Чикуров Н.Г. Алгоритмическое и программное обеспечение компьютерных систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

Рис.2.4. Изменение скоростей при круговой интерполяции

В результате ортогонального суммирования скоростей

результирующее движение осуществляется по дуге окружности

(рис.2.5).

Рис.2.5. Круговая интерполяция:

– шаг интерполяции (шаг

интегрирования),

– координаты текущей точки окружности,

– приращение координат

Приращения координат в режиме круговой интерполяции

рассчитываются по формуле

i iс is

x xh yh

y yh xh

D=+

D=-

где

sin(),

h hh= »-

cos()1

2 24

= -»-+

Далее рассчитываются новые значения координат:

11 ++

iii

xxx ;

11 ++

iii

yyy .

В технологически сложных задачах в процесс интерполяции

может быть вовлечено от 5 до 6 управляющих координат (рис.2.6).

1 11

(,,)

oxyz

1 11

(,,)

oxyz

1 11

(,,)

oxyz

(,,)

xyz

(,,)

xyz

(,,)

xyz

а б в

Рис.2.6. Основные виды 5-координатной обработки: а - обработка

торцом фрезы, б - обработка периферией фрезы, в - обработка

торцовой частью фрезы, М(X,Y,Z) – точка контура обработки,

М(X

) – точка поворота инструмента

Для реализации многокоординатного формообразования к трем

основным приводам подачи в декартовой координатной системе

должны быть добавлены приводы подач поворотных фрезерных

головок, столов и т.п. (рис.2.7, рис.2.8).

Рис.2.7. Компоновка 5-координатного станка

Рис. 2.8.Поворотный стол с вертикальной осью вращения

2.2. Применение численных методов решения

обыкновенных дифференциальных уравнений в

системах ЧПУ

Методика воспроизведения различных траекторий на

металлорежущих станках, основанная на численном решении систем

дифференциальных уравнений, универсальна и может применяться

при проектировании современных систем ЧПУ класса ICNC [10].

Выбирая в системе дифференциальных уравнений в качестве

независимого параметра приращение вдоль дуги ∆S, можно

стабилизировать скорость движения инструмента относительно

детали или изменять ее по заранее заданному закону.

В зависимости от цели управления в системах

дифференциальных уравнений может быть выбрана иная

параметризация – либо на основании сведений о требуемых

динамических характеристиках процесса управления (внутри

системы управления), либо на основании сигналов обратной связи,

поступающих с управляемого объекта. Например, задавая в системе

дифференциальных уравнений в качестве независимого параметра

ускорение, можно управлять процессом разгона и торможения

некоторого рабочего органа с заданной функцией ускорения или

замедления. При управлении технологическим процессом резания

таким способом можно регулировать в реальном масштабе времени

силу или скорость резания и т. п.

Обратимся теперь к анализу численных методов, которые

можно использовать для решения дифференциальных уравнений в

системах ЧПУ класса ICNC.

В прежних устройствах ЧПУ, выполненных на основе цифровых

дифференциальных анализаторов (ЦДА), интегрирование

дифференциальных уравнений осуществлялось, как правило, методом

Эйлера. Это наиболее простой и в то же время наименее точный

метод. Требуемая точность вычислений в таких устройствах ЧПУ

достигалось за счет выбора чрезвычайно малого шага

интегрирования. Тактовая частота суммирования приращений в ЦДА

находится в мегагерцовом диапазоне. Ясно, что в компьютерных

системах ЧПУ применять метод Эйлера для расчета сложных

траекторий нерационально.

Для этой цели более подходят методы типа Рунге-Кутты.

Исследуем погрешность метода Рунге-Кутты 4-го порядка на простом

примере линейной системы дифференциальных уравнений,

описывающих движение инструмента по дуге окружности.

В табл. 2.1 представлены значения ошибок, накопленных в

процессе решения этих уравнений на длине всей окружности.

Вычисления производились для трех диаметров при пяти значениях

контурной скорости. Из таблицы видно, что на рабочих подачах (для

обычной фрезерной обработки V≤1,5 м/мин) накопленная

погрешность не превышает допустимого значения, равного 1 мкм

(цена дискреты отсчета перемещений в современных компьютерных

СЧПУ).

При высокоскоростной обработке, когда контурная скорость

рабочей подачи может составлять 6 и более метров в минуту,

погрешность решения задачи превышает допустимую величину, если

диаметр обрабатываемого контура мал (D ≤ 5 мм).

На ускоренных же подачах, которые в современных станках

достигают 60–90 м/мин., погрешность решения дифференциальных

уравнений окружности не укладывается в заданную норму точности.

При движении по дуге окружности диаметром D = 50 мм со

скоростью 60 м/мин погрешность составляет 29 мкм.

Т а б л и ц а 2.1

Накопленная ошибка в конечной точке окружности, мкм

Контурная

скорость

V, м/мин

0.75 1.5 3.0 6.0 60

D=500 мм

3x10

-9

2x10

-8

2x10

-7

3x10

-6

3x10

-2

D=50 мм

7x10

-7

1x10

-5

2x10

-4

3x10

-3

D=5 мм

7x10

-4

1x10

-2

2x10

-1

3 680

Вместе с тем именно с использованием режимов круговой и

сплайновой интерполяций выгодно осуществлять высокоточные

ускоренные перемещения рабочих органов металлорежущих станков.

Благодаря плавному характеру траекторий, построенных при

помощи сегментов окружностей или сплайн-функций, можно

существенно повысить скорости холостых ходов и обеспечить

мягкую, безударную работу металлорежущих станков.

Интегрирование дифференциальных уравнений осуществляют с

фиксированным шагом. Шаг интегрирования для дуги окружности

вычисляется по формуле

где F – контурная скорость подачи, мм/мин; T – период таймерных

прерываний, с; R – радиус окружности, мм.

Период таймерных прерываний принимают равным T = 10 мс.

Указанное значение периода прерываний программ интерполяции в

системах ЧПУ класса ICNC в настоящее время можно считать

оптимальным. Увеличение этого значения больше 10 мс связано с

нежелательным увеличением шага интегрирования, а уменьшение

менее 10 мс приводит к серьезным трудностям при обслуживании

частых прерываний в операционной системе Windows NT, а также к

снижению производительности вычислений.

Чтобы накопленная ошибка вычислений не превосходила одной

дискреты, значения дискретизации по времени (периоды таймерных

прерываний T) не должны превышать значений, указанных в

табл. 2.2.

Т а б л и ц а 2.2

Требуемая дискретизация по времени для режима

круговой интерполяции

Окружность D=500 мм D=50 мм D=5 мм

Dt, mc

15 3 0.6

Обобщая изложенное, можно сделать следующее заключение:

для численного интегрирования дифференциальных уравнений

окружностей и сплайн-функций применительно к системам ЧПУ

класса ICNC необходимы численные методы с порядком выше 4-го.

2.3 .Дифференциальные уравнения в форме Шеннона

Английским математиком К. Шенноном [21] приводится

доказательство теоремы, согласно которой систему обыкновенных

дифференциальных уравнений, не содержащую

гипертрансцендентные функции, можно решить с применением

только интеграторов и сумматоров, если эти уравнения записать в

виде:

k kijij

dy a y dy

åå

(

)

(

)

nkyxy

,...,3,2,

где

(введено для компактности записи);

– независимая

переменная;

,...,

– зависимые переменные.

Уравнения Шеннона отличаются тем, что содержат лишь

операции умножения и суммирования. Отсутствие функциональных

преобразований позволяет упростить и унифицировать процесс

численного интегрирования дифференциальных уравнений в форме

Шеннона. Для этого, как будет показано ниже, достаточно в

исходных уравнениях, заданных в нормальной форме Коши,

произвести простую замену переменных.

В отличие от уравнений в форме Коши в уравнениях Шеннона

отсутствует общий для всех уравнений множитель

представляющий собой дифференциал независимой переменной. Это

означает, что уравнения Шеннона требуют интегрирования не по

Риману, а по Стилтьесу. Для этой цели необходимы специальные

формулы численного интегрирования по Стилтьесу, которые будут

рассмотрены далее.

Интегратор Стилтьеса принято изображать в виде

ориентированного пятиугольника (рис. 2.9).

Рис. 2.9. Изображение интегратора Стилтьеса

Интегратор решает интеграл Стилтьеса

() ()

z ytdxt

где

(

)

ty – подынтегральная функция;

(

)

– интегрирующая

функция;

– независимый аргумент.

К уравнениям Шеннона можно привести рациональные,

алгебраические и трансцендентные функции. Исключение

составляют лишь довольно редко встречающиеся

гипертрасцедентные (трансцедентно-трансцедентные) функции,

например гамма – функция или дзета-функция Римана.

Покажем на нескольких простых примерах методику записи

дифференциальных уравнений в форме Шеннона.

1) Воспроизведение экспоненциальной функции

Первая производная этой функции

= ,

то есть она равна

Дифференциальное уравнение в форме Шеннона имеет вид:

(

)

, .

dy kydx y x y

Структурная схема вычислительного устройства состоит только

из одного интегратора, охваченного обратной связью (рис. 2.10).

Рис. 2.10 Схема вычисления функции

На вход интегратора поступают приращения функции. В

результате интегрирования по независимой переменной x на выходе

интегратора образуются приращения этой же функции (

dy kydx

Эти приращения по цепи обратной связи поступают на вход этого же

интегратора.

Интегрирующей функцией в данном интеграторе служит

независимая переменная

, значит, это интегратор Римана, который

следует рассматривать как частный случай интегратора Стилтьеса.

2) Воспроизведение тригонометрической функции

sin

Получение этой функции сводится к решению системы

дифференциальных уравнений

В форме Шеннона система принимает вид:

dy zdx

dz ydx

(

)

()

yxy

zxz

Структурная схема, соответствующая уравнениям Шеннона,

состоит из двух последовательно соединенных интеграторов Римана

(рис. 2.11). Наряду с функцией

sin

в рассматриваемой схеме

вычисляется функция

cos

Рис. 2.11 Схема вычисления

sin

3) Воспроизведение гиперболы

( )

ktt

Продифференцируем эту функцию по

и введем новую

переменную

, которую, в свою очередь, продифференцируем по

kyz

=-=

Запишем полученную систему дифференциальных уравнений в

стандартной форме Шеннона.

dy zdt

dz kydy

(

)

(

)

0000

ztzyty

На основании уравнений Шеннона строим структурную схему

вычислительного устройства (рис. 2.12). Схема содержит один

интегратор Стилтьеса.

Рис. 2.12 Схема вычисления функции

( )

ktt

2.4. Решение дифференциальных уравнений в форме

Шеннона с помощью степенных рядов [12]

1) Интеграл Римана (частный случай интеграла Стилтьеса)

Рассмотрим дифференциальное уравнение

()

( ),

dxt