Черняк О.І. та ін. Економетрика

Подождите немного. Документ загружается.

Зазначимо, що посередині надійного інтервалу лежить значення параметра



, границі

інтервалу перебувають на однаковій відстані від



Зрозуміло, що границі інтервалу залежать від обраного рівня надійності. Очевидно, що

teor

t буде більшим для 99-відсоткового рівня, ніж для 95-відсоткового (за будь-якого

значення степеня свободи), отже, інтервал в 99 % буде більшим порівняно з 95-

відсотковим інтервалом. Оскільки посередині обох інтервалів лежить величина



, то 99-

відсотковий інтервал містить не лише весь 95-відсотковий інтервал, а й додаткові

проміжки з того чи іншого боку.

З одного боку, дослідник хоче отримати найточнішу оцінку, з іншого боку, розширення

розміру інтервалу зводить нанівець зусилля з локалізації розміщення оцінки

 . Тому на

практиці найчастіше використовують 95 % інтервали, які вважають найкращим

компромісом між точністю та величиною інтервалу.

Слід зазначити, що найчастіше для аналізу впливу незалежної змінної на залежну

використовують величину

 . Проте в частині досліджень використано альтернативний

підхід, за яким розраховують середній коефіцієнт еластичності. Середній коефіцієнт

еластичності показує, на скільки відсотків у середньому зміниться значення

після зміні

незалежної змінної

x на 1 % від свого середнього значення:



Efx





 .

1.7. Прогнозування за допомогою простої лінійної регресії

Одна з основних переваг регресійних моделей – можливість обраховувати прогнози.

Нехай треба визначити прогноз величини

на період



при відомому значенні

незалежної змінної



. Прогноз обраховуємо за формулою



 .

Таким чином, для розрахунку прогнозу треба знати значення коефіцієнтів регресії та

прогнозне значення незалежної змінної. На практиці іноді розраховують кілька прогнозів

для різних значень незалежної змінної



. У цьому разі говорять про створення

сценарних прогнозів, що містять оптимістичний, і песимістичний сценарії розвитку

процесу.

Середня стандартна похибка прогнозу дорівнює













()

s.e.( ) 1

()

RSS

Надійний інтервал для прогнозу:

 



1 1 teor 1 1 teor

ˆˆ ˆˆ

[s.e.();s.e.()]

nn nn

yytyyt,

де



2,1

teor

ttn – величина розподілу Стьюдента з 2n



степенями свободи.

Розроблення прогнозу вимагає оцінити його точність і надійність. Точність і надійність

прогнозів – широко поширені в прогностичній літературі терміни, сенс яких, як здається

на перший погляд, цілком очевидний. Проте зміст цих термінів часто тлумачать досить

суб'єктивно.

Про точність прогнозу зазвичай судять за розміром помилки прогнозу – різниці між

прогнозним

і фактичним значенням досліджуваної змінної. Проте такий підхід до

оцінювання точності можливий лише у двох випадках. По-перше, коли період

попередження вже закінчився, і дослідник має фактичні значення змінної. У

короткостроковому прогнозуванні це цілком реально. По-друге, коли прогноз

розробляють, тобто прогнозування здійснюють для деякого моменту часу в минулому,

щодо якого

вже є фактичні дані. При цьому наявна інформація поділена на дві частини.

Одна з них, що охоплює більш ранні дані, слугує для оцінювання параметрів

прогностичної моделі, а більш пізні дані розглядають як реалізації відповідних

прогностичних оцінок. Отримані ретроспективно помилки прогнозу якоюсь мірою

характеризують точність застосованої методики прогнозування і можуть виявитися

корисними під час зіставляння кількох методів. Водночас розмір помилки

ретроспективного прогнозу не можна розглядати як остаточний доказ придатності або,

навпаки, непридатності застосовуваного методу прогнозування. До неї варто ставитися з

відомою обережністю і, застосовуючи її як міру точності, слід зважати на те, що її

отримано з використанням лише частини наявних даних. Проте ця міра точності має

більшу наочність і теоретично більш надійна, ніж похибка прогнозу, обчислена для

періоду, характеристики якого вже було використано під час оцінювання параметрів

моделі. В останньому випадку похибки зазвичай будуть незначними і мало залежатимуть

від теоретичної обґрунтованості, застосованої для прогнозування

моделі.

У зв'язку з перевіркою точності прогнозів треба зробити ще одне зауваження.

Наприклад, якщо для ретроспективного прогнозування застосувати модель, що містить

одну або кілька екзогенних змінних, то точність прогнозу значною мірою залежатиме від

того, наскільки точно визначено значення цих змінних на період попередження. При

цьому можливі два шляхи: скористатися фактичними

значеннями екзогенних змінних

(так званий прогноз

ex post) і очікуваними їхніми значеннями (так званий прогноз ex

ante

). Звичайно, точність прогнозу ex post, що її зазвичай і одержують під час

перевіряння, буде вищою, ніж точність прогнозу

ex ante, тому що в першому випадку

буде виключено вплив похибки у значеннях екзогенних змінних.

Перевірка точності одного прогнозу мало що може сказати досліднику. Гарний

одиничний прогноз можна отримати і за поганою моделлю, і навпаки. Звідси випливає,

що про якість прогнозів застосовуваних методик і моделей можна судити лише за

сукупністю зіставлень прогнозів

і їхньої реалізації.

Найбільш простою мірою якості прогнозів за умови, що є дані про їхню реалізацію,

може стати відношення кількості випадків, коли фактичну реалізацію охоплював

інтервальний прогноз, до загальної кількості прогнозів, тобто





де m – кількість прогнозів, підтверджених фактичними даними;

p – кількість прогнозів,

не підтверджених фактичними даними.

Коли всі прогнози підтверджуються, то



і 1



 ; якщо ж усі прогнози не

підтвердилися, то m , а отже, і

 дорівнюють 0.

Один із дослідників проблем економічного прогнозування, Г. Тейл, запропонував за

міру якості прогнозу взяти коефіцієнт розбіжності (або коефіцієнт невідповідності),

чисельником якого є середньоквадратична похибка прогнозу, а знаменник дорівнює

квадратному кореню із середнього квадрата реалізації, тобто











де

p – кількість періодів, на які розраховують прогноз.

Коефіцієнт

0v  , коли всі

yy (випадок ідеального прогнозування); 1v



, коли

процес прогнозування призводить до середньоквадратичної помилки "наївної"

екстраполяції незмінності приростів; нарешті,

1v  , коли прогноз дає гірші результати,

ніж припущення про незмінність досліджуваного явища. Верхньої межі коефіцієнт не

має.

Коефіцієнт розбіжності можна використати під час зіставляння якості прогнозів,

одержаних на основі різноманітних методів і моделей. У цьому його безсумнівна

привабливість.

Також виокремлюють більш об'єктивні статистики точності прогнозів:

MSE, RMSE,

MAD, RMSE, MAPE

. Нехай

y – прогноз значення часового ряду у t -ому періоді, тоді:





MSE y y





– середньоквадратична похибка прогнозу за p кроків;





RMSE y y





– корінь із середньоквадратичної похибки прогнозу за p

кроків;



MAD





– середня абсолютна похибка за

кроків;



100

RMSPE













– корінь із середньоквадратичної похибки у відсотках

від фактичних значень за

p кроків;



100

MAPE







– середня абсолютна похибка у відсотках за p кроків.

На практиці ці характеристики використовують досить часто. Перші три критерії

виражають похибку в одиницях виміру, тому їхня величина залежить від специфіки

часового ряду. Останні два критерії вимірюються у відносних одиницях, тому можна

говорити про деякий загальний рівень адекватності моделі на основі їх

порівняння.

1.8. Моделі, що зводяться до простої лінійної регресії

Багато економічних процесів найкраще описувати нелінійними співвідношеннями,

наприклад, нелінійними функціями попиту й виробничих функцій. Проте дуже часто

існує можливість за допомогою різноманітних математичних операцій звести такі функції

до лінійних, які елементарно оцінити за допомогою моделі простої лінійної регресії.

Нехай досліджувана модель має такий вигляд:



 .

Щоб привести цю модель до простої лінійної регресії, слід зробити такі заміни:

Логарифмувати обидві частини рівняння

ln ln



 .

Позначити отримані величини:

*ln;

*ln.







Записати рівняння простої лінійної регресії:

**yx



.

Основні види перетворень для зведення моделей до простої лінійної регресії

представлено в таблиці.

№

Початкова

функція

До якого вигляду приводимо Заміна змінної

yAe





ln ,Z



ln ,A





k

yBx







ln ,Z



ln ,ux

ln ,B





 



 1







 



 1





Слід зазначити, що не всі моделі можна звести до простої лінійної регресії, наприклад:



 .

У цій моделі неможливо однозначно визначити окремо коефіцієнти  та  , тому цю

модель не можна звести до простої лінійної регресії.

Приклад 1.1. Оцінювання простої лінійної регресії

На основі статистичних даних доходу підприємства (у мільйонах гривень) y та

кількості працівників (у тисячах осіб) x :

10,

2,5

11,

3,5

12,

3,8

13,

3,8

14,

4,2

15,

4,8

16,

6,5

17,

5,8

18,

6,4

19,

7,7

20,

8,1

21,

7,6

22,

9,3

23,

9,2

25,

9,8

1. Знайти оцінки параметрів лінійної регресії yx



 .

2. Перевірити модель на адекватність із рівнем надійності 95 %.

3. Визначити значущість коефіцієнта нахилу регресії з рівнем надійності 95 %.

4. Оцінити значущість коефіцієнта кореляції з рівнем надійності 95 %.

5. Визначити надійні інтервали для коефіцієнтів регресії з рівнем надійності 95 %.

6. Обчислити середній коефіцієнт еластичності.

Розв'язання

1. Заповнюємо таблицю:

10,

6,4

116,

27,3

11, 3, 12, 141, 42,1

9 54 53 61 3

12,

14,

153,

47,6

13,

14,

174,

50,6

14,

17,

198,

59,5

15,

23,

231,

73,1

16,

42,

256,

104,

17,

33,

302,

101,

18,

41,

345,

119,

19,

59,

376,

149,

20,

67,

420,

167,

21,

58,

453,

162,

22,

86,

506,

209,

23,

85,

561,

219,

25,

97,

625,

246,

ума

262

,00

,56

662

,22

4864

,06

1781

,95

Параметри регресії знаходимо за формулами

111

()

nnn

tt t t

ttt

nx x















;



.

Тоді



111

15 1781,95 93,56 262

1,8787

15 662,22 93,56

()

nnn

tt t t

ttt

nxy x y

nx x









  









262 93,56

ˆˆ

1,8787 5,7486

15 15

      



Таким чином, вибіркову регресійну функцію слід записати у вигляді

5,7486 1,8787



 .

Отриману залежність можна показати на графіку:

y = 5,7486+ 1,8787x

246810

Рис. 1.3. Лінія регресії

При збільшенні кількості працівників на 1000 осіб дохід підприємства зростає на

1,8787 млн грн.



















10,

502

0,089 48,51

44,44

12,

399

0,249 25,67

30,98

12,

963

0,317 20,28

25,67

12,

963

0,056 20,28

18,20

13,

677

0,179 14,36

11,33

14,

785

0,172 7,191 5,138

18,

017

4,066 0,302 2,151

16,

683

0,515 0,615 0,004

17,

829

0,595 0,131 1,284

20,

271

0,759 7,864 3,738

21,

135

0,403 13,45

9,201

20,

121

1,391 7,044 14,69

23,

239

0,547 33,32

25,33

23,

145

0,308 32,24

38,85

24,

273

0,529 46,32

56,75

Су

ма

10,175

277,6

287,7

Таким чином, 10,175

RSS  , 277,618ESS  , 287,793TSS



Коефіцієнт детермінації моделі становить

277,618

0,965

287,793

ESS

TSS

 

, що свідчить про

високу міру залежності між змінними.

Перевіримо модель на адекватність. Практичне значення статистики Фішера

дорівнює

=354,71,





теоретичне

(1;1 3; 0, 0 5 ) 4, 7

teor

FF, таким чином, модель адекватна.

Перевіримо гіпотезу

:0H  . Спочатку обрахуємо стандартне відхилення оцінки

коефіцієнта





     











s.e.

()

ˆ 0,0998.

() ()

xRSSx

nnn

xx xx

Практичне значення статистики Стьюдента дорівнює









1,8787

18,8338

0,0998

s.e.

теоретичне значення



13; 0,95 2,16

teor

tt, тобто гіпотезу треба відхилити, а отже,

коефіцієнт  буде значущим.

Розрахуємо коефіцієнт кореляції:

()

78,723

ˆˆ

1,8787 0,98

287,793

()







   







Для перевірки гіпотези про те, що коефіцієнт кореляції дорівнює 0, використовують

статистики

18,745

pr xy











13,0.95 2,16

teor

tt.

Оскільки практичне значення більше за теоретичне, то коефіцієнт кореляції не можна

прийняти рівним 0, тобто він буде значущим.

Визначимо надійні інтервали для коефіцієнтів із рівнем надійності 0,95 за

формулою      

teor teor

ˆˆ ˆˆ

[

s.e.

()

;s.e.

() ]

tt, де

2; 0.95 13;0,95

2,16

teor n

tt t





:

4,316715 <



< 7,180448;

1,663201 <



< 2,094201.

Середній коефіцієнт еластичності

93,56

1,8787 0,67.

262

   

При збільшенні

кількості працівників на 1 % дохід підприємства зросте на 0,67 %.

Задачі

Група А

Задача 1.1. Знайдіть перетворення даних, яке зводить цю модель до лінійної.

Визначте, яким чином слід залучити збурення до моделі:







;







;







 

;



2 x



 .

Задача 1.2. Знайдіть невідомий коефіцієнт моделі





, 1,tn . Чому дорівнює

коефіцієнт детермінації моделі? Знайдіть дисперсію моделі. Покажіть, що статистика



..se





має



-розподіл.

Задача 1.3. Спостереження 16 пар





дали такі результати:

526y 



657x 



492xy 



64y 



96x





. Оцініть регресію

ttt

yx 

. Знайдіть

коефіцієнт детермінації. Підрахуйте найкращий незміщений прогноз на наступний

період, якщо



 .

Задача 1.4. Для моделі

01ttt

yx   , 1, 2 0t  . Відомо, що 15

y 



, 41





y 



214

x 



,31

xy 



. Відомо, що

10x



. Обчисліть найкращий лінійний

незміщений прогноз величини

. Оцініть стандартну похибку прогнозу.

Задача 1.5. Для спостережень

Y 5 1

X 9

Обчисліть величину коефіцієнта детермінації

R у регресії

Y на

X за відсутності

вільного члена. Проаналізуйте отриману регресію. Підрахуйте оцінку прогнозу

при



 .

Задача 1.6. Для спостережень

Y 5 11 12 17 10 22 15 27

30 35

X 70 65 35 60 46 35 42 30

25 32

Обчисліть величину коефіцієнта детермінації

R у регресії

Y на

X за наявності

вільного члена. Проаналізуйте отриману регресію. Оцініть прогноз при





Перевірте адекватність моделі,

0,01

Задача 1.7. Оцініть модель простої лінійної регресії yx



  за даними

Y 3

і перевірте її на адекватність, 0,05 .

Задача 1.8. Монополіст максимізує прибуток за наявності такої функції попиту:

QP . У минулому спостерігалася така залежність між цінами та рівнем продажів:

Q 3 3 7 6 10 15 16 13 9 15

P 18 16 17 12 15 15 4 13 11 6

Визначте максимальний дохід монополіста. Знайдіть ціну, яку запропонує монополіст.

Побудуйте 90 % надійний інтервал для випуску, що максимізує прибуток.

Задача 1.9. Для перевірки гіпотези про те, що обсяг продажів

y залежить від

витрат на рекламу

a , побудовано регресію



2,35 1,34

0,36 0, 75



 (у дужках показано

середньоквадратичні відхилення коефіцієнтів).

Перевірте гіпотезу, 0,05 .

Визначте, як зміниться обсяг продажів, якщо витрати на рекламу зростуть на

1,7 %.

Задача 1.10. Дослідження продажів по 23 торгових точках м. Києва показало таку

залежність між кількістю проданих одиниць товару y та ціною p (у дужках указано

відповідні

t -статистики):

 

1,31 2,61

ln 21,4 0,69 ln





 .

Перевірте гіпотезу про те, що еластичність попиту за ціною для досліджуваного товару

становить -0,8,

0,01 .

Задача 1.11. Дослідження продажів по 16 торгових точках м. Києва показало таку

залежність між кількістю проданих одиниць товару

та ціною

(у дужках показано

відповідні t -статистики):



0,81

2,3

1,2

1, 4yx



 .

Перевірте гіпотезу про те, що еластичність попиту за ціною для досліджуваного товару

становить –0,75, 0,05

Задача 1.12. Нехай слід вивчити залежність вигляду



  за 21n



спостереженням. Відомо, що

ln ln 5,21xy





ln 8,3x 



ln 11,4x 



ln 4,7y 



ln 7,4y 



Визначте коефіцієнти регресії.

Визначте коефіцієнт детермінації.

Перевірте модель на адекватність, 0,01



 .

Задача 1.13. Нехай треба дослідити залежність витрат індивіда від його заробітної

плати x . За 30 спостереженнями було отримано такі варіанти регресій (у дужках указано

відповідні t -статистики):





3,45

15 0,5

x

;





7,11

ln 1,4 0,2 ln

x ,

0,72R  ;



 

1,89 1,05

ln 38 0,04ln 0,09

xx  ,

0,51R  ;



 

3,12 1,78

0,3 0,5 0, 04

xx  

0,52R  .

Визначте коефіцієнт детермінації для першого рівняння.

Запишіть друге та третє рівняння у структурному вигляді.

Визначте коефіцієнти еластичності для кожного з рівнянь.

Оберіть найкращий варіант рівняння регресії.

Задача 1.14. Усі спостереження за двома змінними

та y було розбито на дві групи,

дані про які подано у таблиці:

Вибір

ка

1 40 10 12 40 60 45

2 50 12 14 50 75 60

Знайдіть МНК-оцінки в моделі простої лінійної регресії та перевірте гіпотезу про

адекватність регресії з рівнем надійності 10,99



 .

Група Б

Задача 1.15. Відома інформація про випуск продукції підприємства y та розмір його

встаткування x :

(???)

Квар

тал

Випуск,

тис грн,

Капітал

тис грн,

1997/

57 395

1997/

67 409

1997/

QЗ

76 501

1997/

76 519

1998/

91 547

1998/

92 566

1998/

QЗ

93 568

1998/

101 571

1999/

102 574

1999/

103 586

1999/

QЗ

103 606

1999/

103 664

2000/

103 667

2000/

105 673

2000/

QЗ

117 680

2000/

120 684

2001/

120 684

2001/

121 687

2001/

QЗ

122 709

2001/

124 744

2002/

125 751