо неравенство
ab + ac + bc m a
2
+ b
2
+ c
2
.
Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим
2ab + 2ac + 2bc m 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
.
Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом:
a
2
– 2ab + b
2
+ b
2
– 2bc + c
2
+ a
2
– 2ac + c
2
l 0,
или
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
l 0.
Мы пришли очевидному неравенству.
Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
справедливо неравенство:
1. a
3
+ b
3
+ c
3
l 3abc.
2. l .
3. a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3 l 2(a + b + c).
4. Доажите, что
x
2
+ 4y
2
+ 3x
2
+ 14 – 2x – 12y – 6z > 0.
5. Доажите, что
x
2
+ y
2
+ z
2
+ u
2
+ a
2
+ a(x + y + z + u) l 0.
a
2
---
a
3
b
3
+
2
-------------------
ab+
2
-------------
3
§ 22. Доказательство неравенств 109
6. Доажите, что
x
2
+ 2xy + 3y
2
+ 2x + 6y + 3 l 0.
Использование неравенства Коши. Средним арифметичес-
им чисел a
1
, ..., a
n
называют число , а средним
еометричесим неотрицательных чисел a
1
, a
2
, ..., a
n
называют
число .
Решение неоторых неравенств опирается на следующее не-
равенство Коши, справедливое для любоо набора неотрица-
тельных чисел a
1
, ..., a
n
:
l . (1)
П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c—
положительные числа, то
+ + l 9.
Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравен-
ство Коши, залючаем, что
l ,или l 3. (*)
Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел , , ,
получаем
l .
Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся
в справедливости исходноо неравенства.
7. Доажите, что
(a + b)(b + c)(c + a) l 8abc,
де a, b, c— неотрицательные числа.
8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то
(p + q)(p + 2) (q + 2) l 16pq.
9. Доажите, что если x > 0, то
x + > 2.
a
1
a
2
... a
n
+++
n
----------------------------------------------
a
1
a
2
...a
n
n
a
1
a
2
... a
n
+++
n
----------------------------------------------
a
1
a
2
...a
n
n
1
a
---
1
b
---
1
c
---
abc++
3
-----------------------
abc
3
1
abc
3
---------------
1
a
---
1
b
---
1
c
---
1
a
---
1
b
---
1
c
---
++
3
-------------------------
1
abc
3
---------------
1
x
---
108 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
41. Определите, при аих значениях a уравнение
x – = 4 |4|x |– a
2
|
имеет три орня. Найдите эти орни.
42. Найдите все значения a, при оторых уравнение
|1 – ax| = 1 + (1 – 2a)x + ax
2
имеет одно решение.
43. Решите уравнение
|x + 3| – a|x – 1| = 4
и найдите, при аих значениях a оно имеет два решения.
§ 22. Доказательство неравенств
Свед+ение очевидном неравенств.
Пример 1. Доазать, что при a l 0, b l 0, c l 0 справед-
ливо неравенство
ab + ac + bc m a
2
+ b
2
+ c
2
.
Р е ш е н и е. Умножив обе части неравенства на 2, получим
2ab + 2ac + 2bc m 2a
2
+ 2b
2
+ 2c
2
.
Сруппируем теперь члены неравенства следующим образом:
a
2
– 2ab + b
2
+ b
2
– 2bc + c
2
+ a
2
– 2ac + c
2
l 0,
или
(a – b)
2
+ (b – c)
2
+ (c – a)
2
l 0.
Мы пришли очевидному неравенству.
Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
справедливо неравенство:
1. a
3
+ b
3
+ c
3
l 3abc.
2. l .
3. a
2
+ b
2
+ c
2
+ 3 l 2(a + b + c).
4. Доажите, что
x
2
+ 4y
2
+ 3x
2
+ 14 – 2x – 12y – 6z > 0.
5. Доажите, что
x
2
+ y
2
+ z
2
+ u
2
+ a
2
+ a(x + y + z + u) l 0.
a
2
---
a
3
b
3
+
2
-------------------
ab+
2
-------------
3
§ 22. Доказательство неравенств 109
6. Доажите, что
x
2
+ 2xy + 3y
2
+ 2x + 6y + 3 l 0.
Использование неравенства Коши. Средним арифметичес-
им чисел a
1
, ..., a
n
называют число , а средним
еометричесим неотрицательных чисел a
1
, a
2
, ..., a
n
называют
число .
Решение неоторых неравенств опирается на следующее не-
равенство Коши, справедливое для любоо набора неотрица-
тельных чисел a
1
, ..., a
n
:
l . (1)
П р и м е р 2. Доазать, что если a + b + c = 1 и a, b, c—
положительные числа, то
+ + l 9.
Р е ш е н и е. Та а a + b + c = 1, то, используя неравен-
ство Коши, залючаем, что
l ,или l 3. (*)
Воспользовавшись теперь неравенством Коши для чисел , , ,
получаем
l .
Наонец, учитывая неравенство (*), оончательно убеждаемся
в справедливости исходноо неравенства.
7. Доажите, что
(a + b)(b + c)(c + a) l 8abc,
де a, b, c— неотрицательные числа.
8. Доажите, что если p > 0 и q > 0, то
(p + q)(p + 2) (q + 2) l 16pq.
9. Доажите, что если x > 0, то
x + > 2.
a
1
a
2
... a
n
+++
n
----------------------------------------------
a
1
a
2
...a
n
n
a
1
a
2
... a
n
+++
n
----------------------------------------------
a
1
a
2
...a
n
n
1
a
---
1
b
---
1
c
---
abc++
3
-----------------------
abc
3
1
abc
3
---------------
1
a
---
1
b
---
1
c
---
1
a
---
1
b
---
1
c
---
++
3
-------------------------
1
abc
3
---------------
1
x
---