Черняк О.І. та ін. Економетрика

Подождите немного. Документ загружается.

Спосіб 1. Оцінку коефіцієнтів регресії знаходимо за формулою









β XX XS

де матриця











14060

15536

14536

13015

13090

X , вектор











3,5

1, 5

S .

Тоді





















 

































14060 14060

1 55 36 1 55 36

14536 14536

1 30 15 1 30 15

13090 13090

14060 3

0,2787

155 36 6

0,1229

14536 5

13015 3,5

13090 1,5

β XX XS







0294

Спосіб 2. Розв'яжемо систему нормальних рівнянь:

01 2

nYWS

Y Y YW YS

WYW WWS

  





  





  





  

 

Знаходимо 5

n  , 19S 



, 200Y





, 237W





, 825SY 



, 763,5SW





9150

WY 



8450Y 



14517W 



Тоді

=6842700,

nYW

YY YW

WYWW





 

=1907325,

SYW

YS Y YW

WS YW W





 

=840825,

nSW

YYSYW

WWSW





 

=-201225,

nYS

YY YS

WYWWS





 

звідки

1907325

0,2787

6842700



  



840825

0,1229

6842700



  



-201225

0,0294

6842700



  



Як видно, будь-який зі способів приводить до однієї і тієї самої вибіркової функції

0,2787 0,1229 0,0294SYW 

Коефіцієнт детермінації можна знайти за формулою



12,0196

0,977

12,3

ESS

TSS





  





Якщо 40Y  , 25W  , то

0,2787 0,1229 40 0,0294 25 4,4587S .

З вибіркової регресійної функції видно, що при зростанні доходу на 1, нагромадження

зростають на 0,1229, тому при зростанні доходу на 10 тис. грн, нагромадження

збільшаться на 1229 грн.

2.6. Перевірка статистичних гіпотез у моделі множинної лінійної регресії

2.6.1. Перевірка адекватності регресії

Адекватність регресії означає, що незалежні змінні в сукупності впливають на залежну

змінну. Як нульову гіпотезу для перевірки приймають протилежне твердження, а саме

01 2 1





    .

Можна показати, що коли гіпотеза

H правильна, то



~1,.

FFknk







Прийняття нульової гіпотези означає, що модель слід відхилити і розглянути іншу. При

цьому слід використовувати квантиль розподілу Фішера.

На практиці спочатку обраховують величину







а потім порівнюють її з

teor

F – статистикою розподілу Фішера з 1k



та nk степенями

свободи і рівнем значущості  . Якщо

pr teor

FF , то модель уважають адекватною. У

протилежному випадку (

pr teor

FF ) – неадекватною.

2.6.2. Перевірка гіпотез про коефіцієнти регресії

Стандартною процедурою є перевірка гіпотези про те, що коефіцієнт

 дорівнює нулю.

Прийняття цієї гіпотези означає, що незалежна змінна

не має впливу на залежну в

межах лінійної моделі. У цьому разі змінна

називатиметься незначущою. Таким чином,

слід перевірити гіпотезу



 .

Для цього треба обрахувати практичне значення









s.e.

і порівняти з теоретичною статистикою Стьюдента з nk



степенями свободи і рівнем

надійності

1:





teor

ttnk



.

Якщо

pr teor

tt , то гіпотеза

H приймають, тобто коефіцієнт



уважають незначущим.

На практиці частіше потрібен інший, більш загальний варіант цієї гіпотези, у якій

значення коефіцієнта перевіряють на рівність. Відповідна гіпотеза має вигляд



 .

Обраховують практичне значення









s.e.

і порівнюють із теоретичною статистикою Стьюдента з



степенями свободи і рівнем

надійності 1:





teor

ttnk



.

Якщо

pr teor

tt , то гіпотеза

H приймають, тобто значення коефіцієнта

 уважають

рівним m .

Аналогічно до випадку простої лінійної регресії будують надійні інтервали для

коефіцієнтів регресії. Зокрема, надійний інтервал для коефіцієнта



     

ˆˆ ˆˆ

[

s.e.

()

;s.e.

() ]

j teor j j teor

tt,

де



teor

ttnk,





– рівень надійності.

Приклад 2.2. Перевірка статистичних гіпотез

На основі 30 спостережень було оцінено таку регресію:

 

3,14 1,82 0,92

0,25 1,14 2,45





, 1,16RSS



,8,67TSS



(у дужках наведено середньоквадратичні відхилення коефіцієнтів моделі).

Визначити, які з коефіцієнтів регресії значущі з рівнем надійності 0,95.

Перевірити гіпотезу

1

з рівнем надійності 0,95.

Підрахувати коефіцієнт детермінації та скоригований коефіцієнт детермінації.

Перевірити модель на адекватність.

Розв'язання

1. Щоб перевірити значущість коефіцієнтів, слід порівняти практичні значення t-

статистик, розташованих під коефіцієнтами моделі, з теоретичним значенням



3;1 27;0, 95 2, 052

teor

ttn t  . Таким чином, коефіцієнти



та

 є статистично

незначущими, а коефіцієнт

 – статистично значущим.

Визначимо стандартне відхилення для коефіцієнта



 



 



1,1 4

1, 8 2

ˆˆ

s.e. s.e.



 

1,1 4

s.e. 0,626

1, 8 2

Тоді маємо











1,1 4 1

0,22

0,626

s.e.

що менше за теоретичне значення





27;0,95 2,052

teor

tt. Таким чином, значення

коефіцієнта



можна прийняти рівним 1.

Коефіцієнт детермінації дорівнює

1,1 6

11 0,866

8,67

ESS RSS

TSS TSS

 .

Щоб знайти скоригований коефіцієнт детермінації, слід скористатися формулою:

1,1 6

110,856

8,67

129

adj

RSS

TSS



  



4. Обрахуємо практичне значення

0,866

87,246

10,866



 



, теоретичне

значення (2;27; 0,1) 2,51

teor

FF. Таким чином, оскільки практичне значення більше за

теоретичне, то модель виявилася адекватною.

2.6.3. Перевірка гіпотези про лінійні обмеження на коефіцієнти регресії

Цей тип гіпотез надзвичайно важливий на практиці. З одного боку, у гіпотезі про

лінійні обмеження на коефіцієнти регресії узагальнено поняття гіпотез про адекватність

моделі та значення коефіцієнтів. З іншого боку, з'являється можливість перевірити

правильність специфікації моделі, відповідність моделі різноманітним економічним

явищам.

Припустимо, що для моделі yXβε треба перевірити гіпотезу, що складається з J

лінійних обмежень на коефіцієнти:

1,0 0 1,1 1 1, 1 1 1

2,0 0 2,1 1 2, 1 1 2

,0 0 ,1 1 , 1 1

... ,

...

... .

JJ JkkJ



   





   







       



У матричному вигляді гіпотезу можна записати таким чином:



:H Θβ r ,

де  – матриця коефіцієнтів при параметрах



у системі лінійних обмежень; β – вектор

параметрів регресії; r – відомий вектор.

Якщо 1J  і всі

,

0r  , то гіпотеза еквівалентна гіпотезі про адекватність

моделі. Якщо 1J  , усі

, крім одного, для якого



 , а

rm , то гіпотеза

еквівалентна гіпотезі про значення коефіцієнта.

Проте наведена гіпотеза дає ширші можливості для дослідника. Зокрема, за її

допомогою можна перевірити гіпотезу про постійну віддачу від масштабу фірми з

виробничою функцією Кобба – Дугласа. Наприклад, для виробничої функції вигляду

0tt

yKL





,

де

K – основні фонди підприємства,

L – обсяг фонду оплати праці,

y – випуск

продукції, можна перевірити гіпотезу

01 2

:1H



 

Така гіпотеза перевіряє наявність постійної віддачі від масштабу. Відхиливши таку

гіпотезу, власник підприємства має розширювати виробництво при

1  і

скорочувати – при

1  . У наших позначеннях гіпотеза записана за допомогою

1J  ,

11 12

1, 1



 



В економічному аналізі зустрічаються і складніші обмеження на коефіцієнти моделі.

У загальному випадку для перевірки гіпотези застосовують

критерій Вальда. Для

цього обраховують значення статистики







   









ˆˆ

RSS

β rXX β r

де J – кількість обмежень; RSS – сума квадратів залишків моделі.

Обчислене значення порівнюють із теоретичною статистикою Фішера

(; ;)

teor

FFJnk



.

Якщо

pr teor

FF , то гіпотезу

H приймають.

Існує й інший спосіб перевірити цю гіпотезу, який приводить до тих самих результатів.

Розглянемо його на прикладі. Припустимо, що для рівняння множинної регресії

0112233

yxxx    

треба перевірити гіпотезу про обмеження

123

30.



  





 



Для цього треба знайти суму квадратів залишків

()

URSS у вихідній моделі та суму

квадратів залишків

()

RRSS y моделі з обмеженнями. Запишемо обмеження в такому

вигляді:

3  та



.

Підставимо ці співвідношення до початкового рівняння:

031 3233

3(24)yx xx       

Перенесемо всі відомі величини до правої частини рівняння і зберемо подібні при

параметрах регресії в його лівій частині:

20 1 233

2(34)yx x xx

Щоб знайти суму квадратів залишків

()

RRSS y моделі з обмеженнями, слід оцінити

регресію змінної

(

)

x стосовно

123

(

)

xxx



 і константи.

Якщо гіпотеза

H правильна, то статистика

RRSS URSS

URSS







має розподіл Фішера з J , nk степенями свободи.

Причому слід зазначити, що отримане значення

кількісно збігається з обрахованим

за критерієм Вальда, якщо покласти, що



 







011 1 0

010 3 2

r .

Одним із недоліків критерію Вальда є те, що результати тестування залежать від

способу записування гіпотези, тобто критерій не є інваріантним щодо початкових даних.

Водночас для його застосування немає жорстких обмежень, що робить його достатньо

популярним на практиці.

Приклад 2.3. Перевірка гіпотези про систему лінійних обмежень

Відома інформація щодо деяких підприємств України про випуск продукції Y

(млн грн), основний капітал K (млн грн), кількість працівників L (тис. люд./год).

№

Y K L LnY lnK lnL

64,3 42,4 13,5 4,16 3,75 2,61

47,2 30,7 21,0 3,86 3,42 3,04

63,6 48,9 16,1 4,15 3,89 2,78

117,9 61,3 25,9 4,77 4,12 3,25

111,3 60,4 22,5 4,71 4,10 3,12

123,0 66,8 32,1 4,81 4,20 3,47

26,5 19,8 5,7 3,28 2,99 1,74

71,9 43,2 18,8 4,28 3,77 2,94

118,1 59,1 29,1 4,77 4,08 3,37

10.

77,3 33,0 21,9 4,35 3,50 3,08

11.

69,2 37,7 26,7 4,24 3,63 3,29

12.

48,4 25,7 24,0 3,88 3,25 3,18

13.

42,1 23,8 11,3 3,74 3,17 2,42

14.

53,5 34,3 10,4 3,98 3,53 2,34

№

Y K L LnY lnK lnL

15.

46,8 36,7 16,3 3,85 3,60 2,79

16.

42,5 20,6 9,0 3,75 3,02 2,20

17.

84,0 39,2 29,3 4,43 3,67 3,38

18.

69,5 41,2 29,0 4,24 3,72 3,37

19.

79,0 47,6 23,6 4,37 3,86 3,16

20.

62,9 41,6 9,2 4,14 3,73 2,22

21.

62,8 42,1 13,4 4,14 3,74 2,60

22.

77,7 41,6 22,2 4,35 3,73 3,10

23.

106,5 62,1 35,2 4,67 4,13 3,56

24.

96,1 45,0 24,5 4,57 3,81 3,20

25.

83,9 43,8 24,1 4,43 3,78 3,18

26.

61,8 39,8 8,5 4,12 3,68 2,14

27.

119,4 69,7 28,2 4,78 4,24 3,34

28.

65,0 56,4 16,0 4,17 4,03 2,77

29.

95,6 74,5 22,1 4,56 4,31 3,09

30.

51,8 38,1 12,9 3,95 3,64 2,56

31.

137,9 65,9 37,7 4,93 4,19 3,63

32.

50,2 26,7 21,4 3,92 3,28 3,06

33.

64,0 52,5 13,5 4,16 3,96 2,60

34.

84,8 56,8 16,2 4,44 4,04 2,78

35.

119,1 69,0 24,9 4,78 4,23 3,22

Оцініть виробничу функцію Кобба – Дугласа

YKL



 і перевірити гіпотезу

 









Розв'язання

Для оцінювання виробничу функцію слід перетворити до множинної лінійної регресії

шляхом логарифмування:

ln ln

tttt

YKL



    

, 1, 3 5t  .

Оцінюємо отриману регресію звичайним методом найменших квадратів:

ln 0,63 0,72ln 0,32lnYKL  ,

0,94R  , 0,5847RSS



Необхідну гіпотезу записуємо у вигляді:

ln ln2,

 









тобто

011

100

















ln2

r ,



32nk

Тоді







   









ˆˆ

1, 2 2

RSS

β rXX β r

(2; 32; 0,1) 2, 48

teor



 .

Оскільки

pr teor

FF , то гіпотеза про лінійні обмеження слід прийняти; це означає, що

підприємства мають постійну віддачу від масштабу.

2.6.4. Перевірка гіпотез про стійкість моделі

Припустимо, що треба побудувати модель деякої економічної системи за даними, що є

часовими рядами. Нехай, наприклад, треба змоделювати ВВП країни, у якій відбувається

структурна економічна реформа. Постає питання

, чи можна розробити єдину модель для

аналізу ВВП, яку можна було б використовувати протягом усього періоду досліджень.

Іноді реформи приводять до таких великих зрушень, що доцільно розглядати окремо

моделі до та після початку реформ. Відповідь про те, скільки моделей слід розглядати –

одну чи кілька, дає гіпотеза про стійкість моделі.

Загалом модель називатиметься стійкою, якщо коефіцієнти моделей, побудовані за

різними вибірками, були статистично рівними. Іншими словами, гіпотезу про стійкість

моделей треба записати у вигляді













IIIIII

jj j

H    .

Для перевірки такої гіпотези використовують критерій Чоу. Залежно від кількості

спостережень розрізняють кілька модифікацій цього критерію.

Припустимо, що є

n спостережень, які розбито на дві групи з

n та

n спостережень

відповідно

()

nn n . Нехай розміри груп достатні для коректного обчислення моделей.

Тоді оцінюємо модель тричі: за всіма спостереженнями і за кожною групою окремо.

Нехай:



RSS

– сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за всіма n спостереженнями,



RSS – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за першими

спостереженнями



RSS – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за останніми

спостереженнями.

Якщо гіпотеза про стійкість моделі правильна, то

()

pr k n k

RSS RSS RSS

RSS RSS











Таким чином, обраховуємо значення

F і порівнюємо її з теоретичним значенням із

таблиці розподілу Фішера з

та

2nk

степенями свободи і рівнем значущості



. Якщо

практичне значення менше теоретичного

pr teor



, то гіпотезу про стійкість

приймається можна прийняти.

Якщо одна із груп містить невелику кількість спостережень, недостатню для

знаходження оцінок, то застосовують модифікацію критерію Чоу. Нехай для визначеності

nn . Для перевірки гіпотези слід оцінити модель двічі: за всіма спостереженнями і за

більшою групою. Позначимо:

 RSS – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за всіма

спостереженнями



RSS – сума квадратів залишків у моделі, яку оцінено за більшою групою, що

містить

n спостережень.

Якщо гіпотеза про стійкість моделі буде прийнято, то

pr n n k

RSS RSS

RSS







Таким чином, обраховуємо значення

F і порівнюємо її з теоретичним значенням із

таблиці розподілу Фішера з

n та



степенями свободи і рівнем значущості



. Якщо

практичне значення менше від теоретичного

pr teor



, то гіпотезу про стійкість можна

прийняти.

Приклад 2.4. Перевірка моделі на стійкість

Нехай треба дослідити на стійкість модель залежності грошової маси (M2, млн грн) від

відсоткової ставки НБУ (R, %) за критерієм дисперсійного аналізу, розбивши всі

спостереження на дві групи розмірами

16n



та

12n 

з рівнем надійності 95 %.

(Чому квартали позначено по-різному: то "1993:1", то "1993:Q1", то

"1993/1", то "1993/Q1"??? Слід обрати щось одне. Перевірте всі таблиці)

Кварт

али

М2 R

1993/

47 80

1993/

79 18

6,7

1993/

QЗ

1993/

1994/

QЗ

1,1

1994/

3,3

1995/

9,1

1995/

7,4

1995/

QЗ

1995/

1996/

2,3

1996/

1997/

QЗ

464

1997/

775

1998/

973

1998/

269

1998/

QЗ

873

1998/

175

1999/

976

1999/

242

1999/

QЗ

360

1999/

820

Розв'язання

Оцінюємо послідовно три регресії:

Регресійна

функція

Коефіцієнт

детермінації,

Сума квадратів

залишків,

RSS

По всіх

спостереженнях

11642,8 45,8M



0,568 305482333,6

По першій групі

6374,8 22,4M



0,557 43476277,5

По другій групі

10263,9 35,2M



0,080 63563902,0

Підраховуємо:





305482333,6 43476277,5 63563902,0

()

43476277,5 63563902,0

28 2 2

22,25

RSS RSS RSS

RSS RSS



 









(2;24;0,05) 3,40

teor



 .

Оскільки

pr teor

FF , то гіпотезу про стійкість моделі треба відхилити. Таким чином, слід

розглядати окрему регресію на кожному з часових інтервалів.

2.7. Моделі, які зводяться до моделі лінійної регресії

За допомогою стандартних математичних перетворень можна велику кількість моделей

звести до множинної лінійної регресії. Наприклад, розглянемо виробничу функцію

Кобба – Дугласа

yKL



 ,

де

K – основні фонди підприємства;

L – обсяг фонду оплати праці;

y – випуск

продукції.

Логарифмувавши рівняння, маємо

01 2

ln ln ln ln

ttt



  .

Уведемо нові позначення:

 ln

yY,



kK,



lL,





ln .

Тоді модель можна записати у вигляді

*** *

011 22ttt

xx   .

Якщо ввести до цього рівняння стохастичний доданок, то одержимо модель лінійної

регресії

*** *

011 22tttt

yxx



  .

Аналогічно можна вивчати досить широкий клас моделей, які за допомогою

перетворень змінних і рівнянь можливо звести до моделі лінійної регресії. Досить часто

використовують поліноміальну регресію

01 1 1

yxx x



      .

Проте при використанні поліноміальної регресії спостерігається явище

мультиколінеарності, яке буде розглянуто у наступних розділах.

Задачі

Група А

Задача 2.1. Визначте, чи можна перетворити надані рівняння на рівняння, лінійні за

параметрами?



  .

ln ln

yx e     .



  .



31 3

ln ln

yxx xe     .

 

 .



ln ln

yx ex       .







12 3

yxxx e       .

Задача 2.2. Доведіть, що МНК–оцінка коефіцієнтів множинної лінійної регресії

y

βε є незміщеною.

Задача 2.3. Знайдіть коваріаційну матрицю МНК-оцінки коефіцієнтів множинної

лінійної регресії yXβε.

Задача 2.4. Нехай

β – МНК–оцінка вектора коефіцієнтів при регресії yXβε за

допомогою МНК, а

α – будь-який інший k-вимірний вектор. Довести, що















 

ˆˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ ˆ

yXα yXα yXβ yXβαβXXαβ

Задача 2.5.

Задано матрицю коваріацій оцінок параметрів моделі

















11,4 1,7 0,9

cov 1,7 1,4 0,4 .

0,9 0, 4 0,1

Визначте дисперсії оцінок параметрів моделі та їхні стандартні помилки.

Задача 2.6.

За допомогою МНК отримано рівняння 24n



(у дужках указано

стандартні

t-статистики)



12 3

2,14

0,0034 0,009

3,42

1,12 0,098 5,62 0,044

tttt

xx x   ,

110,32RSS



21,43ESS



Перевірте значущість кожного коефіцієнта,

0,1





Знайдіть коефіцієнт детермінації.

Протестуйте значущість моделі в цілому,

0,1





Задача 2.7.

Бюджетне обстеження п'яти випадково вибраних сімей дало результати:

Сім'я

Нагромадження,

Дохід, Y

Майно, W

1. Оцініть регресію S на Y та W з константою.

Знайдіть коефіцієнт детермінації моделі.

Побудуйте 90-відсотково надійні інтервали для коефіцієнтів регресії.

Перевірте гіпотезу

02 3

:0H  , 0, 05



 .

Перевірте гіпотезу про незначущість величини доходу

:0H



 ,

0,05

Перевірте гіпотезу про незначущість вартості майна

:0H



 ,0,01 .