Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах
Подождите немного. Документ загружается.
îáëàñòè ïîëíîñòüþ ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé íàõîäèòñÿ èç
õîðîøî îïèñûâàþùåãî åå óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà, à â ïðèñòåíî÷íîì
ñëîå — èç ãèïîòåçû äëèíû ïóòè ñìåøåíèÿ Ïðàíäòëÿ. Âîçíèêàåò ïðî
-
áëåìà âûäåëåíèÿ âî âñåé îáëàñòè òå÷åíèÿ ïîäîáëàñòåé, â êîòîðûõ
ñïðàâåäëèâû òà èëè èíàÿ ìîäåëè äëÿ
e.
 ìîíîãðàôèè ýòà ïðîáëåìà
ðåøàåòñÿ ïîäîáíî òîìó, êàê ýòî äåëàåòñÿ â [4], — òðàíñôîðìàöèåé
óðàâíåíèÿ ïåðåíîñà äëÿ
e
ïðè ïðèáëèæåíèè ê ñòåíêå â îáûêíîâåííîå
äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå áåç êîíâåêòèâíûõ è äèôôóçèîííûõ
÷ëåíîâ. Ïîëó÷àåìîå ïðè óñòàíîâëåíèè ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå ýòîãî
óðàâíåíèÿ åñòü àëãåáðàè÷åñêîå âûðàæåíèå, âûòåêàþùåå èç ãèïîòåçû
äëèíû ïóòè ñìåøåíèÿ Ïðàíäòëÿ. Òàêæå âûðàæåíèå äëÿ òóðáóëåíòíîé
âÿçêîñòè âáëèçè ñòåíêè òðàíñôîðìèðóåòñÿ â ôîðìóëó Êîëìîãîðîâà.
 êà÷åñòâå ïàðàìåòðà, îòâå÷àþùåãî çà òðàíñôîðìàöèþ óðàâíåíèé
ïðè ïåðåõîäå èç îáëàñòè ðàçâèòîãî òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ â âÿçêèé
ïîäñëîé, áåðåòñÿ òóðáóëåíòíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà.
Äàííûé ïîäõîä èíîãäà íàçûâàþò “çîíàëüíûì ìîäåëèðîâàíèåì”.
Îáëàñòü òå÷åíèÿ ðàçáèâàåòñÿ íà äâå çîíû. Îäíà èç ìîäåëåé äëÿ âûñî-
êèõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà èñïîëüçóåòñÿ â îñíîâíîé, óäàëåííîé îò ñòåíêè,
îáëàñòè òå÷åíèÿ.  ïðèñòåíî÷íîé îáëàñòè ïðèìåíÿåòñÿ ìîäåëü ñ îä-
íèì óðàâíåíèåì. Ýòî ïîçâîëÿåò èçáåæàòü íåäîñòàòêîâ
k − e
ìîäåëè ñ
äåìïôèðóþùèìè ôóíêöèÿìè äëÿ íèçêèõ ÷èñåë Ðåéíîëüäñà, îäíèì èç
êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå èìåòü î÷åíü ïîäðîáíóþ ñåòêó âáëèçè
ñòåíîê. Ïî òî÷íîñòè äâóõñëîéíàÿ ìîäåëü íå óñòóïàåò ìîäåëÿì ñ äåìï-
ôèðóþùèìè ôóíêöèÿìè. Íî äâóõñëîéíàÿ ìîäåëü îáåñïå÷èâàåò àäåê-
âàòíîå îïèñàíèå ÿâëåíèÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè ïðèñòåíî÷íàÿ
çîíà, â êîòîðîé õîðîøî ðàáîòàåò ìîäåëü ñ îäíèì óðàâíåíèåì, ïðà
-
âèëüíî âûäåëåíà. Îáû÷íî ãðàíèöà ðàçäåëà îáëàñòåé ïðèìåíèìîñòè
ìîäåëåé òóðáóëåíòíîñòè ñ îäíèì è äâóìÿ óðàâíåíèÿìè âûáèðàåòñÿ
àïðèîðè è òîãäà âîçìîæíî ïåðåêëþ÷åíèå îäíîé ìîäåëè íà äðóãóþ
ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ýòó ãðàíèöó. Äëÿ áîëüøèíñòâà çàäà÷ çàðàíåå âûäå
-
ëèòü ïðèñòåíî÷íûé ñëîé çàòðóäíèòåëüíî.
Ïåðåõîä îò îäíîé ìîäåëè ê äðóãîé áóäåì îñóùåñòâëÿòü ñ ïî
-
ìîùüþ óïðàâëÿþùåé ôóíêöèè
ll= (Re )
y
, àðãóìåíòîì êîòîðîé ÿâ
-
ëÿåòñÿ òóðáóëåíòíîå ÷èñëî Ðåéíîëüäñà
Re
y
. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ãðà
-
íèöå ìåæäó âÿçêèì ïîäñëîåì è îáëàñòüþ ðàçâèòîãî òóðáóëåíòíîãî
òå÷åíèÿ ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèå òóðáóëåíòíîãî ÷èñëà Ðåéíîëüäñà
Re
*
y
. Îïðåäåëèì òîãäà óïðàâëÿþùóþ ôóíêöèþ
l(Re )
y
ñëåäóþùèì
îáðàçîì:
()
l Re ,
Re Re
*
y
yy
h
A
=+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
−
1
2
1tan
(1.16)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 21
ãäå
A =÷110
. ×èñëî À õàðàêòåðè
-
çóåò ïëàâíîñòü ïåðåõîäà çíà÷å
-
íèé
l(Re )
y
îò íóëÿ ê åäèíèöå â
îêðåñòíîñòè
Re Re
*
yy
=
. Ãðàôèê
ôóíêöèè ïðèâåäåí íà ðèñ. 1.1.
Óðàâíåíèÿ äëÿ
e
èç ìîäåëè ñ
îäíèì óðàâíåíèåì è èç ñòàíäàðòíîé
k − e
ìîäåëè îáúåäèíÿþòñÿ
äàëåå ñ ïîìîùüþ ôóíêöèè
l
â îäíî âûðàæåíèå
()
1
1
−++ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
=−
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
lllen
l
e
t
ee
e
e
ee
tx x
k
j
j
j
u
CGC
()
2
232
1
e
le
e
k
k
l
C
D
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+− −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
/
,
(1.17)
ãäå
t
— ïñåâäîâðåìÿ, ââåäåííîå â óðàâíåíèå äëÿ îðãàíèçàöèè èòåðà-
öèé íà øàãå ïî âðåìåíè. Òàêæå ñ ïîìîùüþ
l
îñóùåñòâëÿåòñÿ ïåðå-
õîä îò îäíîãî ìîäåëüíîãî âûðàæåíèÿ ê äðóãîìó äëÿ òóðáóëåíòíîé
âÿçêîñòè
()
nl
e
l
mmnt
C
k
Clk=+−
2
12
1
/
. (1.18)
 ïðèñòåíî÷íîé îáëàñòè
()l = 0
óðàâíåíèå ïåðåíîñà è äèôôóçèè
äëÿ
e
ïðåîáðàçóåòñÿ â îáûêíîâåííîå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
d
d
k
l
C
D
e
t
e
e=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
32/
,
èìåþùåå ïðè ïðåäïîëîæåíèè ïîñòîÿíñòâà âåëè÷èíû
Ck l
D
32/
/
e
ðåøåíèå
()
()
et e
ee
t
=+−
−
Ck l Ck l e
DD
32
0
32//
//
.
 ïðîöåññå ñõîäèìîñòè èòåðàöèé ïðè
t →∞
ðåàëèçóþòñÿ ôîðìó
-
ëû ñîîòâåòñòâóþùèõ ìîäåëåé.
Ìîäåëü áîëüøèõ òóðáóëåíòíûõ ñòðóêòóð (LES-ìîäåëü)
 ìåòîäå LES âñå ýíåðãåòè÷åñêè çíà÷èìûå ìàñøòàáû òóðáóëåíò
-
íîñòè (“êðóïíûå âèõðè”) ðàçðåøàþòñÿ íàïðÿìóþ, à îñòàþùèéñÿ
âêëàä âñåõ ìåíüøèõ, ÷åì ðàçìåð D ðàñ÷åòíîé ñåòêè (ôèëüòðà), ìàñ
-
22 Ãëàâà 1
Ðèñ. 1.1. Ôóíêöèÿ
l (Re )
y
.
øòàáîâ ó÷èòûâàåòñÿ â êà÷åñòâå “ïîäñåòî÷íûõ” òóðáóëåíòíûõ íàïðÿ
-
æåíèé, äëÿ êîòîðûõ èñïîëüçóåòñÿ îòíîñèòåëüíî ïðîñòàÿ (ñîãëàñíî äî
-
ïóùåíèþ î ñòàòèñòè÷åñêîé îäíîðîäíîñòè äëÿ ìåëêîìàñøòàáíîé ÷àñ
-
òè ñïåêòðà òóðáóëåíòíîñòè) ìîäåëü çàìûêàíèÿ. Ïðèìåíÿÿ îïåðàöèþ
ôèëüòðîâàíèÿ ñ ðàçìåðîì ôèëüòðà D ê ñèñòåìå óðàâíåíèé Íàâüå —
Ñòîêñà íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, ïîëó÷èì
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂∂
∂
∂
=
+=−+−
u
x
u
t
uu
xx
u
xx x
i
i
i
ij
ji
i
jj
ij
j
p
0
2
,
n
t
.
(1.19)
 óðàâíåíèÿõ (1.19) âñå âåëè÷èíû â óãëîâûõ ñêîáêàõ
K
ñ÷èòàþò
-
ñÿ îòôèëüòðîâàííûìè íà ðàñ÷åòíîé ñåòêå. Äëÿ çàìûêàíèÿ ñèñòåìû
(1.19) òåíçîð ïîäñåòî÷íûõ íàïðÿæåíèé
t
ij i j i j
uu u u≡−
, âîçíè-
êàþùèé â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ îïåðàöèè ôèëüòðà ê íåëèíåé-
íûì êîíâåêòèâíûì ÷ëåíàì, íàèáîëåå ÷àñòî âûðàæàåòñÿ íà îñíîâå
ãèïîòåçû Áóññèíåñêà
tn dt
ij
t
i
j
j
i
ij kk
u
x
u
x
=− +
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+
∂
∂
∂
∂
sgs
1
3
. (1.20)
 ëèòåðàòóðå ïðåäñòàâëåíî áîëüøîå êîëè÷åñòâî ìîäåëåé äëÿ àï-
ïðîêñèìàöèè ïîäñåòî÷íûõ ìàñøòàáîâ òóðáóëåíòíîñòè â ìåòîäå LES.
Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííîé è ïðîñòîé èç ìîäåëåé çàìûêàíèÿ äëÿ
ïîäñåòî÷íûõ òóðáóëåíòíûõ íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü Ñìàãîðèí
-
ñêîãî, èñïîëüçóåìàÿ â ìîíîãðàôèè. Â ýòîé ìîäåëè ñîîòíîøåíèå äëÿ
òóðáóëåíòíîé âÿçêîñòè â (1.20) èìååò âèä
n
t
Sijij
CSS
sgs
=
22
2D
, (1.21)
ãäå îòôèëüòðîâàííûé òåíçîð ñêîðîñòåé äåôîðìàöèè
()
Suxux
ij i j j i
≡∂∂+∂ ∂05,/ /
,
à ëîêàëüíûé ðàçìåð ôèëüòðà D îïðåäåëÿåòñÿ ñîãëàñíî [5,6] êàê êóáè
-
÷åñêèé êîðåíü èç îáúåìà ÿ÷åéêè ðàçíîñòíîé ñåòêè
D =⋅⋅()
/
ddd
xyz
13
.
Çäåñü
ddd
xyz
,,
îáîçíà÷àþò ðàçìåðû ãðàíåé ÿ÷åéêè ïî êàæäîìó
íàïðàâëåíèþ êîîðäèíàò.  ñëó÷àå ñèëüíî àíèçîòðîïíîé ðàñ÷åòíîé
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 23
ñåòêè, íàïðèìåð ïðè
ddd
õyz
<<
, ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàí ïîïðàâî÷
-
íûé êîýôôèöèåíò
F
a
[7]:
()
Faaaa
a
=−+cosh ln ln ln ln
2
112
2
2
4
27
, (1.22)
ãäå
a
xz1
= dd/
,
a
yz2
= dd/
. Òîãäà ìîäèôèöèðîâàííàÿ ôîðìà ïîäñåòî÷
-
íîé òóðáóëåíòíîé âÿçêîñòè â ìîäåëè Ñìàãîðèíñêîãî áóäåò èìåòü âèä
n
t
Sa ij ij
CF S S
sgs
=
22
2()D
. (1.23)
Ñîãëàñíî òåîðåòè÷åñêèì îöåíêàì [5], çíà÷åíèå êîýôôèöèåíòà
C
S
â ìîäåëè Ñìàãîðèíñêîãî ëåæèò â äèàïàçîíå 0,148–0,18, à â ïðîâî
-
äèìûõ íàìè ðàñ÷åòàõ èñïîëüçóþòñÿ çíà÷åíèÿ
C
S
= 017,
è
C
S
= 02,
.
Åñëè òåïåðü îïóñòèòü óãëîâûå ñêîáêè â (1.19)–(1.23), òî ïðèäåì ê
îáùåé çàïèñè îñíîâíûõ óðàâíåíèé (1.6), â êîòîðîé äëÿ LES-ìîäåëè
íåîáõîäèìî ïîëîæèòü êîýôôèöèåíò
n
t
ðàâíûì ïîäñåòî÷íîé òóðáó-
ëåíòíîé âÿçêîñòè
n
t
sgs
â (1.21).
1.1.3. Çàêîíû ïîäîáèÿ è ïðèâåäåííûå âåëè÷èíû
Ïðè ìîäåëèðîâàíèè òå÷åíèé â òóðáîìàøèíàõ íåîáõîäèìî âû-
äåðæèâàòü òðåáîâàíèÿ òðåõ çàêîíîâ ïîäîáèÿ ìåæäó ìîäåëüþ è ðåàëü-
íûì îáúåêòîì: ãåîìåòðè÷åñêîãî, äèíàìè÷åñêîãî è êèíåìàòè÷åñêîãî.
Ãåîìåòðè÷åñêè ïîäîáíûìè íàçûâàþòñÿ ïðîòî÷íûå ÷àñòè, êîòî-
ðûå ìîãóò áûòü ïîëó÷åíû îäíà èç äðóãîé ïðîïîðöèîíàëüíûì èçìå-
íåíèåì âñåõ ðàçìåðîâ.
Äâà ïîòîêà äèíàìè÷åñêè ïîäîáíû, åñëè áåçðàçìåðíûå ÷èñëà,
îïðåäåëÿþùèå òå÷åíèÿ, ðàâíû. Íàèáîëåå ïðîñòîé ïóòü îïðåäåëåíèÿ
áåçðàçìåðíûõ âåëè÷èí ñîñòîèò â îáåçðàçìåðèâàíèè óðàâíåíèé è ãðà
-
íè÷íûõ óñëîâèé, îïðåäåëÿþùèõ òå÷åíèå æèäêîñòè.
Ïóñòü
L
— õàðàêòåðíûé ëèíåéíûé ðàçìåð çàäà÷è, à
U
— õàðàê
-
òåðíàÿ ñêîðîñòü òå÷åíèÿ. Òîãäà ìîæíî ïåðåéòè ê áåçðàçìåðíûì
âåëè÷èíàì:
tx
Ut
L
x
L
==
′′
,,
up k
i
i
u
U
p
U
k
U
L
U
== = =
′
′′′
,, , ,
223
e
e
ãäå øòðèõè îòíåñåíû ê ðàçìåðíûì âåëè÷èíàì. Ïðèâåäåííûå îñíîâ
-
íûå óðàâíåíèÿ ïîñëå ýòîãî èçìåíÿþòñÿ òîëüêî â ñëåäóþùèõ ÷àñòÿõ:
nnn n
n
s
n
s
e
e
eff
Re Re Re
=+ =+ =+
11 1
tk
t
k
t
,,,
24 Ãëàâà 1
f =
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
+
−
⎛
f
f
f
Cx Cu
Cx Cu
Fr
1
2
3
12
21
1
cen cor
cen cor
/
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
.
(1.24)
Çäåñü ââåäåíû áåçðàçìåðíûå êîìïëåêñû:
Re
cen cor
== = =
UL U
Lg
L
U
L
U
Fr C C
n
ww
,, ,
222
2
2
. (1.25)
Óñëîâèå êèíåìàòè÷åñêîãî ïîäîáèÿ ñâîäèòñÿ ê ïîäîáèþ êàðòèí
òå÷åíèÿ ïîòîêîâ æèäêîñòè âíóòðè ïðîòî÷íîé ÷àñòè ðåàëüíîé òóðáî
-
ìàøèíû è åå ìîäåëè. Ïðè ýòîì àáñîëþòíàÿ ñêîðîñòü è åå ñîñòàâëÿþ
-
ùèå — ïåðåíîñíàÿ è îòíîñèòåëüíàÿ — â ñîîòâåòñòâåííûõ òî÷êàõ ïî
-
òîêà îäèíàêîâî íàïðàâëåíû è ïðîïîðöèîíàëüíû ïî âåëè÷èíå.
Äëÿ óñòàíîâëåíèÿ êèíåìàòè÷åñêîãî ïîäîáèÿ ðàññìîòðèì îñíîâ
-
íûå ïàðàìåòðû òóðáîìàøèíû. Ê íèì îòíîñÿòñÿ: îáúåìíûé ðàñõîä
æèäêîñòè äëÿ êàêîãî-ëèáî ñå÷åíèÿ òóðáîìàøèíû
Q
; äèàìåòð ðàáî÷å-
ãî êîëåñà
D
1
; íàïîð
H
, îïðåäåëÿåìûé êàê ðàçíîñòü ïîëíûõ ýíåðãèé
æèäêîñòè â ïîïåðå÷íûõ ñå÷åíèÿõ ïðè âõîäå â òóðáîìàøèíó è â íà÷à-
ëå îòâîäÿùåãî êàíàëà (íàïðèìåð, äëÿ ãèäðîòóðáèíû
Hzdz
Q
p
gg
p
gg
c
S
c
=++
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−++
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
∫
1
22
22
|| ||uu
uS
in
⎟
⎟
⎡
⎣
⎢
⎢
⎤
⎦
⎥
⎥
∫
uSd
S
out
, (1.26)
ãäå
z
in
è
z
out
— âûñîòíûå îòìåòêè;
S
in
è
S
out
— ïëîùàäè âõîäíîãî è
âûõîäíîãî ñå÷åíèé); ìîùíîñòü òóðáîìàøèíû
N
, ðàññ÷èòûâàåìàÿ ïî
ôîðìóëå
NgQH= h
, (1.27)
ãäå
h
— êîýôôèöèåíò ïîëåçíîãî äåéñòâèÿ òóðáîìàøèíû; ÷àñòîòà
âðàùåíèÿ ðàáî÷åãî êîëåñà
n
.
Ïóñòü èìåþòñÿ äâå ãåîìåòðè÷åñêè è äèíàìè÷åñêè ïîäîáíûå òóð
-
áîìàøèíû A è B. Òîãäà, âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèÿìè íåñæèìàå
-
ìîé æèäêîñòè, îïðåäåëÿþùèìè òå÷åíèÿ â íèõ, ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî
ýòè òå÷åíèÿ â A è B áóäóò êèíåìàòè÷åñêè ïîäîáíûìè òîãäà è òîëüêî
òîãäà, êîãäà âûïîëíÿþòñÿ ðàâåíñòâà
nD
H
nD
H
AÀ
À
BÂ
B
11
=
, (1.28)
Q
DH
Q
DH
A
ÀA
B
ÂB1
2
1
2
=
, (1.29)
gD
H
gD
H
AÀ
A
BÂ
B
11
=
. (1.30)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 25
Êàê ñëåäñòâèå âûïîëíåíèÿ ðàâåíñòâ (1.28)–(1.30) çàïèøåì ñâÿçè
äðóãèõ ïàðàìåòðîâ òå÷åíèÿ â òóðáîìàøèíàõ A è B:
uu
A
A
B
B
HH
=
,
DDp
H
p
H
A
A
B
B
=
,
N
DH
N
DH
A
ÀA
B
ÂB1
23
1
23
=
,
M
DH
M
DH
A
ÀA
B
ÂB1
3
1
3
=
, (1.31)
F
DH
F
DH
A
ÀA
B
ÂB1
2
1
2
=
,
ãäå
Dp
— ðàçíîñòü äàâëåíèé ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè;
M
— êðóòÿùèé
ìîìåíò ñèëû;
F
— ñèëà.
Åñëè ó òóðáîìàøèíû A çàäàäèì
D
A1
1=
ìè
H
A
= 1
ì, òî çíà÷åíèÿ
îñòàëüíûõ ïàðàìåòðîâ äëÿ òóðáîìàøèíû A íàçûâàþò ïðèâåäåííûìè ê
äèàìåòðó1ìèíàïîðó 1 ì. Ïðèâåäåííûå âåëè÷èíû îáîçíà÷àþòñÿ
øòðèõîì. Îïóñêàÿ èíäåêñ B, ïîëó÷èì äëÿ íèõ ñëåäóþùèå ôîðìóëû:
n
nD
H
′=
1
,
Q
Q
DH
′=
1
2
,
g
gD
H
′=
1
,
u
u
′=
H
,
N
N
DH
′=
1
23
,
D
D
p
p
H
′=
, (1.32)
M
M
DH
′=
1
3
,
F
F
DH
′=
1
2
.
1.1.4. Êðàåâûå óñëîâèÿ è ñåãìåíòàöèÿ îáëàñòè
Êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà
Âî âõîäíîì ñå÷åíèè çàäàåòñÿ ðàñïðåäåëåíèå âåêòîðà ñêîðîñòè
u
,
â âûõîäíîì ñå÷åíèè — ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ
p
, íà òâåðäûõ ñòåí
-
êàõ ñòàâèòñÿ óñëîâèå íåïðîòåêàíèÿ
|
un⋅=
w
0
. Ïîìèìî ýòèõ íàèáîëåå
ðàñïðîñòðàíåííûõ òèïîâ ãðàíèö, â ðåøàåìûõ çàäà÷àõ èìåþòñÿ åùå
äâà òèïà. Ýòî ãðàíèöû ðàçáèåíèÿ îáëàñòè òå÷åíèÿ íà ïåðèîäè÷åñêè
ïîâòîðÿþùèåñÿ ñåãìåíòû òå÷åíèÿ. Íà íèõ ñòàâèòñÿ óñëîâèå ïåðèî
-
äè÷íîñòè. Åùå îäèí òèï ãðàíèö âîçíèêàåò ïðè ðàçáèåíèè îáëàñòè íà
áëîêè.  äàííîì ñëó÷àå, åñëè ãðàíèöà ðàçäåëà ìåæäó äâóìÿ ñîñåäíè
-
ìè áëîêàìè ïðîõîäèò ïî ïîòîêó, òî ïðè ðàñ÷åòå ÷åðåç íåå îñóùåñòâ
-
ëÿåòñÿ âçàèìîîáìåí ïàðàìåòðàìè òå÷åíèÿ ìåæäó áëîêàìè.
26 Ãëàâà 1
Êðàåâûå óñëîâèÿ äëÿ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé
Çàäàíèå k è
å
âî âõîäíîì ñå÷åíèè
Çíà÷åíèÿ k è
e
âî âõîäíîì ñå÷åíèè îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç èíòåí
-
ñèâíîñòü òóðáóëåíòíîñòè I
t
è õàðàêòåðíûé ìàñøòàá òóðáóëåíòíûõ
âèõðåé L
ε
ïî ôîðìóëàì
()
kIu
tin in
=
3
2
2
,
e
e
in
in
=
k
L
32/
.
Èíòåíñèâíîñòü òóðáóëåíòíîñòè I
t
åñòü îòíîøåíèå òóðáóëåíòíîé
ôëóêòóàöèè ñêîðîñòè ê ñðåäíåé ñêîðîñòè ïîòîêà. Âåëè÷èíà L
ε
ïðî
-
ïîðöèîíàëüíà ãèäðàâëè÷åñêîìó äèàìåòðó D ïðîòî÷íîé ÷àñòè, ïîýòî
-
ìó åå óäîáíî çàäàâàòü ÷åðåç êîýôôèöèåíò C
Lε
:
L
ε
= C
Lε
D.
 ñëó÷àå, åñëè âõîäíîå ñå÷åíèå ðàñ÷åòíîé îáëàñòè ÿâëÿåòñÿ
âõîäíûì ñå÷åíèåì íàïðàâëÿþùåãî àïïàðàòà èëè ðàáî÷åãî êîëåñà,
ãèäðàâëè÷åñêèé äèàìåòð D ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì âûñîòå íàïðàâëÿþùå-
ãî àïïàðàòà b
0
: D = b
0.
Åñëè âõîäíîå ñå÷åíèå — ýòî âõîä â îòñàñûâàþùóþ òðóáó, òî ãèäðàâ-
ëè÷åñêèé äèàìåòð ïîëàãàåòñÿ ðàâíûì äèàìåòðó ðàáî÷åãî êîëåñà: D = D
1
.
Ðåçóëüòàòû ðàñ÷åòîâ ïîêàçàëè, ÷òî èçìåíåíèÿ I
t
è L
ε
â ðàçóì-
íûõ ïðåäåëàõ (I
t
< 0,1, C
Lε
< 0,2) ñëàáî âëèÿþò íà ðåøåíèå. Â ïðåä-
ñòàâëåííûõ íèæå ðàñ÷åòàõ êîíñòàíòû I
t
è C
Lε
çàôèêñèðîâàíû è ïðè-
íÿòû ðàâíûìè: I
t
= 0,03, C
Lε
= 0,02.
Ìåòîä ïðèñòåíî÷íûõ ôóíêöèé
Ïðåäñòàâëåííûå ñòàíäàðòíàÿ è RNG
k − e
ìîäåëè òóðáóëåíòíî
-
ñòè ñïðàâåäëèâû äëÿ ïîëíîñòüþ ðàçâèòûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé, ò.å.
êîãäà
nn
t
@
. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî íåâåðíî âáëèçè òâåðäîé ïîâåðõíîñòè,
ãäå òóðáóëåíòíûå ôëóêòóàöèè ïîäàâëÿþòñÿ ñòåíêîé. Âáëèçè òâåðäîé
ñòåíêè òå÷åíèþ ïðèñóùè ñâîéñòâà êàê ëàìèíàðíîãî, òàê è òóðáóëåíò
-
íîãî ðåæèìà. Â ñâÿçè ñ ýòèì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ïàðàìåòðîâ òóðáóëåíò
-
íîñòè âáëèçè ñòåíêè ïðèâëåêàþòñÿ ýìïèðè÷åñêè ïîëó÷åííûå çàêîíû
î ïîâåäåíèè çäåñü ïîòîêà. Íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíåíèå â ïðàêòèêå
ðàñ÷åòà ïðèñòåíî÷íûõ òóðáóëåíòíûõ òå÷åíèé ïîëó÷èë ìåòîä ïðèñòå
-
íî÷íûõ ôóíêöèé.  ñîîòâåòñòâèè ñ íèì òóðáóëåíòíûé ïîãðàíè÷íûé
ñëîé äåëèòñÿ â íàïðàâëåíèè íîðìàëè ê ñòåíêå íà äâà ïîäñëîÿ.
Âÿçêèé ïîäñëîé, â êîòîðîì âÿçêèå íàïðÿæåíèÿ äîìèíèðóþò íàä
ðåéíîëüäñîâûìè. Çäåñü îòìå÷àåòñÿ ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ òàí
-
ãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè â íàïðàâëåíèè íîðìàëè:
uy
++
=
. (1.33)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 27
 (1.33) ââåäåíû îáîçíà÷åíèÿ äëÿ áåçðàçìåðíîé òàíãåíöèàëüíîé
ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè
u
q
u
+
=
t
t
(1.34)
è áåçðàçìåðíîãî ðàññòîÿíèÿ äî ñòåíêè
yy
u
+
=
t
n
, (1.35)
ãäå
q
t
— ìîäóëü òàíãåíöèàëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè, îïðåäå
-
ëÿåìûé ïî ôîðìóëå
||| |
q
wwtt
==−⋅quunn()
; (1.36)
n
w
— åäèíè÷íûé âíåøíèé íîðìàëüíûé ê ñòåíêå âåêòîð;
u
t
— äèíàìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü, îïðåäåëÿåìàÿ êàê
u
wt
t=
; (1.37)
t
w
— íàïðÿæåíèå òðåíèÿ íà îáòåêàåìîé ïîâåðõíîñòè.
Çàâèñèìîñòü (1.33) ýêâèâàëåíòíà îïðåäåëåíèþ
t
w
ïî ëèíåéíîé
àïïðîêñèìàöèè ïðîôèëÿ ñêîðîñòè â ñëîå ìåæäó ñòåíêîé è ïðèñòå-
íî÷íûì óçëîì P (ñîîòâåòñòâóåò ëàìèíàðíîìó ðåæèìó òå÷åíèÿ):
tn
t
w
P
q
y
=
. (1.38)
Âÿçêèé ïîäñëîé ñ ëèíåéíûì ðàñïðåäåëåíèåì ñêîðîñòè (1.33) â
ïðàêòèêå ðàñ÷åòîâ îáû÷íî íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå
0116≤≤
+
y ,
. (1.39)
Âòîðîé ïîäñëîé òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ õàðàêòåðèçó
-
åòñÿ òåì, ÷òî òàíãåíöèàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ñêîðîñòè èìååò â íåì
ëîãàðèôìè÷åñêèé çàêîí èçìåíåíèÿ
uEy
++
=
1
kar
ln( ),
(1.40)
à ðåéíîëüäñîâû íàïðÿæåíèÿ â íåì íàìíîãî ïðåâûøàþò âÿçêèå.
Çäåñü ïîñòîÿííàÿ Êàðìàíà
kar
ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ
kar =÷04 042,,
; (1.41)
ïîñòîÿííàÿ, îïðåäåëÿþùàÿ ñòåïåíü øåðîõîâàòîñòè ñòåíêè,
E
ìîæåò
èçìåíÿòüñÿ â ïðåäåëàõ
E =÷88 979,,
. (1.42)
28 Ãëàâà 1
Ëîãàðèôìè÷åñêèé ïîäñëîé òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ
îáû÷íî íàõîäèòñÿ â èíòåðâàëå
11 6 400, ≤≤
+
y
. (1.43)
Îáëàñòü
y
+
> 400
ñ÷èòàåòñÿ ðåæèìîì ïîëíîñòüþ ðàçâèòîãî òóðáó
-
ëåíòíîãî òå÷åíèÿ.
Ïóñòü áëèæàéøèé ê ñòåíêå óçåë P íàõîäèòñÿ â ëîãàðèôìè÷åñêîì
ñëîå âíóòðåííåé îáëàñòè òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ.  ýòîì
ñëó÷àå ìîæíî èñïîëüçîâàòü ñëåäóþùèå çàâèñèìîñòè äëÿ
k
P
è
e
P
:
k
P
u
C
=
t
m
2
, (1.44)
e
t
P
P
u
y
=
⋅
3
kar
. (1.45)
Äëÿ ðàñ÷åòà â (1.44), (1.45) äèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè
u
t
ïåðåïè-
øåì (1.40) ñëåäóþùèì îáðàçîì:
q
u
Eyu
P
t
t
t
=⋅⋅⋅
1
kar
ln Re()
. (1.46)
Îáîçíà÷èâ â (1.46) èñêîìóþ âåëè÷èíó äèíàìè÷åñêîé ñêîðîñòè
u
t
÷åðåç
x
, ïîëó÷èì óðàâíåíèå äëÿ åå îïðåäåëåíèÿ
Fx E y x
P
q
x
() ( )≡⋅⋅⋅−=
1
0
kar
ln Re
t
. (1.47)
Óðàâíåíèå (1.47) ðåøàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì èòåðàöèîííîãî
ìåòîäà Íüþòîíà
xx
ll
l
l
Fx
Fx
+
=−
′
1
()
()
, (1.48)
ãäå
Fx
x
q
x
′= +
⋅
()
1
2
kar
t
,
l
— íîìåð èòåðàöèè. Äðóãîé ïóòü ðåàëèçàöèè ìåòîäà ïðèñòåíî÷íûõ
ôóíêöèé èçëîæåí â ðàçä. 1.3.8.
Ñåãìåíòàöèÿ îáëàñòè
Äëÿ ïðîâåäåíèÿ ðàñ÷åòà òå÷åíèÿ âåñü ïðîòî÷íûé òðàêò òóðáîìà
-
øèíû ðàçáèâàåòñÿ íà ýëåìåíòû. Íàïðèìåð, ïîä ýëåìåíòàìè ãèäðî
-
òóðáèíû ïîäðàçóìåâàþòñÿ ñïèðàëüíàÿ êàìåðà ñî ñòàòîðíûìè êîëîí
-
íàìè, íàïðàâëÿþùèé àïïàðàò, ðàáî÷åå êîëåñî, êîíóñ îòñàñûâàþùåé
òðóáû è êîëåíî ñ äèôôóçîðîì è áû÷êàìè îòñàñûâàþùåé òðóáû. Êà
-
æäûé èç ýëåìåíòîâ ãèäðîòóðáèíû ðàçáèâàåòñÿ, â ñâîþ î÷åðåäü, íà
ñåãìåíòû. Ñåãìåíòû — ýòî ïðîñòåéøèå ñîñòàâëÿþùèå ÷àñòè ýëåìåí
-
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 29
òîâ, òîïîëîãè÷åñêè ýêâèâàëåíòíûå ïàðàëëåëåïèïåäàì, â êîòîðûõ
÷èñëåííûé àëãîðèòì ðåàëèçóåòñÿ îäíîðîäíî îò ãðàíè äî ãðàíè ïî
êàæäîìó èç òðåõ êîîðäèíàòíûõ íàïðàâëåíèé. Ïðèìåð ðàçáèåíèÿ
ýëåìåíòîâ ïðîòî÷íîãî òðàêòà ïîâîðîòíî-ëîïàñòíîé ãèäðîòóðáèíû
íà ðàñ÷åòíûå ñåãìåíòû ïðèâåäåí íà ðèñ. 1.2. Êàê ïðàâèëî, ê ðàñ÷åò
-
íûì ñåãìåíòàì îòíîñÿòñÿ ìåæñòàòîðíûå, ìåæëîïàòî÷íûå è ìåæëî
-
ïàñòíûå êàíàëû, à òàêæå äîïîëíÿþùèå èõ äî ýëåìåíòîâ ÷àñòè.
30 Ãëàâà 1
Ðèñ. 1.2. Ðàçáèåíèå ýëåìåíòîâ ïðîòî÷íîãî òðàêòà ïîâîðîòíî-ëîïàñòíîé ãèä
-
ðîòóðáèíû (âåðõíÿÿ ÷àñòü ðèñóíêà) íà ðàñ÷åòíûå ñåãìåíòû.
1 — ñïèðàëüíàÿ êàìåðà; 2 — íàïðàâëÿþùèé àïïàðàò; 3 — ðàáî÷åå êîëåñî; 4 — âõîäíîé
äèôôóçîð îòñàñûâàþùåé òðóáû; 5 — îòñàñûâàþùàÿ òðóáà.