Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
550 Гпава 10
Р^{х),
Pjix)
МОЖНО
использовать метод неопределенных коэф-
фициентов.
xdx
6.1.
Найти интегралы: а) -^ Tdx\ б) -—
х'+а'
' J (x-l)(x-2)
2-
f dx f dx , 2x+l - , f fl^
^ . . f ^ . f 2x+l ^ , f ^
; ax\€) \—,—- .
(x-l)(x4l) Jx'-x'-6
Решение, a) Вьщелим целую часть в подынтегральной фун-
4 4
X
1 2 С1
кции —^ J-X -а
Л-—^
7> тогда
х^-^-а
х'^Л-а"
\—^ -dx^ \\ х^-а^
+—.
\dx= \x^dx- \a^dx +
a^
\—z
f =
\ J
= a x + a arctg
—+
C.
3 a
6)
Учитывая кратность корней, подынтегральную функцию
представим в виде суммы простых дробей
X ABC
- +
+
-
(x-l)(x-2)' х-\ х-2
{x-2f'
Приводя к общему знаменателю
в
правой части, приравни-
ваем числители
jc
= ^x-2)45(jc-l)(x-2) + C(x~l)
или
х
=
Ах^ -ААх
+ ЛА +
Вх^
-ЪВх
+
2В^-Сх-С,
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, по-
лучим
х^
0
=
А^В,
X Х^-АА-ЪВ
+
С,
х'
0
=
4А
+
2В-С,
НЕОПРЕПЕПЕННЫИ ИНТЕГРАП
551
Из решения этой системы
имеем:
А-\\ В =
-1;
С = 2.
Таким образом
f xdx _ { dx с dx f dx _
•'(x-l)(jc-~2)' "~J]^"Jx^^ ^x-lf
= lnU-l -lnU-2 --
x-2
-+C=:In
x-1
jc-2 jc-2
-fC.
в) Так как (x + a)-(x +
Z?)
=
flf-Z>,
то
1 _ 1 (xH-a)-(x + fe)_ 1 f 1
1
{хЛ-а){х^Ь) a-b {x^d){x-\-b)
a-byx
+ b
x
+
a
Отсюда
r Jx _ ^ ({ ^ f ^-^ 1_
(ln|jc + Z?|-lnU + ^|)+C = In
хЛ-Ь
x-\-a
+
C.
r) Раскладываем подынтегральную функцию на множите-
ли и, учитывая кратность корней, представим ее в виде суммы
простых дробей
1
А В
Cx +
D
2.
2 . .л =- + -J +
-
2
х(х^+4) X X X +4
Откуда l
=
Ax^-\-4Ax-^Bx^-\-4B-\-Cx^+Dx^, Составляем
систему
х'
0
=
А
+
С,
х^
0 = 5 + Д
X 0
=
4А,
х'
1
= 45.
552
Гпава
10
Из решения системы
имеем:
^ = 0, 5 =
—,
С = 0, D = —.
4 4
Таким образом
rfx 1 f(ix \
т
dx
J
X44JC'
"4
J
]?" 4
J
x' +4 ~
= arctg~
+
C = —
4x 8 2 4
M 1 x^
-+--arctg-
X 2 2
+
C.
д) Поскольку один корень действительный, а два комплек-
сные, то подынтегральная функция может быть представлена в
виде
2х +1 А Вх + С
(х-1)(х'+1) х-1 х'+1
Откуда
2х'^1
=
Ах^
+
А
+
Вх^-ъСх-Вх-С.
Приравнивая
коэффициенты, имеем
х^ 0 =
А
+ В,
X 2 = С-В,
х'
\ = А-С,
3 3 1
Из решения системы находим: ^ = ~? В
=
-—^ ^~'^* ^^"
КИМ
образом
JCx-lXx' + l) 2^ х-\ l^x'
+ X
3,
I ,,
Zd{x'+\)
\ dx 3, I ,1 3, , 2
-lnX-1
Ц - + ; =
-lnx-l
Ых
+-arctgjc
+ C = -ln^ ^ \
+-arctgx
+ C.
1 ^ ^3, (x-1)' 1
-arctgjc + C = -ln^ - ^ +-
2 4 x4l 2
e) Раскладываем знаменатель подынтегральной функции
на множители и представим ее в виде простых дробей
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРЛП
553
Ах^-В
Cx +
D
+
-
х'-х'-6
{х'-3)(х'+2) х'-Ъ х'
+
2'
Откуда \=Ах^
+2Ах+Вх^
+2В+Сх^-3Cx+Dx^ -3D. Состав-
ляем систему
х^
0
=
А
+
С,
х^
0
=
B
+
D,
х 0
=
2А-ЗС,
х° l
=
2B-3D.
Из решения системы имеем: А
=
0,
В =
Таким образом
-, С = 0, D
=
--.
5 5
^ х^ -х^ -6~1^ х^ -3~1J х^
+
2~
xS
2У1З
In
6
Х
+ л/З
х
— ыЗ
V
х
+
S
--arctg^
+ С =
)
6.2. Найти интегралы: а) f-^—; б) -—
•'х +1 •'(х+
+ С.
4х'-4х+7
-1)(2х-3)(2х+5)
Решение, а) Воспользуемся разложением
х" +1 = (х' +2х^ +1)-2х' = (х' +1)' -(xV2)' =
= (х'+хл/2 + 1)(х'-хл/2 +
1)
и представим подынтегральную функцию в виде
•dx.
Ах-^В
Cx+D
+
1
хЧхл/2 +
1
x^-xV2
+
l"
554
Гпава 10
Отсюда имеем
1
= (^х + 5)(jc'-
хл/2
+1) +
(CJC
+ D)(x'+ хл^ +1).
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х
х^ 0 = ^ + С,
х^ 0 = -У/2А + В + У12С + О,
X 0 = A-yf2B + C +
y!2D,
х" l =
B +
D.
Из
А
= -С =
решения
-L,
B=D=-
2V2 2
системы уравнении получим
1
Таким образом, решение примет вид
г dx _ 1 г х
+
л/2
1 г x-v2 ._
•'x4l~2V2-'x4x>/2 +
l
2л/2-'х'-хл/2 +
1
1 [• 2х+л/2 1 [- yl2dx
~4N/2-'X4XN/2+1 4Л/2-'/
хЧ
V^
V^
J
2х-л/2
ctc +
-
4N/2-'X'-XV2 +
1
4V2
•J7
лЯсЬс
X —-
л/2
V
V
^
4N/2
In
х'
+
ху[2+\
с^-хл/2
+ 1
+
—т=агс1£(хл/2+1)
+
—7=arctg(x^/2-l)
+
C.
2^^
2%/2
б) Представим подынтегральную функцию в виде
4х^-4х+7
х^-х+7/4 А
•= +-
В
(x+lX2x-3X2x+5) (х+1Хд:-3/2Хх+5/2) х+1 х-3/2 х+5/2
откуда следует равенство
х'-х+7/4
= Дх-3/2Хд:+5/2)+5(х+1Хх+5/2)+С(х+1Хх-3/2).
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
555
Вместо приравнивания коэффициентов при одинаковых
сте-
пенях слева и справа будем полагать в этом равенстве последо-
вательно х =
-~1,
3/2, -5/2, тогда сразу получим А
=
-1,
^ ~'7'
*-
-~-> Т.к. справа всякий раз остается лишь один член.
Таким образом,
4д;'-4л: + 7
J(x+
г dx \ г dx 1 г dx
•dx
=
-\ +- +-
I J x
+ l
4-'x-3/2
4-'x+5/2
1)(2X-3)(2JC+5)
1 7
= -ln|jc +
l|
+
-ln|x-3/2|
+
-ln|x
+
5/2| + C:
4
(2JC+5)(2X-3)'
+
C.
256(X
+ 1)'
6.3.
Найти интегралы: a) f
•' (x+
2-3x
+
x^
(x+iyix'+x+iy
6) —T -dx; в) ; rdx; r) z—; r-.
Решение, a) Воспользуемся методом Остроградского
-etc;
2-Зх
+
х^
(х + 1Г(х'+х +
1Г
Ах^+Вх
+
С
х^+2х^ +
2х + 1
Dx^
+
Ex
+
F
х^+2х^ + 2х + Г
откуда 2-Зх
+
х^=(2Ах+В)(х^
+
2х^
+ 2х+1) -
-(Ах^ +Вх+С)(3х' + 4х +
2)
+
(£)х^
+Ех+F)(x' + 2x4 2х
+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в
обеих частях, получим систему уравнений, из которой и опреде-
ляются неопределенные коэффициенты
х'
0
= Д
х'
Q =
2A-3A
+
2D
+
E,
х^
0
=
4A
+
B-4A-3B
+
2D
+
2E
+
F,
556 Гпава 10
х"
l = 4A + 2B-2A-4B-3C + D + 2E + 2F,
X -3 = 2A + 2B-4C-2B + E + 2F,
х° 2 = B-2C + F.
Из решения данной системы уравнений получим:
А
= -9, В = -20, C = -7,D =
0,
Е = -9, F = -2. Интеграл при-
мет вид
, г
2-3JC+X^
, 9д:Ч20л:+7 г 9x+2
/= ;—;
тах =
:; ; ОХ.
J
{х+1)\х^ +x+lf (x+l)(x' +Х+1)
J
(x+lXx^ +x+\)
Пользуясь методом неопределенных коэффициентов, пред-
ставим подынтегральную функцию в виде
9х + 2 А Вх + С
•+•
(д;
+ 1)(дг +jc + l)
л:
+
1
х +х
+
\
откуда 9x +
2
=
А{х^
+х+\)
+ {Вх
+ С){х
+1),
х"
0 =
А
+ В,
X 9 =
А
+
В
+ С,
х"
2 =
А
+ С.
Из решения системы имеем А
=
-7, В
=
7, С
=
9.
Таким
образом,
9JC420x4-7 „г dx f lx
+
9
/ = -
VX+ / ^с ах г х + у ,
+ 7 \— dx =
+
Х
+
1) ^ Х
+
1 ^
Х +Х +
1
(x +
i)(x^
+ x + l)
9jc420x-t-7 „. , ,, f 7x+9
yjc +/UX+ / _, I ,1 f
-l-71nbc
+
l
- -
(x+l)(x4x
+
l) ' ' V П'
x
+
-
2
^ 3
+
-
4
flbc.
В последнем интеграле сделаем замену x
+ — =
t, dx
=
dt,
1
x
=
t-—, тогда получим
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
557
7х+9
' IT 3
х+-
+-
2 4
f '7^+^К 7 ^
е+
[А
2
V
2
3
>т
2 2f ^
7,^2 ,ч 11 2х +
1
^
= -1п(х +x+l)+-^arctg—7=-+С.
2 л/З л/3
Окончательный результат будет
2х+1
9хЧ20х+7 ^,1 ,,7,^2 ,ч 11
/= 7, +71ПХ+1—1п(х^+х+1)—r^arctg г-
(х+1)(хЧх+1) ' ' 2 л/з л/З
б) Воспользуемся методом Остроградского
4х'-1
+С.
(хЧх+1Г
( AX''+BX^+CX^+DX+E\ FX' + GX'+HX^+IX+J
+—
V
X +Х +
1
у
X +Х +
1
4х' -1 = (4^х' +
ЗВх^
+2Сх
+
D)(x' + х
+1)
- (Ах'
+
Вх' +
+Сх' +Dx
+
Е)(5х' +1) + (Fx' + Gx' + Ях' + /х
+
J)(x' + х +1),
х' 0 = F,
х^ 0
=
4A-5A
+
G,
х'
0
=
ЗВ-5В
+
Н,
х' 0
=
2С-5С
+
1,
х^
4
=
D-5D
+
J
+
F,
X* 0
=
4A
+
5E-A
+
F
+
G,
х^
0
=
4A
+
3B-B
+
G
+
H,
х-
0
=
ЗВ
+
2С-С
+
Н
+
1,
X 0
=
2C
+
D-D
+
I
+
J,
х° -l
=
D-E
+
J.
Из решения системы ^ = 0, 5 = 0, С = 0, D
=
-\, Е
=
0,
F = 0, G
=
0,H
=
0, 1
=
0, J
=
0.
558
Гпава
10
Интеграл примет вид
-dx =
—
+
С.
J (jC^+JC
+
1)^
JC^+JC
+ 1
в) Воспользуемся методом Остроградского
ix'-\f
{х +
\){х-+\у
Ax^
+
Bx^
+
Cx +
D
Е
Fx + G
+ +-
х +
1
х^
+
1
х' -2х' +1 =
(ЗУ4ХЧ25Х+С)(;СЧХ'
+
Х+1)-4(^4X4
5X4 СХ +
+D)(x^ +х)+£:(х*
Н-Зх''
+3х^ +l)+(Fx+G)(x^ +х^ +2х' +2х^ +х+1).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях не-
известных, получим
х'
Q
= E
+
F,
х'
Q
= -A + F + G,
X* l = -A-2B +
3E
+ 2F + G,
х'
0 = 3A-2B-4C
+
2F + 2G,
-2 =
3A
+ 2B-4C-4D + 3E + F + 2G,
0 =
2B
+ C-4D + F + G,
\ = C
+ E
+ G.
X
X
Из решения системы: A
=
-, В
=
—, C
= —,
: О, F =
О,
G =
—.
Интеграл примет вид
£) = 0,
-dx =
1 3_1 2 2
Д« Л ~Т" Д. 1 7
3 2 3^^1 ^-^
J(x +
l)(x4l)'
(x'
+
l)'
3x'+l
x^
—x^ + 2x
(x^+1)^
- +
arctg
X
+ C.
НЕОПРЕаЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
559
г) Представим подынтегральную функцию в виде
1
_ 1
{x-\f{x'-\f~{x-\f{x
+ Xf
и воспользуемся методом Остроградского
1
Ax^+Bx*-\-Cx^+Dx^
+
Ex
+
F
G
Н
+
+•
jc-l x + l
(х-1)'(х+1)'
[ {x-\)\x
+
\f
Найдем производную, приведем к общему знаменателю и
приравняем числители
1
= (5^4
АВх^
+ ЗСх' + IDx+Е){х^ -1) - (.4x4 5x4
Сх"
+ Dx" +
+Ех
+
F)(6x+2) + G(x' - Зх" + Зх'
-
1)(х
-1) + Я(х'
-
Зх' +
+Зх-1)(х'-2х'+1).
х^ 0 = С + Я,
х^
0
=
5A
=
6A-G-3H,
х'
0^4B-2A-6B-3G-2H
+
3H,
х' 0
=
-5A
+
3C-2B-6C
+ 3G +
6H-H,
х^
0
=
-4B
+
3D-6D-2C
+ 3G +
H-6H,
х^
0
=
-3C
+
E-2D-6E-3G
+
H,
X 0
=
-2D-2E-6F-G
+
3H,
х" l
=
-E-2F
+
G-H.
,1
„_ 1
Из рещения системы имеем: ^-~>
°~~~7-
5
о
С = --
^ = —,
£•
= -—, F = -—, G
= —,
Я =-—. Таким образом,
36
18 36 о 6
интеграл будет равен
dx
_з
J
'.'-1
23
1 11
5
3
-X
+ X X
9
36 18 36
(x-ir-(^'-l)'
(x-l)\x + lf