Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах
Подождите немного. Документ загружается.
Çàäàíèå äàâëåíèÿ â âûõîäíîì ñå÷åíèè
Êàê â âÿçêîé, òàê è íåâÿçêîé ïîñòàíîâêàõ çàäà÷è â âûõîäíîì ñå
-
÷åíèè íåîáõîäèìî çàäàâàòü ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ. Íàèáîëåå ïðî
-
ñòûì ñïîñîáîì ÿâëÿåòñÿ çàäàíèå âî âñåì âûõîäíîì ñå÷åíèè ïîñòî
-
ÿííîãî çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ.  ñëó÷àå ðàñïîëîæåíèÿ âûõîäíîãî ñå÷å
-
íèÿ â êîíóñå îòñàñûâàþùåé òðóáû ãèäðîòóðáèíû íåñêîëüêî áîëåå
òî÷íîå ðåøåíèå â îêðåñòíîñòè åãî îñè äàåò ïîñòàíîâêà â âûõîäíîì
ñå÷åíèè óñëîâèÿ ðàäèàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ äëÿ äàâëåíèÿ. Ýòî óñëîâèå
ïîëó÷àåòñÿ èç ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé óðàâíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâè
-
æåíèÿ
cc
r
rur
z
ru
c
r
c
r
cc
z
c
r
p
r
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++−=−
q
2
(1.49)
ïðè ïðåäïîëîæåíèè î ìàëîñòè ðàäèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè
c
r
≈ 0
è îñåñèììåòðè÷íîñòè òå÷åíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå (1.49)
ïðè
z = const
, ñîîòâåòñòâóþùåì âûõîäíîìó ñå÷åíèþ êîíóñà, ïðåâðà-
ùàåòñÿ â îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
dp
dr
c
r
u
=
2
.
(1.50)
Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (1.50) íà ïîâåðõíîñòè êîíó-
ñà â åãî âûõîäíîì ñå÷åíèè çàäàåòñÿ ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå äàâëåíèÿ è
âäîëü ðàäèóñà ïî íàïðàâëåíèþ ê îñè êîíóñà ðåøàåòñÿ çàäà÷à Êîøè
ìåòîäîì Ðóíãå — Êóòòà âòîðîãî ïîðÿäêà òî÷íîñòè.
Çàäàíèå ðàñïðåäåëåíèÿ äàâëåíèÿ â âûõîäíîì ñå÷åíèè ðàñ÷åòíîé
îáëàñòè ïðåäïîëàãàåò, ÷òî æèäêîñòü âûòåêàåò ÷åðåç ýòî ñå÷åíèå. Íà
÷àñòè âûõîäíîé ãðàíèöû ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî æèäêîñòü èç âíåøíå
-
ãî ðåçåðâóàðà âõîäèò â ðàñ÷åòíóþ îáëàñòü (ðèñ. 1.3).  ñëó÷àå âîçíèê
-
íîâåíèÿ ïîäîáíîãî âîçâðàòíîãî òå÷åíèÿ òðåáóåòñÿ ìîäèôèöèðîâàòü
äàâëåíèå íà âûõîäíîé ãðàíèöå. Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü
p
1
— ñòàòè÷å
-
ñêîå äàâëåíèå âî âíåøíåì ðåçåðâóàðå. Òîãäà, åñëè ÷àñòèöà æèäêîñòè
èç òî÷êè
A
âî âíåøíåì ðåçåðâóàðå, èìåþùàÿ äàâëåíèå
pp
A
=
1
è ñêî
-
ðîñòü
n
A
≈ 0
, äâèæåòñÿ â òî÷êó
B
, ðàñïîëîæåííóþ íà âûõîäíîì ñå÷å
-
íèè, òî ñîãëàñíî óðàâíåíèþ Áåðíóëëè äàâëåíèå â òî÷êå B äîëæíî
áûòü ìåíüøå, ÷åì
p
A
, à èìåííî
pp
BA
B
v
=−
2
2
.
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 31
Ðèñ. 1.3. Ê çàäàíèþ äàâëåíèÿ â âûõîäíîì
ñå÷åíèè ïðè íàëè÷èè âîçâðàòíîãî òå÷å
-
íèÿ.
Ïîýòîìó ðåàëèçàöèÿ êðàåâîãî óñëîâèÿ íà âûõîäíîé ãðàíèöå îñó
-
ùåñòâëÿåòñÿ â òðè ýòàïà:
— ýêñòðàïîëèðóåòñÿ ñêîðîñòü èçíóòðè îáëàñòè;
— ïóñòü
pxyz
1
(,,)
— çàäàííîå íà âûõîäíîé ãðàíèöå ðàñïðåäåëåíèå
äàâëåíèÿ. Åñëè íà âûõîäíîé ãðàíèöå äàâëåíèå ÿâíî íå çàäàíî, à
èñïîëüçóåòñÿ óñëîâèå ðàäèàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ, òî â êà÷åñòâå
pxyz
1
(,,)
áåðåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ, íàéäåííîå ñ èñïîëü
-
çîâàíèåì ýòîãî óñëîâèÿ;
— ïðîâåðÿåòñÿ íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè â òî÷êàõ ãðàíèöû. Åñëè ñêî
-
ðîñòü â òî÷êå âûõîäíîé ãðàíèöû íàïðàâëåíà âîâíå ðàñ÷åòíîé îá
-
ëàñòè (íîðìàëüíàÿ ñèòóàöèÿ), òî
pp=
1
. Åñëè æå â êàêîé-òî òî÷êå
âûõîäíîé ãðàíèöû îáíàðóæåíî âîçâðàòíîå òå÷åíèå (ïîòîê âòÿãè
-
âàåòñÿ â ðàñ÷åòíóþ îáëàñòü ÷åðåç âûõîäíóþ ãðàíèöó), òî äàâëåíèå
â ýòîé òî÷êå ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì
pp=−
1
2
2n /
. Çäåñü
n
— ñîñòàâ-
ëÿþùàÿ ñêîðîñòè â äàííîé òî÷êå ãðàíèöû, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ âû-
õîäíîìó ñå÷åíèþ.
Âîçìîæåí äðóãîé ïîäõîä ìîäèôèêàöèè êðàåâîãî óñëîâèÿ íà
âûõîäíîé ãðàíèöå â ñëó÷àå âîçíèêíîâåíèÿ âîçâðàòíîãî òå÷åíèÿ.
 òåõ òî÷êàõ ãðàíèöû, â êîòîðûõ îíî âîçíèêàåò, ïðèíóäèòåëüíî çà-
íóëÿòü íîðìàëüíóþ ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè. Ïîñëåäíèé ñïîñîá, â
îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî, îáåñïå÷èâàåò áîëåå áûñòðóþ ñõîäèìîñòü
èòåðàöèé.
§ 1.2. ÌÅÒÎÄ ÐÅØÅÍÈß ÎÑÍÎÂÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ
1.2.1. Ìåòîä èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè
×èñëåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ óðàâíåíèé (1.6) îñíîâàí íà ââåäåíèè
â ìîäåëü èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè ïóòåì äîáàâëåíèÿ â óðàâíå
-
íèå íåðàçðûâíîñòè ïðîèçâîäíîé ïî ïñåâäîâðåìåíè
t
îò äàâëåíèÿ.
 óðàâíåíèÿ êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ òàêæå äîáàâëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûå
ïî ïñåâäîâðåìåíè îò ñîîòâåòñòâóþùèõ êîìïîíåíò ñêîðîñòè. Â ðå
-
çóëüòàòå ìîäèôèöèðîâàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ïðèíèìàåò âèä
∂
∂
∂
∂
+=
p
u
x
j
j
t
b 0,
(1.51)
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++ =−+ +
⎛
uu
t
uu
x
p
xx
u
x
u
x
ii
ji
jij
i
j
j
i
t
n
eff
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ f
i
,
(1.52)
ãäå
b
— êîýôôèöèåíò èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè.
32 Ãëàâà 1
Ìîäèôèöèðîâàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.51), (1.52) ðåøàåòñÿ
÷èñëåííî. Ïðè ýòîì íà êàæäîì øàãå ïî ôèçè÷åñêîìó âðåìåíè
t
ïðî
-
âîäèòñÿ óñòàíîâëåíèå ïî ïñåâäîâðåìåíè
t
.
Äàííûé ïîäõîä ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí äëÿ ðåøåíèÿ ìåòîäîì
óñòàíîâëåíèÿ êàê ñòàöèîíàðíûõ, òàê è íåñòàöèîíàðíûõ çàäà÷.
1.2.2. Íåÿâíàÿ êîíå÷íî-îáúåìíàÿ àïïðîêñèìàöèÿ
ìîäèôèöèðîâàííûõ óðàâíåíèé
Èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà ìîäèôèöèðîâàííûõ óðàâíåíèé
è èõ äèñêðåòèçàöèÿ
Äëÿ ïîñòðîåíèÿ êîíñåðâàòèâíîé ðàçíîñòíîé ñõåìû ìîäèôèöè
-
ðîâàííûå óðàâíåíèÿ (1.51), (1.52) ïðåäñòàâëÿþòñÿ â ôîðìå èíòå
-
ãðàëüíûõ çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî
îáúåìà
V
:
RRQ K F
t
t
∂
∂
∂
∂
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+⋅=
∂
∫∫∫
t
VVV
t
dV dS dV
, (1.53)
ãäå
K =
+−
−
−
−
+−
b
t
t
t
b
t
t
u
up
uu
uu
u
uu
up
1
1
2
11
12 12
13 13
2
12 12
2
2
22
uu
u
uu
uu
up
23 23
3
13 13
23 23
3
2
33
−
−
−
+−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
t
b
t
t
t
,
()
R
t
= diag1111,,,
.
Ñåãìåíò ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ðàçáèâàåòñÿ íà ýëåìåíòàðíûå ÿ÷åé
-
êè â âèäå êðèâîëèíåéíûõ øåñòèãðàííèêîâ (ðèñ. 1.4).
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 33
Ðèñ. 1.4. Ýëåìåíòàðíàÿ ÿ÷åéêà â ìåòîäå
êîíå÷íûõ îáúåìîâ.
Ââåäåì ñëåäóþùèå îáîçíà÷åíèÿ äëÿ âåêòîðîâ
Q
è
F
, óñðåäíåí
-
íûõ ïî ÿ÷åéêå
ijk
ñ îáúåìîì
V
ijk
:
QQ
ijk
n
ijk
n
V
ijk
V
dV=
∫
1
,
FF
ijk
n
ijk
V
ijk
V
dV=
∫
1
n
è îòíåñåì èõ ê öåíòðó ÿ÷åéêè. Çäåñü âåðõíèé èíäåêñ
n
— ýòî íîìåð
ñëîÿ ïî âðåìåíè.
Äèñêðåòèçàöèÿ óðàâíåíèÿ (1.53), îòíåñåííîãî ê îáúåìó ÿ÷åéêè
V
ijk
, äàåò
RR
QQ Q QQ
t
t
() () ()
n
s
n
s
t
n
snn
t
+
+
+
+
+−
−−+
+
⎡
⎣
⎢
⎤
1
1
1
1
11
34
2DD
⎦
⎥
=
++
V
ns
()RHS
11
,
(1.54)
ãäå
Dt
è
Dt
— øàã ïî ïñåâäîâðåìåíè è øàã ïî âðåìåíè ñîîòâåòñòâåí-
íî;
s
— íîìåð èòåðàöèè ïî ïñåâäîâðåìåíè. Ïðàâàÿ ÷àñòü åñòü
()
(
RHSKSKSKS KS=−⋅−⋅+⋅−⋅+
+
+− +
−
() () ()
(
// /
/
iij
j
12 12 12
12
)
KS KS F⋅−⋅ +
+−
)() ,
//kk
V
12 12
ãäå
()
/
KS⋅
+i 12
,
()
/
KS⋅
+j 12
,
()
/
KS⋅
+k 12
ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ðàçíîñòíûå
ïîòîêè ÷åðåç ãðàíè
ijk+ 12/
,
ij k+ 12/
,
ijk + 12/
ÿ÷åéêè ñ íîìåðîì
ijk
è îáúåìîì
V
ijk
. Îïðåäåëèì âåêòîðû
S
ixyzi
SSS
++
=
12 12//
(, , )
,
S
jxyzj
SSS
++
=
12 12//
(, , )
, (1.55)
S
kxyzk
SSS
++
=
12 12//
(, , )
êàê íîðìàëè ê ãðàíÿì
ijk+ 12/
,
ij k+ 12/
,
ijk + 12/
ÿ÷åéêè ñ íîìåðîì
ijk
ñîîòâåòñòâåííî. Äëèíû ýòèõ âåêòîðîâ ðàâíû ïëîùàäÿì ñîîòâåòñò
-
âóþùèõ ãðàíåé ýòîé ÿ÷åéêè. Íàïðàâëåíèÿ íîðìàëåé âûáèðàþòñÿ òà
-
êèì îáðàçîì, ÷òîáû ê ãðàíÿì
ijkijkijk+++12 12 12/, /, /
îíè áûëè
âíåøíèìè, à ê ãðàíÿì
ijkijkijk−−−12 12 12/, /, /
— âíóòðåííèìè
ïî îòíîøåíèþ ê ÿ÷åéêå ñåòêè ñ èíäåêñàìè
ijk
. Òàêîé âûáîð íîðìà
-
ëåé óïðîùàåò èõ ïîñòðîåíèå, ïîñêîëüêó ïðè ýòîì âûäåëÿþòñÿ îäíè
ãëîáàëüíûå äëÿ âñåõ ÿ÷ååê ñåòêè, ïîëîæèòåëüíûå ïî êàæäîé èç êîîð
-
äèíàò, íàïðàâëåíèÿ. Íîðìàëè ê ãðàíÿì ÿ÷åéêè îïðåäåëÿþòñÿ òàêèì
îáðàçîì, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü ñîîòíîøåíèå
SSSSSS
iij jkk+−+−+−
−+−+−=
12 12 12 12 12 12
0
//////
, (1.56)
ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì èíòåãðàëüíîãî ðàâåíñòâà
dS
V
=
∂
∫
0
.
34 Ãëàâà 1
Ãåîìåòðè÷åñêèå ñîîòíîøåíèÿ
Äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ìåòîäà êîíå÷íûõ îáúåìîâ (1.54) íå
-
îáõîäèìî óêàçàòü àëãîðèòì âû÷èñëåíèÿ íåêîòîðûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ
âåëè÷èí, èñïîëüçóåìûõ â íåì.  äàííîì ðàçäåëå ïðèâîäÿòñÿ ôîðìó
-
ëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà è íîðìàëè ê ãðàíè ýëåìåíòàðíîé ÿ÷åéêè
ñåòêè, ïîêðûâàþùåé âû÷èñëèòåëüíóþ îáëàñòü.
Ðàññìîòðèì ÿ÷åéêó ñåòêè ñ èíäåêñàìè
ijk
, êîòîðàÿ èçîáðàæåíà
íà ðèñ. 1.4. Óçëû ñåòêè áóäåì îáîçíà÷àòü òðîéêîé ïîëóöåëûõ èíäåê
-
ñîâ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû óçåë ñ èíäåêñàìè
ijk+++12 12 12// /
ÿâ
-
ëÿëñÿ ïåðåñå÷åíèåì ãðàíåé
ijk+ 12/
,
ij k+ 12/
,
ijk + 12/
. Îïðåäåëèì
îáúåì ÿ÷åéêè ñåòêè êàê ñóììó øåñòè ïèðàìèä:
VVi j k i j k
ijk
t
=− − − + + +(///,///,12 12 12 12 12 12
ijk ijk+−− ++ −+12 12 12 12 12 12// /,///)
+− − − + − −Vi j k i j k
t
(///,///,12 12 12 12 12 12
ijk ijk+++ +− ++12 12 12 12 12 12// /,///)
+− − − − + −Vi j k i j k
t
(///,///,12 12 12 12 12 12
ijk ijk+++ ++ −+12 12 12 12 12 12// /,///)
(1.57)
+− − − − + −Vi j k i j k
t
(///,///,12 12 12 12 12 12
ijk ijk−++ ++ ++12 12 12 12 12 12// /,///)
+− − − − − +Vi j k i j k
t
(///,///,12 12 12 12 12 12
ijk ijk+++ −+ ++12 12 12 12 12 12// /,///)
+− − − − − +Vi j k i j k
t
(///,///,12 12 12 12 12 12
ijk ijk+− + ++ +12 12 12 12 12 12// /,// /)
,
ãäå
Vabcd
ad
ab
ac
t
(, , , )
[]
/=
×
→
→
→
6
— îáúåì ïèðàìèäû ñ âåðøèíàìè
abcd,,,
. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ôîðìóëà (1.57) îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâîé,
äàæå åñëè îäíà èç ãðàíåé âûðîæäåíà â îòðåçîê.
Âûïèøåì ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ êîìïîíåíò âåêòîðîâ íîðìàëåé
ê ãðàíÿì âû÷èñëèòåëüíîé ÿ÷åéêè ñ äëèíàìè, ðàâíûìè èõ ïëîùàäÿì
S
mxyzm
SSS
±±
=
12 12//
(, , )
.  îáùåì ñëó÷àå ÷åòûðå óçëà
abcd,,,
, îïðåäå
-
ëÿþùèå ãðàíü ÿ÷åéêè
m + 12/
, íå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, ïîýòîìó
ïðèìåì çà âåêòîð
S
m+12/
ñóììó ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ
abc
è
acd
,óì
-
íîæåííûõ íà ñîîòâåòñòâóþùèå åäèíè÷íûå íîðìàëè:
SSS
mmm
ab
ac
ac ad
+++
→
→
→→
=+=×+×
12 12
1
12
2
2
///
([ ] [ ]) /
. (1.58)
Çàìåòèì, ÷òî òàêîå âû÷èñëåíèå âåêòîðà
S
m+12/
îáåñïå÷èâàåò
âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ (1.56).
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 35
Îïðåäåëåíèå âûðàæåíèé äëÿ îáúåìà ÿ÷åéêè ñåòêè è íîðìàëåé ê
ãðàíÿì ÿ÷åéêè îêàçûâàåòñÿ äîñòàòî÷íîé ãåîìåòðè÷åñêîé èíôîðìà
-
öèåé äëÿ âû÷èñëåíèÿ íåâÿçêîé ÷àñòè óðàâíåíèé (1.54).
Äëÿ àïïðîêñèìàöèè âÿçêèõ ÷ëåíîâ íà ãðàíÿõ ðàñ÷åòíîé ÿ÷åé
-
êè íåîáõîäèìî ïðîâåñòè àïïðîêñèìàöèþ ïåðâûõ ïðîèçâîäíûõ îò
êîìïîíåíò ñêîðîñòè ïî êîîðäèíàòàì
xyz,,
. Ïðè ýòîì òðåáóåòñÿ
ïîëó÷èòü ñîîòíîøåíèÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåòðè÷åñêèõ êîýôôèöè
-
åíòîâ. Â äàííîì ïàðàãðàôå áóäóò íàéäåíû âûðàæåíèÿ, ïîçâîëÿ
-
þùèå ïðîâåñòè âû÷èñëåíèÿ ìåòðè÷åñêèõ êîýôôèöèåíòîâ ÷åðåç
êîìïîíåíòû íîðìàëåé ê ãðàíÿì, ïëîùàäè ãðàíåé è îáúåìû ðàñ
-
÷åòíûõ ÿ÷ååê ñåòêè.  äàëüíåéøåì ïðè íàõîæäåíèè ýòèõ ñîîòíî
-
øåíèé áóäóò ïðèìåíÿòüñÿ îáîçíà÷åíèÿ, ïðèíÿòûå â ìîíîãðàôèè
È.Í. Âåêóà [8].
Ââåäåì êðèâîëèíåéíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò
x)(, ,xyz
,
h)(, ,xyz
,
z)(, ,xyz
, ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòåé ïîñòîÿííîãî óðîâíÿ êîòîðûõ
îáðàçóåò ñåòêó, ïîêðûâàþùóþ âû÷èñëèòåëüíóþ îáëàñòü. Îáîçíà÷èì
ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè ïðîñòðàíñòâà
R()xhz
xhz
xhz
xhz
,,
(, , ),
(, , ),
(, , ).
=
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
xx
yy
zz
Êîâàðèàíòíûé áàçèñ ñèñòåìû êîîðäèíàò
xhz,,
çàïèøåòñÿ â
âèäå
()
R
1
= xyz
T
xxx
,,
,
()
R
2
= xyz
T
hhh
,,
,
()
R
3
= xyz
T
zzz
,,
.
Ðàññìîòðèì ìàòðèöû
A =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
x
h
z
x
h
z
x
h
z
x
x
x
y
y
y
z
z
z
,
()
BRRR=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
=
x
y
z
x
y
z
x
y
z
x
x
x
h
h
h
z
z
z
123
,,
,
g
ij i j
=⋅RR
,
g
ij
i
k
j
k
k
xx
=
∂
∂
∂
∂
=
∑
xx
1
3
,
ij,,,= 123
,
ãäå
xxx
123
,,
ñîîòâåòñòâóåò
xhz,,
;à
xxx
123
,,
—
xyz,,
. Îïðåäåëèì
âåëè÷èíû
J = det A
,
gg
ij
= det )(
, äëÿ êîòîðûõ ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå
ñîîòíîøåíèÿ [8]:
AB BA I⋅=⋅=
,
gg
ik
kj j
i
⋅=d
,
J
g
=
1
. (1.59)
36 Ãëàâà 1
Äàëåå, âûïèñûâàÿ âûðàæåíèÿ äëÿ äèôôåðåíöèàëüíî ìàëîé ïëî
-
ùàäêè â êðèâîëèíåéíûõ êîîðäèíàòàõ, èìååì ðàâåíñòâà [8]
dS a d d
xx
hz=
,
dS a d d
hh
xz=
,
dS a d d
zz
xh=
, (1.60)
ãäå
a
g
g
g
g
x
=
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
22
32
23
33
,
a
g
g
g
g
h
=
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
33
13
31
11
,
a
g
g
g
g
z
=
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
11
21
12
22
.
Åäèíè÷íûå íîðìàëè ê ãðàíÿì
dS
x
,
dS
h
,
dS
z
áóäóò ñîîòâåòñòâåííî
ðàâíû âåêòîðàì
()
xxx
xxx
xyz
xyz
,,
222
++
,
()
hhh
hhh
xyz
xyz
,,
222
++
,
()
zzz
zzz
xyz
xyz
,,
222
++
.
Ïîëàãàÿ ïëîùàäü ãðàíè âû÷èñëèòåëüíîé ÿ÷åéêè äîñòàòî÷íî ìà-
ëîé, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ âåêòîðà íîðìàëè
S = (, , )SSS
xyz
:
()
()
SSS add
xyz
xyz
xyz
,,
,,
x
x
hz
xxx
xxx
=
=
++
const
222
,
()
()
SSS add
xyz
xyz
xyz
,,
,,
h
h
xz
hhh
hhh
=
=
++
const
222
,
()
()
SSS add
xyz
xyz
xyz
,,
,,
z
z
xh
zzz
zzz
=
=
++
const
222
.
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå ñîîòíîøåíèÿ (1.59) è èñïîëüçóÿ ðà
-
âåíñòâà
a
g
g
g
g
g
xyz
g
x
xxx
222
22
32
23
33
11
++
=
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
=
,
a
g
g
g
g
g
xyz
g
h
hhh
222
33
13
31
11
22
++
=
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
=
,
a
g
g
g
g
g
xyz
g
z
zzz
222
11
21
12
22
33
++
=
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
⏐
=
,
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 37
ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ
() ()
SSS gdd
xyz xyz
,, ,,
x
hzx x x
=
=
const
,
() ()
SSS gdd
xyz x yz
,, ,,
h
xzh h h
=
=
const
() ()
SSS gdd
xyz xyz
,, ,,
z
xhz z z
=
=
const
.
Ó÷èòûâàÿ ïðèâåäåííîå â [8] âûðàæåíèå äëÿ äèôôåðåíöèàëüíî
ìàëîãî îáúåìà
Vgddd= xhz
, îêîí÷àòåëüíî ìîæíî âûïèñàòü ñâÿçü
ìåæäó êîýôôèöèåíòàìè ïðåîáðàçîâàíèÿ è ñîñòàâëÿþùèìè íîðìàëè
ê ñîîòâåòñòâóþùèì ãðàíÿì ÿ÷åéêè ñåòêè ñ èíäåêñàìè
ijk
:
() ()
xxx
x
xyz
i
i
xyz
i
V
SSS,, ,,
/
/
/+
+
+
=
12
12
12
D
,
() ()
hhh
h
xyz
j
j
xyz
j
V
SSS,, ,, ,
/
/
/+
+
+
=
12
12
12
D
(1.61)
() ()
zzz
z
xyz
k
k
xyz
k
V
SSS,, ,,
/
/
/+
+
+
=
12
12
12
D
,
ãäå
VVV
mmm++
=+
12 1
2
/
()/
.
Ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ çàâåðøàþò âûâîä ãåîìåòðè÷åñêèõ ñîîò-
íîøåíèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ÷èñëåííîé ðåàëèçàöèè ñõåìû (1.54).
Âû÷èñëåíèå íåâÿçêèõ ðàçíîñòíûõ ïîòîêîâ
Ðàçíîñòíûé ïîòîê
()
KS⋅
+m 12/
÷åðåç ãðàíü
S
m+12/
m-é ÿ÷åéêè ñåò
-
êè ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû êîíâåêòèâíîãî (íåâÿçêîãî) è âÿçêîãî
ïîòîêîâ
KS K S K S⋅= ⋅+ ⋅
in visv
.
Íåâÿçêèå ðàçíîñòíûå ïîòîêè âû÷èñëÿþòñÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû
ðåçóëüòèðóþùàÿ ñõåìà èìåëà íàïðàâëåííûå ïðîòèâ ïîòîêà ðàçíîñòè
âòîðîãî èëè òðåòüåãî ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè. Äëÿ îáåñïå÷åíèÿ ìî
-
íîòîííîñòè ðåøåíèÿ â ñëó÷àå íåâÿçêèõ òå÷åíèé èëè ïðè áîëüøèõ
÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà â ñëó÷àå âÿçêèõ ïðèìåíÿþòñÿ îãðàíè÷èòåëè íåâÿç
-
êèõ ïîòîêîâ, îáåñïå÷èâàþùèå âûïîëíåíèå äëÿ ðàçíîñòíîé ñõåìû
ñâîéñòâà TVD [9]. Äàííûå ñõåìû ñîçäàþò ìèíèìàëüíî íåîáõîäèìûé
óðîâåíü äèññèïàöèè â ìåñòàõ áîëüøèõ ãðàäèåíòîâ ðåøåíèÿ è íå íóæ
-
äàþòñÿ â ÿâíîì ââåäåíèè â óðàâíåíèÿ èñêóññòâåííûõ äèññèïàòèâíûõ
38 Ãëàâà 1
÷ëåíîâ. Àïïðîêñèìàöèÿ íåâÿçêîãî ïîòîêà
KS
inv
⋅
ìîæåò áûòü îñóùå
-
ñòâëåíà â ñîîòâåòñòâèè ñî ñõåìîé ×àêðàâàòè — Îøåðà [10]:
() ( )
()
||
[]
KS
KQ KQ S A Q
in
in in
v
m
v
m
v
mm m m
⋅=
=+ −
+
++ + +
12
112 1212
1
2
/
///
D −
+
W
m 12/
,
(1.62)
ãäå
()
()
()
AQ
KQS
Q
=
∂
∂
inv
, (1.63)
AA A=+
+−
,
||
AA A=−
+−
, (1.64)
D
mmm++
=−
12 1/
QQ Q
,
[][]
WNM MN
mmm mm++
−
−
+
+
−
+
+
=−+ −
−+
12 32 12 12 12
1
4
1
4
/// //
jj
,
[]
NAQAQ
mmmmm+
−
+
−
++
−
+
=
32 32 32 12 12/////
,minmod DDq
,
[]
MAQAQ
mmmmm−
+
−
+
−+
+
+
=
12 12 12 12 12/////
,minmod DDq
, (1.65)
[]
MAQAQ
mmmmm+
−
+
−
++
−
+
=
12 12 12 32 32/////
,minmod DDq
,
[]
NAQAQ
mmmmm+
+
+
+
+−
+
−
=
12 12 12 12 12/////
,minmod DDq
,
[]
()
||
()
[]
{ }
minmod sgn max min sgnxy x x y x,,,= 0
.
Îïåðàöèÿ minmod âûïîëíÿåòñÿ äëÿ êàæäîé èç êîìïîíåíò âåêòî
-
ðà, íà êîòîðûé îíà äåéñòâóåò. Êîýôôèöèåíò “ñæàòèÿ”
q
â ìèíìî
-
äóëüíîì îãðàíè÷èòåëå ëåæèò â èíòåðâàëå
13 1≤≤ − −qj j()/()
,
îáåñïå÷èâàþùåì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ TVD. ×åì âûøå çíà÷åíèå èç
ýòîãî èíòåðâàëà ïðèíèìàåò êîýôôèöèåíò
q
, òåì â ìåíüøåì êîëè÷å
-
ñòâå óçëîâ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ïðîèñõîäèò ïåðåêëþ÷åíèå ñõåìû ñî
2-ãî
()j =−1
èëè 3-ãî
(/)j = 13
ïîðÿäêîâ àïïðîêñèìàöèè íà ïåðâûé.
Äëÿ íàõîæäåíèÿ çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ íà ãðàíè
m + 12/
ðàñ÷åò
-
íîé ÿ÷åéêè, èñïîëüçóåìûõ ïðè íàõîæäåíèè ðàçíîñòíîãî ïîòîêà
(1.62), ïðèìåíÿåòñÿ îáû÷íîå àðèôìåòè÷åñêîå óñðåäíåíèå
()
QQQ
mmm++
=+
12 1
2
/
/
. (1.66)
Ïîêàæåì, ÷òî ïðè ýòîì âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 39
()
()
KKS AQQ
m
v
m
v
mmmm++++
−= −
112121
in in
//
. (1.67)
Äåéñòâèòåëüíî, çàïèøåì âûðàæåíèå äëÿ ïîòîêà
KS
m
v
m
in
⋅
+12/
è
ìàòðèöû ßêîáè
A
m+12/
ñîîòâåòñòâåííî â âèäå
()
()
()
KS E G H
m
v
mmx
m
my
m
mz
m
SS S
in
⋅= + +
+
+
+
+
12
12
12
12
/
/
/
/
, (1.68)
ãäå
EGH
mm m
,,
îïðåäåëåíû â (1.6) â ñëó÷àå îïèñàíèÿ íåâÿçêèõ
òå÷åíèé, è
()()
()
()
()
AEQ
GQ HQ
m
m
x
m
m
y
m
m
S
S
+
++
+
+
=∂ ∂ +
+∂ ∂ + ∂ ∂
12
12 12
12
12
/
//
/
/
/
//
()
()
()
++
+
+
+
+
+
=
=++
12 12
12
12
12
12
12
//
/
/
/
/
/
^^^
S
SS
z
m
mx
m
my
m
m
ABC
()
S
z
m+12/
.
(1.69)
Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ðàâåíñòâà (1.67) äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü âû-
ïîëíåíèå ñëåäóþùèõ ñîîòíîøåíèé:
()( )
()()
EEAQQ
GGBQQ
H
mmm m m
mmm m m
m
+++
+++
+
−= −
−= −
1121
1121
1
^
,
^
,
/
/
()()
−= −
++
HC Q Q
mm m m
^
.
/12 1
(1.70)
Ñïðàâåäëèâîñòü ñîîòíîøåíèé (1.70) ïðîâåðÿåòñÿ íåïîñðåäñò-
âåííî óìíîæåíèåì ìàòðèö ßêîáè, âû÷èñëåííûõ ïî óñðåäíåííûì ñ
ïîìîùüþ ôîðìóë (1.66) âåëè÷èíàì, íà ðàçíîñòü âåêòîðîâ çàâèñèìûõ
ïåðåìåííûõ. Òàêèì îáðàçîì äîêàçàíî âûïîëíåíèå ðàâåíñòâà (1.67).
 ñëó÷àå óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè àíàëîãè÷íîå ðàâåíñòâî
áûëî ïîëó÷åíî P.L. Roe â ðàáîòå [11] ïðè ðåøåíèè ëèíåàðèçîâàííîé
çàäà÷è Ðèìàíà. Íî óñðåäíåíèå ïåðåìåííûõ ïðè ýòîì ïðîâîäèëîñü
ïî íåëèíåéíûì ôîðìóëàì.
Äðóãîé ïîäõîä àïïðîêñèìàöèè íåâÿçêîãî ïîòîêà
KS
inv
⋅
îñíî
-
âûâàåòñÿ íà èñïîëüçîâàíèè MUSCL-ñõåìû [12]:
() ()
()
()
KS KQ KQ AQQ
in in inv
m
v
L
v
Rm R L
S⋅= + − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
++12 12
1
2
//
|
^
|
, (1.71)
ãäå
()( )()( )
[]
QQ QQ Q Q
Lm mm m m
=+ − − ++ −
−+
1
4
11
11
qq
,
()( )()( )
[]
QQ Q Q Q Q
Rm m m m m
=−− −++ −
++ ++11 21
1
4
11qq
,
40 Ãëàâà 1