Чорний О.П., Луговой А.В. и др. Моделювання електромеханічних систем
Подождите немного. Документ загружается.
( i ). Будемо вважати, що рух цього механізму відбувається
у вертикальній площині.
= 12,
u
1
u
2
p
2
y
p
1
x
ϑ
1
ϑ
2
m
2
; J
2
m
1
; J
1
ϑ
1
l
1
l
2
Рис.10.17. Кінематична схема дволанкового суглоба
маніпулятора
При роботі механізму можливі тільки повороти в його
шарнірах, що на рисунку характеризуються відповідними
кутами
. У кожного шарніра є виконавчий орган. Ланки
механізму повертаються під дією моментів
. Положення
центрів ваги (
) і ( ) можна представити таким чином:
ϑ
i
u
i
xy
11
, xy
22
,
()(
xy p p
11 1 1 1 2
,cos,sin=ϑ ϑ
)
;
()
(
)
(
)
()
xy l p l p
22 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2
, cos cos , sin cos=+ + + +ϑϑϑϑϑϑ
Отже, для швидкостей руху центрів ваги можна записати вирази
dx
dt
dy
dt
p
d
dt
p
d
dt
11
1
1
11
1
1
,sin,
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
cos
;
()
()
dx
dt
dy
dt
l
d
dt
p
d
dt
d
dt
l
d
dt
p
d
dt
d
dt
22
1
1
12
12
12
1
1
12
12
12
,sin sin
cos cos
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=− − +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎩
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎫
⎬
⎭
ϑ
ϑ
ϑϑ
ϑϑ
ϑ
ϑ
ϑϑ
ϑϑ
,
252
У цьому випадку кінетичну енергію
T
можна представити у
вигляді:
Tm
dx
dt
dy
dt
J
d
dt
m
dx
dt
dy
dt
J
d
dt
d
dt
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
2
2
2
2
2
12
2
ϑ
ϑϑ
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎫
⎬
⎭
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
1
2
1
2
1
2
2
1
2
11
2
1
2
1
1
2
21
1
2
2
2
12
2
12
11 2
22
12
2
mp
d
dt
J
d
dt
ml
d
dt
p
d
dt
d
dt
lp
d
dt
d
dt
d
dt
J
d
dt
d
dt
ϑϑ
ϑϑϑ
ϑϑ ϑ
ϑ
ϑϑ
cos
()
{}
{}
{}
=+++++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
++ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1
2
2
1
2
12 11
2
21
2
2
2
12 2
1
2
222
2
21 2 2
1
2
2
2
222
2
2
2
JJmpml p lp
d
dt
Jmpmlp
d
dt
d
dt
Jmp
d
dt
cos
cos
,
ϑ
ϑ
ϑ
ϑϑ
ϑ
а потенціальну
- у вигляді: U
{
}
Umgp mgl p=+ ++
11 1 2 1 1 2 1 2
sin sin sin( )ϑϑϑϑ .
Під дією моментів
і відбувається поворот ланок на
кути
і
u
1
u
2
δϑ
1
δ
ϑ
2
. При цьому здійснюється робота
uu
11 22
δϑ
δ
ϑ+ , котру можна представити у вигляді різниці
L
T
U=
−
.
253
Відповідні рівняння Лагранжа:
d
dt
L
d
dt
L
u
∂
∂
ϑ
∂
∂ϑ
1
1
1
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−=
;
d
dt
L
d
dt
L
u
∂
∂
ϑ
∂
∂ϑ
2
2
2
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−=
.
Після проведення очевидних перетворень одержуємо
наступні рівняння руху:
()
{}
{}
()
() (
JJmpml p lp
d
dt
Jmpmlp
d
dt
mlp
d
dt
d
dt
umpmlg mgp
12 11
2
21
2
2
2
12 2
2
1
2
222
2
21 2 2
2
2
2
21 2 2
12
2
2
11121 122 12
2
2
++ + ++ +
++ + −
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=− + − +
cos
cos
sin
cos cos
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑ
ϑϑ
ϑ
ϑϑϑ
)
{}{}
()
()
Jmpmlp
d
dt
Jmp
d
dt
mlp
d
dt
umgp
222
2
21 2 2
2
1
2
222
2
2
2
2
21 2 2
1
2
222 12
++ ++
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=− +
cos )
sin
cos .
ϑ
ϑϑ
ϑ
ϑ
ϑϑ
+
.
254
Глава 11
Ідентифікація параметрів електроприводів
Для аналізу і синтезу систем електроприводів необхідно
мати їхні математичні моделі. Вибір математичної моделі
залежить від цілого ряду умов, найважливішими з яких є: мета,
якій модель повинна служити; необхідна точність опису
реального процесу; критерій адекватності моделі й об'єкта;
ступінь вивченості фізичних явищ процесу. В інженерній
практиці часто обмежуються поданням об
'єкта у вигляді чорної
скриньки, для якого встановлюють зв'язок між вхідними та
вихідними змінними на основі даних спостережень. Таке
знаходження зв'язків за експериментальними даними називають
ідентифікацією. За даними ідентифікації відтворюють
структуру об'єкта, та визначають його параметри.
Виділяють наступні методи створення моделі об'єкта на
основі:
− реакції об
'єкта на вхідний сигнал у вигляді одиничного
стрибока або імпульса);
− частотних характеристик, отриманих в усталеному режимі
для синусоїдального вхідного сигналу;
− аналізу кореляції входу і виходу;
− підстроюваної динамічної моделі, (моделі як датчика
характеристик об'єкта).
В подальшому метою ідентифікації будемо вважати
одержання математичного опису об'єкта у виді його
передатної
функції на основі експериментальної перехідної
характеристики.
Процес ідентифікації об'єкта складається з чотирьох
основних етапів:
− планування, підготовки та проведення експерименту
− обробки результатів експерименту, що полягає в
згладжуванні отриманої перехідної характеристики;
− апроксимації її передатної функції;
− перевірки адекватності отриманої моделі реальному об'єкту.
255
Основою ідентифікації є апроксимація перехідної
характеристики, що відповідає деякій передатній функції.
Зупинимося докладніше на методах апроксимації.
11.1. Апроксимація перехідних характеристик
елементарними динамічними ланками
Перехідні характеристики більшості електроприводів
промислових об'єктів, що зустрічаються на практиці, не мають
коливального характеру і звичайно досить добре
апроксимуються елементарними динамічними ланками.
11.1.1. Аперіодична перехідна характеристика
Така перехідна характеристика може бути описана
інерційною ланкою першого порядку з передатною функцією:
()
Wp
k
Tp
=
+ 1
, (11.1)
Перехідний процес описується диференційним рівнянням
першого порядку:
TUU
dU
dt
вих
вих вх
+=⋅k. (11.2)
Рішення цього рівняння запишемо у вигляді:
()
(
)
UtkU e
вх
tT
вих
=−
−
1
/
. (11.3)
Стала часу
T
визначається за графіком як величина
проекції на вісь часу відрізка, що відтинається на горизонтальній
прямій, проведеній на рівні
(
)
U
вих
∞ вертикаллю, що проходить
через довільно обрану точку експоненти, і дотичної, відновленої
в цій точці (рис.11.1).
256
Наближено величину
сталої часу
T
можна
визначити за перехідною
функцією, як час, за який
вихідна координата досягає
значення
(
)
Ut
вих
=
063. ,
оскільки з рівняння (11.3)
випливає, що
(
)
UT
вих
=−
=−
−
1
1 0 367879
e=
≈0 63
1
...
Величину сталої часу
T
можна знайти за числовими значеннями перехідної
характеристики в двох точках (рис.11.2). Обираючи
t і таким
чином, щоб
1
t
2
a
a
1
2
2= , і
враховуючи, що
0
0.63
0.5
1
U
вих
T
T
t
Рис.11.1. Графічне визначення
сталої часу методом дотичної
be
t
T
1
1
1
= −
−
,
be
t
T
2
1
2
= −
−
,
ab
1
1
1
=
−
,
ab
2
1
2
=
−
,
сталу часу визначаємо за
формулою
0
0.5
1
U
вих
a
2
a
1
t
2
t
1
t
Рис.11.2. Графічне визначення
сталої часу за двома точками
T
tt
a
a
tt=
−
=
⋅
⋅−
21
1
2
21
23
144
.
.
lg( )
(). (11.4)
11.1.2.Коливальна перехідна характеристика.
Коливальна перехідна характеристика (рис.11.3) описується
коливальною ланкою з передатною функцією (11.4).
257
()
Wp
k
Tp Tp
=
++
22
21ξ
, (11.5)
де
- коефіцієнт демпфирування, чисельне значення якого
лежить у межах
01
ξ
<
<
ξ
.
Диференційне рівняння коливальної ланки, що відповідає
передатній функції (11.5), має вигляд:
T
U
TU
2
2
2
d
dt
dU
dt
2
вих вих
вих вх
++=ξ U
1
. (11.6)
Оскільки
0
<
<
ξ
, то корені
характеристичного рівняння будуть
комплексними:
p
j1-
j
,12
2
11
=
−±
= −±
ξξ
βω
T
,
де
β
ξ
1
=
T
- логарифмічний декремент
загасання;
ω
ξ
1
2
1
=
−
T
- частота коливань.
Рішення диференційного рівняння
коливальної ланки має вигляд:
t
t
4
t
3
t
2
U
вих
t
1
Рис.11.3. Визначення
параметрів передатної
функії коливальної ланки
за трьома точками
()
Ut e t t
t
вых
msin=− + ⋅
−
1
1
1
β
ωω(cos
1
), (11.7)
де
m= - ступінь коливальності.
1
β t
Шукані динамічні параметри визначають із перехідної
характеристики (рис.11.3) за формулами:
ξ=−
−
⋅
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos
t
tt
1
31
π, (11.8)
T
tt
=⋅
−
−
31
2
1
π
ξ . (11.9)
258
Приклад
Розглянемо таблично задану перехідну функцію
(
)
ht
коливального процесу. Графік функції
показаний на рис.11.4.
()
ht
Таблиця 11.1
Дані перехідної функції коливального процесу
t , c
()
ht
t , c
(
)
ht
t , c
(
)
ht
t , c
(
)
ht
t , c
(
)
ht
1 0.205 6 1.213 11 0.945 16 1.014 21 0.997
2 0.629 7 1.080 12 0.985 17 1.002 22 1.000
3 1.026 8 0.969 13 1.016 18 0.994 23 1.002
4 1.257 9 0.913 14 1.028 19 0.991 24 1.002
5 1.300 10 0.912 15 1.025 20 0.993 25 1.003
Знайдемо параметри передатної функції коливальної ланки
()
Wp
k
Tp Tp
=
++
22
21ξ
.
Враховуючи, що процес коливальний, то значення коефіцієнта
демпфування знаходяться в діапазоні
01
<
<
ξ
і корені
характеристичного рівняння комплексні.
Динамічні параметри передатної функції коливальної ланки
знаходимо за виразами:
ξ
π
=−
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟=−
⋅
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=cos cos
..
..
.
t
tt
1
31
295 314
765 295
039;
T
tt
=
−
−=
−
−=
31
22
1
765 295
314
1 0 39 1 377
π
ξ
..
.
..
,
де
, t
1
295= . t
2
765
=
. - точки перетину лінії усталеного значення
перехідною функцією.
Розв'язок диференційного рівняння коливальної ланки має вигляд:
()
(
)
(
)
[
]
yt e t m t
t
=− + ⋅
−
1
11
β
ωωcos sin ,
де
та ω з коренів характеристичного рівняння: β
1
1
2
2,1
j
T
1j
p ω±β=
ξ−±ξ−
= .
259
667.0j283.0
377.1
39.01j39.0
p
2
2,1
±=
−±−
=
m = 0 424. - ступінь коливальності.
Відтворену перехідну функцію
наведено на рис.11.4.
()
yt
0
1.0
0.5
t, c
151050
(
)
yt
t
4
t
3
t
2
t
1
(
)
ht
Рис.11.4. Заданий та відтворений коливальні процеси
Відносна похибка відтвореної функції в точці
складає 3,16%, в
точці
2 - 2,6%.
t
2
2
⋅ t
При аналізі динамічних процесів у системах електропривода
диференційне рівняння коливального процесу записують у
вигляді:
TT T
e мм
d
dt
d
dt
2
уст
ωω
ωω
2
++=. (11.10)
Введемо до розгляду динамічні параметри
Ω
і
ξ
, що
однозначно зв'язані з
і такими виразами: T
e
T
м
− кутова частота недемпфованих коливань, що визначають
масштаб часу процесу
Ω=
1
TT
e м
;
260
− відносний коефіцієнт загасання коливань, що визначає
колвальність процесу
ξ=
1
2
T
T
м
e
.
З цих співвідношень можна одержати:
T
м
=
2 ξ
Ω
, (11.11)
T
e
=
1
2
ξΩ
. (11.12)
Уся область зміни
ξ
може бути розбита на три інтервали:
005
<
<
ξ
. ;
05 2.
<
<
ξ
;
t
m=3m=2m=1
1
3
−
ω
ω
у
ст
1
2
−
ω
ω
у
ст
ω
у
ст
1
1
−
ω
ω
у
ст
Рис.11.5. До визначення параметрів
передатної функції коливальної ланки
ξ
> 2 .
У першому інтервалі
крива розгону
(рис.11.5.) є різко
коливальною
(
) і за
величиною
перерегулювання
може бути визначена
величина
4T T
e м
>
ξ
:
ξ
ω
ω
π
ω
ω
=−
−
+−
ln
ln
1
1
22
m
уст
m
уст
m
(11.13),
де
m - порядковий номер екстремуму,
ω
ω
m
уст
- ордината графіка
в точці екстремуму.
Кутова частота коливань
Ω
визначається з виразу
261