Чикуров Н.Г. Алгоритмическое и программное обеспечение компьютерных систем управления

Подождите немного. Документ загружается.

Нас интересует решение задачи в виде системы

дифференциальных уравнений, для которых интегральной кривой

является рассматриваемая окружность.

С этой целью вычислим частные производные:

2; 2; 2;

;;,

xyz

FFF

FxFyFz

xyz

f FF

fAf BfC

xyz

¶¶¶

¢¢¢

== == ==

¶¶¶

¢¢¢

== == ==

¶¶¶

и запишем систему линейных уравнений для неявных функций.

xyz

F F y Fz

f f y fz

¢¢

¢ ¢¢

+ +=

¢¢

+ +=

Решение системы дает

;

dy Cx Az

dx Bz Cy

dz Ay Bx

dx Bz Cy

(2.19)

Заменим в системе (2.19) параметр x на параметр S. Для этого

рассмотрим дифференциал дуги.

()()()

222

ds y z x dx

¢¢¢

= ++×

Откуда

()()()

( )( )( )

222

ds Cx Az Ay Bx

yzx

dx Bz Cy Bz Cy

Cx Az Ay Bx Bz Cy

Bz Cy

æöæö

¢¢¢

= + + = + +=

ç÷ç÷

èøèø

- +- +-

Теперь уравнения (2.19) можно записать в следующем виде:

(

)

(

)

( )( )( )( )

( )( )

( )( )( )( )

( )

( )( )( )

222

2 22

;

Cx Az Bz Cy

dy dy dx

ds dx ds

Bz Cy Cx Az Ay Bx Bz Cy

Ay Bx Bz Cy

dz dz dx

ds dx ds

Bz Cy Cx Az Ay Bx Bz Cy

Bz Cy

dx dx dx

ds dx ds

Cx Az Ay Bx Bz Cy

=×=

- - +- +-

=×=

- - += +-

=×=

- += +-

Проанализируем выражение под квадратным корнем.

(

)

(

)

(

)

( ) ( ) ( )

2 22

22 22 22 22 22

22 22 22 22 22 22 22

2222 2222 2222

22 2 2 22

222

2222

Cx Az Ay Bx Bz Cy

Cx ACxz Az Ay ABxy Bx Bz

Bcyz cy Ax Ax cz cz By By

ABCx ABCy ABCz

ACxz ABxy Bcyz A x B y c z

R Acxz Acxz ABxy Bcyz A x

-+-+-=

=- ++- ++-

- ++-+-+-=

= ++ + ++ + ++ -

- - - - - -=

=--- --

( ) ( ) ( )

2 22 22

2 2222

By cz

R Ax Cz By Ax Cz B y R Ax Cz By R

- -=

=-+ - +- =-++ =

В результате система дифференциальных уравнений

окружности, ориентированной произвольно в пространстве,

принимает вид:

( )

Bz Cy

Cx Az

Ay Bx

=j-

(2.20)

где

Обозначим:

BzCyF

CxAzG

AyBxH

(2.21)

Тогда дифференциальные уравнения (2.20) примут вид:

Чтобы определить неизвестные

, продифференцируем

уравнения (2.21).

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

222

dF dz dy

B C BH CG B Ay Bx C Cx Az

ds ds ds R

ABy B x C x ACZ ABy A x x ACz

AAxByCzxx

=-= -=j -- -=

éù

ëû

=j--+ =j+-+ =

= j + + - = -jéù

ëû

Аналогично:

= -j

Окончательно система дифференциальных уравнений

сферической интерполяции принимает вид:

F dx Fds

G dy Gds

H dz Hds

x dF xds

y dG yds

z dH zds

=j =j

= -j = -j

Структурная схема сферического интерполятора включает

шесть интеграторов Римана (рис.2.24).

Рис. 2.24. Структурная схема сферического интерполятора

Коэффициенты рядов Тейлора, в которые раскладываются

функции x, y, z, F, G и H, находим по рекуррентным формулам (2.7).

10 10 10

21 21 21

32 32 32

43 4 343

, ,,

2 22

, ,,

3 33

, ,;

4 44

xF yG zH

xF y G zH

=j =j =j

j jj

= ==

j jj

= ==

j jj

= =j=

10 1 0 10

21 2 1 21

32 3 2 32

43 4 3 43

, ,,

222

, ,,

333

, ,.

444

Fx Gy Hz

FxGyHz

= -j = -j = -j

jjj

=- =- =-

jjj

=- =- =-

jjj

=- =- =-

Значения переменных в конце шага интегрирования находим в

виде степенных рядов, вычисляемых по схеме Горнера.

(

)

{

}

( )

{ }

( )

{ }

43210

......................................................

x xsx sx sx sx

y ysy sy sy sy

H HsH sH sH sH

= D+ D+ D+ D+éù

ëû

= D+ D+ D+ D+éù

ëû

= D+ D+ D+ D+éù

ëû

Перед отработкой кадра управляющей программы в режиме

сферической интерполяции необходимо задать начальные значения

параметров

0 00

,,,

Rxyz

, направляющие косинусы плоскости

интерполяции

ABC

, вычислить начальные значения переменных

000

F Bz Cy

0 00

G Cx Az

0 00

H Ay Bx

и задать шаг

интегрирования

. Величина этого шага определяет скорость

движения инструмента по контуру обработки.

2.6. Алгоритм сплайновой интерполяции

В инженерной практике многие кривые имеют довольно

сложную форму, не допускающую аналитического задания при

помощи элементарных функций. Поэтому их собирают из

сравнительно простых гладких фрагментов (сегментов), каждый из

которых может быть вполне удовлетворительно представлен в виде

элементарной функции одной переменной.

Для того чтобы получающаяся кривая была достаточно гладкой,

необходимо правильно соединять их в местах стыковки. Для гладкого

изменения касательной вдоль всей составной кривой достаточно

описать стыкуемые кривые при помощи многочленов 3-й степени.

Коэффициенты этих многочленов всегда можно подобрать так, чтобы

соответствующая составная кривая имела непрерывную 2-ю

производную.

Рассмотрим сегмент кубической параметрической кривой в

форме Фергюсона (рис.2.25), которая описывается векторным

уравнением

( ) , 0 1,

uuuuu

= + + + ££

r a b cd

где

– параметр:

,,,

abcd

– коэффициенты.

Рис.2.25

Запишем эту систему уравнений в скалярном виде.

x x xx

y y yy

z z zz

xau bu cud

yau bu cud

zau bu cud

= + ++

(2.22)

Продифференцируем уравнения (2.22)

32,

x x xx

y y yy

z z zz

au bucV

= + +=

(2.23)

где

32,

32.

x x xx

y y yy

z z zz

V au buc

= ++

(2.24)

Продифференцируем уравнения (2.24).

62,

x xx

y yy

z zz

au bW

= +=

(2.25)

где

6 2,

6 2.

xxx

yyy

zzz

W aub

(2.26)

Продифференцируем уравнения (2.26).

(2.27)

Дифференциал дуги сплайна

222

xyZ

ds V V V du

= ++

откуда

222

xyz

VVV

= = =j

где

222

()

xyz

P VVV

= ++ ;

– новая переменная.

Найдем производную

по

и приравняем ее к новой

переменной

().

= - =-j=

(2.28)

Найдем производную

по

и приравняем ее к новой

переменной

=-j=

(2.29)

Найдем производную

по

=-j

(2.30)

Продифференцируем сложную функцию

(

)

PVu

éù

ëû

по

переменной

xyz

dV dV

dPPPP

VVV

du V du V du V du du du du

æö

¶¶¶

= + + =++

ç÷

¶¶¶

èø

(2.31)

На основе уравнений (2.23), (2.25), (2.27), (2.28), (2.29), (2.30),

(2.31), составляем систему дифференциальных уравнений в форме

Шеннона, описывающую алгоритм сплайновой интерполяции [12].

xyz

x xx

y yy

z zz

du ds

dx V du

dy V du

dz V du

dV W du

dW a du

d QdP

dQ Rd

dRd

dP dP dP dP

dP V dV

=-jj

=++

(2.32)

Систему уравнений (2.32) можно представить в виде схемы

соединений интеграторов Стилтьеса и Римана (рис. 2.26). Каждому

уравнению системы (2.32) отвечает определенный интегратор.