Черный С.Г., Чирков Д.В. и др. Численное моделирование течений в турбомашинах

Подождите немного. Документ загружается.

Âåðèôèêàöèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 101

Ðèñ. 3.18. Êàðòèíà òå÷åíèÿ íåñòàöèîíàðíîãî îáòåêàíèÿ öèëèíäðà ïðè Re = 100

(èçîëèíèè äàâëåíèÿ è ëèíèè òîêà).

Ðàñ÷åò òå÷åíèÿ íà÷èíàë

ñÿ îò îäíîðîäíûõ ïîëåé ðàñ

ïðåäåëåíèé ãèäðîäèíàìè÷å-

ñêèõ ïàðàìåòðîâ

uU=

∞

,vV=

∞

pP=

∞

, ïîýòîìó íåîáõîäèì

íåêîòîðûé âðåìåííîé èí-

òåðâàë äëÿ äîñòèæåíèÿ ïå-

ðèîäè÷åñêîãî ðåøåíèÿ. Ïîñëå ìîìåíòà âðåìåíè

t = 80

àìïëèòóäà êî-

ëåáàíèé óñòàíîâèëàñü. Â òàáë. 3.3 ïðèâîäèòñÿ ñðàâíåíèå îáëàñòåé

èçìåíåíèÿ âåëè÷èí ïîäúåìíîé ñèëû

, ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ

÷èñëà Ñòðóõàëÿ St ñ äàííûìè [8–11].

§ 3.5. Î ÂÇÀÈÌÎÑÂßÇÈ

ÌÅÆÄÓ ÊËÀÑÑÈ×ÅÑÊÈÌÈ ÌÎÄÅËßÌÈ

ÈÄÅÀËÜÍÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ×ÈÑËÅÍÍÎÉ ÌÎÄÅËÜÞ,

ÏÎÑÒÐÎÅÍÍÎÉ ÍÀ ÎÑÍÎÂÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ ÝÉËÅÐÀ

Îäíîé èç ìîäåëåé, ïîëîæåííûõ â ìîíîãðàôèè â îñíîâó ÷èñëåí

íîãî îïèñàíèÿ òå÷åíèé â òóðáîìàøèíàõ, ÿâëÿåòñÿ ìîäåëü èäåàëüíîé

æèäêîñòè — óðàâíåíèÿ Ýéëåðà. Èçâåñòíî, ÷òî ýòà ìîäåëü îáëàäàåò ïà

ðàäîêñàìè íóëåâîé ïîäúåìíîé ñèëû (èëè ëîáîâîãî ñîïðîòèâëåíèÿ) è

áåñêîíå÷íîñòè ñêîðîñòè ïðè ãëàäêîì îáòåêàíèè êðûëîâîãî ïðîôèëÿ

ñ óãëîâîé òî÷êîé íà çàäíåé êðîìêå [12, 13]. Ïðîáëåìà óñòðàíåíèÿ ýòèõ

ïàðàäîêñîâ â êëàññè÷åñêîé òåîðèè èäåàëüíîé æèäêîñòè ðåøàåòñÿ ïó

òåì ïðèìåíåíèÿ ïîñòóëàòà Æóêîâñêîãî — ×àïëûãèíà [14]: ñðåäè áåñ

êîíå÷íîãî ÷èñëà òåîðåòè÷åñêè âîçìîæíûõ ïëàâíûõ îáòåêàíèé ïðîôèëÿ ñ

óãëîâîé òî÷êîé íà çàäíåé êðîìêå â äåéñòâèòåëüíîñòè îñóùåñòâëÿåòñÿ

îáòåêàíèå ñ êîíå÷íîé ñêîðîñòüþ â ýòîé òî÷êå. Ïîñòóëàò Æóêîâñêîãî —

×àïëûãèíà äîñòàòî÷íî õîðîøî ïîäòâåðæäàåòñÿ íà ïðàêòèêå. Åãî

102 Ãëàâà 3

Ðèñ. 3.19. Çàâèñèìîñòè ïîäúåìíîé ñèëû è ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ îò âðåìåíè.

Òàáëèöà 3.3

Èñòî÷íèê

Äàííûå [8–11]

± 0,358 1,376 ± 0,011

0,16–0,163

Íàñòîÿùèé

ðàñ÷åò

± 0,325 1,309 ± 0,010

0,161

ñëåäñòâèåì ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî öèðêóëÿ

öèÿ

ïåðåñòàåò áûòü ñâîáîäíûì ïàðà

ìåòðîì çàäà÷è — åå çíà÷åíèå îäíî

çíà÷íî îïðåäåëÿåòñÿ, à ïî íåé íàõî

äèòñÿ è çíà÷åíèå ðåçóëüòèðóþùåé

ñèëû, êîòîðàÿ äåéñòâóåò íà êðûëî

||FU=

∞

. Òåì íå ìåíåå äàííàÿ

ñõåìà èäåàëüíîé æèäêîñòè ÷àñòî äàåò áîëüøîå îòêëîíåíèå îò äåéñò

âèòåëüíîñòè.

Èìåþòñÿ äðóãèå ñõåìû óñòàíîâèâøåãîñÿ äâèæåíèÿ èäåàëüíîé

æèäêîñòè, äàþùèå ëó÷øèå ïðèáëèæåíèÿ ê ðåàëüíîñòè [13]. Ðàññìîò

ðèì èõ íà ïðèìåðå çàäà÷è îá îáòåêàíèè ïëàñòèíêè êîíå÷íîé øèðè

íû, ðàñïîëîæåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî íàïðàâëåíèþ ñêîðîñòè ïîòîêà

â áåñêîíå÷íîñòè (ðèñ. 3.20). Â ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé òåîðèåé ñêî-

ðîñòü òå÷åíèÿ îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü íà êðàÿõ ïëàñòèíêè, à

âîçäåéñòâèå ïîòîêà íà íåå ðàâíî íóëþ.

×òîáû èçáàâèòüñÿ îò ýòîãî, Êèðõãîô ïðåäëîæèë ñõåìó òå÷åíèÿ, â

êîòîðîé ñ êðàåâ ïëàñòèíêè ïðîèñõîäèò ñðûâ ñòðóé, à ìåæäó íèìè

îáðàçóåòñÿ áåñêîíå÷íàÿ çàñòîéíàÿ çîíà (ðèñ. 3.21, à). Ôîðìà îòî-

ðâàâøèõñÿ ñ êðàåâ ïëàñòèíêè ñòðóé íàõîäèòñÿ èç óñëîâèÿ, ÷òî íà íèõ

äàâëåíèå ñîõðàíÿåò ïîñòîÿííîå çíà÷åíèå. Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ïðîñòî

[13], è ïîëó÷àåìîå ðåøåíèå ñâîáîäíî îò îòìå÷åííûõ âûøå ïàðàäîê-

ñîâ. Îäíàêî ìîäåëü Êèðõãîôà èìååò ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê: çà

ñòîéíàÿ çîíà, êîòîðàÿ â äåéñòâèòåëüíîñòè èìååò êîíå÷íûå ðàçìåðû,

â ñõåìå Êèðõãîôà áåñêîíå÷íà è äëÿ åå ñîçäàíèÿ òðåáóåòñÿ áåñêîíå÷

íî áîëüøàÿ ýíåðãèÿ.

Ê áîëåå ñîâåðøåííûì ìîæíî îòíåñòè ìîäåëè Ðÿáóøèíñêîãî,

Ýôðîñà, Ëàâðåíòüåâà, ñõåìà ïîñëåäíåé èç êîòîðûõ ïðèâåäåíà íà

Âåðèôèêàöèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 103

Ðèñ. 3.20. Ïðîñòåéøàÿ ñõåìà îáòåêàíèÿ

òåëà èäåàëüíîé æèäêîñòüþ.

Ðèñ. 3.21. Ñõåìû Êèðõãîôà (à) è Ëàâðåíòüåâà (á) óñòàíîâèâøåãîñÿ îáòåêàíèÿ

ïëàñòèíêè èäåàëüíîé æèäêîñòüþ.

ðèñ. 3.21, á. Ðåøåíèÿ, ïîëó÷àåìûå ïî ýòèì ìîäåëÿì, ÿâëÿþòñÿ áîëåå

ïðèáëèæåííûìè ê ðåàëüíîñòè.

Ðàññìîòðåííûå ñõåìû õîòÿ è äàþò íàèáîëüøåå ïðèáëèæåíèå ê

ðåàëüíîñòè, âñå æå îñòàþòñÿ ñõåìàìè. Ãëàâíûé èõ íåäîñòàòîê — îò

ñóòñòâèå ìåõàíèçìà âÿçêîñòè. Ñëåäóåò òàêæå îòìåòèòü, ÷òî ñïîñîáû

óñòðàíåíèÿ ïàðàäîêñà íóëåâîé ïîäúåìíîé ñèëû, îïèñàííûå âûøå, â

ïðîñòðàíñòâåííûõ çàäà÷àõ íåïðèìåíèìû [13].

Òåïåðü îáðàòèìñÿ ê ÷èñëåííîé ìîäåëè, â îñíîâó êîòîðîé ïîëî

æåíà âñå òà æå ìîäåëü èäåàëüíîé æèäêîñòè. Ïîñëå ïåðåõîäà îò óðàâ

íåíèé Ýéëåðà ê ðàçíîñòíîé ñõåìå ìû ïîëó÷èëè ÷èñëåííóþ ìîäåëü

èäåàëüíîé æèäêîñòè, â êîòîðîé ïðèñóòñòâóåò àïïðîêñèìàöèîííàÿ

âÿçêîñòü. Ïî ýòîé ìîäåëè ïðîâåäåí ðàñ÷åò â ïëîñêîì êàíàëå çà îá

ðàòíûì óñòóïîì (ðèñ. 3.22), àíàëîãè÷íîì òîìó, â êîòîðîì ïðîâîäèë

ñÿ ðàñ÷åò òóðáóëåíòíîãî òå÷åíèÿ â § 3.3. Ðàçìåðû êàíàëà ïðèíÿòû

ñëåäóþùèå:

AB = 8

AG = 10

ED = 40

EG = 1.

Âî âõîäíîì ñå÷åíèè

çàäàâàëñÿ îäíîðîäíûé ïîòîê, èìåþùèé òîëüêî x-þ íåíóëåâóþ ñî-

ñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè

U = 1.

Â âûõîäíîì ñå÷åíèè

áûëî ïîñòîÿí-

íîå âî âñåì ñå÷åíèè äàâëåíèå

âûõ

Ôðàãìåíò ðàñ÷åòíîé ñåòêè èçî-

áðàæåí íà ðèñ. 3.9.

Íàëè÷èå â ÷èñëåííîé ìîäåëè àïïðîêñèìàöèîííîé âÿçêîñòè ïðè-

âîäèò ê ðåøåíèþ, ïðèáëèæåííîìó ê äåéñòâèòåëüíîñòè (ñì. ðèñ. 3.22).

Â óãëîâîé òî÷êå

â ðåøåíèè ïîëó÷àåòñÿ áëèçêàÿ ê íóëþ ñêîðîñòü.

Ñõîä ëèíèè òîêà ïðîèñõîäèò ñ

. Íèæå ïî òå÷åíèþ îòîðâàâøàÿñÿ ëè-

íèÿ òîêà (îáîçíà÷èì åå Ã) ïðèñîåäèíÿåòñÿ ê íèæíåé ñòåíêå. Òàêèì

îáðàçîì, â êàíàëå ÷èñëåííî ðåàëèçóþòñÿ äâà íåçàâèñèìûõ òå÷åíèÿ,

îáëàäàþùèå ñâîèìè ýíåðãåòè÷åñêèìè õàðàêòåðèñòèêàìè: âíåøíåå ê

ëèíèè Ã è âíóòðåííåå, ïðîèñõîäÿùåå â çàìêíóòîì ïðîñòðàíñòâå ìåæ

äó Ã è óñòóïîì. Ëèíèÿ òîêà Ã èãðàåò ðîëü òâåðäîé ñòåíêè, ðàçäåëÿþ

ùåé ýòè äâà òå÷åíèÿ. Ôîðìèðîâàíèå âèõðÿ âî âíóòðåííåé îáëàñòè ïîä

104 Ãëàâà 3

Ðèñ. 3.22. Ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü è ñòðóêòóðà óñòàíîâèâøåãîñÿ îáòåêàíèÿ îáðàò

íîãî óñòóïà â ÷èñëåííîé ìîäåëè èäåàëüíîé æèäêîñòè.

Ã ïðîèñõîäèò â ïðîöåññå óñòàíîâëåíèÿ íåñòàöèîíàðíûõ, ìîäèôèöè

ðîâàííûõ ââåäåíèåì èñêóññòâåííîé ñæèìàåìîñòè, óðàâíåíèé Ýéëåðà.

Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì íàðóøàþòñÿ óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ áåçâèõðåâî

ãî òå÷åíèÿ, ñôîðìóëèðîâàííûå â òåîðåìàõ Êåëüâèíà è Ëàãðàíæà [14].

Óñëîâèÿ òåîðåì íàðóøàþòñÿ, âî-ïåðâûõ, èç-çà íàëè÷èÿ â ðàçíîñòíîé

àïïðîêñèìàöèè óðàâíåíèé Ýéëåðà ñõåìíûõ äèññèïàòèâíûõ è äèñïåð

ñèîííûõ ÷ëåíîâ, à âî-âòîðûõ, èç-çà âîçíèêíîâåíèÿ â ïðîöåññå óñòà

íîâëåíèÿ ïîâåðõíîñòåé ðàçðûâà ðåøåíèÿ (â ñèëó ãèïåðáîëè÷íîñòè

ìîäèôèöèðîâàííûõ óðàâíåíèé Ýéëåðà). Óñòàíîâèâøååñÿ ðåøåíèå

ïîä÷èíÿåòñÿ êëàññè÷åñêèì ñòàöèîíàðíûì óðàâíåíèÿì Ýéëåðà è ïî

ýòîìó â êàæäîé èç îáðàçîâàâøèõñÿ îáëàñòåé òå÷åíèÿ âûïîëíÿþòñÿ

âñå èçâåñòíûå ñâîéñòâà, ïðèñóùèå äâèæåíèþ èäåàëüíîé íåñæèìàå

ìîé æèäêîñòè. Òàê, íàïðèìåð, ýíåðãèÿ ïîòîêà, ïîäàâàåìîãî íà âõîäå

â êàíàë, à äëÿ òåïëîèçîëèðîâàííîãî òå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè

îíà ðàâíà [15]

=+05

,||u

ïðàêòè÷åñêè íå ðàñõîäóåòñÿ íà ïîääåðæàíèå âèõðåâîãî òå÷åíèÿ â

çàìêíóòîé âíóòðåííåé îáëàñòè ïîä Ã è ñîõðàíÿåòñÿ äî âûõîäíîãî ñå-

÷åíèÿ èç êàíàëà. Ñðåäíåå ïî ðàñõîäó åå çíà÷åíèå âî âõîäíîì ñå÷åíèè

ðàâíî 1,404, à â âûõîäíîì 1,399.

Íà äàííîé çàäà÷å ïðîâåäåíî ñðàâíåíèå ðåøåíèé, ïîëó÷àåìûõ

ïðè ðàçëè÷íûõ ñïîñîáàõ ðàñùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè

â (1.63) è íà

ðàçíûõ ñåòêàõ. Íà ðèñ. 3.23, à èçîáðàæåíû ëèíèè òîêà è èçîëèíèè

äàâëåíèÿ â îêðåñòíîñòè ðåöèðêóëÿöèîííîé çîíû, ðàññ÷èòàííûå ñ

èñïîëüçîâàíèåì ðàñùåïëåíèÿ (1.78). Àíàëîãè÷íûå ðåçóëüòàòû, íî

Âåðèôèêàöèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 105

Ðèñ. 3.23. Ëèíèè òîêà è èçîëèíèè äàâëåíèÿ ïðè ðàçëè÷íûõ ðàñùåïëåíèÿõ

ìàòðèöû ßêîáè

à — ïî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì (1.78); á — ïî ñïåêòðàëüíîìó ðàäèóñó (1.93); ñåòêè

101 ´ 36 (âåðõ) è 130 ´ 72 (íèç).

ïîëó÷åííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàñùåïëåíèÿ (1.93), ïðèâåäåíû íà

ðèñ. 3.23, á. Êàê óæå îòìå÷àëîñü, èñïîëüçîâàíèå ðàñùåïëåíèÿ ìàò

ðèöû ßêîáè

ïî ñïåêòðàëüíîìó ðàäèóñó (1.93) ïðèâîäèò ê óâåëè÷å

íèþ äèôôóçèîííîé ïîãðåøíîñòè (÷èñëåííîé äèññèïàöèè) ÷èñëåí

íîãî àëãîðèòìà è, êàê ñëåäñòâèå, ê çàâûøåíèþ ðàçìåðà îáëàñòè ðå

öèðêóëÿöèîííîãî òå÷åíèÿ ïî ñðàâíåíèþ ñ ðàñ÷åòàìè íà òåõ æå

ñåòêàõ, íî ñ ðàñùåïëåíèåì ïî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì (1.78). Òàêæå

íàáëþäàåòñÿ î÷åâèäíûé ðåçóëüòàò èçìåëü÷åíèÿ ñåòêè: óìåíüøåíèå

àïïðîêñèìàöèîííîé âÿçêîñòè ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ðàçìåðà ðå

öèðêóëÿöèîííîé çîíû.

×òî êàñàåòñÿ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ îáòåêàíèÿ ãëàäêèõ âû

ïóêëûõ òåë ïîòîêîì íåâÿçêîé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, òî ñëåäóåò îò

ìåòèòü ñëåäóþùåå. Ïîñêîëüêó îòñóòñòâèå íà ïîâåðõíîñòè ýòèõ òåë

îñòðûõ êðîìîê (èëè áîëüøèõ èçìåíåíèé êðèâèçíû) èñêëþ÷àåò âîç

íèêíîâåíèå çäåñü ïðè èñïîëüçîâàíèè ïîòåíöèàëüíîé ìîäåëè î÷åíü

áîëüøèõ ñêîðîñòåé, ÷èñëåííàÿ ðåàëèçàöèÿ òàêèõ òå÷åíèé ïîëíîñòüþ

àäåêâàòíà êëàññè÷åñêîé òåîðèè. Ýòî ïîäòâåðäèë ðàñ÷åò îáòåêàíèÿ

íåâÿçêîé æèäêîñòüþ êðóãîâîãî öèëèíäðà. ×èñëåííûå ðåçóëüòàòû ñ

òî÷íîñòüþ äî 0,1 % ñîâïàëè ñ ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è ìåòîäîì êîì-

ïëåêñíîé ïåðåìåííîé ïîòåíöèàëüíîé ìîäåëè îáòåêàíèÿ. Äëÿ ïîëó-

÷åíèÿ ðåàëüíîé êàðòèíû òå÷åíèÿ îêîëî ãëàäêèõ òåë íåîáõîäèì ó÷åò

âÿçêîñòè.

§ 3.6. ÎÁÒÅÊÀÍÈÅ ÏËÎÑÊÎÃÎ ÊÐÛËÎÂÎÃÎ ÏÐÎÔÈËß

ÈÄÅÀËÜÍÎÉ ÆÈÄÊÎÑÒÜÞ ÏÎÄ ÓÃËÀÌÈ ÀÒÀÊÈ

Äàííûé ïàðàãðàô ÿâëÿåòñÿ èäåéíûì ïðîäîëæåíèåì ïðåäûäóùå

ãî. Çäåñü â ðàìêàõ ÷èñëåííîé ìîäåëè èäåàëüíîé æèäêîñòè èññëåäó

åòñÿ îáòåêàíèå êðûëîâîãî ïðîôèëÿ ïîä ðàçëè÷íûìè óãëàìè àòàêè.

Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ãëàäêîãî îáòåêàíèÿ ïðîôèëÿ â ïðåäëîæåííîì ÷èñ

ëåííîì àëãîðèòìå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Ýéëåðà íå ïðèìåíÿåòñÿ ñïå

öèàëüíàÿ ïðîöåäóðà ðåàëèçàöèè óñëîâèÿ Æóêîâñêîãî — ×àïëûãèíà

íà óãëîâîé òî÷êå çàäíåé êðîìêè. Ðåçóëüòàòû äàííûõ èññëåäîâàíèé

âàæíû â ñâÿçè ñ äàëüíåéøèì ïðèìåíåíèåì ÷èñëåííîé ìîäåëè èäå

àëüíîé æèäêîñòè ê îïèñàíèþ ïðîñòðàíñòâåííûõ òå÷åíèé â òóðáîìà

øèíàõ, ðåøåòêè ïðîôèëåé â êîòîðûõ ñîñòîÿò èç ýëåìåíòîâ, ïîäîá

íûõ ðàññìàòðèâàåìîìó çäåñü.

Â êà÷åñòâå èññëåäóåìîãî îáúåêòà âûáðàí êðûëîâîé ïðîôèëü

ÑÈÁÍÈÀ Ñ-16, îáòåêàíèå êîòîðîãî ïðè ðàçëè÷íûõ óãëàõ àòàêè èñ

ñëåäîâàíî ýêñïåðèìåíòàëüíî â àýðîäèíàìè÷åñêîé òðóáå â ðàáîòå

[16]. Ïàðàìåòðû íàáåãàþùåãî ïîòîêà â ýêñïåðèìåíòå áûëè ñëåäóþ

106 Ãëàâà 3

ùèìè: ÷èñëî Ðåéíîëüäñà, ïî

ñ÷èòàííîå ïî ñêîðîñòè íàáåãàþ

ùåãî ïîòîêà è õîðäå ïðîôèëÿ,

ðàâíÿëîñü

16 10

, ⋅

, ñêîðîñòü íà

áåãàþùåãî ïîòîêà — 50,7 ì/ñ

ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè. Òàêèå íèçêîñêîðîñòíûå òå÷åíèÿ ãàçà

(÷èñëî Ìàõà

∞

= 015,

) ïðè áîëüøèõ ÷èñëàõ Ðåéíîëüäñà ñ äîñòàòî÷

íîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ìîãóò áûòü îïèñàíû ìîäåëüþ íåñæèìàåìîé

íåâÿçêîé æèäêîñòè ïðè íåáîëüøèõ è óìåðåííûõ óãëàõ àòàêè.

Äëÿ ðàñ÷åòîâ èñïîëüçîâàëàñü C-ñåòêà (ðèñ. 3.24) ñ êîëè÷åñòâîì

óçëîâ 192 ´ 52 ïî ïðîäîëüíîìó è ïîïåðå÷íîìó íàïðàâëåíèÿì ñîîò-

âåòñòâåííî. Ðàñ÷åòû ïðîâîäèëèñü ïðè óãëàõ àòàêè

îò 0 äî 28,4°.

Ñêîðîñòü ñõîäèìîñòè ê ñòàöèîíàðíîìó ðåøåíèþ ïðè óâåëè÷åíèè

óãëà àòàêè óìåíüøàëàñü, à ïðè a = 28,4° ñõîäèìîñòü èòåðàöèé ïî

âðåìåíè òåðÿëàñü. Â òàáë. 3.4 ïðèâåäåíû äëÿ êàæäîãî óãëà àòàêè êî-

ëè÷åñòâî èòåðàöèé

è íåâÿçêà óðàâíåíèé

Err

, ðàññ÷èòûâàåìàÿ ïî

ôîðìóëå (3.2).

Íà ðèñ. 3.25 ïðåäñòàâëåíû ñðàâíåíèÿ ðàñïðåäåëåíèé êîýôôèöè-

åíòà äàâëåíèÿ

ïî ïîâåðõíîñòè ïðîôèëÿ, ïîëó÷åííûå ÷èñëåííî è

ýêñïåðèìåíòàëüíî.

Â öåëîì ïðè ìàëûõ óãëàõ àòàêè äîñòèãàåòñÿ õîðîøåå ñîâïàäå

íèå ÷èñëåííûõ ðåçóëüòàòîâ ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè. Ïðè óâåëè

÷åíèè óãëà àòàêè ðàçëè÷èå ìåæäó ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè

è ÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè âîçðàñòàåò. Ïðè óãëàõ àòàêè, áîëüøèõ

19°, â ýêñïåðèìåíòå íàáëþäàåòñÿ îòðûâ ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ íà ïîä

âåòðåííîé ñòîðîíå, è ïðè äàëüíåéøåì óâåëè÷åíèè

ìèíèìóì

äàâëåíèÿ íà âåðõíåé êðîìêå ðåçêî âîçðàñòàåò. Òàêîãî ðåçóëüòàòà

ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ, îñíîâàííûõ íà èñïîëüçîâàíèè óðàâíåíèé

Ýéëåðà, íå âîçíèêàåò, ÷òî ãîâîðèò î íåîáõîäèìîñòè ïðèìåíåíèÿ

Âåðèôèêàöèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 107

Ðèñ. 3.24. Ôðàãìåíò C-ñåòêè, íà êî

òîðîé ðàññ÷èòûâàëîñü îáòåêàíèå

êðûëîâîãî ïðîôèëÿ ÑÈÁÍÈÀ Ñ-16.

Òàáëèöà 3.4

Ïîêàçàòåëü

ñõîäèìîñòè

Óãîë àòàêè a, ãðàä

5,16 10,32 19,78 23,50

N 380 819 1610 3076 4788

Err

1,6 ´ 10

–3

3,3 ´ 10

–3

9,9 ´ 10

–4

1,1 ´ 10

–3

2,3 ´ 10

–3

äëÿ ðàñ÷åòîâ ïîäîáíûõ òå÷åíèé óðàâíåíèé Ðåéíîëüäñà ñ ìîäåëüþ

òóðáóëåíòíîñòè.

Äëÿ êîíòðîëÿ âûïîëíåíèÿ óñëîâèÿ Æóêîâñêîãî — ×àïëûãèíà íà

ðèñ. 3.26 ïðèâåäåíû ëèíèè òîêà ïðè äâóõ óãëàõ àòàêè. Âèäíî, ÷òî ëè-

íèè òîêà â ðàñ÷åòàõ ñõîäÿò ñ çàäíåé êðîìêè ïðîôèëÿ, ò.å. ñ áîëüøîé

òî÷íîñòüþ óñëîâèå Æóêîâñêîãî — ×àïëûãèíà àâòîìàòè÷åñêè âûïîë

íÿåòñÿ. Íàèáîëåå âåðîÿòíîå îáúÿñíåíèå âûïîëíåíèÿ ýòîãî óñëîâèÿ

ïðèâîäèëîñü âûøå è çàêëþ÷àåòñÿ â íàëè÷èè ñõåìíîé âÿçêîñòè â ÷èñ

ëåííîì àëãîðèòìå.

108 Ãëàâà 3

Ðèñ. 3.25. Ñðàâíåíèå ðàñïðåäåëåíèé êîýôôèöèåíòà äàâëåíèÿ

ïî ïðîôèëþ

ÑÈÁÍÈÀ Ñ-16.

1 — ýêñïåðèìåíò [16]; 2 — íàñòîÿùèé ìåòîä.

Ðèñ. 3.26. Ëèíèè òîêà â îêðåñòíîñòè ïðîôèëÿ ÑÈÁÍÈÀ Ñ-16, ïîëó÷åííûå â

ðàñ÷åòàõ ïðè

a =

516,

(à)è

a =

19 78,

(á).

§ 3.7. ÂßÇÊÎÅ ËÀÌÈÍÀÐÍÎÅ ÒÅ×ÅÍÈÅ

Â ÈÇÎÃÍÓÒÎÌ ÍÀ 90° ÊÀÍÀËÅ

ÊÂÀÄÐÀÒÍÎÃÎ ÑÅ×ÅÍÈß

Íàèáîëåå èçâåñòíîé òåñòîâîé çàäà÷åé ïðè ìîäåëèðîâàíèè òðåõ

ìåðíûõ âÿçêèõ âíóòðåííèõ òå÷åíèé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à î ðàñ÷åòå ïàðà

ìåòðîâ ïîòîêà â èçîãíóòîì íà 90° êàíàëå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ. Îñî

áåííîñòüþ òå÷åíèé â äàííîì ïðèìåðå ÿâëÿåòñÿ âîçíèêíîâåíèå ïðî

äîëüíîé çàâèõðåííîñòè, îáóñëîâëåííîé öåíòðîáåæíûìè ñèëàìè,

êîòîðûå ãåíåðèðóþò âòîðè÷íîå òå÷åíèå è ïåðåðàñïðåäåëåíèå ïðî

äîëüíîé ñîñòàâëÿþùåé ñêîðîñòè. Âîçíèêàþùàÿ ïðè ýòîì ñëîæíàÿ

ñòðóêòóðà òå÷åíèÿ èäåàëüíî ïîäõîäèò äëÿ òåñòèðîâàíèÿ íîâûõ ðàçðà

áàòûâàåìûõ àëãîðèòìîâ. Ìîäåëèðîâàíèå äàííîãî òå÷åíèÿ ïðîâîäè

ëîñü êàê ÷èñëåííî [8, 10, 17–19], òàê è ýêñïåðèìåíòàëüíî [20] ðàç

ëè÷íûìè àâòîðàìè.

Äàííûé ïàðàãðàô ïîñâÿùåí ïðèìåíåíèþ ïðåäëîæåííîãî â ìî-

íîãðàôèè ìåòîäà äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Íà âõîäíîé ãðàíèöå â

ðàñ÷åòå çàäàâàëîñü ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè, ïîëó÷àþùååñÿ ïðè ñòà-

öèîíàðíîì âÿçêîì òå÷åíèè â ïðÿìîëèíåéíîì êàíàëå òîãî æå ñå÷å-

íèÿ. Àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå âõîäíîãî ïðîôèëÿ ïðîäîëüíîé ñêî-

ðîñòè ïðèâåäåíî â [14]. Íà âûõîäíîé ãðàíèöå çàäàâàëèñü íóëåâûå

òàíãåíöèàëüíûå êîìïîíåíòû ñêîðîñòè è ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿ,

ðàâíîå êîíñòàíòå.

Âû÷èñëèòåëüíàÿ îáëàñòü èçîáðàæåíà íà ðèñ. 3.27. Ðàçìåð êâàä-

ðàòíîãî ñå÷åíèÿ ïîñòîÿíåí ïî âñåé äëèíå òðóáû è ðàâåí 1 ïî êàæäî

ìó èç ïîïåðå÷íûõ íàïðàâëåíèé. Ïðÿìîëèíåéíûå ó÷àñòêè äî è ïîñëå

ïîâîðîòà îäèíàêîâû è ðàâíû 5. Âíóòðåííèé ðàäèóñ ïîâîðîòà 1,8,

âíåøíèé — 2,8. Òàêàÿ ãåîìåòðèÿ îïðåäåëÿëàñü èç ñîîòâåòñòâèÿ ýêñ

ïåðèìåíòó, ïðèâåäåííîìó â [20]. Ñåòêà, ïîêðûâàþùàÿ âû÷èñëèòåëü

íóþ îáëàñòü, èìåëà 65 ´ 36 ´ 36 óçëîâ â ïðîäîëüíîì è êàæäîì èç

ïîïåðå÷íûõ íàïðàâëåíèé (ñì. ðèñ. 3.27, à, á). Îòûñêèâàëîñü ñòàöèî

íàðíîå ðåøåíèå çàäà÷è. Óñòàíîâëåíèå ïðîâîäèëîñü äî äîñòèæåíèÿ

íîðìîé íåâÿçêè (3.2) çíà÷åíèÿ 10

–4

. Ñõîäèìîñòü äîñòèãàëàñü çà

1084 èòåðàöèé. Íà ðèñ. 3.28 ïðåäñòàâëåíà èñòîðèÿ ñõîäèìîñòè. Íà

ðèñ. 3.29 ïðèâåäåíû ñðàâíåíèÿ ïðîôèëåé ïðîäîëüíîé ñêîðîñòè íà

èçãèáå òðóáû â ñå÷åíèè

q =

90° (ñì. ðèñ. 3.27, â) ñ ýêñïåðèìåíòàëü

íûìè äàííûìè [20] è ÷èñëåííûìè ðåçóëüòàòàìè, ïîëó÷åííûìè â ðà

áîòå [10]. Ñðàâíåíèÿ ïðîâîäèëèñü â ïëîñêîñòè ñèììåòðèè

z = 05,

èâ

ïëîñêîñòè

z = 025,

. Êîîðäèíàòà

â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñ. 3.27, â îòñ÷è

òûâàëàñü îò âíóòðåííåãî ðàäèóñà ê âíåøíåìó. Çäåñü æå ïðåäñòàâëå

íû äàííûå, ïîëó÷åííûå íàñòîÿùèì ìåòîäîì ñ èñïîëüçîâàíèåì ðàç

Âåðèôèêàöèÿ ìåòîäà ðàñ÷åòà òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè 109

ëè÷íûõ ñïîñîáîâ ðàñùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè

. Ðåçóëüòàòû, äîñ-

òèãíóòûå ïî ñõåìå ñ ðàñùåïëåíèåì ïî ñîáñòâåííûì çíà÷åíèÿì

ìàòðèöû

(1.78), ëåæàò áëèæå ê äàííûì ðàñ÷åòà [10], êîòîðûå íàé

äåíû ïî ïðîòèâîïîòî÷íîé êî

íå÷íî-ðàçíîñòíîé ñõåìå ñ èñ

ïîëüçîâàíèåì àíàëîãè÷íîãî ðàñ

ùåïëåíèÿ ìàòðèöû ßêîáè.

Íàèáîëüøàÿ ñêîðîñòü ñõî

äèìîñòè ðåøåíèÿ ê ñòàöèîíàð

íîìó ñîñòîÿíèþ äîñòèãàëàñü ïðè

b = 10

, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò îöåí

êàì, ïîëó÷åííûì â ðàçä. 1.2.7.

110 Ãëàâà 3

Ðèñ. 3.27. Ðàñ÷åòíàÿ îáëàñòü â çà

äà÷å î òå÷åíèè â èçîãíóòîì íà

90° êàíàëå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ è

ïîïåðå÷íûå ñå÷åíèÿ, â êîòîðûõ

ïðîâîäèëèñü ñðàâíåíèÿ.

Ðèñ. 3.28. Ñõîäèìîñòü ðåøåíèÿ çàäà

÷è î òå÷åíèè â èçîãíóòîì íà 90° êà

íàëå êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ ê ñòàöèî

íàðíîìó ñîñòîÿíèþ.