Чорний О.П., Луговой А.В. и др. Моделювання електромеханічних систем
Подождите немного. Документ загружается.
лівій частині кожного рівняння міститься 4 похідних від
невідомих функцій.
Вирішення такої системи можливо при використанні
наступного алгоритму:
1. використовуючи інформацію про початкові значення струмів,
швидкості і кута повороту знаходять поточні значення
взаємних індуктивностей між обмотками статора і ротора;
2. обчислюють праві частини рівнянь електричної рівноваги
всіх фаз;
3. систему з 6 рівнянь розглядають
як систему лінійних
алгебраїчних рівнянь відносно похідних струмів.
Застосовуючи чисельні методи вирішення систем лінійних
рівнянь (Крамера, Гаусса, обернення та ін.) знаходять похідні
струмів;
4. чисельно інтегрують систему диференційних рівнянь і
знаходять невідомі.
Дуже складно розв’язувати систему диференційних рівнянь
і відносно потокозчеплень, оскільки струми в основному
залежать від потокозчеплень всіх обмоток.
Тут можна,
задаючись початковими значеннями потокозчеплень, визначити
струми із системи рівнянь для потокозчеплень, вирішуючи її як
систему лінійних рівнянь,.
У такий спосіб систему диференційних рівнянь АД у фазній
системі координат можна використовувати для розрахунку
перехідних процесів. Основний недолік - громіздкість, велика
кількість нелінійних елементів, необхідність вирішувати
проміжну систему лінійних рівнянь.
5.5. Метод зображуючих векторів
Розглянемо трифазну систему координатних осей, нерухому
в просторі (рис.5.6). З центру системи координат проведемо
вектор, причому довжину вектора виберемо рівною амплітуді
фазного струму.
125
При обертанні вектора I
s
з кутовою швидкістю
ω
проекції
цього вектора на координатні осі будуть дорівнювати:
C
B
A
i
c
i
b
i
a
ω
I
s
Рис.5.6. Система
координатних осей з
зображуючим вектором
()
iI t
iI t
iI t
Am
Bm
Cm
=+
=+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
1
1
1
2
3
2
3
cos ;
cos ;
cos .
ωα
ωα
π
ωα
π
(5.43)
де
- амплітуда фазного струму; I
m1
α
-
фазовий кут.
У такий спосіб за допомогою одного обертового вектора
можна утворити симетричні синусоїдальні струми фаз.
Цей вектор називають
зображуючим. Його можна подати у
вигляді
(
)
G
IIe
s
m
jt
=
+
1
ωα
. (5.44)
Зображуючий вектор
G
I
s
зв'язаний із значеннями фазних
струмів виразом:
(
)
G
Iiaiai
sAB
=++
2
3
2
C
, (5.45)
де
ae
j
=
2
3
π
.
Аналогічний вигляд будуть мати зображаючі вектори для
напруг та потокозчеплень статора і ротора.
У системі рівнянь електричної рівноваги для статора (5.29)
помножимо рівняння фази “В” на
, а фази “С” на , складемо
й отримаємо одне рівняння для зображуючого вектора напруги:
a a
2
G
G
G
UIR
d
dt
sss
s
=+
ψ
. (5.46)
Аналогічно для ротора:
126
G
G
G
UIR
d
dt
rrr
r
=+
ψ
. (5.47)
Електромагнітний момент АД:
[
]
MI I
mss
=
3
2
⋅
G
G
ψ
*
, (5.48)
де
G
ψ
s
*
- спряжений комплекс потокозчеплення статора; -
операція знаходження уявної частини.
I
m
Вектори струмів і потокозчеплень зв'язані між собою
лінійними співвідношеннями:
G
G
G
ψ
s
s
s
m
r
LI L I=+ (5.49)
G
G
G
ψ
r
r
r
m
s
LI L I=+ (5.50)
Таким чином, модель АД у зображуючих векторах, має
вигляд:
[]
G
G
G
G
G
G
G
G
UIR
d
dt
UIR
d
dt
J
d
dt
IIM
sss
s
rrr
r
mss c
=+
=+
=⋅−
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
ψ
ψ
ω
ψ
;
;
.
*
3
2
(5.51)
Цією системою рівнянь можна користуватися тільки для аналізу
симетричних режимів.
5.6. Рівняння АД в ортогональній системі координат
З розглянутих раніше моделей АД видно, що рівняння в
трифазній системі координат є громіздкими і погано піддаються
вирішенню. Для спрощення системи диференційних рівнянь АД
доцільно використовувати метод лінійної заміни змінних.
Лінійне перетворення змінних полягає в тому, що вихідні
змінні в рівняннях замінюють на нові, що лінійно зв'язані з
127
вихідними. Так, замість статорних струмів i
A
, i
B
, i
С
вводять
нові струми
i
x
, i , i , зумовлені такими залежностями:
y 0
iiii
iiii
iiii
xAB
yAB
AB
=++
=++
=++
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
11 12 13
21 22 23
031 32 33
;
;
.
C
C
C
(5.52)
Лінійне перетворення повинне бути однозначним, тому що
в будь-який момент часу повинна виконуватися нерівність:
ϕϕϕ
ϕϕϕ
ϕϕϕ
11 12 11
21 22 23
31 32 33
0≠ , або . (5.53)
()
det ϕ≠0
Виберемо струм
у вигляді i
0
(
iiii
ABC0
1
3
=++
)
. Зручність
такого вибору полягає в тому, що часто
i
0
0
=
(для схеми “зірки
з ізольованою нейтральною точкою”).
Розглянемо, як виражаються струми
i
x
і через фазні
струми. Виразимо
i
y
i
x
і як проекції зображуючого вектора.
Для зображення двох струмів необхідно вибрати дві осі і
прийняти ці осі
ортогональними (рис.5.7).
i
y
Кут між “А” і
I
s
складає
, між “А” і δ
x
-
δ
k
. У
загальному випадку
координатна система
x
y
обертається в просторі з
постійною швидкістю
ω
k
.
Проекції зображуючого
вектора на осі “A”, “B”, “C”:
δ
δ
k
i
y
i
x
x
y
I
s
B
A
C
Рис.5.7. До виводу формул
перетворення координат
128
iI
iI
iI
As
Bs
Bs
=
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
cos ;
cos ;
cos .
δ
δ
π
δ
π
2
3
2
3
(5.54)
В ортогональній системі
x
y :
(
)
()
iI
iI
xs k
ys k
=−
=−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
cos ;
sin .
δδ
δδ
(5.55)
Використовуючи тригонометричні тотожності, остаточно
одержимо систему рівнянь:
ii i i
ii i i
xAkBk Ck
yAkBk Ck
=+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
3
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
cos cos cos ;
sin sin sin .
δδ
π
δ
π
δδ
π
δ
π
(5.56)
Оскільки у загальному випадку система координат
x
y
обертається в просторі зі швидкістю
ω
k
,то
δ
ω
k
k
t
=
та струми
еквівалентних контурів статора і ротора зв'язані з фазними
наступними співвідношеннями:
ii ti t i t
ii ti t i t
xs A k B k C k
ys A k B k C k
=+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟+ +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
3
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
cos cos cos ;
sin sin sin .
ωω
π
ω
π
ωω
π
ω
π
(5.57)
129
()
()
ii ti t i t
ii ti t i t
xr A k B k C k
yr A k B k C k
=−+−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
=−+−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
3
2
2
3
2
3
3
2
2
3
2
3
cos cos cos ;
sin sin sin .
ωγ ωγ
π
ωγ
π
ωγ ωγ
π
ωγ
π
(5.58)
Формули зворотних перетворень:
для статора -
ii ti t
ii t i t
ii t i t
Axs k ys k
Bxs k ys k
Bxs k ys k
=−
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
cos sin ;
cos sin ;
cos sin .
ωω
ω
π
ω
π
ω
π
ω
π
2
3
2
3
2
3
2
3
(5.59)
для ротора -
() ()
ii t i t
ii t i t
ii t i t
axr k yr k
bxr k yr k
cxr k yr k
=−−−
=−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟− − +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
cos sin ;
cos sin ;
cos sin .
ωγ ωγ
ωγ
π
ωγ
π
ωγ
π
ωγ
π
2
3
2
3
2
3
2
3
(5.60)
Якщо реальні фазні напруги визначаються
співвідношеннями
()
UU t
UU t
UU t
Am
Bm
Cm
=+
=+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
cos ;
cos ;
cos ,
ωϕ
ωϕ
π
ωϕ
π
00
00
00
2
3
2
3
(5.61)
130
то напруги в перетвореній системі:
(
)
[
]
()
[]
UU t
UU t
xs m k
ys m k
=−+
=−+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
cos ;
sin .
ωω ϕ
ωω ϕ
00
00
(5.62)
Тепер рівняння АД будуть мати вигляд:
()
()
[]
d
dt
iR U
d
dt
iR U
d
dt
iR
d
dt
iR
Mii
xs
kys xss xs
ys
kxs yss ys
xr
k r yr xr r
yr
krxryrr
ys xs xs ys
ψ
ωψ
ψ
ωψ
ψ
ωωψ
ψ
ωωψ
ψψ
−+=
++=
+− + =
−− + =
=⋅−⋅
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
;
;
;
;
.
0
0
3
2
(5.63)
Потокозчепления еквівалентних контурів:
ψ
ψ
ψ
ψ
xs s xs m xr
ys s ys m yr
xr r xr m xs
yr s yr m ys
Li L i
Li L i
Li L i
Li L i
=
+
=+
=+
=+
;
;
;
;
(5.64)
У теорії моделювання електромагнітних і
електромеханічних процесів в електричних машинах
розглядають 3 основні координатні системи, що є окремими
випадками розглянутої ортогональної системи.
1. Координатна система, нерухома відносно ротора -
“
”. dq,,0
Ця система найчастіше застосовується для аналізу
синхронних і асинхронних машин при несиметрії ротора.
Зручність цієї системи полягає в тому, що електрична машина, у
магнітному відношенні, є симетричною незалежно від кутового
положення ротора.
131
Система “dq ” є єдиною, що приводить диференційні
рівняння синхронної машини до системи рівнянь з постійними
коефіцієнтами.
,,0
Оскільки
ω
ω
r
k
=
, то перетворені напруги
(
)
[
]
()
[]
UU t
UU t
dm r
qm r
=−+
=−+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
cos ;
sin .
ωω ϕ
ωω ϕ
00
00
(5.65)
є несинусоїдальними функціями часу.
2. Координатна система нерухома відносно статора АД -
“
”, у ній αβ,,0
ω
k
=
0 . Ця система координат знаходить
застосування при моделюванні АД в симетричних режимах
роботи. Вісь
α
збігається з віссю “А”.
Перетворені напруги
(
)
()
UUU t
UU t
Am
m
α
β
ωϕ
ωϕ
== +
=+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
cos ;
sin .
00
00
(5.66)
Для такого напрямку
α
усі перетворені змінні на цій осі
збігаються з реальними фазними змінними.
3. Координатна система нерухома відносно поля статора -
“
u
v
,,0”, у ній
ω
ω
0
=
k
. Система знаходить застосування при
дослідженні частотно керованих електроприводів і груп
електричних машин, що працюють від загальної мережі.
Перетворені напруги
(
)
()
UU
UU
um
vm
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
cos ;
sin ,
ϕ
ϕ
0
0
(5.67)
є постійними величинами.
5.7. Система відносних одиниць АД
132
При моделюванні АД використовують такі базисні
величини:
1.
- амплітудне значення номінального фазного струму; I
б
2.
- амплітудне значення номінальної фазної напруги; U
б
3.
- синхронна кутова швидкість; ωπ
б
f==
−
2 314
1
c
4.
ψ
ω
б
б
б
U
=
- базисне потокозчеплення;
5.
Z
U
I
б
б
б
= - базисний опір;
6.
PUIU
бббн
==
3
2
3 I
н
- базисна потужність;
7.
M
P
p
б
б
б
=
⋅ω
- базисний момент,
p
- число пар полюсів;
8.
L
Z
б
б
б
=
ω
- базисна індуктивність;
9.
t
б
б
=
1
ω
- базисний час.
5.8. Математична модель АД в осях “
α
β
,,0”
Рівняння АД в ортогональній системі координат можуть
бути записані відносно струмів або потокозчеплень.
Найбільш часто система диференційних рівнянь АД в
системі “
α
β
,,0” записується відносно потокозчеплень. Така
система має вигляд (5.68).
133
(
)
()
()
()
()
d
dt
UAR L L
d
dt
UAR L L
d
dt
AR L L
d
dt
AR L L
MpLA
d
dt J
pM M
s
sssrr
s
sssrr
r
rrs s r
r
rrs s r
rr sr
c
ψ
ψψ
ψ
ψψ
ψ
ψψ ψ
ψ
ψψ ψ
ψψ ψψ
ω
α
αααµ
β
βββµ
α
ααµβ
β
ββµα
µαβ βα
=−
′
−
=− −
′
−
=−
′
−+
=−
′
−+
=−
=−
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎪
;
;
;
;
;
.
3
2
1
⎪
⎪
⎪
ω
ω
; (5.68)
де
A
LL L
sr
=
−
1
2
µ
., R
s
, R
r
- активний опір фази відповідно
статора і ротора;
L
s
, L
r
- повна індуктивність обмоток
відповідно статора і ротора;
- взаємна індуктивність між
обмотками статора і ротора.
L
µ
Значення струмів зв'язані з потокозчепленнями такими
рівняннями:
(
)
iAR L
sssααµ
ψψ=−;
rα
(5.69)
(
)
iAR L
sssββµ
ψψ=−;
rβ
(5.70)
(
)
iAL L
ssrααµ
ψψ=−;
sα
(5.71)
(
)
iAL L
rsrββµ
ψψ=−.
sβ
(5.72)
Приклад 5.1.
Розглянемо прямий пуск асинхронного двигуна 4А100/4SY5 при
номінальній частоті та амплітуді напруги живлення в режимі
холостого ходу. Паспортні дані двигуна наведені в таблиці 5.1.
134