Черняк О.І. та ін. Економетрика

Подождите немного. Документ загружается.

y x1 x2 x3

2 7 1 3

29,4

24,9

22,3

13,9

32,4

26,0

24,5 16,3

31,7

27,3

24,7

14,8

35,1

29,7

24,9

15,1

37,0

31,8

25,9

15,4

38,7

33,5

27,3

16,9

Треба зробити специфікацію найкращої лінійної моделі.

Розв'язання

Оцінимо регресії, вилучивши одну та дві змінних, підрахуємо коефіцієнти детермінації,

практичні







і теоретичні

(1; ; )

teor

FFnk





значення F -статистик при

додаванні нових чинників:

№

Регресія

F , якщо

додати

x1 x2 x

6,34 1,04 0,48 0,61

  

0,996

513

4, 87 0, 947 0, 07

xx 

0,995

478

,56

11,65 1,91 0,16

xx  

0,982

896

46,

3,54 0,88 0,318yxx 

0,996

081

5,56 0,99yx

0,995

457

,07

11,72 1,81

x 

0,982

817

36,

,06

12 2,91yx 

0,952

546

144

,41

,07

Таким чином, бачимо, що до регресії 7 варто ввести чинники х1 та х2, до регресії 6 –

чинник х1, а до регресії 3 –чинник х1. Зроблений аналіз доводить, що не слід розглядати

модель без змінної х1, проте, модель 5 є самодостатньою. Таким чином, найкращою буде

модель

5,56 0,99yx

3.5. Асимптотичні властивості МНК-оцінок

У багатьох випадках скінченновимірні властивості оцінок найменших квадратів,

описані вище, можуть не зберігатись. Наприклад, якщо збурення не є нормально

розподіленими, то і розподіл МНК-оцінки вже не буде нормальним. Якщо порушується

умова, що всі

x некорельовані зі всіма



, математичне сподівання

 не дорівнюватиме

 . До того ж модель лінійної регресії, збурення в якій задовольняє всі класичні умови, є

однією з небагатьох в економетриці, яка має відомий точний скінченновимірний

розподіл оцінок параметрів.

При послабленні деяких із класичних припущень або при переході до інших моделей

скінченновимірні властивості оцінок зазвичай невідомі. У таких випадках для того, щоб

охарактеризувати властивості оцінок, використовують інший підхід, який ґрунтується на

асимптотичній теорії. Асимптотична теорія відповідає на

запитання, що трапиться, якщо

гіпотетично розмір вибірки стане нескінченно великим. Асимптотичні властивості

використовують для апроксимації скінченновимірних властивостей.

Спроможність. Послідовність оцінок



параметра



, де n – розмір вибірки,

називається спроможною, якщо

 збігаються за ймовірністю до справжнього значення

параметра:

lim

p , тобто





lim {| | } 0.





  

На відміну від ситуації незалежної вибірки, тут нам знадобляться додаткові умови

стосовно матриці значень незалежних змінних X . Припустимо, що

XX збігається до

несингулярної матриці



. Точні умови, що забезпечують збіжність

XX, ми не

наводитимемо. Зауважимо, що вони виконуються в більшій частині практичних ситуацій

з просторовими даними і зі

стаціонарними числовими рядами (див. підрозд. 7.3).

Стосовно збурень достатньо двох припущень:









1:M 0,

2:M 0

ij i

Cx .

Зауважимо, що

умови спроможності не потребують припущень про рівність

дисперсій і некорельованість збурень

За виконання введених умов limp



Умова 2C значно слабша порівняно з умовою про некорельованість усіх

x з усіма ,



а не лише з



, яка необхідна для забезпечення незміщеності. Наприклад, у моделі

01 21tttt

yxy



   

оцінки параметрів будуть зміщеними, але будуть спроможними, якщо

M0.

Кажучи не зовсім строго, спроможність означає, що при зростанні розділу вибірки

ймовірність того, що оцінки дуже відрізнятимуться від параметра, прямує до нуля.

У багатьох випадках неможливо довести незміщеність оцінки, або незміщену оцінку

знайти зовсім неможливо (наприклад для нелінійних моделей, або моделей з лаговими

значеннями залежної змінної серед регресорів, як у

попередньому прикладі). У таких

ситуаціях мінімальною вимогою до оцінок є спроможність. Зручною буде така

властивість: якщо limp

β = β і



 – неперервна функція, то limp

()

β =

()

β . Зауважимо

також, що для спроможності 

ˆ (формула (2.10)) як оцінки



до введених умов слід

додати умову про рівність дисперсій збурень.

Асимптотична нормальність. Властивість асимптотичної нормальності дозволяє

використовувати стандартні критерії перевірки гіпотез без припущення про нормальність

збурень, оскільки відповідні статистики матимуть більш-менш потрібні розподіли.

Припустимо, що крім припущень, уведених у попередньому параграфі, виконують

припущення про рівність дисперсій і некорельованість збурень. Тоді





n ββ збігається

за розподілом до







. Оскільки спроможність невідому матрицю



можна

оцінити за допомогою

XX, а

 через



ˆ , то на практиці приблизним розподілом

β є















,ˆ

N β XX , що збігається з точною формулою у випадку класичних нормально

розподілених збурень.

Моделі, у яких порушено припущення про рівність дисперсії і про некорельованість

збурень, буде розглянуто, відповідно, у темах "гетероскедастичність" і "автокореляція ". У

цих ситуаціях поряд зі специфічними методами можна використовувати звичайний

метод найменших квадратів, але при цьому слід уживати інші оцінки коваріаційної

матриці

β . МНК-оцінки зберігають властивість асимптотичної нормальності:

(

)

NββS ,

де замість S слід підставити оцінки, які наведено у відповідних підрозділах.

3.6. Метод максимальної правдоподібності

Метод максимальної правдоподібності (ММП) для знаходження оцінок параметрів –

один із найбільш використовуваних в економетриці завдяки оптимальним статистичним

властивостям цих оцінок. Точне формулювання буде наведено нижче. Метод можна

застосувати в тому разі, коли розподіл спостережень відомий з точністю до скінченої

кількості параметрів. Спочатку розглянемо знаходження ММП-оцінок у випадку

незалежних вибірок.

Дискретний

випадок. Нехай y

,…, y

– незалежна вибірка з дискретного розподілу,

заданого набором можливих значень х

,…, х

і відповідних імовірностей







ij j

yx P ,









де  – параметр, який треба оцінити. Припустимо, що



, тоді



()

yP.

Оскільки спостереження незалежні, то ймовірність такої реалізації вибірки дорівнює











Останній вираз, якщо його розглянути як функцію від



, називається функцією

правдоподібності:

 

( ,..., ) .

LLyy



    



Наприклад, якщо

,...,

yy – реалізація вибірки з розподілу Бернулі з імовірністю успіху

 , тобто

  

1,01,PP   то

  



  де m-кількість одиниць серед чисел y

Оцінкою (методу) максимальної правдоподібності (ММП-оцінкою) називається таке

значення



, за якого функція правдоподібності досягає свого максимуму. Іншими

словами, за оцінку обирають таке значення



, за якого ймовірність спостерігати наявну

реалізацію вибірки буде найбільшою.

Неперервний випадок. Нехай тепер

,...

–

реалізація вибірки з абсолютно

неперервного розподілу зі щільністю









,fy fy



 . Унаслідок незалежності функція

спільної щільності дорівнює









Остання функція, якщо її розглядати як функцію

параметра  , називається функцією правдоподібності:





(

,...,

)

LLyy  









Нехай, наприклад,

,...

yy – реалізація незалежної вибірки з нормального розподілу з

параметрами m і

 . Тоді



,m  , а функція правдоподібності набуває вигляду



,...,

)

LLyy fy





   















/2 2

,exp





 







Як і в дискретному випадку, оцінки знаходять за умови максимізації функції

правдоподібності. Зауважимо, що оскільки функція правдоподібності є добутком, то

технічно набагато простіше знаходити максимум її логарифма, який буде досягнуто при

тих самих значеннях параметрів унаслідок монотонності логарифмічної функції

В економетричних моделях спостереження залежної змінної загалом не є вибіркою

незалежних однаково розподілених випадкових величин. Тому для знаходження функції

спільної щільності пропонуємо такий підхід. Спочатку слід знайти перетворення вихідної

вибірки, у результаті якого утворюється незалежна вибірка, а потім застосувати формулу

щільності для функції випадкових величин. Нехай





,..., , 1, .

ii n

yyx xi n Якщо існують

обернені функції





,..., ,

ii n

xxy y то

 







1111

,... ,...

)

,... ,... ,

ynx nnn

fy y Jfxy y xy y

де



,...

det

xy y













– Якобіан-перетворення





,..., , 1,

ii n

xxy y i n.

Проілюструємо цей підхід на прикладі.

Проста лінійна регресія. Нехай у моделі

, 1,

iii

xin   

збурення

 незалежні і

однаково розподілені з розподілом





0,N



. Тоді



/2 2

,... exp .











 











Перепишемо рівняння моделі в такому вигляді:





011

, 1,

xin   ,

звідки

0, .



 











Таким чином, матриця перетворення є одиничною. Отже,



, а











101 11 101

/2 2

,... , , ( ,... ),..., ( ,... ) , ,

exp .

yn nnn

fyy f yy yy





    



 

















Ми показали, що функція правдоподібності має вигляд:



/2 2

,, exp





 



 











а її логарифм





,, ln2 .



 

   





Запишемо необхідну умову існування екстремуму:

ln ln ln

0, 0, 0.

LLL





 



Одержані рівняння називаються рівняннями максимальної правдоподібності. Якщо

розписати ці рівняння, то неважко побачити, що спочатку слід знайти розв'язки стосовно

 і

 , а потім стосовно



. Причому знаходження розв'язку еквівалентно мінімізації

виразу



()

yx , який є знайомою сумою квадратів залишків. Тобто ММП-оцінки

параметрів регресії –



 у випадку нормально розподілених збурень збігаються з

оцінками найменших квадратів. У цьому разі функцію спільної щільності можна було

записати безпосередньо, зважаючи на те, що





yN x



  і

y незалежні. Другий

підхід зручніше використовувати, якщо спостереження залежної змінної незалежні, а

перший – якщо залежні.

3.7. Асимптотичні властивості ММП-оцінок і оцінювання дисперсії ММП-оцінок

Широке використання в економетриці ММП викликане саме його асимптотичними

властивостями. Позначимо через

θ ММП-оцінку θ .

1. Спроможність: 

lim

p θθ.

2. Асимптотична нормальність:







(

() )

NIθθθ, де символ "  " означає збіжність за

розподілом, (,)N m – багатовимірний нормальний розподіл із вектором математичних

сподівань

і коваріаційною матрицею . Через

()

I θ позначено інформаційну матрицю:















  



 











 















ln ln

ln ( )

() M M

θθ

θθ θ

Асимптотична ефективність: ММП-оцінки досягають границі Крамера – Рао для

спроможних оцінок:

 











  



 















 

















ln ln

ln ( )

() M

AsyVar E

θθ

θθ θ

де через AsyVar позначено асимптотичну коваріаційну матрицю.

Слід підкреслити, що точні скінченновимірні властивості ММП-оцінок зазвичай

невідомі, і в деяких випадках ці оцінки не найкращі для малих вибірок.

4. Інваріантність: Якщо





g θ є неперервною функцією, то



g θ

є ММП-оцінкою





g θ .

У багатьох випадках другі похідні логарифму функції правдоподібності мають досить

складний вигляд, тому знайти їхні математичні сподівання виявляється неможливим. На

практиці використовують два способи. Перший полягає в обчисленні відповідних

похідних при значеннях аргументів, які дорівнюють ММП-оцінкам:















()

D( )

ˆˆ

L θ

θθ

Друга оцінка ґрунтується на тому, що математичне сподівання матриці других

похідних дорівнює коваріаційній матриці перших похідних:



















ˆˆ

()

θ gg

де











ln ,

fyθ

Асимптотично еквівалентні критерії перевірки параметричних гіпотез:

Критерій відношення правдоподібності (LR).

Нехай: θ – вектор параметрів моделі; гіпотеза



визначає сукупність обмежень на

значення параметрів;

θ – ММП-оцінка, знайдена в моделі без обмежень;

θ – ММП-

оцінка, знайдена в моделі з обмеженням;

ˆˆ

LL означають значення функцій

правдоподібності для необмеженої й обмеженої моделей, знайдені в точках

θ і

відповідно. При виконанні достатньо необмежувальних умов регулярності статистика

2ln



асимптотично має розділ  –квадрат із кількістю степенів свободи, рівною кількості

обмежень. Недоліком критерію є необхідність оцінювати модель в обох випадках – без

обмежень і з обмеженнями

2. Критерій Вальда.

Запишемо гіпотезу про сукупність обмежень у такому вигляді:





: c θ q за умови,

що обмеження правильні. Статистика Вальда













  



ˆˆˆ

() D () ()

W c θ qcθ qcθ q

асимптотично має розподіл  -квадрат із кількістю степенів свободи, рівною кількості

обмежень (тобто кількості рівнянь у







c θ q ). Зауважимо, що у випадку, коли обмеження

нелінійні, коваріаційну матрицю

()

c θ оцінюють таким чином







ˆˆ

D() D

c θ qCθC

, де



















()

c θ

тобто

-й рядок матриці С складається з похідних

-го обмеження стосовно всіх елементів

θ . У випадку лінійних обмежень



Rθ q . статистика Вальда набуває вигляду





 

 

 



ˆˆˆ

W Rθ qRθRRθ q .

Кількість степенів свободи дорівнює кількості рядків у матриці R . Критерій можна

застосувати не лише для ММП-оцінок, але і для будь-яких спроможних асимптотично

нормальних оцінок. Для перевірки гіпотези треба мати оцінки лише в моделі без

обмежень. Недоліком критерію є неінваріантність його статистики стосовно форми

запису нелінійних обмежень.

Критерій множників Лагранжа (LM).

Як і в попередньому випадку, запишемо гіпотезу у вигляді





: c θ q Для

застосування цього критерію, слід знати оцінку

θ у моделі з обмеженнями і записати

функцію правдоподібності в моделі без обмежень. Статистика критерію



 







 



 



 

ˆˆ

()

ˆˆ

LM I

θθ

асимптотично має розподіл



-квадрат із кількістю степенів свободи, рівною кількості

обмежень.

Критерій зазвичай обирають з огляду на те, який з них простіше застосувати.

Перевіряючи нелінійні обмеження, якщо є можливість, уникають використання критерію

Вальда через його неінваріантність стосовно форми запису обмежень.

Задачі

Група А

Задача 3.1.

Щодо групи підприємств, які випускають однорідну продукцію, відомо,

яким чином залежить собівартість одиниці продукції y від чинників.

Чинники Регресія Середнє значення

чинника

Випуск, млн грн,

0,2 1,8



6, 2x 

Обсяг робочої сили,

тис. люд./год,

3, 3 4, 8





25,6x 

Середньозважена ціна ресурсів,

млн грн,

1, 4

1, 5

x

1, 4x 

Частка податків, %,

11,5 1,03

y 

29,1x 

За допомогою коефіцієнтів еластичності зробіть ранжирування чинників за мірою

їхнього впливу на результат.

Задача 3.2. Розраховано матрицю коефіцієнтів парної кореляції для трьох

пояснювальних змінних моделі з нормалізованими змінними

** **

123

1, 2 0, 8 1, 4

xxx 















10,80,7

0,8 1 0, 4

0,7 0, 4 1

R .

Визначте наявність мультиколінеарності, 0, 05



 .

Зробіть ранжирування змінних за мірою їхнього впливу на залежну змінну.

Задача 3.3. Для 30 спостережень незалежних змінних множинної лінійної регресії з

двома чинниками розраховано часткову кореляційну матрицю незалежних змінних:















1 0,73 0,27

0,73 1 0,12

0,27 0,12 1

R .

Визначте наявність мультиколінеарності,

0,1



 .

Задача 3.4. Побудовано економетричну модель

 

0,6 7,4 2,8

0,03 0,18 ln 1, 2 ln

ttt

RYI





де

R – відсоткова ставка;

Y – ВВП країни;

I – обсяг інвестицій.

Перевірте значущість коефіцієнтів регресії.

Дайте економічну інтерпретацію результатів.

Визначте, як зміниться відсоткова ставка, якщо дохід зросте на 2 %.

Визначте, як зміниться відсоткова ставка, якщо інвестиції збільшаться на 1,7 %.

Задача 3.5. На фірмі працюють 23 жінки та 17 чоловіків. Середня заробітна плата

жінок 342 грн, чоловіків – 394 грн.

Оцініть регресію

01ttt

yd   , де

y – заробітна плата,

0, жінка

1, чоловік









Перевірте гіпотезу про відсутність дискримінації

:0H



 , 0,1



 .

Обчисліть коефіцієнт детермінації моделі.

Перевірте модель на адекватність, 0, 01



 .

Визначте стандартні похибки коефіцієнтів моделі.

Група Б

Задача 3.6.

За даними, наведеними в таблиці, оцініть функцію Кобба – Дугласа

yKL



 :

Фір

ма

1 2

1. Обчисліть коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації,

вибірковий коефіцієнт кореляції між ln K та lnL .

Оцініть регресію

ln ln

ttt

yK   .

Перевірте наявність мультиколінеарності, 0,05



 .

Задача 3.7. За наведеними даними оцініть модель Кобба – Дугласа

yKL



 :

Фір

ма

1 86

7,2

1,3

9,3

2 91

1,4

4,8

2,7

3 77

8,6

2,9

4,4

4 94

4,6

8,9

5,9

5 97

7,9

6,5

4,1

6 82

6,6

0,6

4,5

7 89

6,7

8,2

7,3

8 93

3,6

9,3

6,3

9 94

1,0

2,6

3,7

10 90

4,1

6,7

0,5

11 84

5,0

9,1

6,1

12 79

7,0

1,4

7,6

13 88

5,6

3,4

2,5

14 91

8,8

6,7

2,7

15 95

5,7

1,4

8,0

1. Обчисліть коефіцієнт детермінації, скоригований коефіцієнт детермінації,

вибірковий коефіцієнт кореляції між ln K та lnL .

Оцініть регресію

ln ln

ttt

yK   .

Перевірте наявність мультиколінеарності, 0,05



 .

Задача 3.8. На фірмі запроваджено такі розміри зарплати y залежно від кількох

чинників:

Посада Заробітна

плата, грн

Стаж

робити,

років

Стат

Знання

іноземної

мови

Освіта,

років

навчання

Президент 2400 4 Ч Ні 9

Віце-президент 2200 8 Ч Так 15

Комерційний

директор

1500 7 Ч Так 16

Бухгалтер 1150 18 Ж Ні 15

Помічник

бухгалтера

670 4 Ж Ні 14

Секретар 720 2 Ж Ні 11

Юрист 1258 6 Ч Ні 17

Менеджер 1206 3 Ч Так 16

Менеджер 1413 5 Ж Так 16

Менеджер 1087 2 Ж Так 16

Прибиральник 298 12 Ж Ні 9

Охоронець 480 2 Ч Ні 12

1. Перевірте гіпотезу про залежність розміру заробітної плати від строку навчання,

0,05 .

Перевірте гіпотезу про залежність розміру заробітної плати від стажу роботи на

фірмі, 0,05 .

Перевірте гіпотезу про наявність статевої дискримінації на фірмі (чи заробляють

чоловіки більше від жінок за однакових умов), 0,05



 .

Задача 3.9. Директор заводу вважає, що дохід його підприємства y може залежати

від ціни продукції p , вартості капітального устаткування K , кількості робочої сили L ,

курсу гривні до долара e , капітальних інвестицій в галузь I .

(???)

Квартал Дохі

д, млн

грн,

Ціна

продукції,

грн, p

Капіта

л, млн

грн,

Робоча

сила,

тис.

люд./год,

Курс

гривні,

грн/дол..,

Інвести

ції, млн

грн,

1997/Q1 0,751 2,10 103 204 185,74 112

1997/Q2 0,676 3,19 107 204 184,95 211

1997/Q

2,204 3,71 108 207 185,79 401

1997/Q4 2,216 3,79 116 208 188,19 691

1998/Q1 2,433 4,04 117 214 196,66 209

1998/Q2 2,482 4,15 133 215 204,94 321

1998/Q

2,502 4,23 130 217 235,69 345

1998/Q4 3,182 4,94 121 217 342,52 799

1999/Q1 3,472 4,97 144 217 355,69 223

1999/Q2 3,955 5,82 144 218 393,56 361

1999/Q

4,143 6,59 145 218 430,69 483

1999/Q4 4,421 6,66 148 221 472,23 1039

2000/Q1 4,432 6,88 149 222 546,41 319

2000/Q2 5,054 7,57 153 224 541,35 482

2000/Q

5,186 7,59 154 224 543,90 609

2000/Q4 5,276 7,77 160 226 543,87 1425

2001/Q1 5,368 7,93 162 227 543,14 473

2001/Q2 5,415 7,94 166 228 540,75 727

2001/Q

5,954 9,01 167 229 535,23 899

2001/Q4 5,977 9,01 176 230 529,73 1109

2002/Q1 6,791 9,11 178 231 531,86 577

2002/Q2 7,042 9,18 183 232 532,82 872

2002/Q

8,305 9,43 203 204 532,91 932

2002/Q4 8,565 9,53 221 204 533,10 2081

На основі аналізу діяльності підприємства в попередні роки допоможіть директору

правильно специфікувати економетричну модель.

Визначте найбільш впливові фактори, підрахуйте відповідні коефіцієнти

еластичності.

116

Розділ 4. Модель лінійної регресії з гетероскедастичними збуреннями

4.1. Описання моделі

У цьому розділі розпочнемо аналіз регресії, у якій порушується друга умова щодо

збурень, тобто виникає явище гетероскедастичності, коли дисперсія збурень не є

константою.

Розглянемо модель залежності споживання домогосподарств від наявних доходів:

ttt



 

де

y – споживання t -го домогосподарства;

x – доходи t -го домогосподарства.

Оцінену модель разом із початковими даними можна побачити на рис. 4.1.

Збурення в моделі регресії можна вважати відхиленням рівня споживання конкретного

домогосподарства від середнього рівня, який відповідає наявному розмірові доходу. Для

домогосподарств із більшими доходами спостерігатиметься більший розкид рівнів

споживання. На представленому рисунку добре видно, що при зростанні доходів

розкид у

споживанні стає більшим. Отже, оскільки дисперсія збурень є мірою цього розкиду, то

припущення про рівність дисперсій збурень у такій моделі буде нереалістичним.

Формалізуємо нову модель. Нехай модель має такий загальний вигляд:

0,0 1,1 1,1

,1,

tt t ktkt

xx x tn



      , (4.1)

де вектор збурень

не задовольняє класичним властивостям збурень:

1. M0

2. Гетероскедастичність збурень:     

DM const, 1,

ttt

tn.

Некорельованість збурень:

cov( , ) 0,



 

Некорельованість збурень та регресорів:

cov

(

)

0, , ,

tsj

xts



 .

Збурення

 нормально розподілені для всіх

Припущення 2 і 3 зручно записувати в матричному вигляді:













 













500

1000

1500

2000

2500

3000

3500

4000

0 1000 2000 3000 4000 5000

доход

споживання