Чикуров Н.Г. Алгоритмическое и программное обеспечение компьютерных систем управления
Подождите немного. Документ загружается.
60
Рис. 2.26. Структурная схема сплайнового интерполятора
Рассмотрим подробнее эту схему, состоящую из интеграторов
Стилтьеса и Римана [12]. Первый элемент схемы – интегратор
Римана, так как на его верхний вход подается приращение по длине
дуги ds, а это независимая переменная (рис.2.27).
j
6
×
a
x
W
x
V
x
dW
x
dV
x
dx
6
×
a
y
W
y
V
y
dW
y
dV
y
dy
6
×
a
z
W
z
V
z
dW
z
dV
z
dz
V
x
V
y
V
z
dS
du
du du du
du
du du
du du
du
d
j
dV
z
dV
z
dV
y
dV
y
dV
x
dV
x
dP
dP
y
dP
x
Q
d
j
dP
R
dQ
dφ
φ (-6)
dR
dφ
dφ
61
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
.
du ds
j
=
Разложение в ряд функции
()
u us
=
имеет вид
23
0123
()usuususus
= +D+D+D+
K
.
Коэффициенты этого ряда вычисляются по рекуррентной формуле.
1
1
ii
u
i
-
=j
.
Второй элемент схемы представлен на рис.2.28
Интегратор (рис. 2.28) и все остальные интеграторы являются
интеграторами Стилтьеса, так как на верхние входы этих
интеграторов подаются сигналы, зависящие от s. Рассматриваемый
интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
6.
xx
dW a du
=
Разложение в ряд функции
()
W Ws
=
будет
23
0123
()
xxxxx
WsW WsWsWs
= + D+ D+ D+
K
j
ds
du
d
j
Рис. 2.27. Интегратор Римана. Первый элемент схемы
6
×
a
x
du
dW
x
Рис. 2.28. Интегратор Стилтьеса. Второй элемент схемы
62
Коэффициенты этого ряда и коэффициенты аналогичных рядов
для координат
Y
и
Z
рассчитываются по формулам
6,
6,
6.
xi xi
yi yi
zi zi
W au
W au
W au
=
=
=
Рассмотрим следующий интегратор (рис.2.29).
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
.
xx
dV W du
=
Разложение функции
()
xx
V Vs
=
в ряд имеет вид
23
0123
()
xxxxx
VsV VsVsVs
= + D+ D+ D+
K
Коэффициенты этого ряда и коэффициенты аналогичных рядов
для координат
Y
и
Z
рассчитываются по формулам
1
0
1
0
1
0
1
(),
1
(),
1
().
i
xi xjij
j
i
yi yj i j
j
i
zi zj i j
j
V i jWu
i
V i jWu
i
V i jWu
i
-
-
=
-
-
=
-
-
=
=-
=-
=-
å
å
å
Следующий интегратор Стилтьеса представлен на рис.2.30
W
x
du
dV
x
dW
x
Рис. 2.29. Интегратор Стилтьеса. Третий элемент схемы
63
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
.
x
dX V du
=
Разложение функции
()
x xs
=
в ряд
23
0123
()xs x xsxs xs
= +D+D+D+
K
Коэффициенты этого ряда и коэффициенты аналогичных рядов
для координат
Y
и
Z
рассчитываются по формулам
1
0
1
0
1
0
1
(),
1
(),
1
().
i
i xj ij
j
i
i yj ij
j
i
i zj ij
j
x i jVu
i
y i jVu
i
z i jVu
i
-
-
=
-
-
=
-
-
=
=-
=-
=-
å
å
å
Остальные блоки отвечают за согласование по скорости подачи.
Следующий интегратор представлен на рис. 2.31
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
.
x xx
dP V dV
=
V
x
du
dx
dV
x
Рис. 2.30 Интегратор Стилтьеса. Четвертый элемент схемы
V
x
dV
x
dP
x
dV
x
Рис. 2.31 Интегратор Стилтьеса. Пятый элемент схемы
64
Разложение функции
()
xx
P Ps
=
в ряд
23
0123
()
xxxxx
PsPPsPsPs
= + D+ D+ D+
K
Коэффициенты этого ряда и коэффициенты аналогичных рядов
для координат
Y
и
Z
рассчитываются по формулам
1
()
0
1
()
0
1
()
0
1
(),
1
(),
1
().
i
xi xj x i j
j
i
yi yj y i j
j
i
zi zj z i j
j
P i jVV
i
P i jVV
i
P i jVV
i
-
-
=
-
-
=
-
-
=
=-
=-
=-
å
å
å
Следующем элементом схемы является сумматор (рис. 2.32).
Этот блок представлен в системе (2.32) уравнением
.
xyz
dP dP dP dP
=++
Разложение функции
()
P Ps
=
в ряд
23
0123
()PsPPsPsPs
= +D+D+D+
K
Коэффициенты этого ряда рассчитываются по формуле
.
i xi yi zi
PPPP
=++
dP
z
dP
y
dP
x
dP
Рис. 2.32. Сумматор
65
Рассмотрим следующий интегратор рис. 2.33.
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
.
d QdP
j
=
Разложение функции
()
s
jj
=
в ряд
23
0123
()s sss
jjjj j
= +D+ D+D+
K
Коэффициенты этого ряда рассчитываются по формуле
1
0
1
().
i
i j ij
j
i jQP
i
j
-
-
=
=-
å
Седьмой элемент схемы представлен на рис. 2.34.
Рис. 2.34. Интегратор Стилтьеса. Седьмой элемент схемы
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
.
dQ Rd
=j
Разложение функции
()
Q Qs
=
в ряд
23
0123
()QsQQsQsQs
= +D+ D+ D+
K
Q
dP
d
j
P
dQ
Рис. 2.33 Интегратор Стилтьеса. Шестой элемент схемы
dR
R
d
j
dQ
66
Коэффициенты этого ряда рассчитываются по формуле
1
0
1
().
i
i j ij
j
Q i jR
i
-
-
=
= -j
å
Последний интегратор (рис. 2.35).
Этот интегратор представлен в системе (2.32) уравнением
6.
dRd
=-jj
Разложение функции
()
R Rs
=
в ряд
23
0123
()Rs R RsRs Rs
= +D+ D+ D+
K
Коэффициенты этого ряда рассчитываются по формуле
1
0
1
6().
i
i j ij
j
R ij
i
-
-
=
=- - jj
å
Перед началом отработки кадра управляющей программы
следует задать начальные значения координат
0 00
,,
xyz
и вычислить
начальные значения параметров
2
0 0 00
2
0 0 00
2
0 0 00
1
,2,,
2
1
,2,,
2
1
,2,,
2
xxxxxx
yxyxyy
zxzxzz
VcWbPV
VcWbPV
VcWbPV
= ==
= ==
= ==
d
j
j(-6)
dR
d
j
Рис. 2.35. Интегратор Стилтьеса. Восьмой элемент схемы
67
а также
0
222
000
3
00
2
00
0
1
,
,
3,
0.
xyz
VVV
Q
R
u
j=
++
= -j
=-j
=
Чтобы обеспечить гладкое сопряжение сплайнов, надо
правильно задать скорость в начальной и в конечной точках сплайна.
Обычно требуется, чтобы кривая была непрерывной в точке
соединения и имела непрерывный наклон. Единичный вектор общей
касательной
0
T
в начальной и в конечной точках соединения связан
со скоростями в этих точках соотношениями
0
0
,
,
H HH
K KK
=a
=a
VT
VT
где
H
a
и
K
a
- скалярные константы (коэффициенты растяжения),
которые влияют на полноту сегментов кривой.
В свою очередь, значения скоростей в начальной и в конечной
точках определяются коэффициентами
,,
abc
сплайна. Установим эту
зависимость.
Используя формулу (2.24), определим проекции вектора
скорости в начальной точке сплайна. Будем считать, что исходная
точка сплайна находится в начале координат и поэтому коэффициент
0
=
d
.
,
,
.
H
H
H
xx
yy
zz
Vc
Vc
Vc
=
=
=
(2.33)
Аналогично определим проекции вектора скорости в конечной
точке сплайна.
68
2
2
2
32,
32,
32.
xk xk xkx
yk yk yky
zk zk zk z
V au buc
V au buc
V au buc
=++
=++
=++
(2.34)
С помощью формулы (2.22) определим координаты конечной
точки сплайна.
32
32
32
,
,
.
k xk xk xk
k yk yk yk
k zk zk zk
x au bu cu
y au bu cu
z au bu cu
=++
=++
=++
(2.35)
Решая совместно уравнения (2.33), (2.34) и (2.35), получаем для
координаты
X
.
3
2
( )2
,
(2 )3
,
.
H
H
H
xxkkk
x
k
xxkkk
x
k
xx
VVux
a
u
VVux
b
u
cV
+-
=
+-
=-
=
(2.36)
Формулы для вычисления коэффициентов сплайн-функции по
координатам
Y
и
Z
получаются аналогичными. Заметим, что
конечное значение параметра
k
u
в общем случае может отличаться от
единицы.
Контрольные вопросы
1. Какую информацию содержит в себе кадр управляющей
программы?
2. Что такое «буферный» и «рабочий» кадры?
3. Дайте определение термину «интерполяция».
4. В каких единицах измеряется дискретность отсчета
перемещений?
69
5. В каких единицах рассчитываются приращения координат за
период таймера?
6. Приведите формулы алгоритма круговой интерполяции.
7. Укажите основные виды 5-координатной обработки.
8. Как выполнена компоновка 5-координатного станка?
9. В чем заключается методика воспроизведения на
металлорежущих станках различных траекторий движений
рабочих органов? Какую роль в этой методике играют
дифференциальные уравнения?
10. Почему при решении систем дифференциальных уравнений
выбирают в качестве аргумента приращение пути вдоль контура
обработки?
11. Как в процессе обработки детали изменяют скорость подачи?
12. Почему с увеличением контурной скорости увеличивается
погрешность расчета траектории обработки?
13. Чем отличаются дифференциальные уравнения в форме
Шеннона от дифференциальных уравнений в форме Коши?
14. Приведите дифференциальные уравнения в форме Шеннона
для воспроизведения математических функций: экспоненты,
синусоиды, гиперболы. Представьте вычисления этих функций в
виде структурных схем с использованием интеграторов Римана
и интеграторов Стилтьеса.
15. Выведите формулы численного решения дифференциальных
уравнений в форме Шеннона степенным методом.
16. Приведите алгоритм круговой интерполяции на основе
численного решения дифференциальных уравнений степенным
методом.
17. Выведите дифференциальные уравнения окружности,
ориентированной произвольно в пространстве.
18. Приведите структурную схему и алгоритм сферической
интерполяции.
19. Выведите дифференциальные уравнения сплайн-функции.
20. Приведите структурную схему и алгоритм сплайновой
интерполяции.
21. Как обеспечить гладкое сопряжение сплайнов? Выведите
формулы для вычисления коэффициентов сплайн-функций.