Чорний О.П., Луговой А.В. и др. Моделювання електромеханічних систем
Подождите немного. Документ загружается.
оскільки похибка із попередньою формулою не перевищує 5%.
У каталогах, звичайно, доводяться кратності пускового
моменту -
λ
n
n
н
M
M
=
, і пускового струму - k
I
I
I
I
i
n
н
кз
н
==
1.
. За
цими і зазначеними вище
даними можна визначити
відсутні параметри Г-
подібної схеми заміщення
(рис.5.1).
Рис.5.1. Г-подібна схема заміщення
АД
I
1
µ
′
R
s
2
′
x
2
x
1
R
1
U
1
x
µ
I
За кратністю
пускового струму
знаходимо повний опір
двигуна для нерухомого
ротора
(
)
s
=
1 :
Z
U
kI
k
н
i н
1
1
1
3
=
⋅⋅
.
.
. (5.5)
За кратністю пускового моменту
λ
n
визначимо приведений
активний опір ротора при
s
=
1 :
()
()()
(
)
()
′
=
+
−
′
≈
+
−
R
PP
sI
PP
skI
нмехn
н k
нмехn
н i н
2
2
2
2
1
2
31
31
λλ
.
. (5.6).
Якщо невідомий активний опір статора, то з достатньою
ступінню точності можна прийняти:
(
)
()
′
=
−
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
R
Us
cP P
c
s
нн
нмехп
k
2
1
2
1
1
1
21
.
λ
, (5.7)
де
c
1
102 106=
÷
.. - коефіцієнт насичення магнітного кола.
При номінальній напрузі статора 220-380 В отримане
значення опору слід збільшити в 1.3-1.8.
Індуктивний опір статора і ротора при
s
=
1 без урахування
намагнічуючого струму не завжди дає позитивний результат,
115
тому краще скористатися виразом для критичного ковзання і з
нього одержати значення x
k
:
s
R
Rx
k
k
=
′
+
2
1
22
. (5.8)
Індуктивний опір контуру намагнічування
x
U
I
н
н
µ
µ
=
⋅
1
3
.
.
. (5.9)
За табличними даними можна визначити номінальні втрати
двигуна, знаючи К.К.Д.. для номінального навантаження і опори
обмоток.
Додаткові втрати в статорі:
∆P
д
= 0 005. P
н
P
н
P
. (5.10)B
Втрати в обмотці статора і додаткові втрати:
∆∆ ∆PP PIR
нмндн11 1
2
1
3 0 005
.. .
.=+=⋅+ . (5.11)
Механічні втрати:
∆P
мех н
=
001. . (5.12)
Втрати в роторі:
(
)
∆
∆∆
∆
P
PPs
s
Ps
s
н
нмехн
н
нн
н
2
1
101
1
.
.
=
+
−
=
−
. (5.13)
Сумарні втрати двигуна:
Σ∆PP
нн
н
н
=
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
1 η
η
. (5.14)
Втрати в сталі статора:
(
)
∆Σ∆∆∆∆PPPPP
c нн нмех11..
=− + +
н2.
(5.15)
5.2. Механічна характеристика асинхронного двигуна і її
апроксимація видозміненою формулою Клосса
Відомо, що вирази, які застосовуються для розрахунку
механічної характеристики
()
ω
=
fM, дають похибку в області
116
високих ковзань, оскільки не враховують ряд особливостей
двигуна: насичення; витіснення струму і т.п.
Існуюча методика дозволяє точно побудувати механічну
характеристику АД, використовуючи формулу Клосcа:
M
M
R
cR
s
s
s
s
s
R
cR
s
kk
k
k
k
=
+
′
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
′
22
2
1
12
1
12
. (5.16)
Для врахування особливостей двигуна, щоб одержати точну
механічну характеристику, необхідно у вираз (5.16) підставити
значення
M
k
і s
k
, що відповідають активному й індуктивному
опорам для даного ковзання, тобто
(
)
Mfs
k
=
і
(
)
sfs
k
=
. Для
цього вводяться змінні коефіцієнти:
()
(
)
abc f s,, = .
Тепер формулу Клоcса можна записати:
M
aM b
cR
cR
s
s
bs
bs
s
b
cR
cR
s
kk
k
k
k
=
+
′
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
′
22
2
1
12
1
12
, (5.17)
а замість коефіцієнтів
(
)
abc,, ввести один
(
)
ξ
m
fs
=
:
(
)
M
M
s
s
s
s
km
k
k
m
=
+
++
2 ξ
ξ
. (5.18)
Цей вираз повинен забезпечувати значення моменту в 4-х
гарантованих точках:
M
= 0 , для s
=
0 ;
MM
k
= , для ss
k
=
;
MM
н
= , для ss
н
=
;
MM
n
= , для s
=
1 .
117
s
k
0
1
s
н
s
M
M
n
M
k
M
н
s
min
M
min
Рис.5.2. Механічна характеристика АД
Для цих режимів
визначаються значення
коефіцієнтів
ξ
m
:
ξ
mn..
-
B
Bдля пускового і
ξ
m н.
- для номінального
режимів:
ξ
mn
n
k
k
n
nk
kn
s
s
s
s
MM
MM
..
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
−
2
; (5.19)
ξ
m н
н
k
k
н
н k
k н
s
s
s
s
MM
MM
..
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
−
2
(5.20)
За отриманими даними виводиться апроксимуючий
коефіцієнт
(
)
ξ
m
fs
=
:
()
()
ξξ
ξ
ξ
γ
γ
mmn
m н mn
н
s
s=+
−
−
−
.
..
1
1
. (5.21)
Показник степені
γ
- впливає на увігнутість механічної
характеристики, при
γ
=
1 залежність
(
)
ξ
m
fs
=
- лінійна. Для
одержання більшої точності увігнутості можна прийняти:
γ
< 1 для
ξ
ξ
mmn
<
.
, наприклад:
γ
=
05. ;
γ
> 1 для
ξ
ξ
m н mn.
>
.
, наприклад:
γ
=
15. .
Це дозволяє будувати механічну характеристику, якщо
відома п'ята точка - точка мінімального моменту (рис.5.2., -
тонка лінія).
Звичайно
(
)
MM
нmin
..
=
÷
08 09 ,
(
)
s
min
..
=
÷
08 09 .
118
За формулою обчислюють
ξ
m.min
:
ξ
m
k
k
k
k
s
s
s
s
MM
MM
.min.
min
min
min
min
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟−
−
2
(5.22)
і
γ
:
(
)
(
)
[]
()()
[]
γ
ξξξξ
=
−−
−−
lg /
lg /
.min . . .
min
mmн m н mn
н
ss11
, (5.23)
а потім підставляють у вираз для розрахунку
ξ
m
за умови:
ξ
ξ
ξ
m н mm..min
>>
n.
або
ξ
ξ
ξ
m н mm..min
<
n.
<
.
В інших випадках
()
()
ξξ
ξ
ξ
γ
γ
mm
mmн
н
ss
ss
=−
−
−
−
.min
.min .
min
min
для 0
<
<
ss
min
(5.24)
або
()
()
ξξ
ξ
ξ
γ
γ
mm
mmn
н
s
ss
=−
−
−
−
.min
.min .
min
1
для ss
nmin
s
<
<
, (5.25)
приймаючи
γ
=
÷
115. .
5.3. Лінеаризована модель асинхронного двигуна
Розглянемо модель АД, припускаючи, що робота
відбувається на лінійній ділянці характеристики.
Рівняння механічної характеристики на лінійній ділянці
(мал.5.2.):
M
M
s
s
k
k
= , (5.26)
звідки
()(
M
M
s
M
s
k
k
k
k
=
)
−
=−=−
ω
ω
ωω
ωωβωω
0
00
00
. (5.27)
119
Для обліку часу протікання електромагнітних процесів
введемо електромагнітну сталу часу:
T
s
x
R
L
R
k
k
==
′
=
′
1
002
ωω
k
2
. (5.28)
Структурна схема АД в межах лінійної частини
характеристики буде мати вигляд (мал.5.3):
ƒ
(-)
(-)
ω
ω
0
1
Jp
M
M
c
Т
p
+1
β
p
n
2
π
Рис.5.3. Структурна схема АД в межах лінійної частини
характеристики.
З рис.5.3. видно, що структурна схема АД в цьому випадку
збігається з аналогічною схемою для ДПТ (рис.4.3) незалежного
збудження. Збігаються і їхні динамічні властивості.
Дана структурна схема може бути використана для аналізу
процесів при частотному регулюванні, при регулюванні напруги
на статорі та
ін. Однак, при цьому необхідно враховувати зміну
параметра
β
.
Варто пам'ятати, що модель є прийнятною лише при таких
змінах керуючих впливів, коли ми не виходимо за межі лінійної
частини характеристик (рис.5.4.). Перехід
ab
−
можливий,
перехід ні. cd−
M
c
M
d
c
b
a
s
Рис.5.4. До визначення діапазону придатності моделі АД.
120
У даній моделі не можна розрахувати прямий пуск АД на
повні
U
і Але можна розрахувати пуск при лінійній зміні f
U
і
. Можна розраховувати перехідні процеси зміни
навантаження, заздалегідь оцінивши межі зміни моменту.
f
5.4. Моделювання асинхронного двигуна в 3-фазній
системі координат
Для розв’язання задач, що виходять за рамки лінеаризованої
моделі, необхідно моделювати АД за повною системою рівнянь.
При складанні рівнянь використовуються такі припущення,
пов'язані з поняттям
ідеалізована машина:
− сталь машини ненасичена;
− фазні обмотки симетричні і зсунуті в просторі на 120
P
0
P
;
− МРС обмоток і магнітних полів розподілені синусоїдально
вздовж кола повітряного зазору;
− ротор електрично і магнітно симетричний;
− реально розподілені обмотки АД замінюються
зосередженими, а МРС прийнята рівною МРС реальної
обмотки.
Для опису перехідних процесів у АД необхідно скласти рівняння
електричної рівноваги для всіх контурів, і рівняння руху ротора.
АД подають
як систему магнітозв’язаних обмоток,
розташованих на статорі і роторі (рис.5.5.).
Система рівнянь електричної рівноваги контурів для статора
і ротора матиме вигдял (5.29)-(5.30).
UiR
d
dt
UiR
d
dt
UiR
d
dt
AAs
A
BBs
B
CCs
C
=+
=+
=+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
ψ
ψ
ψ
;
;
.
(5.29)
121
0
0
0
=+
=+
=+
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
iR
d
dt
iR
d
dt
iR
d
dt
ar
a
br
b
cr
c
ψ
ψ
ψ
;
;
,
(5.30)
де
ψ
ψ
ψ
A
B
C
,, -
потокозчепления фаз
статора;
ψ
ψ
ψ
ab
,,
c
-
потокозчепления фаз ротора;
RR
s
r
, - активні опори фаз
статора і ротора.
Потокозчеплення будь-
якої фази АД визначається
величиною власної
індуктивності обмотки і взаємної індуктивності з усіма іншими
обмотками.
ω
r
γ
b
a
B
U
C
U
B
U
A
A
C
c
Рис.5.5. Схема обмоток статора і
ротора
Наприклад, для фази “А”
ψ
A
A
A
A
B
B
AC
C
A
aa
A
bb
A
cc
Li M i M i M i M i M i=
+
+
+
+
+
,(5.31)
де
L
A
- індуктивність фази; - взаємоіндуктивність між
обмотками
M
xy
x
і
y
.
Виходячи з прийнятих припущень про симетричність
електричної машини взаємні індуктивності між обмотками
статора і ротора:
MMMM
A
B
AC
BC
s
=
=
=
; (5.32)
MMMM
ab ac bc
r
=
=
=
. (5.33)
Найбільш складними моментами при моделюванні є те, що
взаємне просторове розташування обмоток ротора і статора
змінюється, внаслідок чого змінюється і величина взаємної
індуктивності між цими обмотками.
Максимальне значення взаємної індуктивності відповідає
збігу осей двох фаз. При перпендикулярному розташуванні осей
M
вона дорівнює нулю. Тому взаємна індуктивність між
122
обмотками статора і ротора буде змінюватися за гармонійним
законом.
Для фази “А”
MM
A
a
= cos
γ
, (5.34)
де
M
- максимальна величина взаємної індуктивності;
γ
- кут
повороту ротора.
Фаза “В” випереджає “А” на 120
P
0
P
MM
Ab
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos γ
π
2
3
, (5.35)
тоді аналогічно для фази “С”
MM
Ac
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos γ
π
2
3
. (5.36)
Аналогічно для фаз “В” і “С”
MM
MM
MM
Ba
Bb
Bc
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
cos ,
cos ,
cos ;
γ
π
γ
γ
π
2
3
2
3
(5.37)
MM
MM
MM
Ca
Cb
Cc
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
cos ,
cos ,
cos .
γ
π
γ
π
γ
2
3
2
3
(5.38)
Тепер рівняння потокозчеплення фази в розгорнутому
вигляді:
()(
.3/2cosMi3/2cosMi
cosMiiMiMiL
cb
aCsBsAAA
πγπγ
)
γ
ψ
−+++
+
+
+
+
=
(5.39)
З урахуванням
iii
A
B
C
+
+
=
0 , то −
=
+
iii
A
B
C
:
123
()
ψγγ
π
γ
π
AssA a b c
LMi Mi Mi Mi=− + + +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos cos cos .
2
3
2
3
(5.40)
Тепер рівняння електричної рівноваги:
()
d
dt
LM
di
dt
M
di
dt
Mi
M
di
dt
Mi
M
di
dt
Mi
A
ss
Aa
a
b
b
c
c
ψ
γω γ
γ
π
ωγ
π
γ
π
ωγ
π
=− + −
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
cos sin
cos sin
cos sin .
2
3
2
3
2
3
2
3
+
(5.41)
Звідки
()
.
3
2
cos
dt
di
M
3
2
cos
dt
di
Mcos
dt
di
M
dt
di
ML
3
2
siniM
3
2
siniMsiniMRiU
c
ba
A
ss
cbasA
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−γ+
+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+γ+γ+−=
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
−γω+
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
π
+γω+γω+−
(5.42)
Аналогічно складаються ще 2 рівняння для фаз “В” і “С”
статора і усіх фаз ротора.
При цьому в системі рівнянь АД будуть відсутні
потокозчеплення, а як невідомі функції використовуються
струми. Тому ця система називається системою рівнянь відносно
струмів.
Недоліки системи рівнянь відносно струмів:
− система диференційних рівнянь нелінійна, оскільки містить
обчислення
функцій від шуканих функцій (sin і кута
повороту
cos
γ
);
− система диференційних рівнянь не може бути подана в
канонічній формі, вирішенії відносно похідних, оскільки в
124