Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах

Подождите немного. Документ загружается.

Äîìíîæàÿ ýòè ñõåìû ñëåâà íà ìàòðèöó ëåâûõ ñîáñòâåííûõ âåê

òîðîâ

ìàòðèöû

è îáîçíà÷àÿ ïðè ýòîì

LQ Ô

⎧

⎨

⎪

⎩

⎫

⎬

⎪

⎭

, ïîëó÷èì

ñèñòåìó äâóõ ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé â ñëó÷àå ñõåìû 2-ãî ïîðÿäêà àï

ïðîêñèìàöèè ïî

âèäà (1.116), à â ñëó÷àå 3-ãî ïîðÿäêà — âèäà (1.119).

Êîýôôèöèåíòû â ýòèõ óðàâíåíèÿõ îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì îáðà

çîì:

P = 0

±±

±ll||

k = 12,

— íîìåð óðàâíåíèÿ,

— ñîá

ñòâåííûå ÷èñëà ìàòðèöû

. Èç ñîîòíîøåíèé (1.118) è (1.121) çàêëþ

÷àåì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ñïåêòðàëüíîå óñëîâèå óñòîé÷èâîñòè âû

ïîëíåíî.

Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàñùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè (1.93) ñèñòåìà

óðàâíåíèé (1.54) â ñëó÷àå ñõåì 2-ãî è 3-ãî ïîðÿäêîâ ðàñïàäàåòñÿ íà

óðàâíåíèÿ âèäà (1.122) è (1.125) ñ êîýôôèöèåíòàìè

()

−

41 /

±±

±lr

ãäå

k = 12,

(íîìåð óðàâíåíèÿ),

rll= max ( )||,||

— ñïåêòðàëüíûé

ðàäèóñ ìàòðèöû

Ýòè êîýôôèöèåíòû óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, ïðè êîòîðûõ ïî-

ëó÷åíû ñîîòíîøåíèÿ (1.124), (1.127), îòêóäà ñëåäóåò âûïîëíåíèå

ñïåêòðàëüíîãî óñëîâèÿ óñòîé÷èâîñòè.

Â çàêëþ÷åíèå îòìåòèì, ÷òî â íàñòîÿùåì ìåòîäå â ëèíåéíîì îä-

íîìåðíîì ñëó÷àå ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàñùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè

(1.78) ôàêòîðèçîâàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ñîâïàäåò ñ èñõîäíîé, ò.å.

îøèáêà ôàêòîðèçàöèè îòñóòñòâóåò. Â ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ðàñùåï

ëåíèÿ (1.93) ïîÿâëÿåòñÿ îøèáêà ôàêòîðèçàöèè, êîòîðàÿ íå âûçûâàåò

îãðàíè÷åíèÿ íà øàã ïî âðåìåíè.

1.2.6. ×èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ êðàåâûõ óñëîâèé

Äëÿ ïîëíîãî îïðåäåëåíèÿ ïîñòðîåííîãî àëãîðèòìà íåîáõîäèìî

óêàçàòü ñïîñîá ðåàëèçàöèè êðàåâûõ óñëîâèé íà ãðàíèöàõ. Ïðè ìîäå

ëèðîâàíèè òå÷åíèé, ðàññìîòðåííûõ â ìîíîãðàôèè, âñòðå÷àëîñü íå

ñêîëüêî òèïîâ ãðàíèö: ïîâåðõíîñòü òåëà (òâåðäàÿ ñòåíêà), ãðàíèöà â

äàëüíåì ïîëå òå÷åíèÿ, âõîäíàÿ è âûõîäíàÿ ãðàíèöû, ãðàíèöû, íà êî

òîðûõ èñïîëüçîâàëîñü óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè, ëèíèÿ ñèììåòðèè.

Äëÿ ñîõðàíåíèÿ îäíîðîäíîñòè ÷èñëåííîãî àëãîðèòìà â îêðåñò

íîñòè ãðàíèö ðàñ÷åòíîé îáëàñòè çà íèìè áûëè ââåäåíû ïî äâà äî

ïîëíèòåëüíûõ ñëîÿ ôèêòèâíûõ ÿ÷ååê, ïðè÷åì ãðàíèöà âû÷èñëèòåëü

íîé îáëàñòè ñîâïàäàëà ñ ãðàíüþ, ðàçäåëÿâøåé ôèêòèâíûå ÿ÷åéêè è

Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 61

ÿ÷åéêè ñåòêè, â êîòîðûõ âåëèñü âû÷èñëåíèÿ. Ðàññìîòðèì îïðåäåëå

íèå çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ â ôèêòèâíûõ óçëàõ ñåòêè íà ðàçëè÷íûõ

òèïàõ ãðàíèö ïî çíà÷åíèÿì âåëè÷èí èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿ÷ååê ðàñ

÷åòíîé îáëàñòè. Ïåðåìåííûå äîëæíû îïðåäåëÿòüñÿ â ôèêòèâíûõ óç

ëàõ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû íà ñàìèõ ãðàíèöàõ óäîâëåòâîðÿëèñü ñîîò

âåòñòâóþùèå êðàåâûå óñëîâèÿ.

Òâåðäàÿ ñòåíêà

Â ñëó÷àå íåâÿçêèõ òå÷åíèé íåîáõîäèìî ðåàëèçîâàòü íà òâåðäîé

ñòåíêå òîëüêî îäíî êðàåâîå óñëîâèå: ðàâåíñòâî íóëþ íîðìàëüíîé

ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè

un⋅=0

, ãäå

— åäèíè÷íàÿ íîðìàëü ê ñòåí

êå. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ â ôèêòèâíûõ ÿ÷åéêàõ ñåòêè íà

äàííîì òèïå ãðàíèö ñêîðîñòè îïðåäåëÿþòñÿ ñèììåòðè÷íî ñêîðî

ñòÿì èç ñîîòâåòñòâóþùèõ ÿ÷ååê ðàñ÷åòíîé îáëàñòè îòíîñèòåëüíî

ãðàíèöû.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ äàâëåíèÿ èñïîëüçóåòñÿ íîðìàëüíàÿ ê ñòåíêå ñî-

ñòàâëÿþùàÿ óðàâíåíèÿ ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà. Îíà ïîëó÷àåòñÿ èç

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà è ïðè óñëîâèè

un⋅=0

èìååò âèä

nuunnf∇= ∇ + ⋅p ()

. (1.128)

Ñîîòíîøåíèå (1.128) îïðåäåëÿåò ïðîèçâîäíóþ ïî íîðìàëè îò äàâ-

ëåíèÿ â äàííîé òî÷êå ãðàíèöû, êîòîðîå ïðèìåíÿåòñÿ äëÿ ïîëó÷åíèÿ

äàâëåíèÿ â ôèêòèâíûõ óçëàõ. Àíàëîãè÷íûå óñëîâèÿ íà ãðàäèåíò îò

äàâëåíèÿ ïî íîðìàëè èñïîëüçîâàëèñü â [15]. Ðàññìàòðèâàÿ ñîîòíîøå

íèå (1.128) â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò

()

x xyz,,

()

h xyz,,

()

z xyz,,

, ââåäåííîé â ðàçä. 1.2.2 è ñâÿçàííîé ñ ñåòêîé, ïîêðûâàþùåé

âû÷èñëèòåëüíóþ îáëàñòü, ïîëó÷èì ñîîòíîøåíèå, àíàëîãè÷íîå (1.128).

Ãðàäèåíò â ýòîì ñëó÷àå âûðàæàåòñÿ ôîðìóëîé

∇= + +

∂

DD D

xhz

, (1.129)

ãäå

()

xxx=

xyz

()

hhh=

xyz

()

zzz=

xyz

. Ïðè

àïïðîêñèìàöèè â âûðàæåíèè (1.129) ìåòðè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ ñ

ïîìîùüþ ôîðìóë (1.61) âûðàæåíèå äëÿ ãðàäèåíòà çàïèñûâàåòñÿ ñëå

äóþùèì îáðàçîì:

∇= + +

∂

SSS

xhz

DDD

VVV

fff

, (1.130)

62 Ãëàâà 1

ãäå

— îáúåì âñïîìîãàòåëüíîé ÿ÷åéêè, öåíòð êîòîðîé ðàñïîëîæåí

íà ãðàíèöå;

SSS

xhz

— âåêòîðû, íîðìàëüíûå ê ãðàíÿì

x = const

h = const

z = const

âñïîìîãàòåëüíîé ÿ÷åéêè è ðàâíûå ïî ìîäóëþ

ïëîùàäÿì ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíåé;

DD Dxhz,,

— øàãè ñåòêè â íà

ïðàâëåíèÿõ

xhz,,

. Èç ôîðìóë (1.128) è (1.130) âèäíî, ÷òî ïðè àï

ïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ îò äàâëåíèÿ è îò ñîñòàâëÿþùèõ íîðìàëè

øàãè ñåòêè â íàïðàâëåíèÿõ

xhz,,

ñîêðàùàþòñÿ. Ïðè ÷èñëåííîé ðåà

ëèçàöèè óñëîâèÿ (1.128) ïðîèçâîäíûå îò äàâëåíèÿ è îò ñîñòàâëÿþùèõ

íîðìàëè àïïðîêñèìèðîâàëèñü öåíòðàëüíûìè ðàçíîñòÿìè.

Â ñëó÷àå ðàñ÷åòà âÿçêèõ ëàìèíàðíûõ òå÷åíèé íà ãðàíèöå âû÷èñ

ëèòåëüíîé îáëàñòè, ñîâïàäàþùåé ñ òâåðäîé ñòåíêîé, íåîáõîäèìî

ðåàëèçîâàòü óñëîâèå ðàâåíñòâà íóëþ âñåõ êîìïîíåíò ñêîðîñòè. Êîì

ïîíåíòû ñêîðîñòè â ôèêòèâíûõ ÿ÷åéêàõ ïðè ýòîì áåðóòñÿ ðàâíûìè

ïî ìîäóëþ è ïðîòèâîïîëîæíûìè ïî çíàêó êîìïîíåíòàì ñêîðîñòè,

âû÷èñëåííûì â ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî ãðàíèöû ÿ÷åéêàõ âû-

÷èñëèòåëüíîé îáëàñòè. Äàâëåíèå â ôèêòèâíûõ ÿ÷åéêàõ îïðåäåëÿåòñÿ

èç öåíòðàëüíî-ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ñîîòíîøåíèÿ

∂∂=pn/0

, (1.131)

êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì óðàâíåíèé Íàâüå — Ñòîêñà â ïðèáëè-

æåíèè ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Îòìåòèì, ÷òî êðèâîëèíåéíàÿ ñèñòåìà êî-

îðäèíàò, ñâÿçàííàÿ ñ ñåòêîé, ñòðîèòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû êîîð-

äèíàòíûå ëèíèè, ïåðåñåêàþùèå ãðàíèöó, áûëè îðòîãîíàëüíû ê íåé.

Ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ ïî íîðìàëè îò äàâëåíèÿ àïïðîêñèìèðóåòñÿ

öåíòðàëüíûìè ðàçíîñòÿìè òîëüêî â ñîîòâåòñòâóþùåì íàïðàâëåíèè.

Ðåàëèçàöèÿ êðàåâûõ óñëîâèé íà òâåðäîé ñòåíêå â ñëó÷àå ìîäåëè

ðîâàíèÿ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé áóäåò ðàññìîòðåíà â ðàçä. 1.3.8.

Óäàëåííàÿ ãðàíèöà

Ïðè ðåàëèçàöèè êðàåâûõ óñëîâèé íà óäàëåííîé ãðàíèöå â çàäà

÷àõ âíåøíåãî îáòåêàíèÿ èñïîëüçóþòñÿ ãèïåðáîëè÷åñêèå ñâîéñòâà

íåâÿçêîé ÷àñòè ìîäèôèöèðîâàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.53). Ïðè

ìåíÿåìûé â ìîíîãðàôèè ïîäõîä àíàëîãè÷åí îïèñàííîìó â ðàáîòå

[15] è ó÷èòûâàåò ðàñïðîñòðàíåíèå âîçìóùåíèé ëèøü â íîðìàëüíîì ê

ãðàíèöå âû÷èñëèòåëüíîé îáëàñòè íàïðàâëåíèè. Ðåàëèçàöèÿ êðàåâûõ

óñëîâèé â äàííîì ìåòîäå îñóùåñòâëÿåòñÿ ïóòåì îïðåäåëåíèÿ íà ãðà

íèöå îáëàñòè õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ

, çàäàâàåìûõ ôîð

ìóëîé

ÔLQ=

, ãäå

— âåêòîð çàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ èç (1.6),

—

ìàòðèöà ëåâûõ ñîáñòâåííûõ âåêòîðîâ ìàòðèöû ßêîáè íåâÿçêîãî ïî

òîêà. Êîìïîíåíòû âåêòîðà õàðàêòåðèñòè÷åñêèõ ïåðåìåííûõ, ñîîò

âåòñòâóþùèå ïðèõîäÿùèì õàðàêòåðèñòèêàì, íàõîäÿòñÿ èç ïàðàìåò

Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 63

ðîâ îäíîðîäíîãî ïîòîêà, çàäàííîãî íà áåñêîíå÷íîñòè. Îñòàâøèåñÿ

êîìïîíåíòû ýêñòðàïîëèðóþòñÿ èçíóòðè âû÷èñëèòåëüíîé îáëàñòè.

Ñîâåðøàÿ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå

QLÔ=

−1

, íàõîäèòñÿ âåêòîð çà

âèñèìûõ ïåðåìåííûõ íà ãðàíèöå.

Òàêîé ñïîñîá ðåàëèçàöèè êðàåâûõ óñëîâèé îñëàáëÿåò îòðàæåíèå

âûõîäÿùèõ èç ðàñ÷åòíîé îáëàñòè âîçìóùåíèé îò èñêóññòâåííîé

âíåøíåé ãðàíèöû, áëàãîäàðÿ ÷åìó ìîæåò áûòü ñîêðàùåíà ïðîäîë

æèòåëüíîñòü ïðîöåññà óñòàíîâëåíèÿ.

Âõîäíàÿ è âûõîäíàÿ ãðàíèöû

Ïîñòàíîâêà êðàåâûõ óñëîâèé â ñëó÷àå ðåøåíèÿ çàäà÷ ïðîòåêà

íèÿ èäåàëüíîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè ðàññìàòðèâàëàñü â ðàáîòå

[16]. Ñëåäóÿ ðåêîìåíäàöèÿì ýòîé ðàáîòû, à òàêæå èñõîäÿ èç ãèïåð

áîëè÷íîñòè íåâÿçêîé ÷àñòè ñèñòåìû ìîäèôèöèðîâàííûõ óðàâíå-

íèé (1.53), íà âõîäíîé ãðàíèöå (ðèñ. 1.6) èñïîëüçîâàëèñü äâà ñïîñî-

áà çàäàíèÿ êðàåâûõ óñëîâèé. Â îäíîì ñëó÷àå çàäàâàëèñü âñå êîìïî-

íåíòû ñêîðîñòè, äàâëåíèå îïðåäåëÿëîñü ïî çíà÷åíèÿì äàâëåíèÿ

64 Ãëàâà 1

Ðèñ. 1.6. Ãðàíèöû ðàñ÷åòíîé îáëàñòè íà ïðèìåðå ðàáî÷åãî êîëåñà ðàäèàëü

íî-îñåâîé ãèäðîòóðáèíû.

âíóòðè ðàñ÷åòíîé îáëàñòè è çàäàííûì íà âõîäå ñêîðîñòÿì. Ïðè

ýòîì ïðèìåíÿëñÿ çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà â íîðìàëüíîì ê ãðà

íèöå íàïðàâëåíèè (1.128) è ó÷èòûâàëîñü, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå ñêîðî

ñòåé íà âõîäíîé ãðàíèöå íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Â äðóãîì ñëó÷àå çà

äàâàëñÿ ïîëíûé íàïîð è êàñàòåëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè.

Íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà ñêîðîñòè ýêñòðàïîëèðîâàëàñü èçíóòðè

îáëàñòè.

Íà âûõîäíîé ãðàíèöå (ñì. ðèñ. 1.6) îïðîáîâàíî çàäàíèå íîðìàëü

íîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè. Òàíãåíöèàëüíûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè

è äàâëåíèå ýêñòðàïîëèðîâàëèñü èçíóòðè îáëàñòè. Íî â òàêîì ñëó÷àå

èòåðàöèîííûé ïðîöåññ âûõîäèë íà êîëåáàòåëüíûé ðåæèì è ñõîäè

ìîñòü ñ äîñòàòî÷íîé òî÷íîñòüþ íå äîñòèãàëàñü. Ïîýòîìó èñïîëüçîâàë

ñÿ äðóãîé âàðèàíò ðåàëèçàöèè êðàåâûõ óñëîâèé, ïðè êîòîðîì íà âû

õîäíîé ãðàíèöå çàäàâàëîñü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ, à êîìïîíåíòû

ñêîðîñòè ýêñòðàïîëèðîâàëèñü èçíóòðè îáëàñòè. Â ýòîì ñëó÷àå ñõîäè-

ìîñòü äîñòèãàëàñü âî âñåõ ðàñ÷åòàõ çàäà÷ äàííîãî êëàññà.

Â ñëó÷àå ðàñ÷åòîâ âÿçêèõ òå÷åíèé ïðèìåíÿëàñü îäíà èç ïîñòàíî-

âîê êðàåâûõ óñëîâèé, òàêæå èññëåäîâàííûõ â [16], ïðè êîòîðîé íà

âõîäíîé ãðàíèöå çàäàâàëñÿ âåêòîð ñêîðîñòè, à äàâëåíèå ýêñòðàïîëè-

ðîâàëîñü èçíóòðè îáëàñòè. Íà âûõîäíîé ãðàíèöå çàäàâàëîñü äàâëå-

íèå è òàíãåíöèàëüíûå ñîñòàâëÿþùèå ñêîðîñòè, à íîðìàëüíàÿ ñî-

ñòàâëÿþùàÿ ýêñòðàïîëèðîâàëàñü èçíóòðè îáëàñòè.

Ãðàíèöû ïåðèîäè÷íîñòè òå÷åíèÿ è ëèíèÿ ñèììåòðèè

Óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè èñïîëüçîâàëîñü ïðè ìîäåëèðîâàíèè òå

÷åíèé â íàïðàâëÿþùèõ àïïàðàòàõ è ðàáî÷èõ êîëåñàõ ðàçëè÷íûõ òè

ïîâ ãèäðîòóðáèí â öèêëè÷åñêîé ïîñòàíîâêå. Ïðè èçó÷åíèè òå÷åíèé

â äàííîé ïîñòàíîâêå äëÿ ñîêðàùåíèÿ çàòðàò ìàøèííîãî âðåìåíè

âû÷èñëåíèÿ âåëèñü ëèøü â îäíîì êàíàëå íàïðàâëÿþùåãî àïïàðàòà

èëè ðàáî÷åãî êîëåñà, ðàñïîëîæåííîãî ìåæäó ñîñåäíèìè ëîïàñòÿìè

(ðèñ. 1.7). Çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ ïîòîêà â äðóãèõ ìåæëîïàòî÷íûõ êà

íàëàõ íàïðàâëÿþùåãî àïïàðàòà è ìåæëîïàñòíûõ êàíàëàõ ðàáî÷åãî

êîëåñà ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû ñ ïîìîùüþ íåñêîëüêèõ ïîâîðîòîâ âû

÷èñëåííûõ âåêòîðîâ ñêîðîñòè è äàâëåíèÿ èç ÿ÷ååê ðàñ÷åòíîé îáëàñ

òè âîêðóã îñè ðàáî÷åãî êîëåñà íà óãîë ïåðèîäà. Óãîë ïåðèîäà îïðåäå

ëÿåòñÿ êîëè÷åñòâîì ëîïàòîê â íàïðàâëÿþùåì àïïàðàòå èëè ëîïàñòåé

â ðàáî÷åì êîëåñå. Òàêèì æå îáðàçîì îïðåäåëÿëèñü çíà÷åíèÿ çàâèñè

ìûõ ïåðåìåííûõ ïî çíà÷åíèÿì ïåðåìåííûõ èç ñîîòâåòñòâóþùèõ

ÿ÷ååê ðàñ÷åòíîé îáëàñòè íà ó÷àñòêàõ ãðàíèö, ãäå ðåàëèçîâûâàëîñü

óñëîâèå ïåðèîäè÷íîñòè.

Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 65

Íà ëèíèè ñèììåòðèè, âñòðå÷àþùåéñÿ ïðè ðàñ÷åòàõ äâóìåðíûõ

çàäà÷, à òàêæå â îáëàñòè çà ëîïàñòÿìè ðàáî÷åãî êîëåñà äàâëåíèå â

ôèêòèâíûõ ÿ÷åéêàõ ïðèðàâíèâàëîñü äàâëåíèþ â ñèììåòðè÷íûõ îò-

íîñèòåëüíî ëèíèè ñèììåòðèè ÿ÷åéêàõ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè, à êîìïî-

íåíòû ñêîðîñòè âû÷èñëÿëèñü ñ ïîìîùüþ ïðîöåäóðû îòðàæåíèÿ îò-

íîñèòåëüíî ëèíèè ñèììåòðèè.

Îòìåòèì, ÷òî ðåàëèçàöèÿ êðàåâûõ óñëîâèé, îïèñàííûõ â äàííîì

ïàðàãðàôå, îñóùåñòâëÿåòñÿ ÿâíî. Äëÿ çàìûêàíèÿ íåÿâíîé ïðîöåäó-

ðû áåãóùåãî ñ÷åòà äëÿ íåâÿçêè ñòàâèëèñü íóëåâûå ãðàíè÷íûå óñëî

âèÿ íà âñåõ òèïàõ ãðàíèö.

1.2.7. Âûáîð êîýôôèöèåíòà

èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ óñêîðåíèÿ ñõîäèìîñòè èòåðàöèîííîãî ïðîöåññà

êîýôôèöèåíò èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè

íóæíî âûáèðàòü òàê,

÷òîáû ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû ßêîáè

â (1.63) áûëè îäíîãî

ïîðÿäêà. Òîãäà ñêîðîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ èì âîç

ìóùåíèé áëèçêè äðóã ê äðóãó, ÷òî è îáåñïå÷èâàåò âûñîêóþ ñêîðîñòü

ñõîäèìîñòè.

Îöåíèâàÿ ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû

12,

= U

=± + ⋅UU SS

U =⋅uS

ïîëó÷àåì, ÷òî êîýôôèöèåíò èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè äîëæåí

áûòü ïîðÿäêà

||u

66 Ãëàâà 1

Ðèñ. 1.7. Ñõåìàòè÷íîå

èçîáðàæåíèå ãðàíèö

öèêëè÷íîñòè è ãðàíèö,

ïðîõîäÿùèõ ïî òâåð

äûì ñòåíêàì, ñ ôèê

òèâíûìè ÿ÷åéêàìè çà

íèìè.

Àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ õîðîøåé îáóñëîâ

ëåííîñòè ìàòðèöû

, ò.å. èç óñëîâèÿ, ÷òî ÷èñëî åå îáóñëîâëåííîñòè

áëèçêî ê åäèíèöå:

K =≈RL 1

Äëÿ âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ â ðàáîòå [15] óñòàíîâëåíî, ÷òî êî

ýôôèöèåíò èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè äîëæåí âû÷èñëÿòüñÿ ïî

ôîðìóëå

b = max ( , , | | )03

15<<r

Â íàñòîÿùåé ðàáîòå äëÿ äîñòèæåíèÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè

ñõîäèìîñòè èòåðàöèé êîýôôèöèåíò èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè

ïîëàãàåòñÿ

bd= U

õàð

ãäå

d =÷510

;

õàð

— õàðàêòåðíàÿ ñêîðîñòü çàäà÷è.

§ 1.3. ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ

ÌÎÄÅËÅÉ ÒÓÐÁÓËÅÍÒÍÎÑÒÈ

1.3.1. Îáîáùåííàÿ çàïèñü çàìûêàþùèõ óðàâíåíèé

Êàæäîå èç óðàâíåíèé

k − e

ìîäåëè ìîæåò áûòü çàïèñàíî â ñëå-

äóþùåì îáùåì âèäå:

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

+ϕ−

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

tx x

uHn

, (1.132)

ãäå

ϕ,

ïðèâåäåíû â òàáë. 1.1.

Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 67

Òàáëèöà 1.1

Óðàâíåíèå

Äëÿ òóðáóëåíòíîé êè

íåòè÷åñêîé ýíåðãèè

k nn s+

/ G − e

RNG-ìîäåëü

Gky−−en2

Ìîäåëü äëÿ íèç

êèõ ÷èñåë Ðåé

íîëüäñà

Äëÿ ñêîðîñòè äèññè

ïàöèè òóðáóëåíòíîé

êèíåòè÷åñêîé ýíåð

ãèè

enns

CkGC k

//⋅⋅−⋅

RNG-ìîäåëü

CkGC

kf y f

ene

⋅⋅−×

×⋅−⋅⋅

Ìîäåëü äëÿ íèç

êèõ ÷èñåë Ðåé

íîëüäñà

1.3.2. Äèñêðåòèçàöèÿ óðàâíåíèé

Äëÿ äèñêðåòèçàöèè óðàâíåíèÿ (1.132), òàê æå êàê è äëÿ óðàâíå

íèé äâèæåíèÿ æèäêîñòè, ïðèìåíÿåòñÿ íåÿâíûé ìåòîä êîíå÷íûõ

îáúåìîâ. Ïîñëåäíèé, â îòëè÷èå îò ðàçíîñòíûõ ìåòîäîâ ïðèáëèæåíèÿ

äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ïîçâîëÿåò èçáåæàòü ïîÿâëåíèÿ ãðî

ìîçäêèõ ÷ëåíîâ ïðè ïåðåõîäå ê êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò,

îñîáåííî â òðåõìåðíîì ñëó÷àå. Êðîìå òîãî, ïîëó÷åííûå ñ ïîìîùüþ

ìåòîäà êîíå÷íûõ îáúåìîâ ñõåìû àâòîìàòè÷åñêè îáëàäàþò ñâîéñòâîì

êîíñåðâàòèâíîñòè. Äëÿ èñïîëüçîâàíèÿ ìåòîäà êîíå÷íûõ îáúåìîâ

óðàâíåíèå (1.132) çàìåíÿåòñÿ íà ýêâèâàëåíòíîå åìó óðàâíåíèå â âèäå

èíòåãðàëüíîãî çàêîíà ñîõðàíåíèÿ

∂

ϕ=−ϕ + ∇ϕ+

∫∫∫ ∫

∂∂

VVV V

dV d d HdVuS Sn

. (1.133)

Ïðè çàïèñè óðàâíåíèÿ (1.133) ïðèíÿòû òå æå îáîçíà÷åíèÿ, ÷òî è

äëÿ óðàâíåíèÿ (1.7).

Íåÿâíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ óðàâíåíèÿ (1.133) íà ýëåìåíòàðíîé

ÿ÷åéêå ðàçáèåíèÿ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè (ñì. ðèñ. 1.4) ïðèâîäèò ê ñëå-

äóþùåé ñèñòåìå íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé:

ϕ−ϕ+ϕ

+−

ijk

ijk ijk

VRHS

, (1.134)

ãäå çíà÷åíèÿ

ijk

îòíåñåíû ê öåíòðó ÿ÷åéêè;

— íîìåð èòåðàöèè íà

n + 1-ì ñëîå ïî âðåìåíè

ϕ=ϕ

+sns

()

;

[]

RHS

ijk

mijk

+−

=− ϕ ⋅ − ϕ ⋅ +

∑

12 12

() ()

uS uS

xyz

mijk

xyz

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎛

⎝

⎜

−

∑

12/

SSS H

xyz

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎞

⎠

⎟

−

ijk

(1.135)

Îñòàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ ïðèâåäåíû â ðàçä. 1.2.2.

68 Ãëàâà 1

1.3.3. Îïðåäåëåíèå ðàçíîñòíûõ ïîòîêîâ

Íåâÿçêèå ïîòîêè

Îïðåäåëèì íåâÿçêèå ðàçíîñòíûå ïîòîêè íà ãðàíÿõ ÿ÷åéêè òàêèì

îáðàçîì, ÷òîáû ðåçóëüòèðóþùàÿ ðàçíîñòíàÿ ñõåìà ÿâëÿëàñü ïðîòè

âîïîòîêîâîé ñõåìîé 2-ãî èëè 3-ãî ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè:

() (()()) ||

////

[ϕ⋅ = ϕ +ϕ −

+++++

uS u u S

mmmmmm

12 1 12 12 1

212

ϕ−

]

(1.136)

UUUU UUU

mmm

=⋅ = − ϕ=ϕ −ϕ = ±

+−

uS,| | , ,( | |)

, D

12 1

Â (1.136) ÷ëåí â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ àïïðîêñèìèðóåò íåâÿçêèé

ïîòîê íà ãðàíè

m + 12/

ñ ïåðâûì ïîðÿäêîì;

m+12/

— ÷ëåí, ïîâû-

øàþùèé ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè íåâÿçêîé ÷àñòè ñõåìû (1.134) äî

âòîðîãî èëè òðåòüåãî:

[][]

WNM MN

mmm mm++

−

=−+−

−+

12 32 12 12 12

/// //

(1.137)

NUU

mmmmm

−

ϕϕ

32 32 32 12 12/////

,=minmod( ),DDb

12 12 12 12 12

/////

−

−+

ϕϕ=minmod( ),UU

mm mm

DDb

−

ϕϕ=minmod( ),

mm mm

12 12 32 32

// //

,DDb

inmod( ),

mm mm+

+−

−

ϕϕ

≤≤−

12 12 12 12

// //

()/(

b −=F), , , .mijk

Îïåðàöèÿ

minmod

îïðåäåëåíà â (1.65). Áåç ìèíìîäóëüíûõ îãðà

íè÷èòåëåé ñõåìà (1.134) èìååò äëÿ íåâÿçêèõ ÷ëåíîâ íàïðàâëåííûå

ïðîòèâ ïîòîêîâ ðàçíîñòè âòîðîãî

()F =−1

èëè òðåòüåãî

(/)F = 13

ïî

ðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè.

Âÿçêèå ïîòîêè

Äëÿ àïïðîêñèìàöèè íà ãðàíè

m + 12/

(

mijk= ,,

) âÿçêîãî ïîòîêà

SSS

xyz

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

+12

(1.138)

Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 69

èñïîëüçóåòñÿ ïåðåõîä ê ââåäåííîé â ðàçä. 1.2.2 êðèâîëèíåéíîé ñèñ

òåìå êîîðäèíàò

xhz,,

nnww

SSS

xyz

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

+12

∂ϕ

∂

∂ϕ

∂

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

m /

(1.139)

ãäå

www

123

ïîëó÷åíû â (1.97).

Äëÿ àïïðîêñèìàöèè ÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â ïðàâóþ ÷àñòü (1.139), èñ

ïîëüçóþòñÿ òå æå ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ïðîèçâîäíûõ ïî êðèâîëèíåéíûì

êîîðäèíàòàì è êîýôôèöèåíòîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ, ÷òî è â ðàçä. 1.2.2.

1.3.4. Àïïðîêñèìàöèÿ èñòî÷íèêîâîãî ÷ëåíà H

Ðàññìîòðèì àïïðîêñèìàöèþ èñòî÷íèêîâûõ ÷ëåíîâ

ïðàâûõ ÷àñòÿõ óðàâíåíèé

k − e

ìîäåëè

×ëåí ãåíåðàöèè äèññèïàöèè

Â âûðàæåíèÿ äëÿ

âõîäèò ÷ëåí ãåíåðàöèè äèññèïàöèè

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎡

⎣

⎢

⎤

⎦

⎥

⎧

⎨

∂

n 2

⎪

⎩

⎪

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

⎜

⎞

⎠

⎟

⎛

⎝

∂

⎜

⎞

⎠

⎟

⎫

⎬

⎪

⎭

⎪

(1.140)

Â ñõåìå (1.134) îí àïïðîêñèìèðóåòñÿ â öåíòðå ÿ÷åéêè

ijk,,

íà s-é

èòåðàöèè n + 1-ãî ñëîÿ ïî âðåìåíè. Ïîýòîìó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèç

âîäíûõ îò êîìïîíåíò ñêîðîñòè ïî äåêàðòîâûì êîîðäèíàòàì, âõîäÿ

ùèõ â

, òðåáóþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûå áóäóò îòëè÷àòüñÿ îò ïðè

ìåíÿåìûõ â ðàçä. 1.3.3 äëÿ ðàñ÷åòà ïðîèçâîäíûõ îò

íà ãðàíÿõ ÿ÷åéêè.

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ îò êîìïîíåíò ñêîðîñòè, âõîäÿùèõ

, âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé Îñòðîãðàäñêîãî — Ãàóññà

∇⋅ = =

∫∫ ∫

∂

øøødV dV d

VV V

div S

. (1.141)

Îòñþäà, ïîñëåäîâàòåëüíî ïîëàãàÿ, ÷òî

()

ø =

⎧

⎨

⎪

⎩

⎪

,, ,

70 Ãëàâà 1