Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах
Подождите немного. Документ загружается.
()
GQ
1
1
0
x
w
x
x
x
x
x
x
x
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
u
x
v
x
w
SSS
xyz
y
u
y
v
y
w
z
u
SSS
S
xyz
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
x
x
x
x
x
x
x
w
1
x
x
x
x
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
z
v
z
w
SS
yz1
⎟
, (1.99)
()
GQ
2
2
0
h
w
h
h
h
h
h
h
h
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
u
x
v
x
w
SSS
xyz
y
u
y
v
y
w
z
u
SSS
S
xyz
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
h
h
h
h
h
h
h
w
2
h
h
h
h
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
z
v
z
w
SS
yz2
⎟
, (1.100)
()
GQ
3
3
0
z
w
z
z
z
z
z
z
z
=
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
u
x
v
x
w
SSS
xyz
y
u
y
v
y
w
z
u
SSS
S
xyz
x
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
+
z
z
z
z
z
z
z
w
3
z
z
z
z
w
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
z
v
z
w
SS
yz3
⎟
. (1.101)
Äàëåå íàõîäèì ìàòðèöû ßêîáè âûïèñàííûõ ñîñòàâëÿþùèõ âåê
-
òîðà âÿçêîãî ïîòîêà
R
G
Q
k
k
kx y z
xk
xx x
yy
SS S
S
==
+
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
g
w
w
gg g
gg
00 0 0
0
0 SS
SS S
yz
xykz
y
zz z
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
g
gg g
w0
. (1.102)
Çäåñü
gx=
äëÿ
k = 1
,
gh=
äëÿ
k = 2
è
gz=
äëÿ
k = 3
.
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 51
1.2.3. Ëèíåàðèçàöèÿ
Óðàâíåíèå (1.54) ëèíåàðèçóåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ìåòîäà Íüþ
-
òîíà
()
13
2
1
DDt
t
RR RHSQQ
Q
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
−
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−=
=
∂
∂
+
t
t
s
ss
V
−+
−+
−
RRHS
QQQ
t
snn
s
t
34
2
1
D
,
(1.103)
ãäå âåðõíèé èíäåêñ
n + 1
, óêàçûâàþùèé íà âðåìåííîé ñëîé, îïóùåí:
QQ
s
n
s
=
+
()
1
.
Ïðè ïîñòðîåíèè íåÿâíîãî îïåðàòîðà â ëåâîé ÷àñòè (1.103) ïîëà
-
ãàåòñÿ, ÷òî íà âñåõ ãðàíÿõ íåâÿçêèé ïîòîê àïïðîêñèìèðóåòñÿ ñ ïåð
-
âûì ïîðÿäêîì:
()
||
[]
()
////
KS K K S A Q
in in inv
mm
v
m
v
mmm
⋅= + −
+++++12 1 12 12 12
1
2
D
, (1.104)
à â âÿçêîì ïîòîêå îñòàâëÿþòñÿ ïðîèçâîäíûå òîëüêî ïî òîé êîîðäèíà-
òå, ïîâåðõíîñòüþ óðîâíÿ êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ðàññìàòðèâàåìàÿ ãðàíü:
()
()
() ,
()
/
/
/
KS G
KS G
vis
eff
vis
eff
⋅=−
⋅=−
+
+
+
+
i
i
j
j
12
1
12
12
2
n
n
()
12
12
3
12
/
/
/
,
() .KS G
vis
eff
⋅=−
+
+
k
k
n
(1.105)
Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â ðàçíîñòíûõ ïîòîêàõ óðàâíåíèé (1.103) íåÿâ
-
íî (ò.å. íà s + 1-é èòåðàöèè n + 1-ãî ñëîÿ ïî âðåìåíè) ðàññìîòðåíû
òîëüêî ÷ëåíû, óêàçàííûå â ïðàâûõ ÷àñòÿõ ðàâåíñòâ (1.104) è (1.105), à
îñòàëüíûå áåðóòñÿ ÿâíî (ñ s-é èòåðàöèè n + 1-ãî ñëîÿ ïî âðåìåíè).
Âû÷èñëÿÿ ñ ó÷åòîì (1.104) è (1.105) ìàòðèöó ßêîáè
∂
∂Q
RHS
,
ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ëèíåéíûõ óðàâíåíèé:
13
2
12 12 12 12
DD
DD
t
tt
RRC C C+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+++
+
−
+−
+
−
t
V
ii ii j// // +
−
+
−
+
−+
−
+−
⎡
⎣
⎢
+
++ +
12 12
12 12 12 12 12
//
// // /
D
DD
j
jj kk k
CC C
+
−
+
−
⎤
⎦
⎥
=
=− +
−+
DD
D
k
s
t
snn
s
t
12
1
1
34
2
/
,
Q
RRHS
QQQ
(1.106)
52 Ãëàâà 1
ãäå
D
sss++
=−
11
QQ Q
,
()
CA R
mm
m
+
±
+
±
+
=±
12 12
12
//
/
n
eff
.
Ìàòðèöû
R
i+12/
,
R
j +12/
,
R
k+12/
åñòü ìàòðèöû
RRR
123
,,
, âû÷èñ
-
ëåííûå ïî ôîðìóëàì (1.102) è âçÿòûå íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíÿõ.
1.2.4. Ìåòîä LU-ôàêòîðèçàöèè ðåøåíèÿ
ëèíåàðèçîâàííîé ñèñòåìû óðàâíåíèé
Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.106) ïåðåïèñûâàåòñÿ â âèäå
(
BCCCC
C
−+−+−
−
−
+−
+
−+
−
+−
+
−+
−
ii ii j j j j
k
TTTT
12 12 12 12////
)
12 12
1
1
34
2
//
,
+−
+
−++
−
+=
=− +
−+
TT
kkk
s
t
snn
s
t
CQ
RRHS
QQQ
D
D
(1.107)
ãäå
T
m
±
— îïåðàòîð ñäâèãà íà îäèí óçåë âïåðåä (+) èëè íàçàä (–) ïî
èíäåêñó
m
,
BR RCC
CC
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+−+
+−
−
+
+
−
−
+
+
13
2
12 12
12
DDt
t
t
t
ii
jj
V
//
/121212///
−
−
+
+
−
+−CC
kk
è ïðèáëèæåííî LU ôàêòîðèçóåòñÿ
()
BC C C B
BC
−−− ×
×+
−
+−
−
+−
−
+−−
+
−
ii j j kk
ii
TTT
T
12 12 12
1
12
///
/
()
+
+
−+
+
−++
−
++ =
=− +
−+
CC Q
RR
QQQ
jj kk
s
t
snn
TT
t
12 12
1
1
34
2
//
D
D
HS
s
.
(1.108)
Ñèñòåìà (1.108) ðàçðåøàåòñÿ â äâà ýòàïà, íà ïåðâîì èç êîòîðûõ
âû÷èñëåíèÿ
D
s +12/
Q
âåäóòñÿ â íàïðàâëåíèè âîçðàñòàíèÿ èíäåêñîâ:
()
D
D
s
ijk
t
snn s
i
t
+− −
−
=− −+ + +
⎡
⎣
⎢
+
12 1 1
12
1
2
344
/
/
QB R QQQ RHS
C
++
−−
++
−−
++
++DDD
s
ijk j
s
ij k k
s
ij
12
112
12
112
12/
/
/
/
/
QC QC Q
k−
⎤
⎦
⎥
1
,
(1.109)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 53
à íà âòîðîì âû÷èñëåíèÿ
D
s +1
Q
— â íàïðàâëåíèè óáûâàíèÿ èíäåêñîâ:
[
DD D
D
s
ijk
s
ijk i
s
ijk
j
++ −
+
−+
+
+
−
=− +
+
1121
12
1
1
12
QQBCQ
C
/
/
/
]
s
ij k k
s
ijk
+
++
−+
+
+
1
112
1
1
QC Q
/
.D
 ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ðàñùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè íåâÿçêîãî
ïîòîêà
A
âèäà (1.93) âîçìîæíî ñâåäåíèå ìàòðèöû
B
ê äèàãîíàëüíîìó
âèäó è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîâûøåíèå ýêîíîìè÷íîñòè ÷èñëåííîãî àëãî
-
ðèòìà. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå çàïèøåì ìàòðèöó
B
ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
()
BR R I=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+++
+
−+
=
∑
13
2
05
0
12 12
DDt
t
rr
t
t
mm
mijk
V ,
//
,,
()
() ()
[]
,.
//
//
,,,
5
12 12
12 12
AA R R
mm
mm
mijkmi
−+
−+
==
−+ +
∑
nn
eff eff
jk,
∑
(1.110)
Ïðèáëèæåííî ïîëàãàÿ, ÷òî äëÿ âñåõ
mijk= ,,
è ìàòðèö
^
,
/
A
m+12
^
,
^
//
BC
mm++12 12
, îïðåäåëåííûõ â (1.69), âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
^^^
//
AAA
mmijk−+
==
12 12
,
^^^
//
BBB
mmijk−+
==
12 12
,
^^^
//
CCC
mmijk−+
==
12 12
,
ïåðåïèøåì âòîðóþ ñóììó â (1.110) â âèäå
05
05
12 12
12
,( )
,
^
[( ) (
//
,,
/
AA
A
mm
mijk
ijk x m x
SS
−+
=
−
−=
=−
∑
)]
,
^
[( ) ( ) ]
/
,,
//
,
m
mikk
ijk y m y m
mi
SS
+
=
−+
=
∑
+
+−
12
12 12
05B
kk
ijk z m z m
mikk
SS
,
//
,,
,
^
[( ) ( ) ].
∑
∑
+
+−
−+
=
05
12 12
C
(1.111)
Èñïîëüçóÿ (1.56), çàêëþ÷àåì, ÷òî ñóììà (1.111) îáðàùàåòñÿ â
íóëü. Òàêæå ìîæíî ïðèáëèæåííî ïîëîæèòü, ÷òî ìàòðèöû ßêîáè âÿç
-
54 Ãëàâà 1
êèõ ïîòîêîâ
R
m+12/
, âõîäÿùèå â
C
m+
±
12/
è ìàòðèöó
B
(1.110), ÿâëÿþòñÿ
äèàãîíàëüíûìè è, ó÷èòûâàÿ (1.61), çàìåíèòü èõ íà ìàòðèöû
[]
^
,, , /
/
/
/
R
mxyz
m
m
SSS V
+
+
+
= +++
12
222
12
12
0diag aaa
, (1.112)
ãäå
a =⋅
+
()
/
SS
m 12
.
Îêîí÷àòåëüíî àëüòåðíàòèâíûé âàðèàíò çàïèñè ìàòðèöû
B
â
ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ðàñùåïëåíèÿ (1.93) âûãëÿäèò òàê:
()
BR R I=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+++
+
−+
=
∑
13
2
05
12 12
DDt
t
rr
n
t
t
mm
mijk
V ,
//
,,
eff eff
^^
.
//
,,
RR
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
−+
=
∑
mm
mijk
12 12
n
(1.113)
1.2.5. Ñâîéñòâà ìåòîäà
Àïïðîêñèìàöèÿ
Îïðåäåëèì ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè êîíå÷íî-ðàçíîñòíîé
ñõåìû (1.54), â êîòîðîé ïîòîêè âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.62).
Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ñõîäèìîñòü èòåðàöèé ïî ïñåâäîâðåìåíè äîñ-
òèãíóòà:
R
QQ
t
t
() ()
ns ns++ +
−
=
11 1
0
D
è îòñóòñòâóþò âÿçêèå ÷ëåíû
K
vis
≡ 0
.
 äåêàðòîâîé ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå â ýòîì
ñëó÷àå ñõåìà ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå
R
QQE E
G
t
ijk
n
ijk
n
i
n
i
n
j
n
th
x
+
+
+
−
+
+
+
−−
++
+
1
12
1
12
1
12
1
D
//
/
−−
−
+
+
+
+
+
+=
GHH
j
n
y
k
n
k
n
z
hh
12
1
12
1
12
1
0
///
.
Ïîðÿäîê àïïðîêñèìàöèè ïðîñòðàíñòâåííûõ ïðîèçâîäíûõ óñòà
-
íîâèì íà ïðèìåðå ïðîèçâîäíîé
∂∂E/ x
â òî÷êå
ijk,,
. Äëÿ îñòàëüíûõ
ïðîèçâîäíûõ îöåíêè ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî. Ïîäñòàâèì â ôîðìóëó
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 55
äëÿ ðàçíîñòíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíîé
∂∂E/ x
âûðàæåíèÿ ðàç
-
íîñòíûõ ïîòîêîâ ïðè
j = 13/
è ïðîâåäåì ïðåîáðàçîâàíèÿ:
EE
EE
AQQ
ii
xx
ii
iii
hh
+−
+
++
−
+
=− −
⎧
⎨
12 12
1
12 1
1
2
1
2
//
/
|
^
|( )
⎩
+
+− − −+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
−
−−−
+
WAQQW
EE
i
ii
iii i12
1
12 1 12
2
1
2
///
|
^
|( )
⎫
⎬
⎭
=
=− −+−
+−
++ − −
−EE
AQQAQQ
ii
xx
ii iiii
hh
11
12 1 12 1
2
1
2
^
()
^
(
//
)
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
(1.114)
+
+
+
+−
+
−−
+
−+ − −25
12 1 12 1 32
^
()
^
()
^
(
///
AQQAQQAQ
iiiiii i i−−
−
+
12
6
Q
i
x
h
)
+
−
−
−+
−
++
−
−+ −−25
12 1 12 1 32
^
()
^
()
^
(
///
AQQ AQQAQ
iii iiii i++
−
21
6
Q
i
x
h
)
,
ãäå ìàòðèöû
^
/
A
i+12
íàéäåíû â (1.69). Äëÿ óïðîùåíèÿ äàëüíåéøèõ âû-
êëàäîê ïðè îïðåäåëåíèè ìàòðèö
^
/
A
i+
±
12
áóäåì èñïîëüçîâàòü ðàñùåï-
ëåíèå (1.93).  ñëó÷àå èñïîëüçîâàíèÿ ðàñùåïëåíèÿ (1.78) âñå âû÷èñ-
ëåíèÿ ïðîâîäÿòñÿ àíàëîãè÷íî. Èñõîäÿ èç òîãî, ÷òî ñïåêòðàëüíûé ðà-
äèóñ
r
i+12/
çàâèñèò ëèøü îò õ-é êîìïîíåíòû ñêîðîñòè
u
, ðàçëîæèì
r
i±12/
,
r
i±32/
â ðÿä Òåéëîðà îòíîñèòåëüíî çíà÷åíèÿ
u
i
. Ðàçëàãàÿ òàêæå
êîìïîíåíòû âåêòîðîâ
QQ
ii±±12
,
îòíîñèòåëüíî òî÷êè
x
i
, îñòàâëÿÿ
ïðè ýòîì ÷ëåíû äî òðåòüåãî ïîðÿäêà ìàëîñòè ïî
h
x
è ó÷èòûâàÿ ðàâåí
-
ñòâî (1.67), ïîëó÷èì ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ:
EE
AQQAQQ
ii
xx
ii iiii
hh
+−
++ − −
−
−−+−
11
12 1 12 1
2
1
2
^
()
^
()
//
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
= 0
,
25
12 1 12 1 32
^
()
^
()
^
(
///
AQQAQQ AQ
iii iii ii+
+
+−
+
−−
+
−
−+ − −
12
6
−
−
=
Q
i
x
h
)
(1.115)
[]
=∂∂+∂∂∂∂−∂∂∂∂ ×
×∂
+
^
(/)( / )(/)(/)( / )
(
AQ Q Qxux xux x
22 2 2
2
rr/)/ (/)(/)(/)/ ()∂+∂∂∂∂∂∂+uh u x x uh Oh
xxx
22 2 2 22 3
24 48Q ,
25
12 1 12 1 32 2
AQQ AQQAQQ
iii iiii i−
−
−+
−
++
−
+
−+ −− −
///
()()(
i
x
h
+
=
1
6
)
56 Ãëàâà 1
[]
=∂∂−∂∂∂∂−∂∂∂∂ ×
×∂
−
^
(/) ( / )(/)(/)( / )
(
AQ Q Qxux xux x
22 2 2
2
rr/)/ (/)(/)(/)/ ()∂−∂∂∂∂∂∂+uh u x x uh Oh
xxx
22 2 2 22 3
24 48Q .
Ïîäñòàâëÿÿ â (1.114) âûðàæåíèÿ (1.115), íàõîäèì
EE
E
ii
x
x
h
xOh
+−
−
=∂ ∂ +
12 12
3
//
/()
.
Òàêèì îáðàçîì óñòàíîâëåíî, ÷òî ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàçíîñòíûõ
ïîòîêîâ (1.62) ñ
j = 13/
è óñðåäíåíèé (1.66) ñõåìà (1.54) â äåêàðòîâîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò íà ðàâíîìåðíîé ñåòêå èìååò òðåòèé ïîðÿäîê
àïïðîêñèìàöèè ïî ïðîñòðàíñòâåííûì íàïðàâëåíèÿì.
Óñòîé÷èâîñòü
 äàííîì ïàðàãðàôå â ëèíåéíîì îäíîìåðíîì ñëó÷àå ñ ïîìîùüþ
ìåòîäà Ôóðüå ïðîâîäèòñÿ àíàëèç óñòîé÷èâîñòè ìåòîäà ïî íà÷àëüíûì
äàííûì. Ïåðâîíà÷àëüíî ðàññìîòðèì ðàçíîñòíûå ñõåìû äëÿ ìîäåëü-
íîãî ñêàëÿðíîãî óðàâíåíèÿ
QaQ
tx
+=0
.
Ðåøåíèå ðàçíîñòíûõ ñõåì äëÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåì îòûñêè-
âàòü â âèäå ãàðìîíèêè
QQe Qe
i
n
t
n
jkx
i
njki
==
+
00
w
l
,
ãäå
j
2
1=−
;
k
— âîëíîâîå ÷èñëî,
kkh=
;
l
w
= e
tD
;
tnt
n
= D
;
xih
i
=
.
1. Ñõåìà âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïî
h
:
()()
QQ
t
QQ
h
QQ
h
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
aa
+
+
+
−
+
−
+
++
−
−−
+++
1
1
1
1
1
11
D
DD DD
()
+=
=−
+
++
−
+
+
−−
−+
−+
P
a
QQQ
h
QQQ
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
DDD
1
11
1
1
2
21
2
43
n
i
n
i
n
i
n
h
QQ Q
h
a
2
43
2
12
+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎫
⎬
⎪
⎭
−
++
−−
,
(1.116)
ãäå
DQQQ
i
n
i
n
i
n++
=−
11
;
P ≤ 0
,
a
+
≥ 0
,
a
+
≥ 0
,
a
−
≤ 0
,
a
−
≤ 0
,
aa
+−
+=
=+=
+−
aaa
,
aa
++
≥
,
||||aa
−−
≥
.
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 57
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ ñõåìû (1.116) çàïèñûâàåòñÿ
â âèäå
ll l−+ −+ −− −−
−
+−− +−
−
11 11aeaeae
a
t
h
t
h
t
h
jk jk jk
DDD
() () ()
DD Dt
h
t
h
t
h
ePeePee
a
jk jk jk jk jk
() ( ) ( )−+ −− − − − +
+
−−
12 2
22
l
−+−−
−−+ − +=
DDt
h
t
h
ee a e e
jk jk jk jk
22
43 430
22
()( ).
(1.117)
Êâàäðàò ìîäóëÿ
l
âûðàæàåòñÿ êàê
||
()()
()(
l
ab b ab a b
ab b a
2
22
1
2
2
1
1
1
=
++− +
++ +
Pk
P
sin( )
sin(
k))
2
, (1.118)
ãäå
a =−
+−
Dt
h
aa()
,
a
1
=+
+−
Dt
h
aa()=+=
+−
DDt
h
t
h
aa a()
,
b =−()1cos()k
,
PP
t
h
=−2
2
D
,
a =−
+−
Dt
h
aa()
.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî
aa≥≥0
,
02≤≤b
,
P ≥ 0
, çàêëþ÷àåì, ÷òî
||l
2
1≤
.
2. Ñõåìà òðåòüåãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïî
h
:
()()
QQ
t
QQ
h
QQ
h
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
aa
+
+
+
−
+
−
+
++
−
−−
+++
1
1
1
1
1
11
D
DD DD
()
+=
=−
+
++
−
+
+
+−
−+
+−
P
a
QQQ
h
QQ Q
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
DDD
1
11
1
1
2
12
2
26
−
−
++ −
+−−−
+
⎧
⎨
⎪
⎩
⎫
⎬
⎪
⎭
1121
3
6
623
6
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
Q
h
QQ Q Q
h
a .
(1.119)
Óñëîâèÿ íà
aaPaa
+− + −
,,,,
ââåäåíû â (1.116). Õàðàêòåðèñòè
-
÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
ll l−+ −+ −− −−
−
+−− +−
−
11 11aeaeae
a
t
h
t
h
t
h
jk jk jk
DDD
() () ()
DD Dt
h
t
h
t
h
ePeePee
a
jk jk jk jk jk
() ( ) ( )−+ −− − − − +
+
−−
12 2
22
l
−−+−−
− − −+ + − +=
DDt
h
t
h
ee e a ee e
jk jk jk jk jk jk
22
636 3
22
()( )0.
(1.120)
58 Ãëàâà 1
Êâàäðàò ìîäóëÿ
l
âûðàæàåòñÿ
()
()
||l
ab b
ab
a
b
ab b
2
2
2
1
2
2
1
33
1
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++− +
++
Pk
P
sin
()
()
+ a
1
2
sin k
. (1.121)
Ïðè óñëîâèÿõ íà êîýôôèöèåíòû, ïðèâåäåííûõ â (1.118), èç ðà
-
âåíñòâà (1.121) ñëåäóåò, ÷òî
||l ≤ 1
.
3. Ñõåìà âòîðîãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïî h:
()()
QQ
t
QQ
h
QQ
h
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
aa
+
+
+
−
+
−
+
++
−
−−
++−
1
1
1
1
1
11
D
DD D D
P
aa
Q
h
QQQ
h
QQ
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
D
+
+
−−
−
++
=
=− +
−+ −−
1
2
21 12
43
2
43Q
h
i
n
2
⎧
⎨
⎪
⎩
⎫
⎬
⎪
⎭
,
(1.122)
ãäå
aaPaa
+− + −
,,,,
óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì (1.116).
Õàðàêòåðèñòè÷åñêîå óðàâíåíèå äëÿ äàííîé ñõåìû çàïèñûâàåòñÿ
ñëåäóþùèì îáðàçîì:
ll l−+ −+ −− −−
−
+−− +−
−
11 11aeaeae
a
t
h
t
h
t
h
jk jk jk
DDD
() () ()
DDD
DD
t
h
t
h
t
h
t
h
t
ePP
aee a
jk
jk jk
()
()
−− + +
+−−+
−+
1
43
22
2
22
l
h
ee
jk jk
().
−−
−+=
2
430
(1.123)
Êâàäðàò ìîäóëÿ
l
âûðàæàåòñÿ êàê
()
()
()
()
()
()
||l
ab ab a b
ab a
2
2
2
1
2
2
1
2
1
1
=
++− +
++ +
Pk
Pk
sin
sin
, (1.124)
ab a,, ,P
1
ââåäåíû â (1.118). Èç (1.124) ñëåäóåò íåðàâåíñòâî
||l
2
1≤
.
4. Ñõåìà òðåòüåãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïî
h
:
()()
QQ
t
QQ
h
QQ
h
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
aa
+
+
+
−
+
−
+
++
−
−−
++−
1
1
1
1
1
11
D
DD DD
P
aa
Q
h
QQQQ
h
Q
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
D
+
+
+− −
−
+
=
=− +
+− + −
1
2
12 1 1
263
6
6 QQQ
h
i
n
i
n
i
n
+−
−−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎫
⎬
⎪
⎭
21
23
6
.
(1.125)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 59
Óñëîâèÿ íà
aaPaa
+− + −
,,,,
ââåäåíû â (1.118). Õàðàêòåðèñòè
-
÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò âèä
ll l−+ −+ −− −−
−
+−− +−
−
11 11aeaeae
a
t
h
t
h
t
h
jk jk jk
DDD
() () ()
DDDDt
h
t
h
t
h
t
h
ePPaeee
jk jk jk jk
() ( )−− + + − − −+
+
−−
163
22
2
2
l
aee e
t
h
jk jk jk+−−
+− +=
D
2
6630
2
().
(1.126)
Êâàäðàò ìîäóëÿ
l
âûðàæàåòñÿ ñîîòíîøåíèåì
()
()
||l
ab
ab
a
b
ab a
2
2
2
1
2
2
1
33
1
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++− +
++ +
Pk
P
sin
()
()
sin k
2
, (1.127)
ab a,, ,P
1
ââåäåíû â (1.118). Èç ñîîòíîøåíèÿ (1.127) ñëåäóåò âûïîë-
íåíèå íåðàâåíñòâà
||l
2
1≤
.
Ðàñïðîñòðàíèì îöåíêè óñòîé÷èâîñòè (1.118)–(1.127) íà ÷èñëåí-
íûé ìåòîä â ñëó÷àå îäíîìåðíîé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Áóäåì ïðè ýòîì
ðàññìàòðèâàòü ñëó÷àé, êîãäà êîýôôèöèåíò èñêóññòâåííîé ñæèìàå-
ìîñòè
b = 1
è ñåòêà ðàâíîìåðíàÿ. Ïðè âñåõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ óðàâíå-
íèé êîýôôèöèåíòû â íèõ ñ÷èòàþòñÿ ïîñòîÿííûìè.
Ïðè èñïîëüçîâàíèè ðàñùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè (1.78) ñõåìà
2-ãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïî
h
â äàííîì ñëó÷àå áóäåò âûãëÿäåòü
êàê
()()
QQ
QQ QQ
AA
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
th h
+
+
+
−
+
−
+
++
−
−−
++=
1
1
1
1
1
11
D
DD DD
=− +
⎧
⎨
⎪
⎩
⎫
+
−−
−
++
−+ −−
AA
QQQ QQQ
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
hh
21 12
43
2
43
2
⎬
⎪
⎭
,
à ñõåìà 3-ãî ïîðÿäêà àïïðîêñèìàöèè ïî
h
()()
QQ
QQ QQ
AA
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
th h
+
+
+
−
+
−
+
++
−
−−
++=
1
1
1
1
1
11
D
DD DD
=− +
+
+− −
−
++ −
+− + −−
AA
QQQQ QQQ263
6
62
12 1 12i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
n
i
h
1
3
6
n
i
n
h
−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎫
⎬
⎪
⎭
Q
,
ãäå
DQQQ
i
n
i
n
i
n++
=−
11
.
60 Ãëàâà 1