Чорний О.П., Луговой А.В. и др. Моделювання електромеханічних систем
Подождите немного. Документ загружается.
Ω=
−
2
1
2
π
ξT
, (11.14)
де
T
- період коливань.
Приклад
Розглянемо таблично задану перехідну функцію
(
)
ht
коливального процесу. Графік функції показаний на рис.11.6.
()
ht
Таблиця 11.2.
Дані перехідної функції коливального процесу
t , c
()
ht
t , c
(
)
ht
t , c
(
)
ht
t , c
(
)
ht
t , c
(
)
ht
1 0.205 6 1.213 11 0.945 16 1.014 21 0.997
2 0.629 7 1.080 12 0.985 17 1.002 22 1.000
3 1.026 8 0.969 13 1.016 18 0.994 23 1.002
4 1.257 9 0.913 14 1.028 19 0.991 24 1.002
5 1.300 10 0.912 15 1.025 20 0.993 25 1.003
Знайдемо параметри передатної функції коливальної ланки
поданої у вигляді:
()
Wp
k
TTp T p
me m
=
++
2
1
.
Динамічні параметри ланки знайдемо на першому напівперіоді
коливань. Для цього проміжку: порядковий номер екстремуму
m
=
1,
відносна величина перерегулювання
()
()
(
)
()
∆= − = −
∞
=− =−1 1 1 1 305 0 305
2
ht
ht
ht
h
ст ст
...
Параметр
ξ
визначимо як
ξ
π
=−
+
=−
−
−
=
Ln
mLn
∆
∆
22 2
1 187
3 14 1 187
0 137
.
..
.
.
Період коливань
(
)
(
)
Ttt=⋅ − =⋅ − =22765295
31
..94..
Кутова частота коливань
262
Ω=
−
=
−
=
2
1
628
9 4 1 0 137
0 675
22
π
ξT
.
..
.
.
Сталі часу передатної функції
096.1
675.0
137.02
2
T
m
=
⋅
=
Ω
ξ
=
;
T
e
==
⋅⋅
=
1
2
1
2 0 137 0 675
2 004
ξΩ
..
.
.
Відтворену перехідну функцію
(
)
yt наведено на рис.11.6.
0 5 10 15 20 25
0
0.5
1
t, c
(
)
yt
t
3
t
2
t
1
(
)
ht
Рис.11.6. Заданий та відтворений коливальні процеси
11.1.3. Аперіодична перехідна характеристика другого
порядку
Передатна функція відповідає коливальній ланці, але при
коефіцієнті демпфування
ξ
> 1 корені характеристичного
рівняння будуть дійсними. Графік перехідної характеристики
поданий на рис.11.7.
Диференційне рівняння при різних дійсних коренях має
вигляд:
()
T
U
TU
1
2
1
σσ
d
dt
dU
dt
2
вих вих
вих вх
++ + =U. (11.15)
Перехідна характеристика може бути отримана у вигляді:
263
()
Ut
T
T
e
T
e
t
T
t
вих
=−
−
−
−
−
+1
1
11
σ
σ
σ
σ
. (11.16)
При практичному визначенні параметрів використовують
точку перегину кривої, що відповідає моменту зміни знаку
другої похідної в момент часу
t
T
T
п
1
ln
T
=
−
⋅
1
1
σσ
. (11.17)
0.72
0
(
)
Ut
вих n
U
вих
t
n
t
1
t
T
a
σ
T
1
+
σ
1
Рис.11.7. До визначення сталих часу перехідної
характеристики другого порядку
Практичне проведення дотичної в точці перегину досить
довільне, тому для підвищення точності для розрахунку
T
1
+
σ
запропоновано використовувати час, що відповідає точці
перетину кривої з горизонтальною прямою, відстань якої від осі
абсцис дорівнює 0.72 від усталеного значення вихідної величини
T
t
1
1
1 2564
+=σ
.
. (11.18)
При значенні
U
ви
х
для точки перегину
(
)
Ut
nвих
= 0264.
усталеного значення, величина коефіцієнту демпфування
ξ
=
1 ,
тобто корені рівняння дійсні і рівні:
T/1
1,2
p
=
.
Перехідні характеристики в цьому випадку описуються
рівнянням:
264
()
Ut
t
T
e
t
T
вых
=− −
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
11 , (11.19)
а значення сталої часу
Tt
=
п
, або
()
T
Ut
вих
=
0 368.
. (11.20)
11.1.4. Апроксимація ланцюжком однакових аперіодичних
ланок першого порядку
Апроксимація перехідної характеристики об'єкта
передатною функцією виду
()
()
Wp
k
Tp
n
=
+
1
(11.21)
дуже зручна й у багатьох випадках забезпечує високу точність.
Для визначення параметрів
і n
T
виконують наступні
обчислення. Функція
(
)
Wp може бути розкладена в ряд за
степенями
p
так:
(
)
Wp k Ap Ap() ...≈− + −1
12
2
, (11.22)
де
, AnT
1
=
(
)
A
nn
T
2
2
1
2
=
−
.
Використовуючи перехідну характеристику, обчислюють
площі
S
і - аналоги коефіцієнтів і : S
1
A
1
A
2
()
[
Sy yt
уст
=−
∞
∫
0
]
dt
dt
; (11.23)
()
[]
SSyytdt
уст
t
1
00
=− −
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
∫∫
∞
, (11.24)
де
- значення вихідної змінної в усталеному режимі. y
уст
На підставі останніх виразів можна записати
265
()
nT S
nn
TS
=
−
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
,
1
2
2
1
(11.25)
звідки
n
S
SS
=+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
int
1
2
2
2
2
1
; (11.26)
T
S
n
=
, (11.27)
де
int( - найближче число, що не перевищує . )a a
Обчислені значення
n
T
- вихідні для пошуку їхніх
оптимальних значень, тобто таких, коли досягався б мінімум
значення критерію
I
, тобто суми квадратів відхилень між
ординатами вихідних і апроксимуючих перехідних
характеристик у вузлах апроксимації:
()
I
L
yy
ii
i
L
=−→
=
∑
1
2
1
min , (11.28)
де
, y
i
y
i
- ординати вихідної й апроксимуючих кривих; -
число вузлів апроксимації.
L
Мінімум
I
знаходимо шляхом варіювання з кроком 1,
причому сканування за
спочатку здійснюється в бік його
збільшення. Якщо рух у цьому напрямку виявляється
ефективним,
n продовжують збільшувати до першого невдалого
кроку. Потім повертаються на один крок і приймають відповідні
йому значення
і
n
n
n
T
.
Апроксимуюча перехідна характеристика описується таким
виразом:
()
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
θ−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
θ
++
θ
+
θ
+θ+−=θ
−
e
)!1n(
n
...
!3!2
11ky
132
, (11.29)
де
. T/t=θ
Приклад
266
Задано перехідну функцію у вигляді таблиці значень
(табл.11.3):
Таблиця 11.3.
Дані перехідної функції
t
, с 0 1 2 3 4 5 6 7
()
yt
0 0,067 0,15 0,249 0,36 0,475 0,585 0,684
t
, с 8 9 10 11 12 13 14 15
()
yt
0,766 0,83 0,878 0,913 0,938 0,956 0,968 0,981
t
, с 16 17 18 19 20 21 22 23
()
yt
0,985 0,988 0,989 0,99 0,991 0,992 0,992 0,992
Отримаємо передатну функцію за допомогою методу
послідовного з’єднання аперіодичних ланок:
()
()
Wp
k
Tp
n
=
+ 1
.
Для спрощення розрахунків та обчислення інтегралів
апроксимуємо функцію
(
)
yt виразом:
()
yt
a
be
d
a
ct
=
+
⋅
−
−⋅
1
,
де коефіцієнти апроксимації:
a
=
1.1558 , b
=
14 4143. ,
c = 0 468
7
. , d
=
1.163 . Графік апроксимованої функції
(
)
yt
a
показаний на рис.11.8.
Для
n
=
1 стала часу визначається як
T
S
=
,
де
.
()
()
Sytdt
a
=− =
∫
1 5 787
0
23
,
Тоді передатна функція
()
Wp
p
1
1
5 787 1
=
+.
.
Перехідна функція має вигляд
.
()
ht e
t
1
0 1728
11=− ⋅ +
−⋅.
Графік перехідної функції
(
)
ht
1
показано на рис.11.8.
267
Для
n
=
1 стала часу визначається системою рівнянь
S
n
T
= ;
(
)
S
nn
T
1
2
1
2
=
−
,
звідки
n
S
SS
=+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
int
1
2
2
2
2
1
, T
S
n
=
.
Площа
визначається як S
1
.
()
()
S S y t dt dt
a
=−−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
⎫
⎬
⎪
⎭
⎪
=
∫∫
∞
1 6 289
0
23
0
.
Тоді
n
S
SS
=+
−
=+
−⋅
=05
2
05
5787
5 787 2 6 289
2 102
2
2
1
2
2
..
.
..
.
,
а
T
= 2 753.
.
Тоді передатна функція
()
()
Wp
p
2
2
1
2 753 1
=
+.
.
Перехідна функція має вигляд:
.
()
ht te e
tt
2
0 3632 0 3632
0 3632 1 1=− ⋅ ⋅ − ⋅ +
−⋅ −⋅
,
..
Графік перехідної функції
(
)
ht
2
показано на рис.11.8.
0
5
10
15
20
25
0.25
0.5
0.75
1
(
)
ht
2
(
)
ht
1
(
)
yt
a
Рис.11.8.Заданий та відтворені процеси
268
11.1.5. Метод інтервалів
Цей метод дозволяє визначити передатну функцію
()
1
1
2
21
pp
p
TTT
k
W
++
=
. (11.30)
ω
уст
-
ω
1
t
S
ω
уст
∆
t
ω
уст
-
ω
2
ω
уст
-
ω
3
Рис.11.9. До визначення сталої часу
T
1
Стала часу
визначається за
площею
T
1
S
,
обмеженою кривою
швидкості і лінією
усталеного режиму
ω
уст
:
T
S
S
уст
j
j
k
уст
1
1
==
=
∑
ωω
∆
.
Це співвідношення залишається справедливим і в тому
випадку, коли індуктивність якірного кола залежить від якірного
струму або струму збудження. Для визначення
вісь часу
розбивається на рівні інтервали довжиною
T
1
∆
t , для кожної
трійки сусідніх ординат
ω
ω
ω
12
,,
3
визначаються величини
ω
ω
ωω
уст
уст
−
−
3
1
та
ω
ω
ωω
уст
уст
−
−
2
1
. (11.32)
Точки з координатами (11.32) і (11.33) наносяться на площину
(рис.11.10.). Через кілька отриманих у такий спосіб точок
проводиться пряма, рівняння якої
ω
ω
ωω
ω
ω
ωω
уст
уст
уст
уст
bC
−
−
=
−
−
−
3
1
2
1
. (11.33)
269
З графіку визначається
величина
C
і
визначається T :
2
-0.5
0
0.5
1
1.5
С
0.5 1
ω
ω
ωω
уст
уст
−
−
2
1
ωω
ωω
уст
уст
−
−
3
1
Рис.11.10.
Для визначення сталої часу
T
2
T
t
C
2
=−
∆
ln
.
Приклад
Задано перехідну функцію
(
)
ht у вигляді таблиці значень (табл11.4).
Отримаємо передатну функцію за допомогою методу інтервалів
у вигляді:
()
Wp
k
TT p T p
=
++
12 1
1
.
Таблиця 11.4.
Дані перехідної характеристики
t
, с 0 1 2 3 4 5 6 7
()
yt
0 0,067 0,15 0,249 0,36 0,475 0,585 0,684
t
, с 8 9 10 11 12 13 14 15
()
yt
0,766 0,83 0,878 0,913 0,938 0,956 0,968 0,981
t
, с 16 17 18 19 20 21 22 23
()
yt
0,985 0,988 0,989 0,99 0,991 0,992 0,992 0,992
Для визначення сталих та вісь часу розбиваємо на рівні
проміжки довжиною
T
1
T
2
∆
t
=
1.
Сталу часу
визначимо за площею T
1
S
, обмеженою перехідною
функцією та лінією усталеного режиму.
270
()
()
()
()
T
S
ht
ht t
ht
уст
j
j
уст
1
1
23
1
5 802==
−
=
=
∑
∆
.
с.
Для визначення
для кожної трійки сусідніх ординат
вираховуємо:
T
2
()
(
)
() ()
htht
htht
уст i
уст i
−
−
+2
, та
(
)
(
)
() ()
htht
htht
уст i
уст i
−
−
+1
.
Для розрахунку візьмемо ординати, відповідних 1, 2, 3 та 11, 12, 13 с:
(
)
(
)
()()
y
ht ht
ht ht
уст i
уст i
1
2
25 3
25 1
1 0 249
1 0 067
0 805=
=− =
=−=
=
−
−
=
+
.
.
.
та
(
)
(
)
()()
x
ht ht
ht ht
уст i
уст i
1
2
25 2
25 1
1015
1 0 067
0911=
=
−
=
=− =
=
−
−
=
+
.
.
.
,
(
)
(
)
()()
y
ht ht
ht ht
уст i
уст i
2
2
25 13
25 11
1 0 956
10913
0 506=
=− =
=−=
=
−
−
=
+
.
.
.
та
(
)
(
)
()()
x
ht ht
ht ht
уст i
уст i
2
1
25 12
25 11
1 0 938
1 0 913
0 713=
=− =
=− =
=
−
−
=
+
.
.
.
.
За отриманими точками складаємо систему з двох рівнянь
ybxC
11
=
⋅
+
; ybx
22
C
=
⋅
+ ,
яку обчислюємо відносно
C
:
C
yx yx
xx
=
−
−
=
⋅
−
⋅
−
=
21 12
21
0 506 0 911 0 805 0 713
0713 0911
0569
.. ..
..
.
.
Тоді стала часу
T
2
()
T
t
Ln C
2
1
0564
1.773=− =−
−
=
∆
.
с.
Таким чином, передатна функція набуває вигляду:
()
Wp
pp
=
⋅+
1
5 802 1773 5 802 1.. .+
.
271