Чорний О.П., Луговой А.В. и др. Моделювання електромеханічних систем
Подождите немного. Документ загружается.
0
0
1
4
3
2
1
2 3
5
4
0.5
1.0
1.5
Рис.3.11.
3.2. Інтерполяція і апроксимація нелінійностей
3.2.1. Інтерполяція нелінійностей
Процедура моделювання нелінійних ланок електропривода
на цифрових ЕОМ, якщо їхній математичний опис заданий у
вигляді аналітичних виразів, не викликає особливих труднощів.
Однак досить часто на практиці зустрічаються випадки, коли
функція задана у вигляді таблиці, а в .процесі моделювання
потрібно мати значення функції в точках, що належать інтервалу
завдання,
але не збігаються з наведеними в таблиці.
У цих випадках застосовується особливий прийом побудови
наближеної функції, близької до вихідної, і аналітичного виразу,
яким можна скористатися для наближених обчислень.
Розглянемо основні підходи, що застосовуються на
практиці. Нехай відомі значення деякої функції
(
)
fx
утворюють таку таблицю 3.3.:
Таблиця 3.3.
Значення функції
(
)
fx
x
xx x
n
,,...,
1
(
)
fx
yy y
n
,,...,
1
Класичний підхід до розв'язання задачі знаходження наближеної
65
функції, грунтується на вимозі збігу значень функції
(
)
fx і
наближеної функції
(
)
Fx у точках ( inx
i
=
012, , ,..., ), тобто
виконання рівностей
()
()
()
Fx y
Fx y
Fx y
nn
00
11
=
=
=
;
;
.......
.
(3.1)
У цьому випадку процедуру знаходження наближеної
функції називають інтерполяцією, а точки
B
B-
вузлами інтерполяції.
xx x
n01
,,...,
Зручніш за все шукати інтерполюючу функцію
(
)
Fx у
вигляді многочлена, оскільки його значення легко обчислити за
кінцевим числом кроків, інтегрувати, диференціювати,
використовуючи лише основні арифметичні операції додавання,
віднімання і множення.
Многочленом
-го порядку будемо називати функцію n
()
Px a ax ax a x ax
nn
n
n
n
=+ + ++ +
−
−
01 2
2
1
1
... . (3.2)
Звісно, що n+1 невідомий коефіцієнт цього багаточлена
може бути знайдений з умов (3.1) шляхом розв'язку системи
рівнянь
ax y
k
k
k
n
i
=
∑
=
0
, in
=
012, , ,..., (3.3)
відносно невідомих
B
.
aa a
n01
,,...,
Система (3.3) завжди має єдине рішення, тому що її
визначник,
n
0
1n
0
2
00
n
0
1n
0
2
00
n
0
1n
0
2
00
xx...xx1
........
xx...xx1
xx...xx1
−
−
−
відомий у алгебрі, як визначник Вандермонда, відмінний від
66
нуля. З цього випливає, що інтерполяційний багаточлен
(
)
Px
n
для функції
(
)
fx, заданої таблицею, існує і він єдиний. Проте
на практиці використовуються інші способи інтерполяції, тому
що наведений розв'язок важко реалізується алгоритмічно, а
процес розрахунку досить трудомісткий.
3.2.2. Інтерполяційний багаточлен Лагранжа.
Нехай
- nxx x
n01
,,...,
+
1 різних точок. Тоді
()
Lx
xx
xx
i
j
ij
i
ji
n
=
−
−
=
≠
∏
0
є
-м многочленом Лагранжа -го порядку і перетворюється в
нуль у всіх точках
, за винятком точок , у яких набуває
значення 1, тобто
i n
x
j
x
i
()
Lx
ij
ij
ij
=
≠
=
⎧
⎨
⎩
0
1
,;
,.
Таким чином, для довільної функції
(
)
yx функція
()
Pqx
ii
i
n
=
=
∑
0
L
є многочленом
-го степеня і задовольняє умові (3.1). З цього
випливає, що використання многочленів Лагранжа дозволяє
відразу одержати інтерполяційну функцію для даної функції в
точках послідовності
.
n
xx x
n01
,,...,
Крім того, можна показати, що ця інтерполяційна функція
буде єдиною з безлічі многочленів
-го порядку. n
Незважаючи на зовнішню елегантність форма Лагранжа
порівнянно з іншими далеко не така ефективна. Для обчислення
значення функції в точці при її використанні потрібно виконати
як мінімум
(
)
21n A nM nD
−
+
+
операцій, де -операція
додавання або віднімання,
A
M
D/ - операція множення /
ділення. У той же час ця процедура для форми Ньютона, що
буде розглянута нижче, потребує
()
(
)
21 1nAnM
−
+
−
операцій.
67
Ця різниця стає ще більшою при обчисленні похідних
інтерполюючого многочлена.
3.2.3. Розділені різниці і інтерполяційна формула Ньютона
Якщо нелінійна функція задана таблицею з постійним
кроком, то доцільно використовувати многочлен, записаний у
формі Ньютона:
()
(
)
(
)
(
)
()( )
Px a a x x a x x x x
axx xx
nn
=+ − + − −++
+− −
−
01 0 2 0 1
01
...
...
(3.4)
З формою Ньютона тісно пов'язані поняття кінцевих і
розділених різниць. Для функції, заданої у вигляді таблиці з
постійним кроком, різниці між значеннями функції в сусідніх
вузлах називаються кінцевими різницями першого порядку:
∆yy y
ii
=
i
−
+1
,
(
)
in= 01,,..., .
З кінцевих різниць першого порядку утворюються кінцеві
різниці другого порядку
i1ii
2
yyy ∆−∆=∆
+
,
(
)
in= 01,,..., .
Продовжуючи цей процес можна за заданою таблицею
функції скласти таблицю кінцевих різниць (табл.3.4).
Кінцеві різниці будь-якого порядку можуть бути отримані
через значення функції. Для кінцевих різниць другого порядку
маємо
(
)( )
∆∆ ∆
2
121121
2y y yy y y yy y y
i i ii i i ii i
=−=−−−=−+
++++++
.
i
Для кінцевих різниць третього порядку
(
)
(
)
∆∆ ∆
32
1
2
321 21
321
22
33
yy yy y y y y y
yyyy
i
i
ii i i i i i
iiii
=−=−+−−+
=− + −
+
+++++
+++
.
=
Можна показати, що
(
)
()
∆
2
1
2
1
2
1yy ky
kk y
y
iik ik
ik
k
i
=− +
−
−+−
++−
+−
!
...
.
Таблиця 3.4.
Таблиця кінцевих різниць
68
x
i
y
i
∆
y
i
∆
2
y
i
∆
3
y
i
...
xB
0
B yB
0
B
∆
yB
0
B
x
B
1
B yB
1
B
∆
P
2
P
yB
0
B
∆
yB
1
B
∆
P
3
P
yB
0
B
x
B
2
B yB
2
B
∆
P
2
P
yB
1
B
...
∆
yB
2
B
∆
P
3
P
yB
1
B
x
B
3
B yB
3
B
∆
P
2
P
yB
2
B
...
∆
yB
3
B
...
x
B
4
B yB
4
B ...
...
... ... ...
Тепер знайдемо коефіцієнти багаточлена в (3.4) за умови
збігу значень функції
(
)
yx і многочлена у вузлах. При xx
=
0
із
(3.4) знаходимо
ay
00
=
. Далі, при xx
=
1
і xx
=
2
знаходимо
(
)
(
)
yPx aaxx
n11011
==+−
0
,
звідки
a
y
h
1
0
=
∆
;
(
)
(
)
(
)
(
)
yPx aaxx axxxx
n2201202202
==+−+−−
1
a
,
або
yyyh
200
2
2
22−−=∆ ,
звіди
a
y
h
2
2
0
2
2
=
∆
!
.
Аналогічно для
одержуємо a
3
a
y
h
3
3
0
3
3
=
∆
!
і в загальному випадку
69
a
y
k
h
k
k
k
=
∆
0
!
.
У загальному випадку вимога постійності кроку для
застосування інтерполяційної формули Ньютона не обов'язкова.
Замість кінцевих різниць
∆
y
i
введемо поняття розділених
різниць першого порядку, що обчислюються як
[]
xx y
yy
xx
ii
ii
ii
,
+
+
+
=
−
−
1
1
1
.
Другі розділені різниці обчислюються за формулою:
[]
(
)
(
)
xx x y
xxyxx
xx
ii i
ii ii
ii
,,
,,
++
++ +
+
=
−
−
11
21 1
2
y
,
а розділені різниці
k
-го порядку
[]
(
)( )
xxy
xxyxx
xx
ii
iik iik
ik i
,...,
,,...,
+
++ +−
+
=
−
−
1
11
y
.
Може бути складена таблиця значень розділених різниць,
аналогічна наведеній вище таблиці 3.4.
Як і у випадку з кінцевими різницями , кожна
k
-та
розділена різниця може бути обчислена за допомогою двох
сусідніх елементів із стовпця з
k
− 1 -ї розділеної різниці. Це
дозволяє одержувати елементи таблиці послідовно, стовпець за
стовпцем. Число операцій, необхідних для обчислення елементів
таблиці, дорівнює
()
(
)
nn A nn
D
−+−11
2
.
Можна показати, що значення
k
-ї розділеної різниці
дорівнює коефіцієнту при
x
k
у інтерполяційному многочлені
Ньютона. У таблиці розділених різниць ці коефіцієнти утворять
головну діагональ.
Незважаючи на простоту обчислювальних формул,
застосування многочленної інтерполяції має обмеження. По-
перше, при великій кількості вузлів інтерполяції значно зростає
степінь інтерполяційних многочленів, що робить їх незручними
70
для обчислень, і, по-друге, якщо функція, що інтерполюється,
має особливості в деяких точках на інтервалі інтерполяції, то
вона погано апроксимується на всьому інтервалі. Високого
степеня многочлена і залежності точності інтерполяції від
локальних властивостей функції можна уникнути, якщо
використовувати кусково-многочленні інтерполяційні функції,
що будуть розглянуті далі.
3.2.4. Кускова інтерполяція кубічними
многочленами
Найбільш часто як кусково-багаточленні інтерполяційні
функції використовуються функції, складені з многочленів
третього степеня.
Якщо значення функції задані у вигляді наведеної вище
таблиці на інтервалі
[
]
ab, , то інтерполяційний кубічний
многочлен
будують таким чином. Вважаємо, що на кожному
інтервалі
f
[
]
xx
ii
,
+1
B
Bфункція узгоджується з деяким
многочленом
третього степеня:
()
fx
P
i
()
(
)
fx Px
i
= для xxx
ii
<
<
+1
, in
=
−
01 1,,..., .
Кожний многочлен повинен задовольняти умовам
()
(
)
() ( )
Px y Px y i n
Px s Px s i n
ii i ii i
ii i ii i
===
′
=
′
==
++
++
,,,
, , , ,..., ,
11
11
01
01 1
−
,...,;
, (3.5)
де
- довільні параметри. s
i
Коефіцієнти многочленів
можна обчислити з умов
(3.5), що утворюють систему з
лінійних рівнянь. Оскільки
кількість невідомих коефіцієнтів
()
Px
i
4n
42n
+
, то до системи
необхідно додати ще дві умови. Зазвичай приймають до уваги
поведінку многочленів у точках
і . x
0
x
n
Отримана кусково-кубічна функція
узгоджується з f
(
)
Fx
у точках
і має неперервну першу похідну незалежно
від вибору параметрів
.
xx
n0
,...,
s
i
Якщо для багаточлена вибрати форму Ньютона
71
()
(
)()
(
)
Px c c x x c x x c x x
i iiiii ii
=+ −+ − + −
12 3
2
4
3
,, , ,
,
де рішення системи (3.5) відносно коефіцієнтів
має вигляд: c
ki,
(
)
cPx
ii1,
= y
i
=
;
()
cPx
ii2,
'
==y
i
;
()
[
]
c
Px
xx y s
Dx
cDx
i
i
ii i
i
ii3
1
4
2
,
"
,
,
==
−
−
+
.
Різні методи інтерполяції кусково-кубічними многочленами
відрізняються один від одного вибором коефіцієнтів.
Зупинимося на найвідоміших із них.
3.2.5. Інтерполяція кубічними многочленами Ерміта.
У цьому випадку вибирають
(
)
sFx
i
=
'
i
для всіх . Така
форма вимагає наявності інформації про значення першої
похідної в кожному вузлі інтерполяції.
i
3.2.6. Інтерполяція методом Акіма.
Відповідно до даного методу вибирають
[
]
[
]
s
wxxywxx
ww
i
iii iii
ii
=
+
+
+− − +
+−
11 1 1
11
,,
y
;
[]
[
]
wxxyxx
jjj jj
=−
+−
,,
11
y.
Порівняно з іншими, метод Акіма менше чутливий до
викидів функції, що інтерполюється.
3.2.7. Інтерполяція кубічними многочленами Беселя.
Якщо як
вибрати кутовий коефіцієнт дотичної в точці xB
i
B
многочлена
s
i
(
)
Px третього порядку, що узгоджується з
72
функцією
(
)
Fx у точках , то в результаті формула
для розрахунку буде мати вигляд:
xxx
iii−1
,,
+1
1
s
B
i
B=( DxB
i
B[xB
i-1
B , xB
i
B]y + DxB
i-1
B[xB
i
B , xB
i+1
B]y )/( DxB
i
B+ DxB
i-1
B).
3.2.8. Інтерполяція кубічними сплайнами.
У цьому випадку параметри
вибираються за
умови, що функція повинна бути двічі диференційована:
ss
n1
,...,
−
()
(
)
Px Px
ii ii−
=
1
""
або
26 2
31 41 1 3
ccDx
iii,,−−−
c
i,
+
=
,
або
[]
()
[
]
(
)
2
4
2
2
11
1
41 1
1
1
4
xxys
Dx
cDx
xx y s
Dx
cDx
ii i
i
ii
ii i
i
ii
−−
−
−−
+
−
−
+=
−
−
,,
,,
або
(
)
sDxsDx Dx sDx b
iiii iii−−+−
+++
111
2,
i
=
1
(3.6)
де
[
]
[
]
()
bDxxxyDxxxy
+1iiiiiii
=+
−+
3
11
,,in,
=
−
11,..., .
За умови, що параметри
і яким-небудь способом вже
обрані, одержуємо з (3.6) тридіагональну систему лінійних
рівнянь для невідомих. Матриця коефіцієнтів такої системи має
діагональне переважання і, отже, єдиний розв'язок.
s
0
s
n
Окремим і важливим питанням є вибір граничних умов. Їх
можна вибрати довільно, але при цьому варто мати на увазі , що
від вибору граничних умов залежить
точність інтерполяції.
Розглянемо найбільш часто застосовувані варіанти вибору
і
.
s
1
s
n
1. Якщо відомі значення першої похідної інтерпольованої
функції в точках
B
B і , то можна вибрати s
1
s
n
(
)
sFx
11
= і
. Отримана в результаті функція називається
()
sFx
n
=
'
n
73
фундаментальним інтерполяційним кубічним сплайном
функції
(
)
Fx.
2. Якщо в граничних точках відомі значення другої похідної
інтерпольованої функції , то можна вважати в цих точках
і додати до системи (3.7) рівняння fF
"
=
"
[]
()
23
2
01 01
00
ss xxy
Dx y x
+= +,
"
;
[]
(
)
ssxxy
Dx y x
nnnn
nn
−−
−
+= +
11
1
23
2
,
"
.
3. Так звана інтерполяція природними сплайнами отримується,
якщо граничні умови нульові:
()
(
)
fx fx
n
""
1
0==.
4. Якщо невідомо про значення похідних на кінцях інтервалу, то
використовують умову, що називається умовою відсутності
вузла. При цьому вибирають
і так, що
,...,
s
0
s
n
PP
01
= PP
nn−−
=
21
.
Це відповідає додаванню рівнянь
()
(
)
(
)
[
]
(
)
sx sx x
xxxxxxyx
xx
01 12 0
021101 0
2
21
2
∆
∆∆
+−=
+− +
−
,
;
(
)
()
[]
()
()
[]
sx s x x
xxxyxx xxxx
xx
nn n n n
nnn nn nnnn
nn
∆
∆∆
−− −
−−− − −−−
−
+−=
=
+−+
−
21 2
1
2
21 2 1 21
2
2,,
y∆
до системи (3.6).
Відзначимо насамкінець, що різні методи інтерполяції
забезпечують різну точність. Теоретична похибка результуючої
інтерполяції кубічними сплайнами при вдалому виборі
граничних умов пропорційна четвертому степеню кроку сітки.
Така ж точність забезпечується при інтерполяції кубічними
многочленами Ерміта. Інтерполяція кубічними многочленами
Беселя і методом Акіма менш точна. Однак, однозначних
74