Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах

Подождите немного. Документ загружается.

àâòîìàòèçèðîâàííîãî ïðîåêòèðîâàíèÿ. Åñëè èñõîäíàÿ ãåîìåòðè÷å

ñêàÿ ìîäåëü ýëåìåíòà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðóþ ïàðàìåòðèçà

öèþ åãî ïîâåðõíîñòè è ïî ñâîåìó õàðàêòåðó îòâå÷àåò òðåáîâàíèÿì

ìåòîäèêè ðàñ÷åòà ñåòîê, òî íåò íåîáõîäèìîñòè îáðàùàòüñÿ ê äàííûì

êîíñòðóêòîðñêîé äîêóìåíòàöèè. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå öåëåñîîáðàçíî

ðàññ÷èòàòü íåêîòîðûé íàáîð ñå÷åíèé èìåþùåéñÿ ãåîìåòðè÷åñêîé

ìîäåëè è ïî íèì âîññòàíîâèòü òðåáóåìóþ ïàðàìåòðèçàöèþ ïîâåðõ

íîñòè ýëåìåíòà. Ïðè ýòîì ñëåäóåò âûáðàòü íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî

è õàðàêòåð ðàñïîëîæåíèÿ ñå÷åíèé, êîòîðûå îáåñïå÷èëè áû íåîáõî

äèìóþ òî÷íîñòü ïðèáëèæåíèÿ ïîâåðõíîñòè è íåîáõîäèìûå ñâîéñòâà

ïîëó÷åííîé åå ïàðàìåòðèçàöèè.

Äàííûå êîíñòðóêòîðñêîé äîêóìåíòàöèè — îáû÷íî íàáîð ïëî

ñêèõ ñå÷åíèé ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà ëèáî â âèäå êðèâûõ, ñîñòîÿùèõ

èç îòðåçêîâ ïðÿìûõ è äóã êðèâûõ âòîðîãî ïîðÿäêà (ïîäâîäÿùèå è îò

âîäÿùèå ýëåìåíòû òóðáîìàøèí), ëèáî â âèäå òàáëèöû èõ òî÷åê —

òðàäèöèîííûé ñïîñîá â èíæåíåðíîé ïðàêòèêå ïðåäñòàâëåíèÿ ñëîæ-

íûõ ïî ôîðìå ïîâåðõíîñòåé (ñòàòîðíûå êîëîííû, ëîïàòêè íàïðàâ-

ëÿþùåãî àïïàðàòà ãèäðîòóðáèí, ëîïàñòè ðàáî÷èõ êîëåñ òóðáîìàøèí).

Âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòè ýëåìåíòà ïî ýòèì äàííûì íà÷èíàåòñÿ

ñ àïïðîêñèìàöèè èñõîäíûõ ñå÷åíèé êóáè÷åñêèì ïàðàìåòðè÷åñêèì

ñïëàéíîì êëàññîâ ãëàäêîñòè

èëè

â ñîîòâåòñòâèè ñ èõ êëàññîì

ãëàäêîñòè. Âàæíûì ìîìåíòîì ïðîöåññà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî âîññòàíàâëè-

âàåòñÿ åñòåñòâåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ ýòèõ êðèâûõ, ÷òî äèêòóåòñÿ ìåòî-

äèêîé, ïðèìåíÿåìîé äëÿ ðàñ÷åòà ñåòîê. Òàêîé ñïîñîá ïðèáëèæåíèÿ

êðèâûõ ñïëàéíîì ïîäðîáíî èçëîæåí â [1], à ñàìè ïîäîáíûå ñïëàéíû

íàçâàíû êâàçèåñòåñòâåííûìè.

Äàëåå ðàññìîòðèì äâà ïðèåìà âîññòàíîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè ïî

íàáîðó êðèâûõ, ëåæàùèõ íà íåé.

2.1.1. Âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòè

ïî ðåãóëÿðíîìó íàáîðó ñå÷åíèé

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ñóùåñòâóåò òàêàÿ ðåãóëÿðíàÿ ïàðàìåòðèçà

öèÿ âîññòàíàâëèâàåìîé ïîâåðõíîñòè, äëÿ êîòîðîé èñõîäíûå ñå÷åíèÿ

âìåñòå ñ ãðàíè÷íûìè êðèâûìè ÿâëÿþòñÿ åå êîîðäèíàòíûìè ëèíèÿìè

îäíîãî èç ñåìåéñòâ. Òðåáóåòñÿ ïîñòðîèòü áèêóáè÷åñêèé ïàðàìåòðè

÷åñêèé ñïëàéí, âîññòàíàâëèâàþùèé ïîâåðõíîñòü ïî ýòèì êðèâûì.

Ñïîñîá ïîñòðîåíèÿ òàêîãî ñïëàéíà îñíîâûâàåòñÿ íà âûáîðå åãî óçëîâ

èç óñëîâèÿ ïðèáëèæåíèÿ èñõîäíûõ êðèâûõ ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ.

Ïóñòü

{(, )}, ,, ,r

kmxD = 12K

, — êâàçèåñòåñòâåííûå ïàðàìåòðè÷å

ñêèå ñïëàéíû, ïðåäñòàâëÿþùèå èñõîäíûå ñå÷åíèÿ, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïîääåðæêà ÷èñëåííîãî àíàëèçà òå÷åíèé 81

êîòîðûõ ïðèâåäåíà ê åäèíè÷íîìó îòðåçêó

([,])x ∈ 01

. Êàæäûé èç íèõ îï

ðåäåëåí íà ñîáñòâåííîé ñåòêå

: ...

() () ()

=<<<=xx x

. Çàäà÷à

ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íàéòè òàêóþ ñåòêó

D : ...01

=<<<=xx x

â îáëàñòè èçìåíåíèÿ

, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò ïðèáëèæåíèå êàæäîé èç

êðèâûõ

(, )xD

ïî çíà÷åíèÿì

{ ( , )}, , ,...,rr

kj k j k

jn==xD 12

, ïàðà-

ìåòðè÷åñêèì ñïëàéíîì ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ. Ìíîæåñòâî òî÷åê

{}r

ïðèíèìàåòñÿ â êà÷åñòâå óçëîâ èñêîìîãî ñïëàéíà, à ñåòêà

— â êà÷åñòâå

åãî ñåòêè ïî ïåðåìåííîé

. Ïîäðîáíî ñ ýòèì ïðèåìîì ìîæíî îçíàêî-

ìèòüñÿ â [1]. Ðåçóëüòàò ïðèìåíåíèÿ èçëîæåííîé ìåòîäèêè äëÿ âîññòà-

íîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè ñïèðàëüíîé êàìåðû ãèäðîòóðáèíû ïðåäñòàâëåí

íà ðèñ. 2.1.

Îòìåòèì, ÷òî âîññòàíîâëåííàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ îáëàäàåò ñâîé-

ñòâîì êâàçèèçîìåòðè÷íîñòè âäîëü êîîðäèíàòíûõ ëèíèé, ñîâïà

äàþùèõ ñ èñõîäíûìè ñå÷åíèÿìè, ïîñêîëüêó ñå÷åíèÿ ïðåäâàðèòåëü

íî àïïðîêñèìèðîâàëèñü êâàçèåñòåñòâåííûì ñïëàéíîì. Ó÷èòûâàÿ

ïëàâíûé õàðàêòåð ïîâåðõíîñòè, äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî èñ

õîäíûõ ñå÷åíèé è õàðàêòåð èõ ðàñïîëîæåíèÿ (ñå÷åíèÿ ðàäèàëüíû

îòíîñèòåëüíî îñè ãèäðîòóðáèíû), ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïîëó÷åí

íàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ áëèçêà ê êâàçèèçîìåòðè÷íîé ïî îáåèì ïåðå

ìåííûì.

2.1.2. Âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòè

ïî íàáîðó ñå÷åíèé â îáùåì ñëó÷àå

Åñëè èñõîäíûå ñå÷åíèÿ òàêîâû, ÷òî âìåñòå ñ ãðàíè÷íûìè êðè

âûìè íå ìîãóò áûòü ïðèíÿòû â êà÷åñòâå êîîðäèíàòíûõ ëèíèé êàêîé-

ëèáî ðåãóëÿðíîé ïàðàìåòðèçàöèè âîññòàíàâëèâàåìîé ïîâåðõíîñòè,

òî îáû÷íî ïî íèì îïðåäåëÿåòñÿ íåêîòîðûé âòîðè÷íûé íàáîð ëèíèé,

îòâå÷àþùèõ òðåáîâàíèÿì èçëîæåííîé ìåòîäèêè, ïî êîòîðûì çàòåì

82 Ãëàâà 2

Ðèñ. 2.1. Ïîâåðõíîñòü ìåòàëëè÷åñêîé ñïèðàëüíîé êàìåðû.

à — èñõîäíûå ñå÷åíèÿ; á — âîññòàíîâëåííàÿ ïîâåðõíîñòü.

âîññòàíàâëèâàåòñÿ èñêîìàÿ ïîâåðõíîñòü. Èëëþñòðàöèåé ýòîãî ïðèå

ìà ìîæåò ñëóæèòü ïðèìåð âîññòàíîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè ðà

äèàëüíî-îñåâîé ãèäðîòóðáèíû, êîãäà â êîíñòðóêòîðñêîé äîêóìåíòà

öèè îíà ïðåäñòàâëåíà ñå÷åíèÿìè, îðòîãîíàëüíûìè îñè âðàùåíèÿ

êîëåñà (ðèñ. 2.2).

Ðàñ÷åò ìíîæåñòâà âòîðè÷íûõ êðèâûõ ìîæíî îñóùåñòâèòü ñëå

äóþùèì îáðàçîì. Ïî ãðàíè÷íûì êðèâûì

qqqq

1234

,,,

RZ-ïðîåêöèè

ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè, ðàññìàòðèâàåìîé îòíîñèòåëüíî öèëèíäðè÷å

ñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò

(, , )rzϕ

, åñòåñòâåííûì îáðàçîì ñâÿçàííîé ñ

ðàáî÷èì êîëåñîì ãèäðîòóðáèíû, èñïîëüçóÿ ìåòîä Êóíñà [2], îïðåäå

ëèì RZ-ïðîåêöèþ ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè â âèäå âåñîâîé ñóììû ãðà

íè÷íûõ äóã:

{ }

[]

PA(, ) (, ), (1,1 )

1xh xh xh x x h

==−−−××

−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

RZ(, ) ,

⎟

ãäå

[] (,)

(

0P P

PPP

(,0) (,1)

(0, ) (0, 0)

(1, ) (1, 0)

1, )1

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

, 0=(0, 0),

xh,[,]∈ 01

PPPP( , ), ( , ), ( , ), ( , )xx hh0101

— ïàðàìåòðèçàöèè êðèâûõ

qqq

123

,,,

ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç

ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ñ îá-

ðàçóþùåé

P(, )xh

è ñ îñüþ âðàùåíèÿ

. Âàæíî, ÷òî äëÿ

01≤≤h

ýòà

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïîääåðæêà ÷èñëåííîãî àíàëèçà òå÷åíèé 83

Ðèñ. 2.2. Âîññòàíîâëåíèå ïîâåðõíîñòè ÐÎ-ëîïàñòè ïî ñå÷åíèÿì.

à — èñõîäíûå ñå÷åíèÿ; á — íàáîð âòîðè÷íûõ êðèâûõ; â — âîññòàíîâëåííàÿ ïîâåðõ

íîñòü ëîïàñòè.

ïîâåðõíîñòü âðàùåíèÿ ïåðåñåêàåò âñå èëè òîëüêî íåêîòîðûå èñõîä

íûå ñå÷åíèÿ â äâóõ òî÷êàõ, ðàñïîëîæåííûõ íà ïðîòèâîïîëîæíûõ

ñòîðîíàõ ëîïàñòè. Ðàññìîòðèì íåêîòîðîå ðàçáèåíèå

h:0

<<=hh

1...

èíòåðâàëà èçìåíåíèÿ ïåðåìåííîé

è îáîçíà÷èì ÷å

ðåç

òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ i-ãî èñõîäíîãî ñå÷åíèÿ ñ ïîâåðõíî

ñòüþ âðàùåíèÿ

, åñëè îíè ñóùåñòâóþò (äëÿ ñå÷åíèé, âûõîäÿùèõ íà

âõîäíóþ êðîìêó ëîïàñòè

rr12

in in

). Íåòðóäíî îïðåäåëèòü òàêîå ðàç

áèåíèå

, äëÿ êîòîðîãî êàæäîå k-å èñõîäíîå ñå÷åíèå (âêëþ÷àÿ èñ

õîäíûå ãðàíè÷íûå êðèâûå

) ïî òî÷êàì

{r1

}

{2 }r

ïðèáëèæà

åòñÿ íà ñîîòâåòñòâóþùåì ïîäûíòåðâàëå ïàðàìåòðà

êóáè÷åñêèì ïà

ðàìåòðè÷åñêèì ñïëàéíîì ñ çàäàííîé òî÷íîñòüþ. È íàêîíåö, äëÿ

êàæäîãî j ïî òî÷êàì

{}r1

{2 }r

âîññòàíàâëèâàþòñÿ äâå êðèâûå

, ëåæàùèå íà ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîíàõ ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè.

Ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî êðèâûõ

{r1

}

{}r2

òåïåðü ïîçâîëÿåò âîñ-

ïîëüçîâàòüñÿ ïðèåìîì, ïðèâåäåííûì ðàíåå â ñëó÷àå âîññòàíîâëåíèÿ

ïîâåðõíîñòè ñïèðàëüíîé êàìåðû.

§ 2.2. ÌÅÒÎÄÈÊÀ ÏÎÑÒÐÎÅÍÈß ÑÅÒÎÊ

Â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåòîäàìè, èçëîæåííûìè â ïðåäûäóùåé ãëàâå,

âñÿ èññëåäóåìàÿ îáëàñòü òå÷åíèÿ G ñåãìåíòèðóåòñÿ íà ïîäîáëàñòè

{ }, , , ...,gl N

= 12

, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ïðÿìîóãîëüíîìó

ïàðàëëåëåïèïåäó. Åñëè ìåæäó òî÷êàìè

r = {,,}xyz

ïîäîáëàñòè

òî÷êàìè

ù = {, , }xhz

åäèíè÷íîãî êóáà

W:,,01≤≤xhz

â ïðîñòðàíñòâå

ïåðåìåííûõ

xhz,,

óñòàíîâëåíî âçàèìíî-îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå

xx yy zz===(,,), (,,), (,,)xhz xhz xhz

(2.1)

(èíûìè ñëîâàìè, çàäàíà íåêîòîðàÿ ïàðàìåòðèçàöèÿ

r()ù

ýòîé ïîäîáëà

ñòè, îïðåäåëåííàÿ â

), òî êîíå÷íî-îáúåìíîå ðàçáèåíèå ïîäîáëàñòè

ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ïóòåì íàçíà÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåãî ðàç

áèåíèÿ îáëàñòè

W:D=××ddd

xhz

, ãäå

dxx x

: ...01

=<<<=

dhh h

: ...01

=<<<=

dzz z

: ...01

=<<<=

Õàðàêòåð ñåòêè è åå ðàçìåðíîñòü ñåðüåçíî âëèÿþò íà òî÷íîñòü

ïîëó÷åííîãî â äàëüíåéøåì ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ. Â ñâîþ î÷åðåäü õà

ðàêòåð ñåòêè âî ìíîãîì çàâèñèò îò ñâîéñòâ èñïîëüçóåìîé êîíêðåò

íîé ïàðàìåòðèçàöèè (2.1). Ñ ýòîé òî÷êè çðåíèÿ íàèáîëåå ïðèâëåêà

òåëüíû ïàðàìåòðèçàöèè, îáëàäàþùèå ñâîéñòâîì êâàçèèçîìåòðè÷íî

ñòè ïî âñåì ïåðåìåííûì, ïîñêîëüêó, êàê óæå îòìå÷àëîñü, â ýòîì

ñëó÷àå õàðàêòåð ðàçáèåíèÿ îáëàñòè

äîâîëüíî òî÷íî âîñïðîèçâî

äèòñÿ â ïîëó÷àåìîé ñåòêå.

84 Ãëàâà 2

Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî áîêîâûå ãðàíè ñåãìåíòà

èçâåñòíû â

âèäå èõ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïàðàìåòðèçàöèé:

ii(,) (,,), ,hz hz==01

;

jj(, ) (,, ), ,xz x z==01

;

kk(,) (,,), ,xh xh==01

è ïîòðåáóåì, ÷òîáû îíè áûëè òîæäåñòâåííû íà îáùèõ ðåáðàõ. Òîãäà

ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì Êóíñà è îïðåäåëèòü îòîáðàæåíèå

(2.1) â âèäå âåñîâîé ñóììû ïàðàìåòðèçàöèé áîêîâûõ ãðàíåé:

rr r r r(, , ) (, ) () (, ) () (, ) ()xhz hz x hz x xz h=++ +

0011001

FFG(, ) ( )

(, ) () (, ) () ( () (

xz h

xh z xh z z x

HHF

0011000

+−+r r r )()())()

(()() ()())(

+−

−+

10 1 0

01 0 11 1 1

zx h

zx zx h

FFG) ( () () () ()) ()

(()()

−+ −

−+

00 0 10 1 0

01 0 11

hx hx z

FFH

F () ()) () ( () () () ()) ()

(

hx z x h xh zFH G GH

11 000 1010

−+ −

−

10 111 1

() () () ()) () ( () () ()

xh xh z xh zGGH FGH

ijk i j k

+−rr

jk,

∑

ãäå èñïîëüçîâàíû îáîçíà÷åíèÿ:

rr r r rr r

ij i k jk i

ij i k jk() (, , ), () (, , ), () (, , ),zzhhxx== =

ijk= r(, , )

;

FFG GH

010 10

11 1()(), ,()(),(),()(),xxxhhhhzz=− = =− = =− H

()zz=

—

âåñîâûå ôóíêöèè.

Äëÿ ýëåìåíòîâ ïðîòî÷íîãî òðàêòà òóðáîìàøèí, îáëàäàþùèõ

îñåâîé ñèììåòðèåé (íàïðàâëÿþùèé àïïàðàò, ðàáî÷åå êîëåñî), äîñòà

òî÷íî ðàññ÷èòàòü ñåòêó â îäíîì ìåæëîïàñòíîì êàíàëå. Ñ ýòîé öåëüþ

ìîæíî ïðåäëîæèòü ñëåäóþùèé âåñüìà ýôôåêòèâíûé ïðèåì. Ïóñòü

(, )xh

xh,[,]∈ 01

— ïàðàìåòðèçàöèè ïîâåðõíîñòåé ñîñåä

íèõ ëîïàñòåé, îãðàíè÷èâàþùèõ ìåæëîïàñòíîé êàíàë. Ïðåäñòàâèì èõ

îòíîñèòåëüíî öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàò

(, , )rzϕ

{ }

1111

(,) (,), (,), (,),

(, ) (, ),

xh xh xh xh

xh xh

=ϕ

{ }

(, ), (, )xh xhϕ

è îïðåäåëèì ïàðàìåòðèçàöèþ îáëàñòè ìåæëîïàñòíîãî êàíàëà â âèäå

ëèíåéíîé êîìáèíàöèè

pp p p() (, , ) (, )( ) (, )ù ≡=−+xhz xh z xhz

Äëÿ ýêñòðàïîëÿöèè ýòîé çàâèñèìîñòè çà ïðåäåëû âõîäíîé è

âûõîäíîé êðîìîê ëîïàñòè (äëÿ îïðåäåëåííîñòè ïî ïåðåìåííîé

)

äîñòàòî÷íî äîîïðåäåëèòü RZ-ïðîåêöèþ ïîâåðõíîñòè ëîïàñòè â

RZ-ïðîåêöèè ïðîòî÷íîãî òðàêòà äî íåîáõîäèìûõ ïðåäåëîâ. Óãëî

Ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïîääåðæêà ÷èñëåííîãî àíàëèçà òå÷åíèé 85

âóþ êîîðäèíàòó çà ïðåäåëàìè ëîïàñòè ìîæíî ïðèíÿòü ïîñòîÿííîé

ïî ïåðåìåííîé

è ðàâíîé çíà÷åíèÿì íà âõîäíîé è âûõîäíîé êðîì

êàõ ëîïàñòè:

ϕϕ =

i(, ), (,), ,xx0112

§ 2.3. ÎÁÌÅÍ ÄÀÍÍÛÌÈ ÌÅÆÄÓ ÑÅÃÌÅÍÒÀÌÈ

Ñåãìåíòèðîâàíèå ñëîæíîé ïî ôîðìå èññëåäóåìîé îáëàñòè òå÷å

íèÿ íà ïðîñòûå ñåãìåíòû ïðåäïîëàãàåò îáìåí äàííûìè ìåæäó ñîñåä

ñòâóþùèìè ñåãìåíòàìè, åñëè îáùàÿ ãðàíü âñÿ èëè ÷àñòè÷íî ïðîòå

êàåìà. Ñ ýòîé öåëüþ ïðåäóñìàòðèâàåòñÿ èõ ïåðåêðûòèå â íåêîòîðîé

îêðåñòíîñòè ãðàíè. Ïðîöåäóðà ïåðåäà÷è äàííûõ èç îäíîãî ñåãìåíòà

â äðóãîé ðåàëèçóåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ñíà÷àëà ïî çíà÷åíèÿì

äàâëåíèÿ

{}p

ijk

è âåêòîðà ñêîðîñòè

ijk x y z ijk

uuu= {, , }},iI= 12,, ,,K

jJ= 12,, ,,K kK= 12,, ,K

, ïîëó÷åííûì â óçëàõ ñåòêè

{ {,,} }r

ijk ijk

xyz=

â îáëàñòè ñåãìåíòà, èç êîòîðîãî ïåðåäàþòñÿ äàííûå, âîññòàíàâ-

ëèâàþòñÿ ïîëå äàâëåíèÿ è ïîëå ñêîðîñòè â âèäå ïàðàìåòðè÷åñêîãî

ñïëàéíà

÷ (, , )xhz = ÷

ij k

===

∑∑∑

111

BB B

ijk

() () ()xh z

ãäå

ijk x y z ijk

xyzu u u p= {,,, , , ,}

;

BB B

ij k

(), (), ()xh z

— B-ñïëàéíû,

îïðåäåëåííûå íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ñåòêàõ

DDD

xhz

â îáëàñòè

ïåðåìåííûõ

(, , )xhz

. Ñâîéñòâà ýòîãî âèäà ñïëàéíîâ ïîäðîáíî èçëî-

æåíû â [3]. Ó÷èòûâàÿ âîçìîæíî ñëîæíûé õàðàêòåð äàííûõ, ñëåäóåò

îãðàíè÷èòüñÿ B-ñïëàéíàìè ïåðâîé ñòåïåíè. Îíè íàèáîëåå óñòîé÷è

âû ê áîëüøèì èçìåíåíèÿì ãðàäèåíòà äàííûõ è íå èìåþò ñîáñòâåí

íûõ îñöèëëÿöèé, îáåñïå÷èâàÿ ïðè ýòîì ïîðÿäîê ïðèáëèæåíèÿ â

êàæäîì ýëåìåíòå

, ãäå

— ìàêñèìàëüíàÿ äëèíà ðåáðà ýëåìåíòà.

Òåïåðü äëÿ òî÷êè

* ***

{,,}= xyz

ñåãìåíòà, â êîòîðûé ïåðåäàþòñÿ

äàííûå, ñíà÷àëà îïðåäåëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ

xhz

***

èç ðåøåíèÿ ñèñòå

ìû óðàâíåíèé

(, , )= xhz

, à çàòåì è

ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ âåêòîðà ñêîðîñòè

****

(,,)= xh z

è äàâ

ëåíèÿ

** *

(, , )= xh z

86 Ãëàâà 2

Â äàííîé ãëàâå ðàññìàòðèâàþòñÿ òåñòîâûå äâóìåðíûå è òðåõìåð

íûå çàäà÷è, íà êîòîðûõ èçó÷àþòñÿ îñíîâíûå ñâîéñòâà ïðåäëîæåííî

ãî ÷èñëåííîãî ìåòîäà. Ñðàâíåíèå ðåçóëüòàòîâ ïðîâîäèòñÿ ñ èçâåñò

íûìè òî÷íûìè ðåøåíèÿìè è ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Îñî

áîå âíèìàíèå óäåëÿåòñÿ îöåíêå àïïðîêñèìàöèîííîãî êà÷åñòâà è

ýôôåêòèâíîñòè ìåòîäà.

§ 3.1. ÎÁÒÅÊÀÍÈÅ ÏËÀÑÒÈÍÛ

ÂßÇÊÈÌ ËÀÌÈÍÀÐÍÛÌ ÏÎÒÎÊÎÌ ÆÈÄÊÎÑÒÈ

Ñ öåëüþ òåñòèðîâàíèÿ ïðåäëîæåííîãî ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà íà

ïðåäìåò ïðèìåíåíèÿ åãî äëÿ èññëåäîâàíèÿ âÿçêèõ ëàìèíàðíûõ òå÷å-

íèé ïðîâåäåíà ñåðèÿ ðàñ÷åòîâ ïðîäîëüíîãî ñòàöèîíàðíîãî è íåñòà-

öèîíàðíîãî îáòåêàíèÿ ïëîñêîé ïëàñòèíû âÿçêèì ïîòîêîì íåñæè-

ìàåìîé æèäêîñòè. Äëÿ ýòèõ çàäà÷ èìåþòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûå äàí

íûå, à òàêæå àíàëèòè÷åñêèå è ÷èñëåííûå ðåøåíèÿ.

3.1.1. Ïðîäîëüíîå îáòåêàíèå íåïîäâèæíîé ïëàñòèíû

Äàííàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îáûêíîâåííîãî äèôôåðåí

öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 3-ro ïîðÿäêà [1]

′′′

′′

=fff0

(3.1)

ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè

ff=′=0

ïðè

x = 0

f = 2

ïðè

x =∝

ãäå

()

uf=′ x

— ïðîäîëüíàÿ êîìïîíåíòà âåêòîðà ñêîðîñòè â ïåðåìåí

íûõ

x =

. Çäåñü

xy,

— äåêàðòîâû êîîðäèíàòû. Êîîðäèíàòà

íàïðàâëåíà âäîëü ïëàñòèíû ïî ïîòîêó.

ÃËÀÂÀ 3

ÂÅÐÈÔÈÊÀÖÈß ÌÅÒÎÄÀ ÐÀÑ×ÅÒÀ ÒÅ×ÅÍÈÉ

ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ

Ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå âÿçêîãî ëàìèíàðíîãî òå÷åíèÿ íàä ïëà

ñòèíîé âõîäíàÿ ãðàíèöà ðàñïîëàãàëàñü íà íåêîòîðîì óäàëåíèè ââåðõ

ïî ïîòîêó îò ïåðåäíåé êðîìêè ïëàñòèíû è íà íåé ñòàâèëèñü íåîòðà

æàþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ, îïèñàííûå â ãë. 1. Òàêèå æå óñëîâèÿ ñòà

âèëèñü íà âåðõíåé (âíåøíåé) ãðàíèöå. Ïàðàìåòðû íåâîçìóùåííîãî

ïîòîêà çàäàâàëèñü ñëåäóþùèå: ñêîðîñòü ïîòîêà

∞

= 1

, äàâëåíèå

∞

= 1

, ÷èñëî Ðåéíîëüäñà

Re = 16

. Íà âûõîäíîé ãðàíèöå, ðàñïîëîæåí

íîé íà ïëàñòèíå íà äîñòàòî÷íîì ðàññòîÿíèè âíèç ïî ïîòîêó îò ïå

ðåäíåé êðîìêè, ñòàâèëèñü óñëîâèÿ ëèíåéíîé ýêñòðàïîëÿöèè èçíóò

ðè îáëàñòè ñî 2-ì ïîðÿäêîì äëÿ âñåõ çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ. Ñåòêà

èìåëà 100 óçëîâ â ïðîäîëüíîì è 40 óçëîâ, ñãóùàþùèõñÿ ê ïëàñòèíå, â

íîðìàëüíîì íàïðàâëåíèÿõ. Ðàçìåðû ðàñ÷åòíîé îáëàñòè â óñëîâíûõ

åäèíèöàõ ðàâíÿëèñü: â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè äî ïëàñòèíû — 8,

ïî ïëàñòèíå—8èâïîïåðå÷íîì íàïðàâëåíèè — 12.

Íà ðèñ. 3.1 ïðèâåäåíû ðàñïðåäåëåíèÿ ïîïåðåê ïîãðàíè÷íîãî

ñëîÿ ïðîäîëüíîé ñêîðîñòè

â 95-ì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè (

x = 712,

), à

íà ðèñ. 3.2 — ðàñïðåäåëåíèÿ ïî ïëàñòèíå îò ïåðåäíåé êðîìêè âíèç

ïî ïîòîêó êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëåíèÿ

. Çíà÷èòåëüíîå ðàçëè÷èå

ìåæäó ðåøåíèÿìè íàáëþäàåòñÿ â îêðåñòíîñòè ïåðåäíåé êðîìêè ïëà-

ñòèíû è îáóñëîâëåíî íåâûïîëíåíèåì â ýòîì ìåñòå ãèïîòåç, ïîëî-

æåííûõ â îñíîâó ìîäåëè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ (3.1). Ñ óäàëåíèåì îò ïå-

ðåäíåé êðîìêè âíèç ïî òå÷åíèþ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Íàâüå — Ñòîê-

ñà è ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ ñáëèæàþòñÿ.

88 Ãëàâà 3

Ðèñ. 3.1. Ïðîôèëè ïðîäîëüíîé ñêî

ðîñòè ïðè îáòåêàíèè íåïîäâèæíîé

ïëàñòèíû.

1 — ðåøåíèå óðàâíåíèé ïîãðàíè÷íîãî

ñëîÿ (3.1); 2 — ÷èñëåííîå ðåøåíèå óðàâ

íåíèé Íàâüå — Ñòîêñà (1.7).

Ðèñ. 3.2. Ðàñïðåäåëåíèÿ âäîëü ïëà

ñòèíû êîýôôèöèåíòà ñîïðîòèâëå

íèÿ.

Óñë. îáîçí. òàêèå æå, êàê íà ðèñ. 3.1.

3.1.2. Òå÷åíèå îêîëî ïëàñòèíû,

âíåçàïíî ïðèâåäåííîé â äâèæåíèå

Ðàññìîòðèì ïðèìåð ïðîñòåéøåãî îäíîìåðíîãî íåñòàöèîíàðíîãî

òå÷åíèÿ âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè. Ïåðâîíà÷àëüíî, â ìîìåíò

t = 0

ïëîñêàÿ ñòåíêà, ñîâïàäàþùàÿ ñ îñüþ

, íàõîäèòñÿ â ñîñòîÿíèè

ïîêîÿ. Âíåçàïíî ïðè

t > 0

îíà íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêî

ðîñòüþ

. Íåîáõîäèìî îïèñàòü êàðòèíó òå÷åíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè

âáëèçè ñòåíêè.

Â ðåçóëüòàòå äâèæåíèÿ ïëàñòèíû âäîëü íåå ôîðìèðóåòñÿ ëàìè

íàðíûé ïîãðàíè÷íûé ñëîé. Ýòà çàäà÷à èìååò àíàëèòè÷åñêîå àâòîìî

äåëüíîå ðåøåíèå, âïåðâûå ïîëó÷åííîå Ñòîêñîì [2]:

uU edz

()h

=−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

−

∫

ãäå

hn= yt/2

— áåçðàçìåðíûé ïàðàìåòð ðàññòîÿíèÿ îò ïëàñòèíû.

Áîëåå ïîäðîáíîå îïèñàíèå àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è

ìîæíî íàéòè â [1,3].

Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ÷èñëåííîãî ðàñ÷åòà âûáðàíà ïðÿìîóãîëüíàÿ îá-

ëàñòü ðàçìåðîì 12 ´ 8 óñëîâíûõ åäèíèö, ñîîòâåòñòâåííî ïî íàïðàâ-

ëåíèÿì

. Íèæíÿÿ ãðàíèöà

y = 0

ÿâëÿåòñÿ òâåðäîé ñòåíêîé è íà

íåé çàäàþòñÿ óñëîâèÿ ïðèëèïàíèÿ:

= 0

. Íà âåðõíåé ãðà-

íèöå îáëàñòè çàäàþòñÿ ïàðàìåòðû íåâîçìóùåííîãî ïîòîêà è ðàñ÷åò

ïðîâîäèòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà âîçìóùåíèÿ îò ïëàñòèíû íå äîñòèãíóò

åå. Íà áîêîâûõ ãðàíèöàõ îáëàñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ ýêñòðàïîëÿöèÿ ïà

ðàìåòðîâ òå÷åíèÿ èç âíóòðåííèõ óçëîâ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè.

Â âûáðàííîé îáëàñòè ñòðîèòñÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ ñåòêà 100 ´ 40

ÿ÷ååê, ðàâíîìåðíàÿ â ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè è ñãóùàþùàÿñÿ

ê ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû òàê, ÷òî

âûñîòà ñàìîé ìàëåíüêîé ÿ÷åéêè

(ó ïîâåðõíîñòè ïëàñòèíû) â 10 ðàç

ìåíüøå âûñîòû ñàìîé áîëüøîé

(ó âåðõíåé ãðàíèöû). Â êà÷åñòâå ïà

ðàìåòðîâ òå÷åíèÿ âçÿòû ñëåäóþùèå.

Â ñîñòîÿíèÿ ïîêîÿ

u = 0

p = 1

Âåðèôèêàöèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 89

Ðèñ. 3.3. Ïðîôèëè ïðîäîëüíîé ñêîðîñòè

ïðè îáòåêàíèè âíåçàïíî ïðèâåäåííîé â

äâèæåíèå ïëàñòèíû.

1 — òî÷íîå ðåøåíèå; 2 — ÷èñëåííîå ðåøå

íèå óðàâíåíèé Íàâüå — Ñòîêñà (1.7).

Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïëàñòèíû

. ×èñëî Ðåéíîëüäñà

Re = 16

. Øàã

ïî

çàäàâàëñÿ ðàâíûì 0,1.

Íà ðèñ. 3.3 ïðåäñòàâëåíî ñðàâíåíèå ïðîôèëåé ïðîäîëüíîé ñêî

ðîñòè

u()h

, âçÿòûõ èç ÷èñëåííîãî è àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèé â

ìîìåíò âðåìåíè

t = 017,

. Âèäíî õîðîøåå ñîîòâåòñòâèå ïîëó÷åííîãî

÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñ àíàëèòè÷åñêèì. Äëÿ ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ ïî

ïñåâäîâðåìåíè

íà êàæäîì âðåìåííîì ñëîå òðåáîâàëîñü îò 4 äî 6

èòåðàöèé.

§ 3.2. ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÅ ÒÅ×ÅÍÈÅ Â ÏËÎÑÊÎÌ ÊÀÍÀËÅ

Ðàññìîòðåíî òå÷åíèå â ïëîñêîì äâóìåðíîì êàíàëå. ×èñëî Ðåé

íîëüäñà, ïîñ÷èòàííîå ïî ïîëîâèíå âûñîòû êàíàëà

è ìàêñèìàëü

íîé ñêîðîñòè

max

, äîñòèãàåìîé ïîòîêîì â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè

êàíàëà, ðàâíÿëîñü

max

12 300

Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü â îäíîé èç ñèììåòðè÷íûõ ÷àñòåé îáëàñòè

òå÷åíèÿ, ñõåìàòè÷íî ïðåäñòàâëåííîé íà ðèñ. 3.4. Âî âõîäíîì ñå÷å-

íèè çàäàâàëñÿ ðàâíîìåðíûé ïðîôèëü ñêîðîñòè

0868= ,

. Äàííîå

çíà÷åíèå

îáåñïå÷èâàëî âî âõîäíîì ñå÷åíèè òàêîé æå ðàñõîä æèä-

êîñòè, êàêîé áóäåò âûïîëíÿòüñÿ â ñå÷åíèÿõ êàíàëà íèæå ïî ïîòîêó,

ãäå íàñòóïèò óñòàíîâëåíèå ïî äëèíå êàíàëà òóðáóëåíòíîãî ïðîôèëÿ

ñêîðîñòè ñ

max

= 1

. Äëèíà êàíàëà çàäàâàëàñü ðàâíîé 100 Í. Íà ýòîé

äëèíå è íàñòóïàëî óñòàíîâëåíèå ïðîôèëÿ è îí íå èçìåíÿëñÿ ïðè

äàëüíåéøåì ïðîäâèæåíèè âíèç ïî ïîòîêó. Ñåòêà èìåëà 100 ÿ÷ååê â

ïðîäîëüíîì íàïðàâëåíèè è 30 ÿ÷ååê, ñãóùàþùèõñÿ ê ñòåíêå êàíàëà

ïî çàêîíó

yH=+−(( ) ) /11bb

b = 50

â íîðìàëüíîì íàïðàâëåíèè.

90 Ãëàâà 3

Ðèñ. 3.4. Ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ â ïëîñêîì êàíàëå.