Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
520 Гпава 10
в) Воспользуемся табличным интегралом (12)
х+л/jc^-l
dx
=
1п
+
С
г)
Объединим множители
в
подынтегральной функции и вос-
пользуемся табличным интегралом (7)
{ley . ^ Ve'
J \п{1е) In 2 + 1
д) Преобразуем следующим образом
^ dx 1 ^ ^
arctg-7= + C.
(л/2)Чх^
л/5 "V5
10.2.
Непосредственное интегрирование
в простейших случаях, применяя следующие преобразова-
ния дифференциала
dx^—d(ax-^h)\
пх"""^dx =
dx"\ cosjc^fr = ^f(sinjc);
а
dx dx
sin xdx = -J
(cos
jc);
— = (i(ln
jc);
r— = d{ig x)\
X cos X
dx ,, ^ dx w . Ч
= -t/(ctg
x);
Г-
= t/(arctg
x);
Sin X
1
+ x
= (i(arcsin
x);
e'^Jx = d{e''),
их возможные комбинации и обозначая мысленно выражение в
скобках за новую переменную t, интегралы сводятся к таблич-
ным.
dx
2.1.
Найти интегралы: а) ^е-^Чх; б) J
cos Ах
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 521^
в)
J(2-3.)'dx;
г)
\-ф^; д) 1^;
е)
\^^.
Решение, а) Вносим (-2) под знак дифференциала и делим
на (-2), тогда интеграл равен
б) Приводим к одному аргументу Ах
с dx If fif(4x) _ 1
\e-^'dx
=
--\е-^Ч{-1х)
=
--е-'"
+
С.
^- \ ^
=-tg4x
+
C.
л J r>r»c Ay А
•' cos^ 4х 4"' cos'' 4х 4
в) Запишем под знаком дифференциала такое же выраже-
ние,что и в скобках
ji2-3xydx
=
--ji2-3xfd(2-3x) =
3
1(2-Зх)\^
1
+
С
= (2-3jcf+C.
3 6 18
г) Преобразуем интеграл следующим образом
j^j=^
=
li6-5xydx^~li6-5xyd(6-5x)=-^(6-5xy+C.
д) Запишем под знаком дифференциала выражение такое
же,
что и в знаменателе, тогда
h-6x б-" 1-бх 6 ' ,'
/
е) Преобразуем интеграл следующим образом
2х
Г е ах _ i Г ае __ i с
J3-2e'^"2J3~2e'""""~4J 3^^2в
= -lf'<^-^f>=-lln|3-2>Uc.
4J 3-2е'^ 4 ' '
522 Гпава 10
с
COSX
f dx
2.2,
Найти интегралы: а) -——.—"^; б) J ... , ч?
^ ^ •'l + 4sinjc ^
-^
x(l + lnx)
Решение, а) Вносим косинус под знак дифференциала
и
пре-
образуем интеграл к табличному
С
cos X
^ г
c/sinx
_ 1 f flf(4sinx) __
•'l + 4sinjc •'l + 4sinx 4-'l + 4sinx
1
f
J(l + 4sinx) 1. ,, . . , ^
= - —^
^
= ~-ln l + 4smjc +C.
4-'
l
+ 4sin X 4 ' '
б) Выполнив преобразование дифференциала, получим
= = \—
^
= ln
1
+ lnjc+C.
Jx(l + lnx) Jl + lnx J
1
+ lnx ' '
в) Вносим 4x под знак дифференциала
г) Преобразовав дифференциал, получим
J 3J 3
д) Вносим синус под знак дифференциала и преобразуем
rsinxiix
г
J
cos X
г -5 , 1 4 ^
— = - — = - cos ха cos
X
=
—cos
х
+
С.
^ cos X -^ cos X ^ € 4
е) Вносим х^ под знак дифференциала
и
преобразуем к таб-
личному виду
г x^dx \ г dx" 1 ^^ ^
•'9
+
х' З^З'+Сх')' 9 3
:2е^+С.
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 523
^ ^ тх ^ ч Г dx ^^ г xdx
2.3.
Найти интегралы: а) , ; б) ,
•'(arcsinjc)Wl-Jc' Wl +
Jc'
Jx42x +
3
Wl + cos'x •'
e) J-7==; Ж)
fi-i^^;
3)J-7=f--^.
Решение, a) Преобразуем дифференциал и приведем интег-
рал к табличному виду
г dx _ г (iarcsinx _
•' (arcsin х)' Vl-x' ^ (arcsin х)'
f
-3 1
= (arcsin х) d arcsin x =
+
С.
^ 2(arcsin
x)*"
6) Вносим
X
под знак дифференциала и преобразуем интег-
рал к табличному
+
С.
г xdx If dx^
1
, I 2 Л ГТТ
-^^= = - -7_^ = -1пх'+л/1 + (х')
в) Выполнив преобразования, получим
г х +
1
, If 2х
+ 2
,
—; dx =
—
—Z dx =
•'х^+2х +
3
2Jx^+2x + 3
1 fflf(x'+2x +
3)
1, I 2 n ^1 ^
= - —Ц
^
= -ln
X
+2x +
3
+C.
2J x42xH-3 2 ' I
r) Вносим sin 2x под знак дифференциала и преобразуем
г Sin2xdtc г
б/COS^X
Г^, 2 Ч-1/2 7/1 2 ч
1 . =-1 . _ = -|(l + cos^x) ^^^^f(l + cos^x) =
Vl + cos^x vl + cos^x
= ~2(l + cos'xy'' + C.^
524 Гпава 10
д) Вносим под знак дифференциала sin 2х следующим об-
разом
je^^"'^
sin 2xd^ =
je^^"'"
J sin'X =
е^^"'^
+ С.
е) Вносим x" под знак дифференциала
и
преобразуем интег-
рал к табличному
f x'dx 1 f dbc' 1 . 4 ^
-7= =
—
-7=^== = —arcsinx +C.
ж) преобразуем подынтегральную функцию
f 1-tgx ,
f
cosx-sinx , f rf(cosx+sinx) ,1 • 1 ^^
—^--dx- dx^ \-^ \
^
= ln cosx + smx+C.
•'l
+
tgx •'cosx
+
sinx •' cosx + sinx
з) Преобразуем дифференциал следующим образом
•'Vx(l + x) J
1
+ x M + cVx)'
= 2 J arctg Vxrf arctg vx = (arctg vx)' + C.
10.3.
Интегрирование методом замены
переменной
1°.
Пусть требуется найти интеграл \f{x)dx , причем не-
посредственно подобрать первообразню для f{x) мы
не
можем.
Сделаем замену переменной в подынтегральном выражении
х = ф(г), где (p{t) непрерывная функция, имеющая обратную
производную
X
= — = ——. Тогда dx =
(p\t)dt.
dx (p(t)
В этом случае имеет место следующее равенство
lnx)dx
=
lf((pitWit)dt.
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 525
Если полученный интеграл с новой переменной интегриро-
вания t будет найден, то преобразовав результат к переменной
X,
получим искомое выражение.
Общего правила выбора требуемой подстановки нет, поэто-
му некоторые частные правила рассмотрим на примерах.
2°.
Тригонометрические подстановки.
1.
Если интеграл содержит радикал ^а^ ~jc^ , то обычно
полагают x = asin^vx = acos/; отсюда yja^--x^ =acostvasmt-
2.
Если интеграл содержит радикал л/л:^ -а^ , то полагают
а
х
=
—
-; отсюда л/х'-й' =atgt
cost
3.
Если интеграл содержит радикал л/jc^ +а^ , то полагают
V?~^
^
x
=
atgt;
отсюда
л/JC
+а =
COSX
3^.
Некоторые другие подстановки:
1.
Интегралы вида где R — некоторая рациональ-
ная функция, приводятся
к
рациональному алгебраическому виду
подстановкой е =t,
л:
=
In
/, dx
=
—.
t
с dx
2.
Интегралы вида R{\n х)—, где R — некоторая рацио-
•' X
нал ьная функция, приводятся к рациональному алгебраическо-
- 1 dx J
му виду подстановкой In х =
Г,
—
=
dt,
X
с dx
3.
Интегралы вида / приводятся к рацио-
^ x'^^iax^+by
1 ^ dt
нальному виду подстановкой х = -, dx
=
—^.
526 Гпава 10
3.1.
Найти интегралы: а) \х{2х
+
Ъ)^(1х;
б) f—• ;
•*
sm2x J
Vx
+
1
•* x\nx •'Vx +
1
Решение,
a)
Сделаем замену переменной
2л:
+ 3
= /, х =
<^-~dt,
тогда будем иметь
/ = Jx(2x
+
3)'d:x = -J(?-3)/^J^ = -J(/'°-3r')J/ =
dx.
t-Ъ
11 10
+
C
=
V
4
/
И 10
+c.
Переходя к переменной х, получим
/ = -(2х+3)"'
4
r2^c
+
3_J_Y^^_l_
,0 27/10) + С.
11 10 44
б) Сделаем замену переменной
—
= /, х = -, J'x = —^,тог-
t
да получим
dx
^f
,•'
•К^-
-—I
dt
л/Г^
^ ^(^'^ =4=arccos(V20 + C.
S^-^f
V2
Переходя к переменной
л:,
будем иметь
/ = —p^arccos + С.
в) Преобразуем подынтегральную функцию
НЕОПРЕПЕПЕННЫИ ИНТЕГРАП 527
sin2x
и сделаем замену igx
=
t.
2^
sinxcosx
dx
-dx-
-b
9 J Sll
Intgx
г-'
sinx
2
COS X
'dx
cosx
cos^x
Ш, тогда получим / =
—
—dt^
2J /
Сделаем еще одну замену lnt
=
z, — = dz, тогда будем
иметь / =
—
\zdz
=
—z^+C.
Перейдем теперь к переменной х
2^
4
/ = -ln'^ + C = -ln'tgx + C.
4 4
г) Сделаем замену переменной х +
1
= /^, dx
=
2tdt, тогда
получим
/ = [sinVx + l ,
=
2\sint — = 2Isintdt = -cos/ + С.
J
V^c
+
1
•' t •'
Переходя к переменной
х,
будем иметь / = -2 cos
dx
д) Сделаем замену In x=t, — -"^, тогда получим
•Vl-ln: •л/Г
•'
jclnj:
•' t
Чтобы избовиться от радикала сделаем еще одну замену
переменной
l-t-z^,
t
=
\-z^, dt
=
-Izdz, тогда будем иметь
, rlz^dz ^rz'-l+l^ ^гЛ 1
Теперь перейдем к переменной х
(
\dz
= l
1,
z+-ln
2
z-1
z
+ 1
+
C.
/ = 2
1
2
V
>Я^-1
N/P7+I
+c
=
528
Гпава 10
2л/1
-
In X
+ In
In x + 2Vl--ln x-2
In X
+c.
e) Сделаем замену переменной х
=
1^,
dx
=
2tdt, тогда по-
лучим
e+t
/ = -7=—etc = 2 rJ? = 2 —
•"Vx + l •'
f
+
1
J
^
+
dt.
Деля числитель на знаменатель, выделим целую часть в
подынтегральной функции
= t^-t
+
2 ,
^+1 t+l
Таким образом
/
=
2j
/ 2 ^
t'-t
+ 2
\dt
=
2
\
t
+ l
-—^ + 2f-21n? + l
V
+
C.
)
Переходя к переменной
х,
окончательно получим
V
+с.
/ = 2
/ г Л
Х-ЯХ
X . /— -, \ 7
h
2
V
JC
- 2
In
К/JC
+1
С x^dx г dx
3.2.
Найти интеграл^>1: а) / ,
>
б) —i ;
Wl-x' •'хл/x'+l
Решение, а) Сделаем замену
jc
= sinr, тогда dx^costdt и
Vl-x^ =cosr. Подставим эти выражения под знак интеграла,
проинтегрируем и перейдем к старой переменной
г Х^ , fSin^^COS/ , Г . 2 I 1 f/1 -1ч_1
. ^tx:= Л= sin^/Jr = - (l-cos2/Wr =
•'Vl^
J cos^ J 2J
НЕОПРЕПЕПЕННЫИ ИНТЕГРАП
529
If 1 . о ^
-
/—Sin
2/
21 2
!+C = -(/-sin/cosO +
C
=
2
-—(t- sin
W1
-
sin^
0 + С = — (arcsin x -
JCV
1
-
jc^)
+ С
^4 ^ J dt
6) Сделаем замену x = tg/, тогда ax = — и
cos^
VJcVT
менной
dx
1
cos/
Переходим под знаком интеграла к новой пере-
COS
tdt
dt
с ах г
cos Ш1
_ г "f _,
Wx^+1 •'tg/cos'/ •'sin/
tg:
+ C = ln
sm /
= ln
1
+ Vl + x'
+ C = ln
i+VT+v
l + cos/
+ C.
+ C:
Ч ^ a , asm/ ,
в) Сделаем замену x = , тогда ax = —dt и
cos/
cos /
x^
-a^
=
aXgt
-
Преобразуем интеграл к новой переменной
'yjx^
-а
fV^ -ci , f flftg/cos/asin t , f 2 , fl~cos / ,
\- dx= \—^ dt = a\tg^tdt = a\ —dt =
•' jc •' acos t ^ •' cos /
= a\ f —{dt \=a{tgt-t) + C = a
y^^
cos"
/ •' J
= ^Jx^-a -arccos
—+
C.
3.3.
Найти интегралы: a) J—— dx; 6) J
^3;c
3JC\2
(l + e^^)
dx;