Чорний О.П., Луговой А.В. и др. Моделювання електромеханічних систем
Подождите немного. Документ загружается.
Відтворену перехідну характеристику
(
)
ht
в
показано на рис.11.11.
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
()
ht
в
(
)
ht
Рис.11.11. Заданий та відтворений процеси
11.2. Методи апроксимації передатною функцією з
запізнюванням
Значе поширення в практиці наближених розрахунків
одержав метод апроксимації кривої розгону (рис.11.12)
передатною функцією вигляду
()
Wp
ke
p
T
p
=
⋅
−
+
об
e
у
τ
1
, (11.35)
де
- коефіцієнт підсилення; k
об
τ
у
- час умовного запізнювання;
- еквівалентна стала часу. T
e
Існує декілька способів визначення сталих часу. Найбільш
поширені графічний і аналітичний методи.
Графічний метод визначення параметрів передатної функції
грунтується на виділенні з перехідної характеристики тієї її
частини, що апроксимується передатною функцією ланки
другого порядку з різними сталими часу (рис.11.12).
()
Wp
k
T
pp
мо
об
1мм
=
++
⋅()(11σ )
, (11.36)
272
де
(
)
Wp
мо
- передатна
функція об'єкта без умовного
запізнювання
τ
у 1м
; -
більша стала часу;
T
σ
м
-
менша стала часу моделі
об'єкта.
Після визначення
чисельного значення меншої
сталої часу
σ
м
величина
умовного запізнювання
знаходиться за очевидною умовою
()
Ut
вих n
U
вих
t
n
t
T
a
τ
об
1
Рис.11.12. Розподіл сталих часу
кривої розгону з запізнюванням
ττ
σ
уоб
=−
м
, (11.37)
де
- повне запізнювання об'єкта, що знаходиться відомим
шляхом.
τ
об
Таким чином, модель об'єкта може бути подана передатною
функцією
()
()
()
Wp
ke
Tp p
p
об
об
1м
м
=
⋅
++
−
⋅
τ
σ11
, (11.38)
або з невеликою похибкою рівнянням (11.35), де
TT
e1мм
=−
σ
.
c
b
a
σ
м
M
1
E
B
N
D
A
L
τ
y
TT
e
м
м
=
+
1
σ
T
e
T
a
τ
об
k
м
U
вих
t
063.k
м
k
U
U
м
вих
вх
=
(
)
ht
м
(
)
ht
Рис.11.13. До визначення параметрів передатної функції з
запізненням
273
Числові значення коефіцієнтів розрахункової моделі
знаходяться безпосередньо за кривою розгону після проведення
дотичної АВ у точці умовного перегину С, що визначається
шляхом ділення відрізка АВ навпіл (рис.11.13). Точка
є
першою, а точка
в останньою точками дотику кривої розгону
і дотичної АВ. З точки
a
()
ht
C
відновлюють перпендикуляр СD
до горизонтальної прямої, що відповідає усталеному значенню
кривої розгону. Потім знаходимо величину еквівалентної сталої
часу
TT
e1м
=−
м
σ
=DB, часу розгону Т=АЕ і повний час
запізнювання
τ
об
, обумовлений відрізком ОА, що відтинається
дотичною АВ на осі часу.
Оскільки для ланки другого порядку повинна виконуватися
умова
65.9/T
м
≥σ
, (11.39)
то чисельне значення меншої сталої часу
σ
м
знаходимо за
формулою (11.40).
σ
м
=
⋅
0105.T
. (11.40)
З урахуванням останнього, умовне запізнювання
τ
об
визначаємо зі співвідношення
ττ
σ
уобм
=
=
−
− OA AL
, (11.41)
де
. AL =σ
м
Графік перехідної характеристики розрахункової моделі
()
ht k e
t
T
y
e
=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−−
об
1
τ
(11.42)
показаний на рис.11.13 штриховою лінією.
Розглянутий прийом визначення
τ
у
і забезпечує
приблизну рівність нулю площ, укладених між порівнюваними
кривими:
T
e
() ()
[]
ht ht
м
dt−
∞
∫
≈
0
0 . (11.43)
274
В основу аналітичного методу визначення параметрів
передатної функції за експериментальними перехідними
характеристиками покладений метод площ.
Апроксимуюча передатна функція для більшості
промислових об'єктів може бути подана виразом
()
Wpk e
p
bp b p bp
ap a p ap
об об
o
m
m
m-1
m-1
1
1
n
n
n-1
n-1
1
1
...
...
=⋅
+++
+++
−
⋅⋅ ⋅
⋅⋅ ⋅
τ
1
1
+
+
. (11.44)
Коефіцієнти чисельника визначаються з великими
похибками, оскільки присутність диференційних ланок підсилює
дію завад. Тому доцільно спрощення передатної функції або
апроксимацію кривої розгону передатною функцією вигляду
()
Wp
ke
ap a p ap
p
об
об
o
n
n
n-1
n-1
1
1
...
=
⋅
++++
−
⋅⋅ ⋅
τ
1
, (11.45)
при
або
()
hp
'
= 0
()
(
)
Wp
ke bp
ap a p ap
p
об
об
n
n
n-1
n-1
1
1
o
1
...
=
⋅⋅+
+++
−
⋅⋅ ⋅
τ
1
1
+
(11.46)
при
. Тут
()
h
'
00≠
(
)
ht - експериментальна крива розгону
регульованого об'єкта;
τ
o
- час чистого запізнювання; -
похідна при
t
()
h
'
0
=
0 .
Обчислення виконують за формулою
a
S
k
i
i
об
= , (11.47)
де
- площа -го порядку під кривою S
i
i
(
)
kht
об
−
. Площа
визначається таким чином:
S
1
()
[
Skht
1
0
=−
∞
∫
об
dt
]
. (11.48)
275
Після зміни масштабу часу τ=
t
S
1
, з урахуванням площі для
шляхом обчислення інтегралу за змінною,
знаходимо
S
i
i= 23,,...,n
()
[]
()
()
()
()
()
SSkh
ii
S
S
11
1
1
1
0
12
3
12
=
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∫
−
−
−
+
−
+⋅
−
∑
⎡
⎣
⎢
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
⎥
−−
−−
−−
−
∞
i
об
ii
ij
ij
i-
j=
i
!!
j!
dt
1
0
τ
ττ
τ
(11.49).
Якщо
()
h0 0
=
, то коефіцієнт можна визначити за формулою b
m
()
bh
a
k
m
n
об
=⋅0 . (11.50)
У розглянутому алгоритмі розрахунку коефіцієнт
підсилення
і час запізнювання k
об
τ
о
задаються в числі
вихідних параметрів. Порядок апроксимації
n
≤
6.
Блок-схема програми розглянутого алгоритму наведена на
рис.11.14.
Вихідною інформацією для роботи алгоритму ідентифікації
служить масив значень кривої розгону
при незмінному
інтервалі квантування, що дорівнює
h
i
∆
t . Число точок
N
m= 1,..., , де - непарне число. Обчислення площ
здійсноється за формулою Сімпсона для підінтегральної функції,
заданої таблично.
m
Через складність одержуваної передатної функції виникає
необхідність її спрощення зі збереженням близькості
властивостей до властивостей реального об'єкта. Запропонуємо
легко реалізований метод зниження її порядку.
Для зниження порядку передатної функції вона подається у
вигляді
()
()
Wp
e
p
t
pb p b p b p
зm
зm
m
m
m-1
m-1
1
1
...
=
⋅+ ⋅ ++⋅+
−
1
, (11.51)
276
де -порядок наближення m
(
)
m = 0123,,, . Невідомі коефіцієнти
визначаються із системи tb b
зm
, ,...,
1 m
m
+
1 рівнянь.
()
()
abt
abbt
t
ab
bt bt
m
t
m
a
bt bt
m
t
m
зm
зm
зm
mm
m зm зm
m
зm
m
m
m зm зm
m
зm
m
11
121
2
11
1
1
1
1
2
11
11
=+
=+⋅ +
=+
⋅
++
⋅
−
+
=
⋅
++
⋅
+
+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
−
−
+
+
;
!
;
...................................
!
...
!!
;
!
...
!!
.
. (11.52)
Вилучаючи із системи всі коефіцієнти
, отримуємо
рівняння степені
m
b
j
+
1 відносно запізнювання tt
ззm
=
:
()
()
()
Ft
t
m
at
m
a
m з
з
m
з
m
m
m
+
+
+
+
=
+
−
⋅
++− =
1
1
1
1
1
1
10
!!
...
. (11.53)
Далі легко знаходяться всі інші коефіцієнти із системи в
наявному вигляді:
()
bat
ba
at t
ba
atat t
m
зm
зm зm
mm
m зmm зmmзm
m
11
22
1
2
12
2
12
12
1
=−
=−
⋅
+
=−
⋅
+
⋅
−+−
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
−−
;
!!
;
..................................
!!
...
!
.
(11.54)
Найбільший практичний інтерес являють наближення першого і
другого порядків.
277
aSk
iiоб
=
/
Вивід коефіціентів
Вивід коефіціентів
Введення даних
S
k
ht t
1
0
=−
∫
∞
[
(
)
]
об
d
Обчислення площ
τ
a
tS
=
/
1
Зміна масштабу часу
ntk h
N
t
об ai
,
,
,
,
(
)
∆∆τ
Початок
hh
'
(
)
00
1
==
in
=
2
,
...
,
bha
k
mnоб
=⋅
1
/
ai n
i
;
,
...
,
=
1
Si n
i
,
,
...
,
=
2
Кінець
Рис.11.14. Блок-схема алгоритму розрахунку за методом площ
278
Наближення першого порядку
(
m
)
=
1 потребує визначення
двох параметрів
і , що знаходяться з рівняння для
і першої рівності системи:
t
з1
b
1
()
Ft
m з+
=
1
0
ttaaa
bb a a
зm з
m
==− −
== −
11 1
2
2
11
2
2
2
2
;
.
(11.55)
Передатна функція моделі об'єкта в цьому випадку має
вигляд
()
()
Wp
e
t
p
pb p
з
з
1
1
1
1
=
+
−
. (11.56)
Наближення першого порядку реалізується при виконанні
нерівності
λλ
1
2
1
2
1
05=< =
a
a
кр
. .
Наближення другого порядку
()
m
=
2 реалізується за умови
λλ
1
3
1
3
2
05=< =
a
a
кр
. ,
де
λλ
21
1
3
кр
=−, якщо
λ
1
05> . ;
()
λλ λ
21 1
3
1
3
1
3
12
кр
=−+ − , якщо
λ
1
05
<
. .
Запізнювання
tt
зm з
=
2
апроксфзс
имуючої функції дорівнює найменшому дійсному кореню
кубічного рівняння
. Після
визначення запізнювання коефіцієнти
і знаходяться за
формулами
ba
tatata
зз з2
3
12
2
22 3
36 6−+−=0
b
1
b
2
t
з112
, ba . at t
зз2212 2
2
05=−⋅+.
=
−
Слід зазначити, що значення параметрів
t , отримані за
приведеним методом, відрізняються від значень цих же
параметрів, знайдених із рішення системи рівнянь (11.57).
зm
b
1
279
∂
∂
I
t
зm
2
0=
;
∂
∂
I
b
2
1
0=
;
...;
∂
∂
I
b
m
2
0= , (11.57)
mприблизно на 1-10% при
=
1 і значно менше при m
=
2 . Тут
- інтегральна квадратична оцінка.
() ()
[
Ihtht
зm2
2
0
=−
∞
∫
]
dt
Якщо об'єкт апроксимований нормованою дрібно-
раціональною функцією
()
(
)
()
Wp
bp bp
ap ap
Bp
Ap
об
n
n
n
n
n
n
=
++ +
++ +
=
''
''
'
'
...
...
1
1
1
1
, (11.58)
то її можна привести до виду нормованої передатної функції
об'єкта
()
Wp
ap a p ap
об
n
n
n-1
n-1
1
1
...
=
+++⋅⋅ ⋅
1
1
+
, (11.59)
шляхом поділу багаточлена
(
)
Ap
n
'
на
(
)
Bp
n
'
.
Після замін:
aab
aabba
aabbaba
aabb aba
n nnn n
111
22222
3332112
11 1 1
=−
=−−⋅
=−−⋅−⋅
=−− ⋅−⋅
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
−−
''
''''
''''''
''' '''
;
;
;
.......................
.
, (11.60)
передатна функція
()
()
()
Wp
Bp
Ap
об
n
n
=
'
'
приводиться до виду
нормованої передатної функції об'єкта:
()
2
21
2з
об
pbpb1
1
pt
epW
++
=
−
. (11.61)
280
11.3. Метод Z-форм для апроксимації перехідних
характеристик
Наявній перехідній характеристиці об'єкта можна поставити
у відповідність передатну функцію неперевної системи вигляду
()
(
)
()
Wp
yp
Up
k
pap a pa
qq
qq
==
+⋅ ++ ⋅+
−
−1
1
1
...
. (11.62)
Цю передатну функцію можна подати в дискретному вигляді
схемою змінних стану (рис. 11.15.).
Тут
- змінні стану; , -
відповідно коефіцієнти поліномів чисельника і знаменника
дискретної передатної функції;
XX X
q12
,,..., BB B
q01
,,..., AA A
q12
,,...,
T
- період дискретизації; - є
ідеальним запізненням.
z
−1
Для переходу від неперервних координат до дискретних (від
p
-області до - області) використані z
Z
-форми, що
відповідають методу Боксера-Талера, тобто
p
Tz
z
−
⇒
+
−
1
2
1
1
;
p
Tz z
z
−
⇒
++
−
2
22
2
12
10 1
1()
;
p
Tzz
z
−
⇒
+
−
3
3
3
2
1
1
()
()
.
Для схеми рис.11.15, при стрибкоподібному вхідному
сигналі
[
]
UnT U
=
можна записати рівняння, що зв'язують
вихідну змінну
y
для кожного значення n
=
123,,,... з
коефіцієнтами системи для будь-якого степеня
характеристичного полінома. Як показують дослідження, при
визначенні коефіцієнтів
за дискретними значеннями вихідної
змінної
усі коефіцієнти чисельника, крім , можна
прийняти рівними нулю.
q
A
i
y
n
B
q
281