Черняк О.І. та ін. Економетрика
Подождите немного. Документ загружается.
237
1956/Q 2,90 4,13 2,927 1981/Q 11,3 7,40 17,577
1957/Q 4,32 3,93 2,933 1981/Q 4,2 8,23 13,587
1957/Q 2,85 4,10 3,000 1982/Q 2,5 8,83 14,227
1957/Q 2,83 4,23 3,233 1982/Q 9,5 9,43 14,513
1957/Q 2,81 4,93 3,253 1982/Q 2,8 9,90 11,007
1958/Q 5,57 6,30 1,863 1982/Q 0,0 10,6 9,287
1958/Q 0,00 7,36 0,940 1983/Q 1,63 10,3 8,653
1958/Q 0,00 7,33 1,323 1983/Q 5,2 10,1 8,803
1958/Q 1,38 6,36 2,163 1983/Q 4,0 9,36 9,460
1959/Q 0,00 5,83 2,570 1983/Q 3,9 8,53 9,430
1959/Q 1,37 5,10 3,083 1984/Q 5,8 7,86 9,687
1959/Q 2,74 5,26 3,577 1984/Q 3,0 7,43 10,557
1959/Q 1,36 5,60 3,990 1984/Q 3,8 7,43 11,390
1960/Q 0,00 5,13 3,933 1984/Q 3,0 7,30 9,267
1960/Q 2,71 5,23 3,697 1985/Q 4,8 7,23 8,477
1960/Q 0,00 5,53 2,937 1985/Q 2,6 7,30 7,923
1960/Q 2,69 6,26 2,297 1985/Q 2,2 7,20 7,900
1961/Q 0,00 6,80 2,003 1985/Q 5,1 7,03 8,103
1961/Q 0,00 7,00 1,733 1986/Q - 7,03 7,827
1961/Q 2,67 6,76 1,683 1986/Q 1,09 7,16 6,920
1961/Q 0,00 6,20 2,400 1986/Q 2,1 6,96 6,207
1962/Q 2,65 5,63 2,457 1986/Q 2,8 6,83 6,267
1962/Q 0,00 5,53 2,607 1987/Q 5,0 6,60 6,220
1962/Q
3
2,64
0
5,56
7
2,847 1987/Q
2
4,6
08
6,26
7
6,650
1962/Q
4
0,00
0
5,53
3
2,923
1987/
Q
3
4,2
07
6,00
0
6,843
1963/Q
1
1,31
4
5,76
7
2,967
1987/
Q
4
3,1
26
5,83
3
6,917
1963/Q
2
1,30
9
5,73
3
2,963
1988/Q
1
3,1
02
5,70
0
6,663
1963/Q
3
1,30
5
5,50
0
3,330
1988/
Q
2
5,1
17
5,46
7
7,157
1963/Q
4
2,59
7
5,56
7
3,453
1988/
Q
3
5,0
53
5,46
7
7,983
1964/Q
1
0,00
0
5,46
7
3,463
1988/
Q
4
3,9
97
5,33
3
8,470
1964/Q
2
1,29
2
5,20
0
3,490
1989/Q
1
4,9
40
5,20
0
9,443
1964/Q
3
1,28
8
5,00
0
3,457
1989/
Q
2
6,1
71
5,23
3
9,727
1964/Q
4
2,56
4
4,96
7
3,577
1989/
Q
3
2,2
50
5,23
3
9,083
1965/Q
1
0,00
0
4,90
0
3,973
1989/
Q
4
4,7
79
5,36
7
8,613
1965/Q
2
3,81
6
4,66
7
4,077
1990/Q
1
7,2
19
5,30
0
8,250
1965/Q
3
0,00
0
4,36
7
4,073
1990/
Q
2
4,0
23
5,33
3
8,243
1965/Q
4
3,78
0
4,10
0
4,167
1990/
Q
3
7,9
27
5,70
0
8,160
1966/Q
1
3,74
4
3,86
7
4,557
1990/
Q
4
5,0
99
6,13
3
7,743
1966/Q
2
2,47
7
3,83
3
4,913
1991/Q
1
1,7
84
6,60
0
6,427
1966/Q
3
4,90
8
3,76
7
5,410
1991/
Q
2
3,5
45
6,83
3
5,863
1966/Q
4
1,21
8
3,70
0
5,563
1991/
Q
3
2,9
30
6,86
7
5,643
1967/Q
1
1,21
4
3,83
3
4,823
1991/
Q
4
3,4
88
7,10
0
4,817
1967/Q
2
3,62
0
3,83
3
3,990
1992/Q
1
2,5
96
7,36
7
4,023
1967/Q
3
3,58
7
3,80
0
3,893
1992/
Q
2
2,8
65
7,60
0
3,770
1967/Q
4
4,73
4
3,90
0
4,173
1992/
Q
3
2,8
45
7,63
3
3,257
1968/Q
1
3,51
4
3,73
3
4,787
1992/
Q
4
3,3
87
7,36
7
3,037
1968/Q
2
4,63
8
3,56
7
5,980
1993/Q
1
2,8
01
7,13
3
3,040
1968/Q
3
4,58
5
3,53
3
5,943
1993/
Q
2
2,7
82
7,06
7
3,000
1968/Q
4
5,65
8
3,40
0
5,917
1993/
Q
3
1,9
36
6,80
0
3,060
1969/Q
1
5,57
9
3,40
0
6,567
1993/
Q
4
3,5
70
6,63
3
2,990
238
1969/Q
2
5,50
2
3,43
3
8,327
1994/Q
1
2,1
81
6,56
7
3,213
1969/Q
3
5,42
7
3,56
7
8,983
1994/
Q
2
2,1
69
6,20
0
3,940
1969/Q
4
6,41
7
3,56
7
8,940
1994/
Q
3
3,7
69
6,00
0
4,487
1970/Q
1
6,31
6
4,16
7
8,573
1994/
Q
4
2,1
38
5,63
3
5,167
1970/Q
2
5,18
8
4,76
7
7,880
1995/Q
1
2,9
21
5,46
7
5,810
1970/Q
3
4,10
3
5,16
7
6,703
1995/
Q
2
3,1
62
5,66
7
6,020
1970/Q
4
6,07
6
5,83
3
5,567
1995/
Q
3
1,8
33
5,66
7
5,797
1971/Q
1
2,00
5
5,93
3
3,857
1995/
Q
4
2,0
85
5,56
7
5,720
1971/Q
2
4,96
9
5,90
0
4,563
1996/Q
1
4,1
37
5,53
3
5,363
1971/Q
3
2,95
2
6,03
3
5,473
1996/
Q
2
3,0
75
5,50
0
5,243
1971/Q
4
2,93
0
5,93
3
4,750
1996/
Q
3
2,5
45
5,26
7
5,307
1972/Q
1
2,90
9
5,76
7
3,540
1996/
Q
4
3,5
35
5,33
3
5,280
1972/Q
2
2,88
8
5,70
0
4,300
1997/Q
1
1,7
56
5,23
3
5,277
1972/Q
3
3,81
9
5,56
7
4,740
1997/
Q
2
1,0
00
5,00
0
5,523
1972/Q
4
3,78
3
5,36
7
5,143
1997/
Q
3
2,4
89
4,86
7
5,533
1973/Q
1
8,38
2
4,93
3
6,537
1997/
Q
4
1,4
86
4,66
7
5,507
1973/Q
2
7,30
6
4,93
3
7,817
1998/Q
1
0,4
94
4,63
3
5,520
1973/Q
3
8,94
9
4,80
0
10,560
1998/
Q
2
1,9
70
4,40
0
5,500
1973/Q
4
9,61
8
4,76
7
9,997
1998/
Q
3
1,7
16
4,53
3
5,533
1974/Q
1
12,7
53
5,13
3
9,323
1998/
Q
4
2,1
96
4,43
3
4,860
1974/Q
2
9,91
8
5,20
0
11,250
1999/Q
1
0,9
72
4,30
0
4,733
1974/Q
3
12,8
53
5,63
3
12,090
1999/
Q
2
3,1
43
4,26
7
4,747
1974/Q
4
10,1
47
6,60
0
9,347
1999/
Q
3
4,0
73
4,23
3
5,093
1975/Q
1
6,87
7
8,26
7
6,303
1999/
Q
4
2,3
77
4,06
7
5,307
1975/Q
2
5,26
8
8,86
7
5,420
2000/Q
1
5,1
80
4,03
3
5,677
1975/Q
3
8,141
8,46
7
6,160
2000/
Q
2
3,0
29
3,96
7
6,273
1975/Q
4
7,26
0
8,30
0
5,413
2000/
Q
3
3,0
07
4,06
7
6,520
1976/Q
1
2,86
7
7,73
3
4,827
2000/
Q
4
2,2
98
3,93
3
6,473
1976/Q
2
4,96
9
7,56
7
5,197
2001/Q
1
3,1
95
4,16
7
5,593
1976/Q
3
6,29
9
7,73
3
5,283
2001/
Q
2
4,2
95
4,46
7
4,327
1976/Q
4
5,51
7
7,76
7
4,873
2001/
Q
3
0,4
49
4,83
3
3,497
1977/Q
1
8,13
6
7,50
0
4,660
2001/
Q
4
-
1
8
01
5,60
0
2,133
1977/Q
2
5,99
5
7,13
3
5,157
2002/Q
1
2,6
98
5,63
3
1,733
1977/Q
3
5,25
5
6,90
0
5,820
2002/
Q
2
2,9
03
5,83
3
1,750
1977/Q
4
6,47
3
6,66
7
6,513
2002/
Q
3
2,4
40
5,76
7
1,740
1978/Q
1
7,001
6,33
3
6,757
2002/
Q
4
1,5
45
5,90
0
1,443
1978/Q
2
9,96
9
6,00
0
7,283
2003/Q
1
5,0
34
5,76
7
1,250
1978/Q
3
9,12
6
6,03
3
8,100
2003/
Q
2
-
0
653
6,16
7
1,247
1978/Q
4
8,33
4
5,90
0
9,583
2003/
Q
3
3,0
39
6,13
3
1,017
1979/Q
1
11,6
12
5,86
7
10,073
Джерело: The Federal Reserve Bank of St. Louis, database FRED II,
http://research.stlouisfed.org/fred2): подано макроекономічні показники для США (щоквартальні
дані)
239
Розділ 10. Коінтеграція і векторна модель корекції похибок
10.1. Поняття про коінтеграцію
Дослідження в царині емпіричної макроекономіки майже завжди містять інтегровані й
трендові змінні, такі, як дохід, споживання, попит на гроші, рівень цін,
зовнішньоторговельні потоки й обмінні курси. Набутий досвід і висновки попередніх
підрозділів свідчать про те, що належний спосіб дослідження таких рядів – використати
перехід до різниць та інші перетворення (такі, як сезонні коригування) з метою одержати
стаціонарні ряди, для аналізу яких можна застосувати VAR-моделі або методи Дж.Бокса і
Дж. Дженкінса. Проте нещодавні дослідження та дедалі більший обсяг літератури
свідчать про наявність цікавіших і зручніших способів аналізу нестаціонарних змінних.
У цілковито специфікованій моделі регресії
ttt
yx
(10.1)
є обов'язкове припущення про те, що збурення
t
є стаціонарним рядом білого шуму
11
.
Однак це припущення навряд чи виявиться правильним за умови, що y
t
і х
t
є
інтегрованими рядами. Загалом якщо два ряди інтегровані і мають різні порядки
інтегрування, то порядок інтегрування їхніх лінійних комбінацій дорівнюватиме вищому
з двох порядків. Таким чином, якщо у
t
і x
t
є І(1), тобто обидві змінні характеризуються
стохастичним трендом, то зазвичай можна очікувати, що
tt
yx
незалежно від значення
, виявиться І(1), а не І(0) (тобто не буде стаціонарною). Якщо й у
ь,
і x
t
дрейфують, кожна
маючи свій власний тренд, то за умови, що ці тренди не є взаємозв'язаними, різниця між
двома змінними також буде характеризуватись своїм власним (стохастичним) трендом. З
іншого боку, якщо обидва ряди становлять І(1), то може існувати таке значення
, за
якого
tt t
yx становить I(0). У такому разі з властивостей стаціонарних процесів
випливає, що ця часткова різниця між змінними має зберігатися стабільною навколо
фіксованого середнього значення. У результаті ряди дрейфують узгоджено. Два ряди, що
задовольняють цю вимогу, називаються коінтегрованими, а вектор [1, ]
T
(чи будь-який
паралельний з ним вектор) є коінтеграційним вектором. Модель (10.1) називається в
цьому разі коінтеграційною регресією. Підсумуємо сказане у вигляді визначення.
Визначення. Дві І(1)-змінні у
ь
і x
t
називаються коінтегрованими, якщо існують
ненульові числа
1
і
2
, такі, що лінійна комбінація
12tt
x
y
є І(0)-процесом. Вектор
12
[
,
]
T
називається коінтеграційним вектором.
Зауважимо, що у випадку двох змінних коінтеграційні вектори визначені з точністю до
коефіцієнта пропорційності: якщо
12
[
,
]
T
β є коінтеграційним вектором, то вектор β
також буде коінтеграційним для будь якого числа 0
. Натомість якщо ввести певне
нормування, наприклад вибрати такий множник
, щоб
1
1
, як у коінтеграційній
регресії (10.1), то коінтеграційний вектор буде визначений однозначно.
Поняття коінтеграції можна узагальнити на випадок довільної кількості змінних
1,
[
,,
]
T
tt tk
yyy . У цьому разі відповідний коінтеграційний вектор буде k-вимірним:
1
[, , ]
T
k
β .
Коінтегрованість змінних означає існування довгострокової динамічної рівноваги.
Незважаючи на відсутність лагів у регресії, коефіцієнт
у рівнянні (10.1) описує саме
довгострокове співвідношення і є, по суті, довгостроковим мультиплікатором
12
. У такому
11
Якщо в моделі й була автокореляція, її усунуто шляхом належної трансформації.
12
Корисно порівняти регресію (10.1) для стаціонарних та інтегрованих змінних. У випадку
стаціонарних змінних це рівняння за формою описує одночасну залежність. Якщо натомість
фактична залежність є лаговою, то оцінка буде зміщеною. Вона неявно враховує вплив
пропущених лагових змінних і насправді оцінює суміш миттєвого та рівноважного
мультиплікаторів. У випадку інтегрованих змінних ситуація
докорінно змінюється. Якщо змінні не
є коінтегрованими, то регресія (10.1) узагалі некоректна. Для коінтегрованих змінних завжди є
240
випадку можна розмежувати довгострокові зв'язки між у
t
і x
t
, тобто спосіб, яким обидві ці
змінні узгоджено дрейфують, і короткострокову динаміку, тобто зв'язок між
відхиленнями y
t
від його довгострокового тренда та відхиленнями x
t
від його
довгострокового тренда. У цій ситуації перехід до різниць змінних буде непродуктивним,
оскільки в моделі не буде враховано довгостроковий зв'язок між y
t
і x
t
.. Дослідження
коінтеграції та споріднена методологія корекції похибок спрямовано на розробляння
методів оцінювання, які дозволяють здобути інформацію про обидві форми залежності
13
.
Приклад 10.1. Гіпотеза паритету купівельних спроможностей
Гіпотеза паритету купівельних спроможностей стверджує, що в стані довгострокової
рівноваги обмінні курси поступово стиратимуть відмінності між купівельними
спроможностями в різних економічних системах. Отже, якщо р
0
та р
1
є рівнями цін у
двох країнах, а Е – обмінний курс двох валют, то в стані рівноваги
1
0
t
tt
t
p
E
p
,
де – константа.
Рівні цін у будь-яких двох країнах, імовірно, матимуть виражені тренди. Однак з
урахуванням короткострокових відхилень від рівноваги, гіпотеза паритету купівельних
спроможностей передбачає, що для конкретного значення [ln , 1,1]
T
β у моделі
12 1 3 0
ln ln ln
tttt
Epp
ln
tt
становитиме стаціонарний ряд, а це означає, що логарифми всіх трьох
змінних у моделі коінтегровані.
Приклад 10.2. Моделі теперішньої вартості
Стандартна версія моделі теперішньої вартості передбачає, що ціна акції та дивіденди
коінтегровані. Точна форма коінтеграційного співвідношення залежить від того, чи
стаціонарні різниці рівнів чи логарифмів дивідендів [38]. Нехай
t
p – реальна ціна акції
(після виплати дивідендів) у період t ,
t
d – дивіденди в період t , b – постійний реальний
коефіцієнт дисконтування. Формула теперішньої вартості має такий вигляд (див.,
наприклад, [30, с.234]):
1
M
[]
i
tt ti
i
pbd. (10.2)
Припустимо спочатку, як у роботі [35], що різниці
t
d стаціонарні. Тоді
1
M[ ( )].
1
i
ttttit
i
b
pd bdd
b
Оскільки
ti t
dd
є стаціонарним для будь-якого і, то права частина останнього
рівняння є стаціонарним рядом
14
. Звідси випливає, що
t
p є сумою І(1) – процесу та
стаціонарного процесу, а отже, становить І(1). Окрім того,
t
p
та
t
d коінтегровані з
коінтеграційним вектором [1; /(1 )]
T
bb.
довгостроковим мультиплікатором незалежно від того, якою є справжня динамічна структура
залежності.
13
Див. [53]
14
Дисперсія
tit
dd
зростає як поліном від і,
i
b
– спадна геометрична прогресія. Отже, ряд
з дисперсій збігатиметься.
241
Тепер припустимо, що різниці ln
t
d стаціонарні. Розділимо обидві частини формули
теперішньої вартості на
t
d . Маємо
1
M
[]
i
tti
t
i
tt
pd
b
dd
. (10.3)
Міркуючи так само, як у попередньому випадку, неважко зрозуміти, що права частина
(10.3) є стаціонарним рядом. Логарифмуємо обидві частини (10.3). Бачимо, що
ln ln
tt
pd
також є стаціонарним рядом. Таким чином,
ln
t
p
є сумою І(1)-ряду та стаціонарного ряду,
тобто становить І(1), а ln
t
p та ln
t
d коінтегровані з коінтеграційним вектором
[1, 1]
T
.
На завершення прикладу порівняємо обидва випадки. Перший видається цікавішим,
оскільки коінтеграційна регресія дає змогу оцінити коефіцієнт дисконтування. Однак, на
жаль, саме другий випадок є більш реалістичним, оскільки темпи росту цін на акції та
дивідендів будуть приблизно постійними в довгостроковому періоді.
Припустимо, що модель містить k змінних. У такому випадку принаймні теоретично
може бути більше ніж один коінтеграційний вектор. Наприклад, нехай
123
[
,,
]
T
tttt
yy yy .
Припустимо, що
1t
y та коінтегровані з коінтеграційним вектором
11121
[
,,0
]
T
β ,
11 21
0, 0,
а
2t
y
та
3t
y
коінтегровані з коінтеграційним вектором
22232
[
0, ,
]
T
β ,
22 32
0, 0. Ми ввели тривимірні вектори замість двовимірних, щоб підкреслити, що
ми розглядаємо всі три змінні як єдину систему. Наприклад, добуток
1t
T
β y можна
розписати покоординатно, як
T
1111212tt t
yy
β y , отже, становить лінійну комбінацію
векторів
1t
y та
2t
y
, як того й вимагає визначення коінтегрованості цих двох змінних.
Неважко побачити, що коінтеграційні вектори
1
β
та
2
β
лінійно незалежні. Створимо
матрицю β розмірністю 32, перший стовпчик якої становить вектор
1
β (який???), а
другий –
2
β
(вектори слід писати або прямо жирним, або курсивом із лінією
зверху, але має бути або так, або так по всій роботі). За допомогою цієї матриці
можна компактно записати обидва коінтеграційні співвідношення одночасно. Загалом,
якщо ми розглядаємо k змінних , між якими існує r лінійно незалежних коінтеграційних
співвідношень, то зручно записувати їх разом як
T
t
β y
, де матриця
T
β
має розмірність
rk, а її ранг становить r . Елемент
ij
цієї матриці є коефіцієнтом при змінній
,tj
y
в
j
-
му коінтеграційному векторі. У системі з k змінних може існувати не більше
1k лінійно
незалежних коінтеграційних векторів. Справді, виходячи з визначення коінтеграції,
запишемо
T
tt
β yx
, де
t
x
– векторний І(0)-процес, розмірність якого дорівнює кількості
лінійно незалежних коінтеграційних векторів. Припустимо, що існує k лінійно незалежних
коінтеграційних векторів. Тоді матриця β має розмірність
kk та ранг k, а отже,
обернену матрицю. Таким чином, )
1
(
T
tt
y β x . Тобто кожний компонент
t
y виражається
як лінійна комбінація стаціонарних процесів, а отже, є стаціонарним процесом.
Одержане протиріччя доводить потрібний нам результат. Кількість лінійно незалежних
коінтеграційних векторів, що існують у системі, називається рангом коінтеграції. Ранг
коінтеграції може коливатися від 1 до 1k
. Нехай
r
лінійно незалежних коінтеграційних
векторів об'єднані в матрицю
T
β
розмірності rk
, тобто
T
t
β y
є І(0). Тоді для будь-якої
невиродженої
kk
-вимірної матриці
S
розмірністю
T
t
Sβ y також є І(0)-процесом. На
відміну від випадку існування лише одного коінтеграційного співвідношення, визначення
матриці
S
породжує нетривіальну проблему ідентифікації. Як розв'язати цю проблему на
основі моделі корекції похибок, ми розглянемо в підрозд. 10.2
242
Приклад 10.3. Лінійно незалежні коінтеграційні вектори
Модель описує економіку США. Розглянемо систему з п'яти макроекономічних змінних
,,,,
T
T
tttttt
y
mcpr
y
tbr infl ,
де
t
m – логарифм грошового агрегату М1 за квартал t;
t
infl – рівень інфляції за квартал (у
річному вимірі);
t
cpr – відсоткова ставка за корпоративними векселями;
t
y – натуральний
логарифм реального ВВП (мільярди доларів у цінах 1987 р.);
t
tbr – відсоткова ставка за
векселями державної скарбниці (Tbill).
Уважатимемо, що всі змінні є І(1)-процесами. Апріорі можна очікувати існування трьох
коінтеграційних співвідношень. По-перше, можна визначити рівняння попиту на гроші
таким чином:
141 51 1tttt
mytbr
,
де
41
і
51
– коефіцієнти (довгострокової) еластичності стосовно доходу та відсоткової
ставки, відповідно. Можна очікувати, що значення
41
буде близьким до одиниці, а
51
0. По-друге, якщо реальна відсоткова ставка стаціонарна, то рівняння
252t 2
= μ + β + ε
tt
infl tbr
виражає коінтеграційне співвідношення, причому
52
1
. Якщо вважати фактичну
інфляцію проксі-змінною для очікуваної інфляції, то останнє рівняння можна
інтерпретувати як рівняння Фішера.
Далі можна очікувати, що премія за ризик, вимірювана як різниця між ставками за
корпоративними векселями та за векселями державної скарбниці є стаціонарною
15
.
Отже, третє коінтеграційне співвідношення має такий вигляд:
353
3
= μ + β + εcpr tbr
ttt
.
Ураховуючи, що в системі п'ять змінних, три описані вище коінтеграційні
співвідношення можна записати у вигляді такої матриці:
41
51 52 53
10 0
010
00 1
.
00
β (10.4)
10.2. Теорема Грейнджера про зображення і векторна модель корекції похибок
10.2.1. Теорема Грейнджера
Хоча теоретичне підґрунтя моделі становить теорема Грейнджера про зображення, а
перший варіант моделі корекції похибок також належить К. Грейнджеру, найбільш
уживаним на практиці є підхід С. Йогансена [51,52], розроблений пізніше. Цей підхід
дозволяє використати одну і ту саму форму моделі як для діагностики коінтеграції і
визначення кількості коінтеграційних співвідношень у моделі з багатьма змінними, так і
для оцінювання параметрів у випадку відомої
кількості коінтеграційних співвідношень.
Цей підрозділ може видатись перевантаженим технічними деталями, однак, як ми
побачимо пізніше, формули, які ми тут розглядатимемо, допоможуть визначити зв'язок
між економічною теорією та VEC, а отже, зрозуміти, як здійснювати економічну
інтерпретацію оціненої моделі. Векторну модель корекції похибок можна розглядати як
векторну авторегресію для коінтегрованих нестаціонарних
змінних із певними
обмеженнями на параметри моделі. Однак зручніше взяти векторну авторегресію як
15
Ставки за корпоративними та казначейськими векселями розглядають як віддачу (за
квартал) на ризикові та безризикові цінні папери, відповідно. Стаціонарність премії за ризик є, у
кінцевому підсумку, наслідком припущення про те, що переваги репрезентативного інвестора в
системі "ризик – дохід" незмінні в часі.
243
відправну точку та записати модель у дещо іншій формі, яку можна вважати векторним
узагальненням регресії Дікі – Фуллера. Отже, розглянемо таку VAR-модель:
-tt ptptt
AAd ε
1-1
=+...+ +Φ +yy y , (10.5)
де
t
y – це k-вимірний вектор;
t
ε – збурення;
t
d – вектор детермінованих змінних
(константа, тренди, сезонні фіктивні змінні тощо), наприклад
01t
td μμ. Перетворимо
модель до такого вигляду:
1
1
1
p
tt ititt
i
yy y dε , (10.6)
де
1
1
p
i
i
A
,
1
.
p
ij
ji
A
(10.7)
Зауважимо, що детерміністичні доданки в рівняннях (10.5) і (10.6) однакові.
Поведінка
t
y визначається властивостями (матричного) характеристичного полінома,
який можна виразити через коефіцієнти моделі у формі (10.6) таким чином:
1
1
() (1 ) (1 )
p
i
ki
i
zzIzzz
.
Визначник П(z) є поліномом степені не вище ніж pk.
Якщо модулі всіх коренів полінома det(П(z)) більше ніж одиниця, то
t
y є тренд-
стаціонарним або стаціонарним залежно від властивостей детермінованих компонентів
моделі.
Якщо det(П(z)) має одиничний корінь, то матриця (1)
сингулярна, а
t
y
нестаціонарний. Позначимо її ранг через r , rk
. Нехай
T
β - матриця розмірністю rk
,
яка складається з r лінійно незалежних рядків П,
α
– матриця розмірністю kr
, яка
складається з коефіцієнтів, які виражають кожний рядок П як лінійну комбінацію
векторів з набору
T
β
. Отже,
T
αβ
. Рівняння (10.6) набуває такого вигляду:
1
1
1
.
p
tt ititt
i
y αβ yydε (10.8)
Останнє рівняння описує векторну модель корекції похибок (VEC від vector error
correction). Нерідко модель формулюють у вигляді (10.6), але в цьому разі слід обов'язково
вказувати, що матриця П має неповний ранг.
Сформулюємо умову, яка гарантує, що процес, який задовольняє рівняння (10.8) є І(1).
Уведемо такі позначення:
1
1
p
ki
i
I
;
α – ортогональне доповнення до α (точніше,
рядки
α становлять базис ортогонального доповнення в
k
R до рядків α як k-вимірних
векторів).
Умова І(1). Нехай із рівності det
(())
0z
випливає, що ||1z , або 1z . Припустимо
також, що
T
det 0.αβ (10.9)
Зауважимо, що для моделі з одним лагом умова (10.9) набуває особливо зручного
вигляду, тобто власні значення матриці
T
r
I αβ
мають бути менше ніж одиниця за
модулем.
Ця умова необхідна для виключення сезонних одиничних коренів, вибухових коренів і
процесів, що мають вищі порядки інтегрованості.
Теорема Грейнджера про зображення. Процес
t
y (10.8) має таке авторегресійне
зображення:
10
()( )
t
tttititi
ii
CCy ε d ε da
, (10.10)
244
де
T
1T
()C βα β α, а ряд матричних коефіцієнтів
16
0
i
i
C
збігається достатньо швидко,
щоб ряд
0
iti
i
C ε
утворював стаціонарний процес. Вектор a визначено початковими
умовами. Процес
t
y
становить І(1). Він має
r
лінійно незалежних коінтеграційних
векторів β і pr спільних стохастичних трендів
T
1
t
i
i
CT αε.
Також доцільно визначити матрицю
T
1
()L βα β , яка називається матрицею
навантаження (англ. loadings matrix). Таким чином, стохастичний тренд
1
t
i
i
C ε
розбивається на спільні тренди, які є рушійними силами системи, і матрицю
навантаження.
Теорема Грейнджера про зображення обґрунтовує модель корекції похибок (10.8).
Окрім того, вона допомагає проінтерпретувати цю модель.
10.2.2. Коінтеграційні вектори
Із теореми Грейнджера випливає, що матриця
T
β , (будь ласка, перевірте всі
формули, зокрема матриці та вектори: вони то жирні, то ні, то прямо, то
курсивом!!! Загалом треба писати
T
) яка фігурує в рівнянні моделі (10.8) є
матрицею коінтеграційних співвідношень. Для будь-якої несингулярної матриці S вираз
T
t
Sβ y також задає r лінійно незалежних коінтеграційних співвідношень, а
T-1T
). ()(SSαβ α β Отже, незважаючи на те, що П фіксована,
α
та
T
β визначені
неоднозначно. Згадаймо, що матриця
T
β має таку структуру: вона складається з r рядків
та
k стовпчиків, i -й рядок відповідає i -му коінтеграційному співвідношенню,
j
-й
кожний стовпчик складається з коефіцієнтів при
j
-й змінній моделі в кожному
коінтеграційному співвідношенні. Для визначення (ідентифікації)
T
β найчастіше
використовують таке нормування:
j
стовпчиків цієї матриці перетворюються на
одиничну матрицю. У системі з п'яти змінних, розглянутій у прикл. 10.3, за умови, що
ранг коінтеграції дорівнює трьом, ідентифікуюче нормування може бути таким
17
:
T
41 51
42 52
41 42 43
43 53
51 52 53
10 0
010
10 0
00 1
, 0 1 0
00 1
ββ . (10.11)
Зауважимо, що матрицю (10.4), виведену з міркувань економічної теорії, можна
одержати з матриці (10.11) при обмеженнях
42
0
,
43
0
. Таким чином, матриця (10.4)
дає приклад надідентифікуючих обмежень. Щоб статистично коректно оцінити
коінтеграційні співвідношення (10.11) на основі VEC (10.8), слід перевірити гіпотезу про
те, що ранг коінтеграції в системі дорівнює трьом. Ми дізнаємось, як це зробити, трохи
пізніше. Припустимо, що гіпотезу про ранг не буде відхилено. Коінтеграційні
співвідношення (10.4) ми вивели з міркувань економічної
теорії. Щоб переконатись у
тому, що ці співвідношення статистично обґрунтовані, треба спочатку оцінити VEC за
умови, що ранг коінтеграції дорівнює трьом, використавши нормування (10.11), а потім в
16
Матриці
i
C слід визначати на основі розкладу в степеневий ряд виразу )()1(
1
zz
, де
z
– комплексна
змінна.
17
зрозуміло, що ми можемо вибрати три змінні з п’яти
3
5
C
способами.
245
оціненій моделі перевірити гіпотезу
42
0
,
43
0
. Аналізуючи друге співвідношення з
прикл. 10.3, ми припускали, що
52
1
. У цьому разі остаточний варіант гіпотези
складається з трьох обмежень:
42
0;
43
0
;
52
1
. Перевірку подібних гіпотез ми
розглянемо далі.
Зазначимо, що вибравши одне ідентифікуюче нормування, ми можемо перейти до
будь-якого іншого допустимого. Цим фактом ми скористаємось, коли будемо розглядати
метод С. Йогансена для оцінювання моделі (тобто маючи оцінку β за умови нормування
С. Йогансена, ми відразу можемо знайти, скажімо, оцінку за умови нормування, описаної
кількома рядками вище).
10.2.3. Роль детермінованих змінних у поведінці системи
Наслідуючи C. Йогансена [52], розглянемо кілька спеціальних випадків .
Нехай
μμ
01t
td
. Тоді рівняння (10.10) набуде такого вигляду:
01 01
10
()
*
(())
t
tt iti
ii
CtC tiy εμ μ ε μ μ a . (10.12)
З рівняння (10.12) випливає, що в загальному випадку наявність константи в моделі
корекції похибок (10.8) означає, що в даних існує лінійний тренд μ
0
Ct , а з наявності
лінійного тренда в (10.8) випливає, що дані характеризуються квадратичним трендом
2
1
2
Ct . Оскільки рядки матриць та
як вектори утворюють базис у
k
R
, то ми можемо
записати розклад векторів
μ
0
та
μ
1
за цим базисом:
μ
T
T
ii i
, 0,1i . Тоді модель
(10.8) можна записати таким чином:
1
TTT TT
101 01
1
()()
p
tt iti t
i
tty αβ y ρρ y αγ γ ε. (10.13).
Тобто детерміновані доданки слід поділити на дві частини. Одна входить до
коінтеграційних співвідношень таким чином, щоб математичне сподівання в цих
співвідношеннях дорівнювало нулю. Друга існує у вигляді окремих доданків в моделі
корекції похибок. Можна показати, що коли
1
0
, то квадратичний тренд зникає, а коли
μ
1
0,
0
0 , то зникає лінійний тренд. Зауважимо, що саме зображення (10.13)
найчастіше використовують під час практичного оцінювання моделей у більшій частині
економетричного програмного забезпечення. Будемо розрізняти такі п'ять випадків
моделі (10.8):
1. Дані
t
y не мають детермінованого тренда, а коінтеграційні співвідношення не
містять константи:
TT
11tt t
αβ ydαβ y (10.14)
2. Дані
t
y не мають детермінованого тренда, а коінтеграційні співвідношення мають
константи:
TT
(
T
110
)
tt t
αβ ydαβ y ρ . (10.15)
3. Дані
t
y мають лінійний тренд, а коінтеграційні співвідношення мають лише
константи:
TT
(
T
T
1100
)
tt t
αβ ydαβ y ρα
γ
. (10.16)
4. Дані
t
y
і коінтеграційні співвідношення мають лінійний тренд:
TT
(
T
TTT
110101
)( )
tt t
ttαβ ydαβ y ρρ α
γγ
(10.17)
5. Дані
t
y мають квадратичний тренд, а коінтеграційні співвідношення мають
лінійний тренд:
TT
(
T
TTT
110101
)( )
tt t
ttαβ ydαβ y ρρ αγγ
(10.18)
П'ять описаних випадків ситуації враховано в більшій частині економетричних
програм. Отже, беручи до уваги поведінку наявних даних, перш ніж діагностувати
коінтеграцію й оцінювати модель корекції похибок, слід визначити, яку форму моделі
246
треба обрати. Оскільки економічні змінні зазвичай додатні, то перша ситуація майже
ніколи не зустрічається. Ситуація 5 (квадратичний тренд у даних) виникає також досить
нечасто. Отже, форму моделі 2 застосовують, коли дані не містять явного тренда.
Випадки 3 і 4 придатні в ситуації, коли дані містять лінійний тренд. Зазвичай починають
з п. 3, а якщо немає коінтеграції
, переходять до п. 4.
10.2.4. Функція імпульсної реакції
Зображення (10.10) дає можливість визначити функцію імпульсної реакції: реакція
компонентів
th
y на шоки
t
ε виражається як елементи матриці *
h
CC . Із теореми
Грейнджера про зображення випливає, що
*0
h
C
при h . Тому, на відміну від
векторної авторегресії для стаціонарних змінних, граничні значення функцій імпульсної
реакції не обов'язково є нулями: їх задають відповідні елементи матриці С. Зауважимо,
що матриці С та *
h
C визначено матрицями П та Г
і
і не залежать від нормування
α та
β .
Спільні стохастичні тренди ми детальніше проаналізуємо в п. 10.2.5.
10.2.5. Економічна теорія та VEC.
Деякі корисні факти про VEC-форму VAR(1). Векторну авторегресію першого
порядку без тренда і з обмеженою константою (10.15) можна перетворити до VEC такого
вигляду:
T
(
10
)
tt t
y αβ y ρε
. (10.19)
У цьому випадку умова І(1) така: власні значення матриці
T
r
I αβ мають бути менше
ніж одиниця за модулем, де
r
, як і раніше, є рангом коінтеграції. Зображення
Грейнджера буде таким:
T
00
10
*( )
t
ttiti
ii
CC Cy εεαρy , (10.20)
де
TT
1
()C βαβ α,
TTT
1
*( )( )
i
ir
CIαα β β α β .
Для зручності наведемо разом основні конструкції.
Функції імпульсної реакції визначено елементами матриці
M( | )
*
th t
h
t
CC
yy
ε
, (10.21)
де *0
h
C при
h
.
Рушійними силами системи є
kr
спільних стохастичних трендів:
T
1
t
i
i
CT αε. (10.22)
Множина атракторів
T
0
βρ
T
{| }
k
ARyy (10.23)
описує можливі набори значень змінних, при яких досягається стан динамічної
рівноваги.
Матриця навантажень
T
1
().L βα β (10.24)
Вона показує, як саме кожний з kr
спільних стохастичних трендів діє на окремі
змінні системи.
Проста статична теоретична модель. Розглянемо просту, але типову економічну
модель. З одного боку, вона проста, тому що статична, тобто описує одночасні залежності
між змінними, і складається лише з чотирьох змінних: двох ендогенних і двох екзогенних.
З іншого боку, вона типова, оскільки велика кількість економічних моделей має
аналогічну базову структуру, або алгебраїчне зображення. У цьому розумінні
прикладами
можуть бути стандартний аналіз попиту та пропозиції на певному ринку, статичні моделі
IS-LM та AS-AD або, скажімо, більш сучасна модель формування заробітної плати на