Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по математике с методами решения задач для поступающих в вузы
Подождите немного. Документ загружается.
110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
10. Доажите, что
1 + 1 + 1 + l 64,
де a, b, c— положительные числа и a + b + c = 1.
11. Доажите, что
(1 + a
1
)(1 + a
2
) · ... · (1 + a
n
) l ,
де a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
12. Доажите, что
a
1
+ a
2
+ ... + a
n
l n,
де a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
13. Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
(a + b + c) + + > 9.
14. Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
(bc + ca + ab)
2
> 3ab(a + b + c).
15. Доажите, что если a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные чис-
ла, то
(a
1
+ a
2
+ ... + a
n
) + + ... + l n
2
.
16. Доажите, что если a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные чис-
ла, то
+ + ... + l n.
17. Доажите, что
n! < ,
де n— натуральное число, n l 2.
18. Доажите, что
< , n Ý N,
де a, b— положительные числа, a − b.
1
a
---
1
b
---
1
c
---
2
n
1
a
---
1
b
---
1
c
---
1
a
1
----- -
1
a
2
----- -
1
a
n
------
a
1
a
2
----- -
a
2
a
3
----- -
a
n
a
1
------
n 1+
2
------------- -
n
ab
n
n 1+
anb+
n 1+
-----------------
§ 22. Доказательство неравенств 111
Использование метода математичесой индции. Если тре-
буется установить справедливость неотороо неравенства сра-
зу для всех членов двух последовательностей a
n
и b
n
, то удобно
использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90).
Пример 3. Доазать, что
n! > если n > 2.
Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой инду-
ции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение спра-
ведливо. Действительно, 3! > 2
2
, та а 3! = 6, 2
2
= 4.
Далее удобно воспользоваться следующим утверждением:
если при всех k, больших неотороо N, выполняется нера-
венство
> ,
де a
k
и b
k
— k-е члены сравниваемых последовательностей, то
> .
Соласно индутивному предположению, > 1. Следова-
тельно, можно утверждать, что a
k
> b
k
при всех k > N. Исполь-
зуем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем
a
k
= k!, a
k + 1
= (k + 1)! ^ = k + 1,
b
k
= 2
k – 1
, b
k + 1
= 2
k
^ = 2,
k + 1 > 2, если k > 2.
Таим образом, доазано, что > 1 при всех k l 2, т. е. тре-
буемое неравенство установлено.
Инода метод математичесой индуции удобнее применять
в следующем виде: если для неотороо N справедливо нера-
венство a
N
> b
N
и при всех k l N— неравенство a
k + 1
– a
k
>
> b
k + 1
– b
k
, то при всех k > N выполняется неравенство a
k
> b
k
.
2
n 1–
,
a
k 1+
a
k
------------- -
b
k 1+
b
k
-------------
a
k 1+
b
k 1+
------------- -
a
k
b
k
----- -
a
k
b
k
----- -
a
k 1+
a
k
------------- -
b
k 1+
b
k
-------------
a
k 1+
b
k 1+
------------- -
110 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
10. Доажите, что
1 + 1 + 1 + l 64,
де a, b, c— положительные числа и a + b + c = 1.
11. Доажите, что
(1 + a
1
)(1 + a
2
) · ... · (1 + a
n
) l ,
де a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
12. Доажите, что
a
1
+ a
2
+ ... + a
n
l n,
де a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные числа, произведение ото-
рых равно 1.
13. Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
(a + b + c) + + > 9.
14. Доажите, что если a, b, c— положительные числа, то
(bc + ca + ab)
2
> 3ab(a + b + c).
15. Доажите, что если a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные чис-
ла, то
(a
1
+ a
2
+ ... + a
n
) + + ... + l n
2
.
16. Доажите, что если a
1
, a
2
, ..., a
n
— положительные чис-
ла, то
+ + ... + l n.
17. Доажите, что
n! < ,
де n— натуральное число, n l 2.
18. Доажите, что
< , n Ý N,
де a, b— положительные числа, a − b.
1
a
---
1
b
---
1
c
---
2
n
1
a
---
1
b
---
1
c
---
1
a
1
----- -
1
a
2
----- -
1
a
n
------
a
1
a
2
----- -
a
2
a
3
----- -
a
n
a
1
------
n 1+
2
------------- -
n
ab
n
n 1+
anb+
n 1+
-----------------
§ 22. Доказательство неравенств 111
Использование метода математичесой индции. Если тре-
буется установить справедливость неотороо неравенства сра-
зу для всех членов двух последовательностей a
n
и b
n
, то удобно
использовать метод математичесой индуции (см. л. 16, § 90).
Пример 3. Доазать, что
n! > если n > 2.
Р е ш е н и е. Воспользуемся методом математичесой инду-
ции. Сначала убедимся в том, что при n = 3 утверждение спра-
ведливо. Действительно, 3! > 2
2
, та а 3! = 6, 2
2
= 4.
Далее удобно воспользоваться следующим утверждением:
если при всех k, больших неотороо N, выполняется нера-
венство
> ,
де a
k
и b
k
— k-е члены сравниваемых последовательностей, то
> .
Соласно индутивному предположению, > 1. Следова-
тельно, можно утверждать, что a
k
> b
k
при всех k > N. Исполь-
зуем этот подход в рассматриваемом случае. Имеем
a
k
= k!, a
k + 1
= (k + 1)! ^ = k + 1,
b
k
= 2
k – 1
, b
k + 1
= 2
k
^ = 2,
k + 1 > 2, если k > 2.
Таим образом, доазано, что > 1 при всех k l 2, т. е. тре-
буемое неравенство установлено.
Инода метод математичесой индуции удобнее применять
в следующем виде: если для неотороо N справедливо нера-
венство a
N
> b
N
и при всех k l N— неравенство a
k + 1
– a
k
>
> b
k + 1
– b
k
, то при всех k > N выполняется неравенство a
k
> b
k
.
2
n 1–
,
a
k 1+
a
k
------------- -
b
k 1+
b
k
-------------
a
k 1+
b
k 1+
------------- -
a
k
b
k
----- -
a
k
b
k
----- -
a
k 1+
a
k
------------- -
b
k 1+
b
k
-------------
a
k 1+
b
k 1+
------------- -
112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Доажите неравенство:
19. > n
2
+ 2 (n l 5).
20. > (n l 2).
21. > n
3
(n − 3).
22. > n!(n l 6).
23. + + ... + > .
24. + ... + < 1 – (n l 2).
25. 2( – 1) < 1 + + + ... + < 2 .
26. m .
27. 1 + < 3.
28. lg 1 + < .
29. (n!)
2
< .
30. n! > .
31. Доажите, что последовательность x
n
= 1 + моно-
тонно возрастает.
2
n
n
n
(n 1)
n 1–
+
3
n
n
2
---
n
1
n 1+
------------- -
1
n 2+
------------- -
1
2n
-------
3
5
---
1
2
2
------
1
3
2
------
1
n
2
------
1
n
---
n 1+
1
2
-------
1
3
-------
1
n
-------
n
1 3 5 ... 2n 1+()⋅⋅⋅ ⋅
2 4 6 ... 2n()⋅⋅⋅ ⋅
---------------------------------------------------------
1
2n 1+
----------------------
1
n
---
n
1
n
---
1
n
---
n 1+()2n 1+()
6
------------------------------------------
n
n
e
---
n
1
n
---
n
Глава 5
Тригонометрия
Напомним основные формулы трионометрии.
Формлы, связывающие трионометричесие фнции
одноо и тоо же армента
sin
2
α + cos
2
α = 1,
tg α = , ctg α = ,
sec α = , cosec α = ,
tg α = , ctg α = ,
1 + tg
2
α = sec
2
α,1 + ctg
2
α = cosec
2
α.
Формлы сложения двх арментов
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β,
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β,
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,
tg (α + β) = , tg (α – β) = ,
ctg (α + β) = , ctg (α – β) = .
Формлы двойноо и половинноо арментов
sin 2α = 2 sin α cos α,
cos 2α = cos
2
α – sin
2
α,
tg 2α = ,
sin α = , cos α = ,
sin α
cos α
-------------
cos α
sin α
-------------
1
cos α
-------------
1
sin α
-------------
1
ctg α
------------- -
1
tg α
---------- -
tg α tg β+
1tgα tg β–
---------------------------------
tg α tg β–
1tgα tg β+
--------------------------------- -
ctg α ctg β 1–
ctg β ctg α+
-------------------------------------- -
ctg α ctg β 1+
ctg β ctg α–
---------------------------------------
2tgα
1tg
2
α–
----------------------- -
2tg
α
2
---
1tg
2
α
2
---
+
-------------------------
1tg
2
α
2
---
–
1tg
2
α
2
---
+
-------------------------
112 Г л а в а 4. Неравенства. Уравнения и неравенства с параметрами
Доажите неравенство:
19. > n
2
+ 2 (n l 5).
20. > (n l 2).
21. > n
3
(n − 3).
22. > n!(n l 6).
23. + + ... + > .
24. + ... + < 1 – (n l 2).
25. 2( – 1) < 1 + + + ... + < 2 .
26. m .
27. 1 + < 3.
28. lg 1 + < .
29. (n!)
2
< .
30. n! > .
31. Доажите, что последовательность x
n
= 1 + моно-
тонно возрастает.
2
n
n
n
(n 1)
n 1–
+
3
n
n
2
---
n
1
n 1+
------------- -
1
n 2+
------------- -
1
2n
-------
3
5
---
1
2
2
------
1
3
2
------
1
n
2
------
1
n
---
n 1+
1
2
-------
1
3
-------
1
n
-------
n
1 3 5 ... 2n 1+()⋅⋅⋅ ⋅
2 4 6 ... 2n()⋅⋅⋅ ⋅
---------------------------------------------------------
1
2n 1+
----------------------
1
n
---
n
1
n
---
1
n
---
n 1+()2n 1+()
6
------------------------------------------
n
n
e
---
n
1
n
---
n
Глава 5
Тригонометрия
Напомним основные формулы трионометрии.
Формлы, связывающие трионометричесие фнции
одноо и тоо же армента
sin
2
α + cos
2
α = 1,
tg α = , ctg α = ,
sec α = , cosec α = ,
tg α = , ctg α = ,
1 + tg
2
α = sec
2
α,1 + ctg
2
α = cosec
2
α.
Формлы сложения двх арментов
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β,
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β,
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β,
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β,
tg (α + β) = , tg (α – β) = ,
ctg (α + β) = , ctg (α – β) = .
Формлы двойноо и половинноо арментов
sin 2α = 2 sin α cos α,
cos 2α = cos
2
α – sin
2
α,
tg 2α = ,
sin α = , cos α = ,
sin α
cos α
-------------
cos α
sin α
-------------
1
cos α
-------------
1
sin α
-------------
1
ctg α
------------- -
1
tg α
---------- -
tg α tg β+
1tgα tg β–
---------------------------------
tg α tg β–
1tgα tg β+
--------------------------------- -
ctg α ctg β 1–
ctg β ctg α+
-------------------------------------- -
ctg α ctg β 1+
ctg β ctg α–
---------------------------------------
2tgα
1tg
2
α–
----------------------- -
2tg
α
2
---
1tg
2
α
2
---
+
-------------------------
1tg
2
α
2
---
–
1tg
2
α
2
---
+
-------------------------
114 Г л а в а 5. Тригонометрия
1 + cos α = 2 cos
2
, 1 – cos α = 2 sin
2
,
tg
2
= , tg = = .
Формлы сложения трионометричесих фнций
sin α + sin β = 2 sin cos ,
sin α – sin β = 2 sin cos ,
cos α + cos β = 2 cos cos ,
cos α – cos β = 2 sin sin ,
tg α + tg β = , tg α – tg β = ,
ctg α + ctg β = , ctg α – ctg β = ,
Формлы преобразования произведения в смм
sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)],
cos α cos β = [cos (α – β) + cos (α + β)],
sin α cos β = [sin (α – β) + sin (α + β)].
Формлы приведения
Наиме-
нование
фун-
ции
Значение арумента
–α
– α + α
π – απ + α
– α + α
sin –sin α cos α –cos α –sin α –sin α –cos α –cos α
cos –cos α sin α –sin α –cos α –cos α –sin α –sin α
tg –tg α ctg α –ctg α –tg α –tg α –ctg α –ctg α
ctg –ctg α tg α –tg α –ctg α –ctg α –tg α –tg α
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1cosα–
1cosα+
------------------------
α
2
---
sin α
1cosα+
------------------------
1cosα–
sin α
----------------------- -
αβ+
2
------------- -
αβ–
2
-------------
αβ–
2
-------------
αβ+
2
------------- -
αβ+
2
------------- -
αβ–
2
-------------
αβ+
2
------------- -
βα–
2
-------------
sin αβ+()
cos α cos β
----------------------------
sin αβ–()
sin α sin β
----------------------------
sin αβ+()
sin α sin β
----------------------------
sin βα–()
sin α sin β
----------------------------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
π
2
---
π
2
---
3π
2
------ -
3π
2
------ -
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений 115
§ 23. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
При доазательстве трионометричесих тождеств исполь-
зуют формулы соращенноо умножения и формулы, связы-
вающие между собой основные трионометричесие фунции.
П р и м е р. Доазать тождество
2(sin
6
α + cos
6
α) – 3(sin
4
α + cos
4
α) + 1 = 0. (*)
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:
x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
),
полаая в ней x = sin
2
α, y = cos
2
α. Тода получим
sin
6
α + cos
6
α = (sin
2
α + cos
2
α)(sin
4
α – sin
2
α cos
2
α + cos
4
α).
Используя тождество
sin
2
α + cos
2
α = 1, (**)
преобразуем левую часть равенства (*) виду
2sin
4
α – 2 sin
2
α cos
2
α + 2 cos
4
α – 3 sin
4
α – 3 cos
4
α + 1.
Приведя подобные члены, получаем
1 – 2 sin
2
α cos
2
α – sin
4
α – cos
4
α. (***)
Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно
равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем
sin
4
α + 2 sin
2
α cos
2
α + cos
4
α = 1,
т. е. тождество (*) доазано.
Доажите тождество:
1. sin
6
α + cos
6
α = 1 – sin
2
2α.
2. = ctg α.
3. (sin α + sin β)
2
+ (cos α + cos β)
2
= 4 cos
2
.
4. tg α + tg 2α – tg 3α = –tg α tg 2α tg 3α.
5. = tg
2
.
6. = .
3
4
---
1sin2α cos 2α++
1sin2α cos 2α–+
---------------------------------------------------- -
αβ–
2
-------------
2 sin α sin 2α–
2 sin α sin 2α+
------------------------------------------ -
α
2
---
sin α 2sin3α sin 5α++
sin 3α 2sin5α sin 7α++
------------------------------------------------------------------------
sin 3α
sin 5α
-----------------
114 Г л а в а 5. Тригонометрия
1 + cos α = 2 cos
2
, 1 – cos α = 2 sin
2
,
tg
2
= , tg = = .
Формлы сложения трионометричесих фнций
sin α + sin β = 2 sin cos ,
sin α – sin β = 2 sin cos ,
cos α + cos β = 2 cos cos ,
cos α – cos β = 2 sin sin ,
tg α + tg β = , tg α – tg β = ,
ctg α + ctg β = , ctg α – ctg β = ,
Формлы преобразования произведения в смм
sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)],
cos α cos β = [cos (α – β) + cos (α + β)],
sin α cos β = [sin (α – β) + sin (α + β)].
Формлы приведения
Наиме-
нование
фун-
ции
Значение арумента
–α
– α + α
π – απ + α
– α + α
sin –sin α cos α –cos α –sin α –sin α –cos α –cos α
cos –cos α sin α –sin α –cos α –cos α –sin α –sin α
tg –tg α ctg α –ctg α –tg α –tg α –ctg α –ctg α
ctg –ctg α tg α –tg α –ctg α –ctg α –tg α –tg α
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1cosα–
1cosα+
------------------------
α
2
---
sin α
1cosα+
------------------------
1cosα–
sin α
----------------------- -
αβ+
2
------------- -
αβ–
2
-------------
αβ–
2
-------------
αβ+
2
------------- -
αβ+
2
------------- -
αβ–
2
-------------
αβ+
2
------------- -
βα–
2
-------------
sin αβ+()
cos α cos β
----------------------------
sin αβ–()
sin α sin β
----------------------------
sin αβ+()
sin α sin β
----------------------------
sin βα–()
sin α sin β
----------------------------
1
2
---
1
2
---
1
2
---
π
2
---
π
2
---
3π
2
------ -
3π
2
------ -
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений 115
§ 23. Тождественные преобразования
тригонометрических выражений
При доазательстве трионометричесих тождеств исполь-
зуют формулы соращенноо умножения и формулы, связы-
вающие между собой основные трионометричесие фунции.
П р и м е р. Доазать тождество
2(sin
6
α + cos
6
α) – 3(sin
4
α + cos
4
α) + 1 = 0. (*)
Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой суммы убов:
x
3
+ y
3
= (x + y)(x
2
– xy + y
2
),
полаая в ней x = sin
2
α, y = cos
2
α. Тода получим
sin
6
α + cos
6
α = (sin
2
α + cos
2
α)(sin
4
α – sin
2
α cos
2
α + cos
4
α).
Используя тождество
sin
2
α + cos
2
α = 1, (**)
преобразуем левую часть равенства (*) виду
2sin
4
α – 2 sin
2
α cos
2
α + 2 cos
4
α – 3 sin
4
α – 3 cos
4
α + 1.
Приведя подобные члены, получаем
1 – 2 sin
2
α cos
2
α – sin
4
α – cos
4
α. (***)
Чтобы убедиться в том, что выражение (***) тождественно
равно нулю, возведем обе части равенств (**) в вадрат. Имеем
sin
4
α + 2 sin
2
α cos
2
α + cos
4
α = 1,
т. е. тождество (*) доазано.
Доажите тождество:
1. sin
6
α + cos
6
α = 1 – sin
2
2α.
2. = ctg α.
3. (sin α + sin β)
2
+ (cos α + cos β)
2
= 4 cos
2
.
4. tg α + tg 2α – tg 3α = –tg α tg 2α tg 3α.
5. = tg
2
.
6. = .
3
4
---
1sin2α cos 2α++
1sin2α cos 2α–+
---------------------------------------------------- -
αβ–
2
-------------
2 sin α sin 2α–
2 sin α sin 2α+
------------------------------------------ -
α
2
---
sin α 2sin3α sin 5α++
sin 3α 2sin5α sin 7α++
------------------------------------------------------------------------
sin 3α
sin 5α
-----------------
116 Г л а в а 5. Тригонометрия
7. sin
2
3α – sin
2
2α = sin 5α sin α.
8. = –tg 2α.
9. – = ctg 2α.
10. sin α + sin β + sin γ – sin (α + β + γ) =
= 4 sin sin sin .
11. sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α = 4 cos α cos 2α sin 4α.
12. = .
13. = tg 3α.
14. sin 2α (1 + tg 2α tg α) + = tg 2α + tg
2
+ .
15. sin
6
– cos
6
= cos α.
16. cos + 4α + sin (3π – 8α) – sin (4π – 12α) =
= 4 cos 2α cos 4α sin 6α.
17. ctg
2
α – ctg
2
β = .
18. – = sin x + cos x.
19. Доажите, что если α + β + γ = π, то
cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin sin sin .
20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то
tg tg + tg tg + tg tg = 1.
21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то
sin (α + 2β) = sin α.
22. Доажите, что если sin
2
β = sin α cos α, то
cos 2β = 2 cos
2
+ α .
sin α sin 3α– sin 5α–sin7α+
cos α cos 3α–cos5α cos 7α–+
--------------------------------------------------------------------------------------- -
1
tg 3α tg α–
-------------------------------- -
1
ctg 3α ctg α–
--------------------------------------
αβ+
2
------------- -
βγ+
2
------------
γα+
2
-------------
sin 3α cos
3
α cos 3α sin
3
α+
3
------------------------------------------------------------------------------
sin 4α
4
-----------------
sin 2α sin 3α–sin4α+
cos 2α cos 3α–cos4α+
-------------------------------------------------------------------
1 sin α+
1sinα–
----------------------- -
π
4
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
sin
2
α 4–
4
--------------------------
3π
2
------ -
cos
2
α cos
2
β–
sin
2
α sin
2
β
---------------------------------------
sin
2
x
sin x cos x–
---------------------------------
sin x cos x+
tg
2
x 1–
----------------------------------
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
α
2
---
β
2
---
β
2
---
γ
2
---
γ
2
---
α
2
---
π
4
---
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений 117
23. Доажите, что если tg α и tgβ — орни уравнения
x
2
+ px + q = 0, то справедливо равенство
sin
2
(α + β) + p sin (α + β)cos(α + β) + q cos
2
(α + β) = q.
24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением
= , | n | < | m |,
то справедливо равенство
= .
25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую про-
рессию. Доажите, что
= ctg β.
26. Доажите, что если α + β + γ = π, то
ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1.
27. Доажите тождество
sin – α cos + α + cos – α sin + α = 1.
28. Доажите, что если sin
2
β = sin α cos α, то
cos 2β = 2 sin
2
– α .
29. Доажите тождество
–
– sin 2α ctg + ctg + = – sin
2
α.
30. Доажите тождество
4cos – sin – = .
sin β
sin 2αβ+()
--------------------------------
n
m
---- -
1
tg β
tg α
---------- -
+
mn+
--------------------- -
1tgα tg β–
mn–
---------------------------------
sin α sin γ–
cos γ cos α–
-------------------------------- -
π
3
---
π
6
---
π
3
---
π
6
---
π
4
---
1 sin 2α+
cos 2α 2π–()tg α
3π
4
------ -
–
----------------------------------------------------------------------
1
4
---
α
2
---
3π
2
------ -
α
2
---
π
6
---
α
2
---
π
3
---
α
2
---
sin
3α
2
-------
sin
α
2
---
-----------------
116 Г л а в а 5. Тригонометрия
7. sin
2
3α – sin
2
2α = sin 5α sin α.
8. = –tg 2α.
9. – = ctg 2α.
10. sin α + sin β + sin γ – sin (α + β + γ) =
= 4 sin sin sin .
11. sin α + sin 3α + sin 5α + sin 7α = 4 cos α cos 2α sin 4α.
12. = .
13. = tg 3α.
14. sin 2α (1 + tg 2α tg α) + = tg 2α + tg
2
+ .
15. sin
6
– cos
6
= cos α.
16. cos + 4α + sin (3π – 8α) – sin (4π – 12α) =
= 4 cos 2α cos 4α sin 6α.
17. ctg
2
α – ctg
2
β = .
18. – = sin x + cos x.
19. Доажите, что если α + β + γ = π, то
cos α + cos β + cos γ = 1 + 4 sin sin sin .
20. Доажите, что если α, β, γ — улы треуольниа, то
tg tg + tg tg + tg tg = 1.
21. Доажите, что если cos (α + β) = 0, то
sin (α + 2β) = sin α.
22. Доажите, что если sin
2
β = sin α cos α, то
cos 2β = 2 cos
2
+ α .
sin α sin 3α– sin 5α–sin7α+
cos α cos 3α–cos5α cos 7α–+
--------------------------------------------------------------------------------------- -
1
tg 3α tg α–
-------------------------------- -
1
ctg 3α ctg α–
--------------------------------------
αβ+
2
------------- -
βγ+
2
------------
γα+
2
-------------
sin 3α cos
3
α cos 3α sin
3
α+
3
------------------------------------------------------------------------------
sin 4α
4
-----------------
sin 2α sin 3α–sin4α+
cos 2α cos 3α–cos4α+
-------------------------------------------------------------------
1 sin α+
1sinα–
----------------------- -
π
4
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
sin
2
α 4–
4
--------------------------
3π
2
------ -
cos
2
α cos
2
β–
sin
2
α sin
2
β
---------------------------------------
sin
2
x
sin x cos x–
---------------------------------
sin x cos x+
tg
2
x 1–
----------------------------------
α
2
---
β
2
---
γ
2
---
α
2
---
β
2
---
β
2
---
γ
2
---
γ
2
---
α
2
---
π
4
---
§ 23. Тождественные преобразования тригоном. выражений 117
23. Доажите, что если tg α и tgβ — орни уравнения
x
2
+ px + q = 0, то справедливо равенство
sin
2
(α + β) + p sin (α + β)cos(α + β) + q cos
2
(α + β) = q.
24. Поажите, что если улы α и β связаны соотношением
= , | n | < | m |,
то справедливо равенство
= .
25. Известно, что α, β, γ составляют арифметичесую про-
рессию. Доажите, что
= ctg β.
26. Доажите, что если α + β + γ = π, то
ctg α ctg β + ctg β ctg γ + ctg γ ctg α = 1.
27. Доажите тождество
sin – α cos + α + cos – α sin + α = 1.
28. Доажите, что если sin
2
β = sin α cos α, то
cos 2β = 2 sin
2
– α .
29. Доажите тождество
–
– sin 2α ctg + ctg + = – sin
2
α.
30. Доажите тождество
4cos – sin – = .
sin β
sin 2αβ+()
--------------------------------
n
m
---- -
1
tg β
tg α
---------- -
+
mn+
--------------------- -
1tgα tg β–
mn–
---------------------------------
sin α sin γ–
cos γ cos α–
-------------------------------- -
π
3
---
π
6
---
π
3
---
π
6
---
π
4
---
1 sin 2α+
cos 2α 2π–()tg α
3π
4
------ -
–
----------------------------------------------------------------------
1
4
---
α
2
---
3π
2
------ -
α
2
---
π
6
---
α
2
---
π
3
---
α
2
---
sin
3α
2
-------
sin
α
2
---
-----------------
118 Г л а в а 5. Тригонометрия
31. Доажите тождество
– = sin α.
32. Доажите, что если α + β + γ = π, то
sin
2
α – cos
2
β – cos
2
γ = 2 cos α cos β cos γ.
33. Упростите выражение
,
если α Ý [0; 2π].
34. Упростите выражение
.
§ 24. Вычисление значений
тригонометрических функций
Вычисление значений трионометричесих выражений без
помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений
трионометричесих выражений без использования таблиц,
обычно решают с помощью тождественных преобразований,
приводящих исомое выражение виду, содержащему тольо
табличные значения трионометричесих фунций.
П р и м е р 1. Вычислить без таблиц tg 20° tg 40° tg 80°.
Решение. Имеем
= =
= = =
= = = .
Ответ..
1sin2α+
sin α cos α+
----------------------------------
1tg
2
α
2
---
–
1tg
2
α
2
---
+
-------------------------
1cosα+1cosα–+
1cosα+1cosα––
--------------------------------------------------------------- -
2sinα sin 2α+
2cosα sin 2α+
-------------------------------------------
1cosα–
1 sin α–
----------------------- -
sin 20 ° sin 40° sin 80°
cos 20° cos 40° cos 80°
--------------------------------------------------------------
sin 20° 2sin 20° cos 20° 2sin 40° cos 40°⋅⋅
cos 20° cos 40° cos 80°
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 sin 20° cos 20° cos 60°–()
cos 80°
----------------------------------------------------------------------------
sin 40° sin 20°–
cos 80°
----------------------------------------------
2cos30° sin 10°
cos 80°
--------------------------------------------- -
2cos30° cos 90° 10°–()
cos 80°
-------------------------------------------------------------------
3
3
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 119
Вычислите без использования таблиц:
1. .
2. sin
2
70° sin
2
50° sin
2
10°. 3. sin sin .
4. 8 cos cos cos . 5. – .
6. sin
4
+ cos
4
+ sin
4
+ cos
4
.
7. sin 15°.
8. sin 18°. 9. sin 42°.
Вычисление значений одной трионометричесой фнции
по известном значению дрой фнции.
Пример 2. Вычислить
,
если tg α = 3.
Решение. Выразив sin2α и cos 2α через tg α, получим
= .
Подставив в правую часть этоо выражения значение
tg α = 3, имеем
= – .
Ответ.– .
10. Вычислите sin α, если sin + cos = 1,4.
11. Вычислите 1 + 5 sin 2α – 3 cos
–1
2α, если tg α = –2.
12. Найдите tg
4
α + ctg
4
α, если tg α + ctg α = a.
13. Вычислите sin
3
α – cos
3
α, если sin α – cos α = n.
14. Зная, что tg = m, найдите .
sin 24° cos 6° sin 6° sin 66°–
sin 21° cos 39° cos 51° sin 69°–
-----------------------------------------------------------------------------------------
3π
10
------ -
π
10
------
4π
9
------ -
2π
9
------ -
π
9
---
1
sin
π
18
------
---------------- -
3
cos
π
18
------
-----------------
π
8
---
3π
8
------ -
5π
8
------ -
7π
8
------ -
2 sin 2α 3cos2α–
4 sin 2α 5cos2α+
----------------------------------------------------
2 sin 2α 3cos2α–
4 sin 2α 5cos2α+
----------------------------------------------------
4tgα 3–3tg
2
α+
8tgα 55tg
2
α–+
----------------------------------------------------
43⋅ 3–39⋅+
83⋅ 559⋅–+
--------------------------------------- -
9
4
---
9
4
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1 2 sin
2
α
2
---
–
1 sin α+
-------------------------------
118 Г л а в а 5. Тригонометрия
31. Доажите тождество
– = sin α.
32. Доажите, что если α + β + γ = π, то
sin
2
α – cos
2
β – cos
2
γ = 2 cos α cos β cos γ.
33. Упростите выражение
,
если α Ý [0; 2π].
34. Упростите выражение
.
§ 24. Вычисление значений
тригонометрических функций
Вычисление значений трионометричесих выражений без
помощи таблиц. Задачи, связанные с вычислением значений
трионометричесих выражений без использования таблиц,
обычно решают с помощью тождественных преобразований,
приводящих исомое выражение виду, содержащему тольо
табличные значения трионометричесих фунций.
П р и м е р 1. Вычислить без таблиц tg 20° tg 40° tg 80°.
Решение. Имеем
= =
= = =
= = = .
Ответ..
1sin2α+
sin α cos α+
----------------------------------
1tg
2
α
2
---
–
1tg
2
α
2
---
+
-------------------------
1cosα+1cosα–+
1cosα+1cosα––
--------------------------------------------------------------- -
2sinα sin 2α+
2cosα sin 2α+
-------------------------------------------
1cosα–
1 sin α–
----------------------- -
sin 20 ° sin 40° sin 80°
cos 20° cos 40° cos 80°
--------------------------------------------------------------
sin 20° 2sin 20° cos 20° 2sin 40° cos 40°⋅⋅
cos 20° cos 40° cos 80°
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2 sin 20° cos 20° cos 60°–()
cos 80°
----------------------------------------------------------------------------
sin 40° sin 20°–
cos 80°
----------------------------------------------
2cos30° sin 10°
cos 80°
--------------------------------------------- -
2cos30° cos 90° 10°–()
cos 80°
-------------------------------------------------------------------
3
3
§ 24. Вычисление значений тригонометрических функций 119
Вычислите без использования таблиц:
1. .
2. sin
2
70° sin
2
50° sin
2
10°. 3. sin sin .
4. 8 cos cos cos . 5. – .
6. sin
4
+ cos
4
+ sin
4
+ cos
4
.
7. sin 15°.
8. sin 18°. 9. sin 42°.
Вычисление значений одной трионометричесой фнции
по известном значению дрой фнции.
Пример 2. Вычислить
,
если tg α = 3.
Решение. Выразив sin2α и cos 2α через tg α, получим
= .
Подставив в правую часть этоо выражения значение
tg α = 3, имеем
= – .
Ответ.– .
10. Вычислите sin α, если sin + cos = 1,4.
11. Вычислите 1 + 5 sin 2α – 3 cos
–1
2α, если tg α = –2.
12. Найдите tg
4
α + ctg
4
α, если tg α + ctg α = a.
13. Вычислите sin
3
α – cos
3
α, если sin α – cos α = n.
14. Зная, что tg = m, найдите .
sin 24° cos 6° sin 6° sin 66°–
sin 21° cos 39° cos 51° sin 69°–
-----------------------------------------------------------------------------------------
3π
10
------ -
π
10
------
4π
9
------ -
2π
9
------ -
π
9
---
1
sin
π
18
------
---------------- -
3
cos
π
18
------
-----------------
π
8
---
3π
8
------ -
5π
8
------ -
7π
8
------ -
2 sin 2α 3cos2α–
4 sin 2α 5cos2α+
----------------------------------------------------
2 sin 2α 3cos2α–
4 sin 2α 5cos2α+
----------------------------------------------------
4tgα 3–3tg
2
α+
8tgα 55tg
2
α–+
----------------------------------------------------
43⋅ 3–39⋅+
83⋅ 559⋅–+
--------------------------------------- -
9
4
---
9
4
---
α
2
---
α
2
---
α
2
---
1 2 sin
2
α
2
---
–
1 sin α+
-------------------------------