Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах
Подождите немного. Документ загружается.
Ñëîæíîñòü ãåîìåòðèè òóðáîìàøèíû è íàëè÷èå äâèæóùèõñÿ ýëå
-
ìåíòîâ íåèçáåæíî ïðèâîäÿò ê íåîáõîäèìîñòè ðàçáèåíèÿ ïðîòî÷íîãî
òðàêòà íà îòäåëüíûå ñåãìåíòû. Ãëàâíûì îáðàçîì ýòî âûçâàíî íàëè
-
÷èåì â òóðáîìàøèíå íåïîäâèæíûõ ïðîòî÷íûõ ÷àñòåé (ñïèðàëüíàÿ
êàìåðà, êàñêàä ñòàòîðíûõ êîëîíí ñ ëîïàòêàìè íàïðàâëÿþùåãî àïïà
-
ðàòà, îòñàñûâàþùàÿ òðóáà) è âðàùàþùèõñÿ âìåñòå ñ ðàáî÷èì êî
-
ëåñîì ìåæëîïàñòíûõ êàíàëîâ. Êðîìå òîãî, ñåãìåíòàöèÿ çà÷àñòóþ
âûçâàíà òðåáîâàíèåì ïîñòðîåíèÿ êà÷åñòâåííûõ ñåòîê (áëèçêèõ ê îð
-
òîãîíàëüíûì, ñãóùàþùèõñÿ ê ñòåíêàì è îñîáåííîñòÿì òå÷åíèÿ).
Íàêîíåö, ñåãìåíòàöèÿ íåîáõîäèìà äëÿ ïðåîäîëåíèÿ îãðàíè÷åíèé íà
òîïîëîãèþ ðàñ÷åòíîé îáëàñòè, íàêëàäûâàåìûõ ÷èñëåííûì ìåòîäîì
ðåøåíèÿ óðàâíåíèé äâèæåíèÿ [8]. Ïðèìåð ñåãìåíòàöèè ïðîòî÷íîãî
òðàêòà ãèäðîòóðáèíû ïîêàçàí íà ðèñ. 1.2.
Ìîäåëèðîâàíèå ïîòîêà â òóðáîìàøèíå ìîæíî îñóùåñòâëÿòü â
ðàçëè÷íûõ ïðèáëèæåíèÿõ. Îäèí èç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûõ è
ýôôåêòèâíûõ ïîäõîäîâ — ñòàöèîíàðíàÿ öèêëè÷åñêàÿ ïîñòàíîâêà,
â êîòîðîé ïðèíèìàåòñÿ äîïóùåíèå, ÷òî òå÷åíèÿ âî âñåõ ìåæëîïà-
òî÷íûõ êàíàëàõ íàïðàâëÿþùåãî àïïàðàòà è ìåæëîïàñòíûõ êàíàëàõ
ðàáî÷åãî êîëåñà îäèíàêîâû [9].  ýòîì ñëó÷àå ðàñ÷åò ïðîâîäèòñÿ
òîëüêî â îäíîì èç êàíàëîâ àïïàðàòà è êîëåñà, à íà áîêîâûõ ãðàíèöàõ
êàíàëîâ ñòàâÿòñÿ óñëîâèÿ ïåðèîäè÷íîñòè ïîòîêà. Äëÿ ïåðåäà÷è ïà-
ðàìåòðîâ ïîòîêà èç âðàùàþùèõñÿ ñåãìåíòîâ â íåïîäâèæíûå è íà-
îáîðîò èõ çíà÷åíèÿ óñðåäíÿþòñÿ â îêðóæíîì íàïðàâëåíèè. Òàêîé
ïîäõîä ñóùåñòâåííî ýêîíîìèò âû÷èñëèòåëüíûå ðåñóðñû, îäíàêî íå
äàåò âîçìîæíîñòè ó÷èòûâàòü îêðóæíóþ íåðàâíîìåðíîñòü ïîòîêà è
ñâÿçàííûå ñ íåé íåñòàöèîíàðíûå ýôôåêòû.
Òå÷åíèÿ â òóðáîìàøèíàõ íà íåîïòèìàëüíûõ ðåæèìàõ ðàáîòû
èìåþò ÿðêî âûðàæåííûé íåñòàöèîíàðíûé õàðàêòåð. Ïåðèîäè÷å
-
ñêèå ïóëüñàöèè äàâëåíèÿ â ëîïàñòíîé ñèñòåìå è îòñàñûâàþùåé
òðóáå ïðèâîäÿò ê áîëüøèì ãèäðîäèíàìè÷åñêèì ïîòåðÿì, âèáðàöèè
è øóìó. Äëÿ ðåøåíèÿ àêòóàëüíîé çàäà÷è êîëè÷åñòâåííîãî ìîäåëè
-
ðîâàíèÿ ýòèõ ÿâëåíèé íåîáõîäèìî èñïîëüçîâàòü áîëåå ñëîæíóþ
íåñòàöèîíàðíóþ ìîäåëü òå÷åíèÿ âî âñåõ ìåæëîïàòî÷íûõ êàíàëàõ
íàïðàâëÿþùåãî àïïàðàòà è ìåæëîïàñòíûõ êàíàëàõ ðàáî÷åãî êî
-
ëåñà [10].
Âàæíåéøåé ïðîáëåìîé ïðè ÷èñëåííîì ìîäåëèðîâàíèè òå÷åíèé
â òóðáîìàøèíàõ ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ýôôåêòèâíûõ ðàçíîñòíûõ àëãî
-
ðèòìîâ äëÿ ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ îñíîâíûõ óðàâíåíèé. Îíà
ñòèìóëèðóåòñÿ, ñ îäíîé ñòîðîíû, âîçðàñòàþùèìè òðåáîâàíèÿìè ê
òî÷íîñòè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòîâ, à ñ äðóãîé — íåîáõîäèìîñòüþ ïðî
-
âåäåíèÿ ðàñ÷åòîâ â áîëåå ïîëíûõ íåñòàöèîíàðíûõ òóðáóëåíòíûõ
Ââåäåíèå 11
ïîñòàíîâêàõ çà ïðèåìëåìîå âðåìÿ. Èñïîëüçîâàíèå íåðàâíîìåðíûõ
ñåòîê ñ ìàëûìè ïðîñòðàíñòâåííûìè øàãàìè ñòàâèò ïðîáëåìó ðàçðà
-
áîòêè íåÿâíûõ ðàçíîñòíûõ ñõåì ñ áîëüøèì çàïàñîì óñòîé÷èâîñòè è
ýôôåêòèâíîé ðàçðåøèìîñòüþ, ñîïîñòàâèìîé ñ ÿâíûìè àëãîðèòìà
-
ìè. Íåîáõîäèìîñòü ïðîâåäåíèÿ ñåðèéíûõ ðàñ÷åòîâ äèêòóåò âûñîêèå
òðåáîâàíèÿ ê áûñòðîäåéñòâèþ àëãîðèòìîâ è ýêîíîìè÷íîìó ðàñõîäî
-
âàíèþ ïàìÿòè ÝÂÌ. Íåìàëîâàæíûé àñïåêò — óíèâåðñàëüíîñòü ÷èñ
-
ëåííîãî ìåòîäà, ò.å. îòñóòñòâèå íåîáõîäèìîñòè ïîäáîðà ìíîæåñòâà
íàñòðîå÷íûõ ïàðàìåòðîâ. Ýòè òðåáîâàíèÿ îïðåäåëÿþò àêòóàëüíîñòü
ðàçðàáîòêè íîâûõ àáñîëþòíî óñòîé÷èâûõ, ýêîíîìè÷íûõ ðàçíîñòíûõ
ñõåì ïîâûøåííîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè äëÿ ìîäåëèðîâàíèÿ çà
-
äà÷ ìåõàíèêè ñïëîøíîé ñðåäû [9].
Ãèäðîäèíàìè÷åñêîå ïðîåêòèðîâàíèå ôîðì êîìïîíåíòîâ òóðáî
-
ìàøèí, ò.å. âûáîð èõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ, ïðè êîòîðûõ âû-
ïîëíÿþòñÿ ïðåäúÿâëÿåìûå ê òóðáîìàøèíàì òðåáîâàíèÿ, êàê ïðà-
âèëî, ïðîâîäèòñÿ ìåòîäîì “ðó÷íîãî” âîçìóùåíèÿ îòíîñèòåëüíî èç-
âåñòíîé ãåîìåòðèè ïðîòîòèïà è îöåíêè âëèÿíèÿ ýòîãî âîçìóùåíèÿ
íà ãèäðîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè. Òàêîé ïîäõîä çàòðóäíÿåò
ñîâåðøåíñòâîâàíèå ôîðì â íàïðàâëåíèè ïîâûøåíèÿ êà÷åñòâà òóð-
áîìàøèíû, òàê êàê äëÿ ýòîãî òðåáóåòñÿ ïåðåáîð áîëüøîãî êîëè÷å-
ñòâà êîìáèíàöèé ãåîìåòðè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ è àíàëèç ñîîòâåòñò-
âóþùèõ ãèäðîäèíàìè÷åñêèõ ïîëåé. Ïîýòîìó ÷ðåçâû÷àéíî àêòóàëü-
íà çàäà÷à ôîðìàëèçàöèè è àâòîìàòèçàöèè äàííîãî ïðîöåññà ïóòåì
ïîñòàíîâêè è ðåøåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùåé îïòèìèçàöèîííîé çàäà÷è.
Ñîâðåìåííûé óðîâåíü ðàçâèòèÿ âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè è ÷èñëåí
-
íûõ àëãîðèòìîâ ïîçâîëÿåò ñîçäàòü ñèñòåìó àâòîìàòè÷åñêîãî ïðîåê
-
òèðîâàíèÿ è îïòèìèçàöèè ïðîòî÷íîé ÷àñòè ðàáî÷åãî êîëåñà ãèäðî
-
òóðáèíû, îñíîâûâàþùóþñÿ íà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òðåõìåðíûõ
ðàñ÷åòîâ òå÷åíèé â ìåæëîïàñòíîì êàíàëå è âûáîðå òàêîé åãî ôîð
-
ìû, êîòîðàÿ îáåñïå÷èâàåò ìèíèìóì çàäàííûõ öåëåâûõ ôóíêöèîíà
-
ëîâ [11–12]. Èñïîëüçîâàíèå äëÿ ýòèõ öåëåé óðàâíåíèé Ýéëåðà íå
-
âÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè îïðàâäàíî áûñòðîòîé èõ ÷èñëåííî
-
ãî ðåøåíèÿ è ìàëîñòüþ âëèÿíèÿ âÿçêèõ ýôôåêòîâ íà ïîòîê â
ðàáî÷åì êîëåñå. Òàê êàê ÿâíûé ðàñ÷åò ïîòåðü ýíåðãèè â ýòîì ïðè
-
áëèæåíèè íåâîçìîæåí, àêòóàëüíîé îñòàåòñÿ çàäà÷à ôîðìóëèðîâêè
àäåêâàòíûõ öåëåâûõ ôóíêöèîíàëîâ, ìèíèìèçàöèÿ êîòîðûõ áóäåò
êîñâåííî óìåíüøàòü ðàçëè÷íûå âèäû ïîòåðü ýíåðãèè ÷åðåç óëó÷øå
-
íèå êèíåìàòè÷åñêèõ ñâîéñòâ ïîòîêà. Òàêîé ïîõîä ïîçâîëÿåò îòêà
-
çàòüñÿ îò èñïîëüçîâàíèÿ òóðáóëåíòíûõ ìîäåëåé òå÷åíèÿ, òðåáóþùèõ
áîëüøèõ çàòðàò âðåìåíè ñ÷åòà.
12 Ââåäåíèå
Ïðè ïðîåêòèðîâàíèè è îïòèìèçàöèè ïðîòî÷íîãî òðàêòà òóðáî
-
ìàøèí ó÷èòûâàþòñÿ, êàê ïðàâèëî, íåñêîëüêî òðåáîâàíèé. Ïîìèìî
ýôôåêòèâíîñòè ðàáîòû íà äàííîì ðåæèìå, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü è
äðóãèå êðèòåðèè êà÷åñòâà, òàêèå êàê êàâèòàöèîííûå õàðàêòåðèñòèêè
ðàáî÷åãî êîëåñà, åãî âçàèìîäåéñòâèå ñ îòñàñûâàþùåé òðóáîé, à òàê
-
æå ýôôåêòèâíîñòü ðàáîòû òóðáèíû â äðóãèõ ðåæèìàõ. Â ýòîé ñâÿçè
âàæíîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ ðàçðàáîòêà ìåòîäîâ è ïîäõîäîâ ìíîãî
-
öåëåâîé îïòèìèçàöèè [13]. Ïîäõîäû ê ðåøåíèþ óêàçàííûõ ïðîáëåì
è ñîñòàâëÿþò ïðåäìåò ýòîé êíèãè.
Ââåäåíèå 13
Òå÷åíèÿ â ïðîòî÷íûõ ÷àñòÿõ òóðáîìàøèí îïèñûâàþòñÿ òðåõìåð
-
íûìè óðàâíåíèÿìè Ýéëåðà (íåâÿçêàÿ ìîäåëü) èëè îñðåäíåííûìè ïî
Ðåéíîëüäñó ëèáî ïî îáúåìàì ñåòî÷íûõ ÿ÷ååê óðàâíåíèÿìè Íàâüå —
Ñòîêñà (âÿçêàÿ òóðáóëåíòíàÿ ìîäåëü). Îáå ýòè ìîäåëè ìîãóò áûòü
çàïèñàíû â âèäå åäèíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Äëÿ ðàñ÷åòà òå÷åíèé
æèäêîñòè â íåïîäâèæíûõ ýëåìåíòàõ ïðîòî÷íîé ÷àñòè òóðáîìàøèí
èñïîëüçóåòñÿ àáñîëþòíàÿ ñèñòåìà êîîðäèíàò.
Óðàâíåíèÿ â àáñîëþòíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
()
xxx
123
,,
óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
è óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùèå òóðáóëåíòíûå òå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé
æèäêîñòè ñ çàìûêàíèåì ïî Áóññèíåñêó ÷åðåç òóðáóëåíòíóþ âÿç-
êîñòü è êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ òóðáóëåíòíîñòè
kuu
jj
=
′′
05,
, ìîæíî
çàïèñàòü â ñëåäóþùåì îáùåì âèäå:
()
∂
∂
=
x
j
j
w 0,
(1.1)
()
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+=−+ +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
tx xx
w
x
w
x
www p
i
j
ij
ij
i
j
j
i
n
eff
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ f
i
,
(1.2)
pp k
c
=+
2
3
,
ãäå
()
w = www
123
,,
— äåêàðòîâû êîìïîíåíòû âåêòîðà ñêîðîñòè;
p
c
— ãèäðîñòàòè÷åñêîå äàâëåíèå,
′′
uu
ij
— ðåéíîëüäñîâû íàïðÿæåíèÿ,
äåëåííûå íà ïëîòíîñòü æèäêîñòè;
n
eff
— êîýôôèöèåíò ýôôåêòèâíîé
âÿçêîñòè;
f
i
— ìàññîâûå ñèëû. Ê ïðèìåðó, åñëè ïî îñè
x
3
â ïîëîæè
-
òåëüíîì íàïðàâëåíèè äåéñòâóåò ñèëà òÿæåñòè, òî
ff
12
0==
,
fg
3
=
,
ãäå
g
— óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ.
ÃËÀÂÀ 1
ÌÅÒÎÄ ×ÈÑËÅÍÍÎÃÎ ÐÅØÅÍÈß
ÒÐÅÕÌÅÐÍÛÕ ÇÀÄÀ× ÄÈÍÀÌÈÊÈ
ÍÅÑÆÈÌÀÅÌÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ
§ 1.1. ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÌÎÄÅËÈ
1.1.1. Îáîáùåííàÿ ôîðìà çàïèñè
îñíîâíûõ óðàâíåíèé
Êîýôôèöèåíò ýôôåêòèâíîé âÿçêîñòè
n
eff
ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé
ñóììó êîýôôèöèåíòà ìîëåêóëÿðíîé âÿçêîñòè
n
è êîýôôèöèåíòà òóð
-
áóëåíòíîé âÿçêîñòè
n
t
:
nnn
eff
=+
t
.
Êîýôôèöèåíò òóðáóëåíòíîé âÿçêîñòè
n
t
, â îòëè÷èå îò êîýôôè
-
öèåíòà ìîëåêóëÿðíîé âÿçêîñòè
n
, íå ÿâëÿåòñÿ ñîáñòâåííî ñâîéñò
-
âîì æèäêîñòè, à ïðÿìî çàâèñèò îò ñîñòîÿíèÿ òóðáóëåíòíîñòè. Äëÿ
åãî îïðåäåëåíèÿ èñïîëüçóþò ðàçëè÷íûå ìîäåëè òóðáóëåíòíîñòè.
Äàëåå áóäóò ðàññìîòðåíû íåêîòîðûå èç íèõ: ìîäåëü ñ îäíèì óðàâ
-
íåíèåì, ñòàíäàðòíàÿ
k − e
ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè è åå ìîäèôèêà
-
öèè, äâóõñëîéíàÿ ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè, ìîäåëü áîëüøèõ òóðáó
-
ëåíòíûõ ñòðóêòóð (LES-ìîäåëü).
Óðàâíåíèÿ â îòíîñèòåëüíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
Âî âðàùàþùèõñÿ ñ ïîñòîÿííîé óãëîâîé ñêîðîñòüþ
w
ðàáî÷èõ
êîëåñàõ (ðîòîðàõ) òóðáîìàøèí ðàññìàòðèâàåòñÿ îòíîñèòåëüíîå òå÷å-
íèå â ñèñòåìå êîîðäèíàò
()
xxx
123
,,
, âðàùàþùåéñÿ âìåñòå ñ êîëå-
ñîì îòíîñèòåëüíî îñè
x
3
. Ñâÿçü ìåæäó âåêòîðàìè ñêîðîñòè
w
â àáñî-
ëþòíîì äâèæåíèè è
()
u = uuu
123
,,
— â îòíîñèòåëüíîì çàäàåòñÿ
âûðàæåíèåì
wu r=+×ù
, (1.3)
ãäå
ù
— âåêòîð óãëîâîé ñêîðîñòè;
r
— ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êè. Óðàâíå-
íèÿ (1.1) è (1.2) äëÿ îòíîñèòåëüíîãî äâèæåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â âèäå
()
∂
∂
=
x
j
j
u 0,
(1.4)
()
()
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+=−+ +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
tx xx
u
x
u
x
uuu p
i
j
ij
ij
i
j
j
i
n
eff
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
+ f
i
,
(1.5)
ãäå
fgru==−××−×(,,)fff
123
2ùù ù
. Âåêòîð
2ù× u
ïðåäñòàâëÿåò
ñîáîé êîðèîëèñîâî óñêîðåíèå. ×ëåí
ùù××r
îïèñûâàåò öåíòðîñòðå
-
ìèòåëüíîå óñêîðåíèå, íàïðàâëåííîå ïåðïåíäèêóëÿðíî ê îñè âðàùå
-
íèÿ ðàáî÷åãî êîëåñà âäîëü ðàäèóñà ïî íàïðàâëåíèþ ê îñè. Âåêòîð
ìàññîâûõ ñèë
f
ìîæíî ïðåäñòàâèòü òàêæå â âèäå
f =
+
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
xu
xu
g
1
2
2
2
2
1
2
2
ww
ww.
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 15
Îáùàÿ âåêòîðíàÿ çàïèñü îñíîâíûõ óðàâíåíèé
â äèôôåðåíöèàëüíîé è èíòåãðàëüíîé ôîðìàõ
Äëÿ óäîáñòâà äàëüíåéøåé ðàáîòû ñ îñíîâíûìè óðàâíåíèÿìè çà
-
ïèøåì èõ êàê â àáñîëþòíîé (1.1)–(1.2), òàê è â îòíîñèòåëüíîé
(1.4)–(1.5) ñèñòåìàõ êîîðäèíàò â âèäå åäèíîãî âåêòîðíîãî óðàâíåíèÿ
â äèôôåðåíöèàëüíîé ôîðìå
RQEGHF
t
tx x x
+++ =
12 3
,
(1.6)
ãäå
Q = (,,,)pu u u
T
123
,
R
t
= diag(0,1,1,1), F = (,,,)0
123
fff
T
,
E =
+−
−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
u
up
uu
uu
1
1
2
11
12 21
13 31
t
t
t
,
G =
−
+−
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
u
uu
up
uu
2
21 12
2
2
22
23 32
t
t
t
,
H =
−
−
+−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
u
uu
uu
up
3
31 13
32 23
3
2
33
t
t
t
,
tn
ij
i
j
j
i
u
x
u
x
=+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
∂
∂
∂
∂
eff
.
Ýêâèâàëåíòíàÿ äèôôåðåíöèàëüíîìó óðàâíåíèþ (1.6) íà ãëàäêèõ
ðåøåíèÿõ èíòåãðàëüíàÿ ôîðìà ýòîãî óðàâíåíèÿ
RQ KS+F
t
VVV
t
dV d dV
∂
∂
∫∫∫
=− ⋅
∂
, (1.7)
ãäå
∂V
— çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü ïðîèçâîëüíîãî ôèêñèðîâàííîãî
îáúåìà
V
;
()
ddSdSdSdSSn=⋅ =
123
,,
— ýëåìåíò ïîâåðõíîñòè
S
,
óìíîæåííûé íà åäèíè÷íóþ âíåøíþþ íîðìàëü
n
ê íåé. Âåêòîð
ïîòîêîâ ïðåäñòàâëÿåòñÿ êàê ñóììà íåâÿçêîãî è âÿçêîãî ïîòîêîâ:
()
KS K K S⋅= +dd
in vis
, (1.8)
ãäå
K
u
ue
ue
ue
in
=
+
+
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
up
up
up
11
22
33
, K
vis
=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
000
11 12 13
21 22 23
31 32 33
ttt
ttt
ttt
,
eee
123
===(, ,), (,, ), (, ,)100 010 001
— áàçèñ äåêàðòîâîé ñèñòåìû
êîîðäèíàò.
16 Ãëàâà 1
Íåâÿçêàÿ ìîäåëü — óðàâíåíèÿ Ýéëåðà
Òå÷åíèÿ âî ìíîãèõ ýëåìåíòàõ òóðáîìàøèí (íàïðèìåð, íàïðàâ
-
ëÿþùåì àïïàðàòå èëè ðàáî÷åì êîëåñå ãèäðîòóðáèíû) ìîãóò ìîäåëè
-
ðîâàòüñÿ ïðè ïðåíåáðåæåíèè â íèõ ñèë âÿçêîñòè.  ýòîì ñëó÷àå
ïîëàãàåòñÿ, ÷òî
p
è
u
åñòü îáû÷íûå íåîñðåäíåííûå ïàðàìåòðû ïîòî
-
êà, à
K
vis
≡ 0
è k =0.
1.1.2. Ìîäåëè òóðáóëåíòíîñòè
Äëÿ ó÷åòà âëèÿíèÿ âÿçêèõ ýôôåêòîâ òå÷åíèå ìîäåëèðóåòñÿ â
ïðèáëèæåíèè îñðåäíåííûõ óðàâíåíèé, ïðèâåäåííûõ â îáùåì âèäå â
(1.6) èëè (1.7). Òåïåðü
p
è
u
— îñðåäíåííûå çíà÷åíèÿ äàâëåíèÿ è
äåêàðòîâûõ êîìïîíåíò ñêîðîñòè.
Äëÿ çàìûêàíèÿ óðàâíåíèé (1.6) èëè (1.7) íåîáõîäèìî ïðèâëå÷ü
ñîîòíîøåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå íàõîäèòü
k
è
n
t
. Ïðè ýòîì ìîäåëü, èõ
îïèñûâàþùàÿ, äîëæíà áûòü îòíîñèòåëüíî ïðîñòîé, ÷òî âàæíî ïðè
ðàñ÷åòå ñëîæíûõ ïðîñòðàíñòâåííûõ òå÷åíèé.  òî æå âðåìÿ îíà
äîëæíà áûòü ñïðàâåäëèâà êàê äëÿ ïîëíîñòüþ ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ
òå÷åíèé, òàê è äëÿ òå÷åíèé â ïðèñòåíî÷íûõ îáëàñòÿõ.
Ìîäåëü ñ îäíèì óðàâíåíèåì
Ñïðàâåäëèâîå êàê â îáëàñòè ðàçâèòîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ,
òàê è â âÿçêîì ïîäñëîå óðàâíåíèå ïåðåíîñà äëÿ
k
çàïèñûâàåòñÿ ñëå-
äóþùèì îáðàçîì [1]:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=−−
k
tx
k
x
k
y
j
jk
j
ku Gne
n2
2
,
(1.9)
ãäå
e
— ñêîðîñòü äèññèïàöèè òóðáóëåíòíîñòè;
y
— êðàò÷àéøåå ðàñ
-
ñòîÿíèå äî áëèæàéøåé òâåðäîé ñòåíêè;
G
ij
i
j
u
x
=
∂
∂
t
,
nn
n
s
k
t
k
=+
.
Òóðáóëåíòíàÿ âÿçêîñòü îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì âèäà
n
mnt
Clk=
12/
. (1.10)
Ïðè âû÷èñëåíèè
e
ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ñïðàâåäëèâà ãèïîòåçà äëèíû
ïóòè ñìåøåíèÿ Ïðàíäòëÿ è
e
e
= C
D
k
l
32/
. (1.11)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 17
Âõîäÿùèå â (1.10) è (1.11) ìàñøòàáû
l
n
è
l
e
îáåñïå÷èâàþò íåîáõî
-
äèìûå ýôôåêòû çàòóõàíèÿ â ïðèñòåíî÷íîé îáëàñòè è îïðåäåëÿþòñÿ â
ñîîòâåòñòâèè ñ [2] ïî ôîðìóëàì
()
[]
lCy A
lynn
=−−1exp Re/ ,
()
[]
lCy A
lyee
=−−1exp Re/ .
Êîýôôèöèåíòû â ôîðìóëàõ èìåþò ñëåäóþùèå çíà÷åíèÿ:
s
k
= 072,
,
CC
l
=⋅
−
kar
m
34/
,
kar = 042,
,
AC
le
= 2
,
C
m
= 009,
,
C
D
= 1
,
A
n
= 70
,
Re /
/
y
ky=
12
n
.
Ñòàíäàðòíàÿ
k −
å
ìîäåëü äëÿ âûñîêèõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà
Äàííàÿ ìîäåëü ñïðàâåäëèâà äëÿ ïîëíîñòüþ ðàçâèòîãî òóðáóëåíò
-
íîãî òå÷åíèÿ, ãäå ïðÿìîå âëèÿíèå âÿçêîñòè íà ñòðóêòóðó òóðáóëåíò
-
íîñòè ïðåíåáðåæèìî ìàëî. Äëÿ òèïè÷íûõ ïðèñòåíî÷íûõ òå÷åíèé ýòî
îçíà÷àåò, ÷òî áåçðàçìåðíîå ðàññòîÿíèå äî ñòåíêè
yy
u
+
=
t
n
,
ãäå
u
wt
t=
— äèíàìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü, à
t
w
— íàïðÿæåíèå òðåíèÿ
íà îáòåêàåìîé ïîâåðõíîñòè, äîëæíî áûòü áîëüøå 30. Òóðáóëåíòíàÿ
âÿçêîñòü â ýòîé ìîäåëè îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
n
m
e
t
C
k
=
2
.
(1.12)
Òóðáóëåíòíàÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ íàõîäèòñÿ èç óðàâíåíèÿ
(1.9), à ñêîðîñòü åå äèññèïàöèè — èç óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=−
eeee
en
eee
tx x k k
j
j
j
uCGC
12
2
,
(1.13)
ãäå
nn
n
s
e
e
=+
t
,
s
e
= 13,
,
C
e1
144= ,
,
C
e2
192= ,
.
Ìîäèôèöèðîâàííàÿ
k −
å
ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè
Èìååòñÿ ìíîãî ìîäèôèêàöèé ñòàíäàðòíîé
k − e
ìîäåëè, êîòî
-
ðûå îáû÷íî çàêëþ÷àþòñÿ â êîððåêöèè ïîëóýìïèðè÷åñêèõ êîí
-
ñòàíò. Îäíà èç òàêèõ ìîäèôèêàöèé, õîðîøî çàðåêîìåíäîâàâøàÿ
ñåáÿ â çàäà÷àõ ñ ñèëüíîé êðèâèçíîé ëèíèé òîêà è íîñÿùàÿ íàçâàíèå
RNG-ìîäåëü, èñïîëüçóåòñÿ â ìîíîãðàôèè. Â ýòîé ìîäåëè äëÿ ñêî
-
18 Ãëàâà 1
ðîñòè äèññèïàöèè êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ðàññìàòðèâàåòñÿ ñëåäóþ
-
ùåå óðàâíåíèå:
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=−
eeee
en
eee
tx x k k
j
j
j
uCGC
12
2
*
, (1.14)
ãäå
CC
G
C
ee
m
hhh
bh
e
h
11
0
3
05
1
1
*
,
(/)
,=− =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
+
.
Ýìïèðè÷åñêèå êîíñòàíòû â RNG-ìîäåëè ðàâíû
C
m
= 0 0845,
,
C
e1
142= ,
,
C
e2
168= ,
,
s
k
= 072,
,
s
e
= 072,
,
h
0
438= ,
,
b = 0015,
.
k −
å
ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè ñ äåìïôèðóþùèìè ôóíêöèÿìè
äëÿ íèçêèõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà
Äàííûé âàðèàíò
k − e
ìîäåëè ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå
nn
mm
e
e
t
j
jk
j
k
fC ku H
kk
tx
k
x
t
=+−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
2
,,
xx
j
j
j
uHen
ee
e
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
∂
∂
,
(1.15)
ãäå
HG
k
k
y
=−−en2
2
,
HGGGf f
kk
y
ee e
eee
n=− −
122
2
2
3
2
.
Çäåñü
y
òàê æå, êàê è â (1.9), — êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå äî áëèæàéøåé
òâåðäîé ñòåíêè. Äåìïôèðóþùèå ôóíêöèè îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì
îáðàçîì [3]:
()
[]
fR
tm
=− +exp 2 5 1 50,/ /
,
()
fR
t2
2
103=− −,exp
,
()
fy
3
05=
+
exp ,
,
R
t
k
=
2
ne
.
Êîíñòàíòû ïðèíèìàþòñÿ ðàâíûìè:
C
m
= 009,
,
C
e1
144 159=÷,,
,
C
e2
19 2=÷,
,
s
k
= 1
,
s
e
=÷13 147,,
.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîé ìîäåëè òðåáóåòñÿ äîñòàòî÷íî ïîäðîáíàÿ
ñåòêà âîçëå ñòåíêè â íîðìàëüíîì ê íåé íàïðàâëåíèè.
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 19
Äâóõñëîéíàÿ
k −
å
ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè
Ñòàíäàðòíàÿ
k − e
ìîäåëü òóðáóëåíòíîñòè íåïðèãîäíà âáëèçè ñòåí
-
êè. Ðàññìîòðåííàÿ åå ìîäèôèêàöèÿ äëÿ íèçêèõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà (low
Reynolds number
k − e
model), ðåøàþùàÿ ïðîáëåìó ðàñ÷åòà òóðáóëåíò
-
íûõ òå÷åíèé â ïðèñòåíî÷íîì ñëîå ïîñðåäñòâîì äåìïôèðóþùèõ ôóíê
-
öèé [3], òðåáóåò ñèëüíîãî ñãóùåíèÿ óçëîâ ñåòêè ê ñòåíêå, ÷òî â òðåõ
-
ìåðíîì ñëó÷àå ïðèâîäèò ê çíà÷èòåëüíûì çàòðàòàì ðåñóðñîâ êîìïüþ
-
òåðà.  áîëüøèíñòâå ïðàêòè÷åñêèõ ïðèëîæåíèé
k − e
ìîäåëè ðàñ÷åò
òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé âáëèçè ñòåíêè îñíîâûâàåòñÿ íà ìåòîäå ïðèñòå
-
íî÷íûõ ôóíêöèé, èñïîëüçóþùåì ëîãàðèôìè÷åñêèé çàêîí ñòåíêè (high
Reynolds number
k − e
model). Îäíàêî ïðè åãî ðåàëèçàöèè òðåáóåòñÿ,
÷òîáû áëèæàéøèé ê ñòåíêå óçåë ñåòêè íàõîäèëñÿ â ëîãàðèôìè÷åñêîì
ñëîå âíóòðåííåé îáëàñòè òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Âÿçêèå
ýôôåêòû äîëæíû áûòü çäåñü ïîëíîñòüþ ïîäàâëåíû òóðáóëåíòíîé âÿç-
êîñòüþ. Äëÿ òèïè÷íûõ ïðèñòåíî÷íûõ òå÷åíèé ýòî îçíà÷àåò, ÷òî âåëè-
÷èíà áåçðàçìåðíîãî ðàññòîÿíèÿ
y
+
îò ñòåíêè äî äàííîãî ìåñòà äîëæíà
áûòü áîëüøå 30.  ýòîì ñëó÷àå ìîæíî èñïîëüçîâàòü óíèâåðñàëüíîñòü
ïðîôèëÿ ñêîðîñòè, ãèïîòåçó ëîêàëüíîãî ðàâíîâåñèÿ ýíåðãèè òóðáó-
ëåíòíûõ ïóëüñàöèé, à òàêæå ñâîéñòâà ëîêàëüíîé èçîòðîïíîñòè äèññè-
ïèðóþùèõ âèõðåé. Åñëè æå îêàæåòñÿ, ÷òî áëèæàéøèå óçëû ñåòêè ðàñ-
ïîëîæåíû â âÿçêîì èëè áóôåðíîì ïîäñëîå, ò.å.
030≤<
+
y
, òî ìåòîä
ïðèñòåíî÷íûõ ôóíêöèé ïåðåñòàåò ðàáîòàòü è òðåáóåòñÿ ïðèâëå÷åíèå
äðóãèõ ìîäåëåé, íàïðèìåð àëãåáðàè÷åñêîé ìîäåëè Ïðàíäòëÿ.
 òî æå âðåìÿ ìîäåëü Ïðàíäòëÿ, õîðîøî îïèñûâàþùàÿ òóðáó
-
ëåíòíóþ âÿçêîñòü â ïðèñòåíî÷íîì ñëîå, íå ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü êè
-
íåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ òóðáóëåíòíîñòè
k
è ñêîðîñòü åå äèññèïàöèè
e,
íåîáõîäèìûå äëÿ èõ ðàñ÷åòà âäàëè îò ñòåíêè. Äëÿ ðàñ÷åòà òóðáóëåíò
-
íûõ õàðàêòåðèñòèê îêîëî ñòåíîê ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà ìîäåëü ñ îä
-
íèì óðàâíåíèåì äëÿ
k
, à òóðáóëåíòíàÿ âÿçêîñòü è ñêîðîñòü äèññèïà
-
öèè áóäóò íàéäåíû ïî ãèïîòåçå äëèíû ïóòè ñìåøåíèÿ Ïðàíäòëÿ —
Êîëìîãîðîâà.  òàêîì ñëó÷àå îñòàåòñÿ ïðîáëåìà îïðåäåëåíèÿ â âÿç
-
êîì ïîäñëîå óæå òîëüêî îäíîé âåëè÷èíû
k
.
Âïîëíå óäîâëåòâîðèòåëüíûå ðåçóëüòàòû ïî ðåøåíèþ ýòîé çàäà÷è
äàåò ïîäõîä, îñíîâàííûé íà ââåäåíèè â óðàâíåíèå äëÿ
k
äîïîëíèòåëü
-
íîé äåìïôèðóþùåé ôóíêöèè è ïðèðàâíèâàíèè íóëþ âåëè÷èíû
k
íà
ñòåíêå [1]. Ïðè ýòîì, êàê ïîêàçàëè ïðîâåäåííûå àâòîðàìè ðàñ÷åòû, íå
òðåáóåòñÿ ÷ðåçìåðíîå ñãóùåíèå ñåòêè ê ñòåíêå. Òàêèì îáðàçîì, êèíå
-
òè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ
k
îïðåäåëÿåòñÿ âî âñåé îáëàñòè òå÷åíèÿ, âêëþ÷àþ
-
ùåé âÿçêèé è ëîãàðèôìè÷åñêèé ñëîè, èç åäèíîãî ìîäèôèöèðîâàííî
-
ãî óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà. Ñêîðîñòü äèññèïàöèè òóðáóëåíòíîñòè
e
â
20 Ãëàâà 1