Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах
Подождите немного. Документ загружается.
()
()
^
,AA Q Q=+05
LR
.
Ìàòðèöà ßêîáèÀèååðàñùåïëåíèÿ
 ñèëó (1.53)
KS
inv
x
y
z
U
uU pS
uU pS
uU pS
⋅=
+
+
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
b
1
2
3
, (1.72)
ãäå
UuSuSuS
xyz
=⋅=++uS
123
.
Òîãäà ìàòðèöà ßêîáè íåâÿçêîãî ïîòîêà (1.63) èìååò ñëåäóþùèé
âèä:
A
S
S
S
S
UuS
uS
uS
S
uS
UuS
uS
S
uS
x
y
z
x
x
x
x
y
y
y
y
z
z
=
+
+
0
1
2
3
1
2
3
1
b
b
b
uS
UuS
z
z
2
3
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
(1.73)
è îáëàäàåò äåéñòâèòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿìè
l
lb
12
34
2
,
,
,
.
=
=± + ⋅
U
UU SS
(1.74)
Ðàñùåïëåíèå ìàòðèöû
A
íà ñóììó ìàòðèö
A
+
è
A
−
, îáëàäàþùèõ
íåîòðèöàòåëüíûìè è íåïîëîæèòåëüíûìè ñîáñòâåííûìè çíà÷åíèÿ
-
ìè, ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåíî ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè.  ìîíîãðà
-
ôèè ïðèìåíÿþòñÿ äâà ñïîñîáà.
Ïåðâûé îñíîâûâàåòñÿ íà ïðåäñòàâëåíèè ìàòðèöû
A
â âèäå
ARDL=
, (1.75)
ãäå
D = diag(,,,)llll
1234
;
R
— ìàòðèöà, ñòîëáöû êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ
ïðàâûìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ìàòðèöû
A
;
L
— ìàòðèöà, ñòðîêè
êîòîðîé ÿâëÿþòñÿ ëåâûìè ñîáñòâåííûìè âåêòîðàìè ìàòðèöû
A
.
Ìàòðèöû
R
è
L
èìåþò ñëåäóþùèé âèä â ñëó÷àå, åñëè
S
x
≠ 0
:
()
()
()
R =
−
−
⋅
++
++
++
−⋅
−
0
0
0
0
S
S
S
S
c
uU c S
vU c S
wU c S
c
uU
z
x
y
x
x
y
z
b
b
b
b
b
()
()
()
cS
vU c S
wU c S
x
y
z
+
−+
−+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
b
b
b
,
(1.76)
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 41
|| ()
||
()
()
L
S
S
=
⋅−
−
+
⋅−
−
+
−
−
SU w
Sc
Uw S
c
SU v
Sc
Uv S
c
Uc
z
x
z
y
x
y
2
22
2
22
2
b
b
b
()
c
S
c
Uc
c
S
c
x
x
22
22
2
22
−
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
b
()
()
()
()
()
−
+
+++
+++
SUw S
Sc
Su SvU S S
Sc
Su SwU S S
yz
x
xy xy
x
xz xz
b
b
2
22
2
22
()
b
b
Sc
SUv S
Sc
S
c
S
c
S
c
S
c
x
zy
x
y
z
y
z
22
22
22
22
22
−
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
+
⎟
,
(1.77)
ãäå
cU=+
2
bSS
.
Êîãäà
S
x
= 0
, íåîáõîäèìî îñóùåñòâëÿòü ïåðåðàñ÷åò ïåðâûõ äâóõ
ñòîëáöîâ ìàòðèöû
R
è ïåðâûõ äâóõ ñòðîê ìàòðèöû
L
, èñõîäÿ èç óñëî
-
âèÿ íåðàâåíñòâà íóëþ ñîñòàâëÿþùèõ
S
y
èëè
S
z
. Ïðè âûðîæäåíèè
ãðàíè âû÷èñëèòåëüíîé ÿ÷åéêè â îòðåçîê, ìàòðèöû
L
è
R
ïîëàãàþòñÿ
ðàâíûìè íóëþ.
Íà îñíîâàíèè (1.75) ìàòðèöû
A
+
è
A
−
âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì
ARDL
±±
=
, (1.78)
ãäå
DDD
±±±±±
==±diag(,,,) ,(||),llll
1234
0 5 | | (| |, | |, | |,D = diag lll
123
||)l
4
. Î÷åâèäíî, ÷òî
AA A=+
+−
. (1.79)
Îñòàâàÿñü èäåéíî â ðàìêàõ ìåòîäà ðàñùåïëåíèÿ (1.78), ìîæíî ìèíè
-
ìèçèðîâàòü êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ
åãî ðåàëèçàöèè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè
U ≥ 0
,òî
()
D
+
=+diag UUU c,, ,0
,
()
D
−
=−diag000,,,Uc
(1.80)
42 Ãëàâà 1
è íàîáîðîò, åñëè
U ≤ 0
,òî
()
D
+
=+diag 0 0 0,, ,Uc
,
()
D
−
=−diag UU U c,,,0
. (1.81)
Ñëåäîâàòåëüíî, â ñëó÷àå
U ≥ 0
íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî àðèôìå
-
òè÷åñêèõ îïåðàöèé â (1.78) ïîòðåáóåò ðåàëèçàöèè ìàòðèöû
A
−
:
ARDL
−−
−
==×
l
4
2
2c
(1.82)
()()
×
+−
−−+ −+
−
+
+
cU c cS
uU c S S uU c S
v
x
xx x
Uc
Uc
()
() ()
(
()
()
b
bb
b
b
()()
()()
Uc S S vUc S
wU c S S wU c S
yx y
zx z
Uc
−+ −+
−−+ −+
⎛
+
)()
() ()
()
bb
bb
b
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
()()
()
−−
−+ −+
−+
bb
bb
b
cS cS
SuUc S SuUc S
SvUc S Sv
yz
yxz x
yyz
() ()
() (
()
()()
Uc S
SwUc S SwUc S
y
yzz z
−+
−+ −+
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
)
() ()
,
b
bb
à â ñëó÷àå
U < 0
íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðàöèé
ïîòðåáóåòñÿ ïðè âû÷èñëåíèè ìàòðèöû
A
+
:
ARDL
++
+
==×
l
3
2
2c
(1.83)
()()
×
−−
−++ ++
−
−
−
cU c cS
uU c S S uU c S
v
x
xx x
Uc
Uc
()
() ()
(
()
()
b
bb
b
b
()()
()()
Uc S S vUc S
wU c S S wU c S
yx y
zx z
Uc
++ ++
−++ ++
⎛
−
)()
() ()
()
bb
bb
b
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
()()
()
bb
bb
b
cS cS
SuUc S SuUc S
SvUc S SvU
yz
yxz x
yyz
() ()
() (
++ ++
++ +
()
()()
cS
SwUc S SwUc S
y
yzz z
)
() ()
.
+
++ ++
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
b
bb
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 43
Äðóãèå ïîëîâèíêè ìàòðèöû
A
â êàæäîì èç ñëó÷àåâ íàõîäÿòñÿ èç
(1.79). Îòìåòèì, ÷òî â (1.82), (1.83) îòñóòñòâóþò îñîáåííîñòè, ñâÿçàí
-
íûå ñ ðàâåíñòâîì íóëþ êîìïîíåíò âåêòîðà
S
.
Óêàæåì òàêæå íàèáîëåå ðàöèîíàëüíûé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ âåê
-
òîðîâ
()
AQ Q
+
−
21
è
()
AQ Q
−
−
21
, âõîäÿùèõ â âûðàæåíèÿ äëÿ íå
-
âÿçêèõ ðàçíîñòíûõ ïîòîêîâ. Îí îñíîâàí íà òîé æå ñàìîé èäåå: åñëè
U ≥ 0
, íàõîäèì ñíà÷àëà
()
DL
−
−
⋅=
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
+
l
b
4
2
2
0 000
0 000
0 000
c
Uc
SSS
xyz
,
(1.84)
à çàòåì
()
()
()()
()
DLQ Q
−
−
⋅−=
−−+−+
+−+
+
21
4
2
21 21
21
2
0
0
0
l
b
c
Uc
pp Suu
Sv v Sw
x
yz
()
21
−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
w
.
(1.85)
Îòñþäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì
() ()
()
()
()
AQ Q RDLQ Q
−−
−= −=
−⋅
−+
−+
−+
⎛
⎝
21 21
a
c
uU c S
vU c S
wU c S
x
y
z
b
b
b
b
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
, (1.86)
ãäå
()
()()()( )
appSuuSvvSww
c
Uc
xyz
=− −+ −+ −+ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
−
+
l
b
4
2
21 21 21 2 1
2
.
Ïîñëå ýòîãî ìîæåò áûòü íàéäåí âåêòîð
()()()
AQ Q AQ Q AQ Q
+−
−= −− −
21 21 21
.
44 Ãëàâà 1
 ñëó÷àå, êîãäà
U < 0
, ñíà÷àëà âû÷èñëÿåòñÿ
()
()
()
()
AQ Q
+
−=
⋅
++
++
++
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
21
b
c
uU c S
vU c S
wU c S
x
y
z
b
b
b
b
, (1.87)
ãäå
()
()()()()
bppSuuSvvSww
c
Uc
xyz
=− −+ −+ −+ −
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
+
−
l
b
3
2
21 21 21 21
2
,
à çàòåì íàõîäèòñÿ
()()()
AQ Q AQ Q AQ Q
−+
−= −− −
21 21 21
.
Ñìåíû çíàêîâ ñîáñòâåííûõ ÷èñåë
l
12,
ìàòðèöû ßêîáè (1.74) ìî-
ãóò âûçûâàòü íåôèçè÷åñêèå îñöèëëÿöèè ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ ñõåì ñ
ðàçíîñòíûìè íåâÿçêèìè ïîòîêàìè (1.62) è (1.71). Äëÿ èõ èçáåæàíèÿ
ìîæíî ïðîâîäèòü “ýíòðîïèéíóþ êîððåêöèþ” [9, 13]. Îíà çàêëþ÷àåò-
ñÿ â ìîäèôèêàöèè ñîáñòâåííûõ ÷èñåë ìàòðèöû ßêîáè
A
(1.63) ïðè
ìàëûõ çíà÷åíèÿõ ñêîðîñòè
U
. Ñíà÷àëà â îêðåñòíîñòè ñâîåãî íóëÿ ìî-
äèôèöèðóåòñÿ
U
:
UU U
m
=+ee
12
sgn( )
, (1.88)
ãäå
||
||
e
e
e
1
1
0
=
>
≤
⎧
⎨
⎪
⎩
,
,
U
U
,
||
||
e
e
e
e
e
2
22
0
2
=
>
≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
+
,
,
U
U
U
, (1.89)
||
e = k S
,
k =÷001 02,,
.
Ãðàôè÷åñêàÿ èíòåðïðåòàöèÿ ìîäèôèêàöèè ñêîðîñòè
U
(1.88),
(1.89) ïðåäñòàâëåíà íà ðèñ. 1.5 øòðèõîâîé ëèíèåé.
Ñàìà “ýíòðîïèéíàÿ êîððåê
-
öèÿ” îñóùåñòâëÿåòñÿ çàìåíîé ìàò
-
ðèöû
A
íà ìàòðèöó
()
AA I
*
=+ −UU
m
, (1.90)
ãäå
()
I = diag1111,,,
,
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 45
Ðèñ. 1.5. “Ýíòðîïèéíàÿ êîððåêöèÿ”
÷èñëåííîãî àëãîðèòìà.
ó êîòîðîé â ñèëó î÷åâèäíûõ ðàâåíñòâ
()
A RDL RL RD L
*
=+− =UU
m
*
,
()
DD I
*
=+ −UU
m
,
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ðàâíû
l
12,
*
= U
m
,
l
34,
*
=±Uc
m
. (1.91)
Ïóñòü
U > 0
, òîãäà ñîãëàñíî (1.82)
A
−
îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, à
ìàòðèöà
A
+
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå
AAA
+−
=−
*
.  ýòîì ñëó÷àå
ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
||
AA A=−
+−
áóäóò ðàâíû
||
l
12,
= U
m
,
||
l
3
=+Uc
m
,
||
l
4
2=−+UUc
m
. (1.92)
 ñèëó îïðåäåëåíèÿ
c
è
U
m
âñå ñîáñòâåííûå ÷èñëà (1.92) ïîëîæè-
òåëüíûå, à ýòî è íóæíî äëÿ “ýíòðîïèéíîé êîððåêöèè”. Àíàëîãè÷íî
â ñëó÷àå
U < 0
. Ìàòðèöà
A
+
âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå (1.83) è îñòàåòñÿ
áåç èçìåíåíèÿ. Ìàòðèöà
A
−
åñòü ðàçíîñòü:
AAA
−+
=−
*
. Òîãäà ñîá-
ñòâåííûå çíà÷åíèÿ ìàòðèöû
||
A
áóäóò ðàâíû
||
l
12,
=−U
m
,
||
l
3
2=− + +UUc
m
,
||
l
4
=− +Uc
m
è áóäóò òàêæå âñåãäà ïîëîæèòåëüíûìè.
Èñïîëüçîâàíèå ðàöèîíàëüíûõ ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ ìàòðèö
A
±
ïî ôîðìóëàì (1.82), (1.83) è âåêòîðîâ
()
AQ Q
±
−
21
ïî ôîðìóëàì
(1.86), (1.87) ïîçâîëÿåò ñîêðàòèòü êîëè÷åñòâî àðèôìåòè÷åñêèõ îïåðà
-
öèé äëÿ èõ ðåàëèçàöèè â ïðîãðàììå, íî èõ ÷èñëî âñå ðàâíî îñòàåòñÿ
çíà÷èòåëüíûì. Ïðè ýòîì âû÷èñëåíèÿ óêàçàííûõ ìàòðèö è âåêòîðîâ
ïðåîáëàäàþò íàä äðóãèìè îïåðàöèÿìè, âûïîëíÿåìûìè â ÷èñëåííîì
àëãîðèòìå, è óïðîùåíèå ôîðìóë èõ ðàñ÷åòà ìîæåò ïðèâåñòè ê çíà
-
÷èòåëüíîìó ïîâûøåíèþ ýôôåêòèâíîñòè âñåãî àëãîðèòìà. Ñ ýòîé
öåëüþ ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî ðàñùåïëåíèå âèäà
()
AAI
±
=±05, r
, (1.93)
ãäå
||
rb=+ +⋅UU
2
SS
— ñïåêòðàëüíûé ðàäèóñ ìàòðèöû
A
. Îòìå
-
òèì, ÷òî òàêîå ðàñùåïëåíèå ïðè ðàñ÷åòàõ òå÷åíèé ñæèìàåìîãî ãàçà
ïðèìåíÿëîñü â [14] è ðÿäå äðóãèõ ðàáîò.
Î÷åâèäíî, ÷òî èñïîëüçîâàíèå ðàñùåïëåíèÿ (1.93) óìåíüøàåò êî
-
ëè÷åñòâî îïåðàöèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ðàñ÷åòà ïîòîêîâ (1.62) è (1.71),
à òàêæå ïîçâîëÿåò çíà÷èòåëüíî óïðîñòèòü îáðàùåíèå íåÿâíîãî îïå
-
ðàòîðà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðè òàêîì ðàñùåïëåíèè ïðîòèâîïîòî÷íàÿ
46 Ãëàâà 1
àïïðîêñèìàöèÿ áóäåò èìåòü äèôôóçèîííûå ïîãðåøíîñòè, ïðåâîñõî
-
äÿùèå àíàëîãè÷íûå ó ðàñùåïëåíèÿ (1.78). Ýòî ìîæåò, âî-ïåðâûõ,
ïðèâîäèòü ê çàìåäëåíèþ ñõîäèìîñòè ðåøåíèÿ ê ñòàöèîíàðíîìó ñî
-
ñòîÿíèþ, âî-âòîðûõ, îêàçûâàòü ñãëàæèâàþùåå âîçäåéñòâèå íà ðåøå
-
íèå â ìåñòàõ åãî ðåçêîãî èçìåíåíèÿ. Ïî-âèäèìîìó, òîëüêî ÷èñëåí
-
íîå èññëåäîâàíèå ñïîñîáîâ (1.78) è (1.93) è èõ ñðàâíèòåëüíûé àíàëèç
ïîçâîëèò âûáðàòü îïòèìàëüíîå ðàñùåïëåíèå.
Âû÷èñëåíèå âÿçêèõ ðàçíîñòíûõ ïîòîêîâ
Âåêòîð âÿçêîãî ïîòîêà
KS
vis
⋅=−
++
++
+
0
11 12 13
21 22 23
31
ttt
ttt
tt
SSS
SSS
S
xyz
xyz
x 32 33
SS
yz
+
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
t
(1.94)
ìîæåò áûòü ïåðåïèñàí â êðèâîëèíåéíîé ñèñòåìå êîîðäèíàò
xhz,,
â âèäå
KS
vis
eff eff
⋅=−
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
=−nn
000
1
2
3
1
12
13
T
T
T
t
t
t
t
12
2
23
13
23
3
0
t
t
t
t
t
S
S
S
x
y
z
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
, (1.95)
ãäå
t
x
u
x
u
x
u
1
2=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
h
h
z
z
,
t
y
v
y
v
y
v
2
2=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
h
h
z
z
,
t
z
w
z
w
z
w
3
2=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
h
h
z
z
, (1.96)
t
y
u
y
u
y
u
x
v
x
v
12
=+++++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂x
x
h
h
z
z
x
x
h
h
z
z∂
∂
∂x
v
,
t
z
u
z
u
z
u
x
w
x
w
13
=+++ ++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂x
x
h
h
z
z
x
x
h
h
z
z∂
∂
∂ x
w
,
t
z
v
z
v
z
v
y
w
y
w
23
=
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
∂
∂
+
∂x
x
h
h
z
z
x
x
h
h
z
z∂
∂
∂y
w
.
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 47
Ôîðìà çàïèñè âåêòîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé (1.95), (1.96) èñïîëü
-
çóåòñÿ â ìåòîäå äëÿ âû÷èñëåíèÿ âÿçêèõ ïîòîêîâ â ïðàâîé ÷àñòè ëè
-
íåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé (ñì. ï. 1.2.3). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ íåÿâíîãî
îïåðàòîðà ëåâîé ÷àñòè ëèíåàðèçîâàííûõ óðàâíåíèé ïîíàäîáèòñÿ íå
-
ñêîëüêî äðóãàÿ ôîðìà çàïèñè òåíçîðà âÿçêèõ íàïðÿæåíèé. Îíà ïîëó
-
÷àåòñÿ èç (1.95) ïîñëå óìíîæåíèÿ ìàòðèöû íà âåêòîð â ïðàâîé ÷àñòè
ðàâåíñòâà è ïåðåãðóïïèðîâêè ÷ëåíîâ â ïîëó÷åííûõ âûðàæåíèÿõ:
TSSS
x
u
x
v
x
w
xyz11
=+
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++ +
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
w
x
x
x
x
x
x
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
w
h
h
h
h
h
h
2
x
u
x
v
x
w
SSS
xyz
++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
w
z
z
z
z
z
z
3
x
u
x
v
x
w
SSS
xyz
,
TS S S
y
u
y
v
y
w
xyz21
=++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
x
x
x
x
w
+++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
++
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
h
h
h
h
h
h
w
y
u
y
v
y
w
SSS
xyz2
+++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
z
z
z
z
z
w
y
u
y
v
y
w
SSS
xyz3
, (1.97)
TS S S
z
u
z
v
z
w
xz z31
=+++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
x
x
x
x
x
x
w
++++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
+
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
h
h
h
h
h
h
w
z
u
z
v
z
w
SS S
xz z2
++++
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
z
z
z
z
z
z
w
z
u
z
v
z
w
SS S
xz z3
,
ãäå
w
xxx
1
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂xyz
SSS
xyz
,
w
hhh
2
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂xyz
SSS
xyz
,
w
zzz
3
=++
∂
∂
∂
∂
∂
∂xyz
SSS
xyz
.
48 Ãëàâà 1
Äëÿ îïðåäåëåíèÿ ðàçíîñòíîãî âÿçêîãî ïîòîêà
()
/
KS
vis
⋅
+m 12
íåîá
-
õîäèìî àïïðîêñèìèðîâàòü íà ãðàíè
m + 12/
ïðîèçâîäíûå îò
uvw,,
ïî
êðèâîëèíåéíûì êîîðäèíàòàì
xhz,,
..
Äëÿ ýòîãî ïðèìåíÿþòñÿ êîíå÷íûå ðàçíîñòè è òàì, ãäå ýòî íåîáõî
-
äèìî, óñðåäíåííûå ïî çíà÷åíèÿì èç ñîñåäíèõ ÿ÷ååê ñîñòàâëÿþùèå
âåêòîðà ñêîðîñòè. Êîýôôèöèåíòû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâîäíûõ âû
-
÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (1.61). Ïðè ýòîì òàêæå òàì, ãäå ýòî íåîáõîäè
-
ìî, èñïîëüçóåòñÿ óñðåäíåíèå íîðìàëüíûõ ê ãðàíÿì âåêòîðîâ
S
m + 12/
.
Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî øàãè
Dx, Dh
è
Dz
â (1.61) è â ñîîòâåòñòâóþùèõ
ðàçíîñòÿõ, àïïðîêñèìèðóþùèõ ïðîèçâîäíûå îò
uvw,,
ïî
xhz,,,
ñîêðàùàþòñÿ.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àþòñÿ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ äëÿ
÷ëåíîâ, âõîäÿùèõ â âÿçêèå ïîòîêè, íà ñîîòâåòñòâóþùèõ ãðàíÿõ.
Ãðàíü
i + 12/
.
Àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ:
∂ϕ
∂
≈ϕ −
+
x
j
ijk ijk1, , , ,
,
∂ϕ
∂
≈ ϕ −ϕ +ϕ −ϕ
+ − ++ +−
h
025
1 1 11 11
,( )
,, ,, ,, ,,ijkijkijkijk
,
∂ϕ
∂
≈ ϕ −ϕ +ϕ −ϕ
+ − ++ +−
z
025
1 1 11 11
,( )
,, ,, ,, ,,ijkijkijkijk
,
ãäå
ϕ
— ëþáàÿ èç êîìïîíåíò âåêòîðà ñêîðîñòè
uv,
è
w
.
Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ:
∂
∂
≈
++
x
q
SV
qi jk i jk
() /
/,, /,,12 12
,
∂
∂
≈++
+++ −
h
q
SS S
qij k qi j k qij
025
12 1 12 1
,[() () ()
,/, ,/, ,/2 112 12, , /, /,,
() ]/
kqijkijk
SV+
+− +
,
∂
∂
≈++
+++ −
z
q
SS S
q ijk q i jk q ijk
025
12 1 12
,[() () ()
,, / ,, / ,, 12 1 12 12/,,//,,
() ]/+
+− +
SV
qi jk i jk
,
ãäå
q
— ëþáàÿ èç äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò
x
,
y
è
z
.
Ãðàíü
j + 12/
.
Àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ:
∂ϕ
∂
≈ ϕ −ϕ +ϕ −ϕ
+−++−+
x
025
111111
,( )
,, ,, , , , ,ijk ijk ijk ijk
,
∂ϕ
∂
≈ϕ −ϕ
+
h
ij k ijk,, ,,1
,
Ìåòîä ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ òðåõìåðíûõ çàäà÷ äèíàìèêè 49
∂ϕ
∂
≈ ϕ −ϕ +ϕ −ϕ
+−+++−
z
025
1 1 11 11
,( )
,, ,, , , , ,ijk ijk ij k ij k
.
Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ:
∂
∂
≈++
+++−
x
q
SS S
qi jk qi j k qi
025
12 12 1 12
, [() () ()
/,, /, , /,jk q i j k ij k
SV
,/,,,/,
() ]/ ,+
−+ +12 1 12
∂
∂
≈
++
h
q
SV
qij k ij k
() /
,/, ,/,12 12
,
∂
∂
≈++
+++ −
z
q
SS S
qijk qij k qijk
025
12 1 12
,[() () ()
,, / , , / ,, 12 1 12 12/,,/,/,
() ]/ .+
+− +
SV
qij k ij k
Ãðàíü
k + 12/
.
Àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûõ:
∂ϕ
∂
≈ ϕ −ϕ +ϕ −ϕ
+−++−+
x
025
111111
,( )
,, ,, ,, ,,ijk ijk ijk ijk
,
∂ϕ
∂
≈ ϕ −ϕ +ϕ −ϕ
+−++−+
h
025
111111
,( )
,, ,, ,, ,,ijk ijk ijk ijk
,
∂ϕ
∂
≈ϕ −
+
x
j
ijk ijk,, ,,1
.
Âû÷èñëåíèå êîýôôèöèåíòîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ:
∂
∂
≈++
+++−
x
q
SS S
qi jk qi jk qi
025
12 12 1 12
,[() () ()
/,, /,, /,jk q i jk ijk
SV
, /,, ,, /
() ]/ ,+
−+ +12 1 12
∂
∂
≈++
+++−
h
q
SS S
qij k qij k qij
025
12 12 1 1
,[() () ()
,/, ,/, ,/2 121 12,,/,,,/
() ]/
kqijk ijk
SV+
−+ +
,
∂
∂
≈
++
z
q
SV
qijk ijk
() /
,, / ,, /12 12
.
Ìàòðèöà ßêîáè âÿçêîãî ïîòîêà
Âåêòîð âÿçêîãî ïîòîêà
KS
vis
⋅
(1.94) ñ ó÷åòîì ïðåäñòàâëåíèÿ
(1.97) çàïèøåì â âèäå ñóììû
K S GQQ Q GQ GQ GQ
vis
eff eff
⋅=− =− + +vv(, , ) [() () ()
xhz x h z
123
]
, (1.98)
ãäå
Q
Q
x
x
=
∂
∂
,
Q
Q
h
h
=
∂
∂
,
Q
Q
z
z
=
∂
∂
,
50 Ãëàâà 1