Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
510
Гпава 9
8.1.
Вычислить кривизну и кручение винтовой линии
x = ^cos^,
j^^^sin/,
z
=
bt (а > 0) в любой точке.
Решение. Уравнение винтовой линии представим вектор-
функцией
F
=
Га cos ^
+ J
а
sin t
+
kbt
-
Кривизну и кручение определяем по формулам (2) и
(5).
Для
этого сначала найдём производные
dr _ _ -*
—
=
4asmt+ facost
+
kb
dt
d^r ^
—Г-
= -la cos t- ja sin t.
dt'
d'r -,
de
lasmt-jacost.
Тогда
dr d^r
dt' dt^
i j к
-a sin t a
cos
t b
-a
cos t
-a sin t 0
: iab
sin t - jab
cos /
+
ka^
2,-:
I3-:
dr d'r d'r
dt dt^ dt^
-asmt a cost b
-a
cos
t -a sin
t
0
a sin t -a
cos t
0
= a'b.
Окончательно получим
\_
[a'b'
sin't + aV cos'
^
+ a'
)2
a
(/?'
+ a')
^ =
[a"
sin'
^
+ a' cos' /
+
Z?'
)2
[a"
+
Z>'
)^
a'b b
a'+b'
G =
a^b^
sin't +
a'Z?'
cos' / +
a"^
a^+b^'
Отсюда
следует,
что для
винтовой линии кривизна
и
круче-
ние
постоянны.
ПРИПОУКЕНИЕ аИФФЕРЕНиИАПЬНОГО ИСЧИСПЕНИЯ
511
8.2. Найти радиус кривизны линии: jc^-3;^+z^ =1,
j;^-2x
+
z = 0 в точке (1,1,1).
Решение. Пространственная кривая задана пересечением
двух поверхностей. Дифференцируем уравнения поверхностей,
считая
X
независимой переменной
xdx - ydy + zdz =
О,
2ydy - 2dx -^dz
=
0
и
dx^ -dy^ -yd^y
+
dz^
+
zd^z = 0, 2dy^ + 2yd"у
+
d^z
=
0.
Полагая x^ =
1,
Уо=1,
2:^
= 1, получим
dy
=
dx, dz
=
0, d^y
=
dx^,
d'^z^—dx'^,
3 3
Отсюда dr[dx;dx;0} и d^r lO;—dx^;—dx^> или
^{1;1;0} и
t/'r{0;-l;~l}.
Воспользуемся формулой
(2).
Находим векторное произве-
дение
[dr,d^r] =
i j к
1 1 О
О -1 -1
=
Ч+]-к.
Таким образом,
\[dr,d'r]\
л/З 3
8.3.
Найти кривизну
и
кручение линии: х^
=
2ау, х^
=
6a^z
в произвольной точке
M(jc,
j,z).
Решение. Дифференцируем уравнения обеих поверхностей,
считая
X
независимой переменной
^ ' .2.,_о.2.^ .__ X _^
xdx
=
ady, dy =
—d!x,
x dx
=
2a dz, dz =
a
2a'
512
Гпава 9
d'y
=
—, d'y
=
0,
d'z
=
^dx\ d'z = '^
a a
Отсюда
dx^ X
a 2a' \ \ a a^ \ a
dr\dxAdx,-^dx\, d'r\0,—Adx'\, d'rloA^''
Кривизна и кручение определяются по формулам (2),(4),
соответственно. Для этого находим
[dr,d'r] =
I J к
х х^
О 1
а 2а
X
а
X
^ X -: -
—ji—j+k,
2а а
drd rd г =
1 ^
а
0 1
0 0
х'\
2а'\
X
а
1
-1.
Таким образом, кривизна кривой в точке М равна
кручение
^х' х' ^"
+
—г
+
1
1
к
=
4а' а'
а
' х' / ^^
1
+ -Т +
V
<7
=
а^ 4а*
1
, х' х'
а' 4а'
а
+
у
а
а
+
у
Глава 10
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
10.1« Первообразная функция
и неопределенный интеграл*
Свойства неопределенного интеграла*
Таблица основных интегралов
и простейшие примеры
1°.
Пусть дана функция f{x), требуется найти такую фун-
кцию F(x), производная которой равна f{x), то есть
F\x)
=
fix).
Определение 1, Функция F(^x) называется первообразной
от функции f{x) на отрезке
[а;Ь],
если во всех точках этого от-
резка выполняется равенство F'(x) = / (х).
Всякая непрерывная функция f{x) имеет бесчисленное мно-
жесво различных первообразных функций, которые отличаются
друг от друга постоянным слагаемым, то есть, если F{x) есть
первообразная от фукнции /(л:),то F(x)-\-C есть также перво-
образная от / (х), ибо (F{x) + С)
*
= F
Хх) =
f(x). Здесь С —
произвольная постоянная.
514 Гпава 10
Определение
2.
^cnvi^ynK\xvL^ F[^x) является первообраз-
ной для /(х), то выражение F{x)
+
C называется неопреде-
ленным интегралом от функции /(х) и обозначается
\f{x)dx.
Таким образом, по определению
\f{x)dx
=
F{x)
+
C,
если F'(x) = /(x).
Функцию /(х) называют подынтегральной функцией,,
f(x)dx —
подынтегральным
выраж:ением;
С — постоянной ин-
тегрирования.
Нахождение первообразной для данной функции / (х) на-
зывается
интегрированием
функции /(х). Отсюда видно, что
интегрирование есть действие обратное дифференцированию.
Правильность интегрирования всегда можно проверить, выпол-
нив обратное
действие,
т. е. найдя производную функции, полу-
чившейся в результате интегрирования.
Производная должна бьпъ равна подынтегральной функции.
2°.
Свойства неопределенного интеграла.
1.
Производная от неопределенного интеграла равна
подынтегральной функции, то есть, если F\x)
=
f (х), то
(lfix)dx)=iFix)
+
Cy
=
nx).
2.
Дифференциал от неопределенного интеграла равен
подынтегральному выражению
d[jf{x)dx)
=
f(x)dx,
3.
Неопределенный интеграл от дифференциала или произ-
водной некоторой функции равен этой функции плюс постоян-
ная интегрирования
JjF(x) = F(x) + C или JF\x)dx
=
F{x)-\-C,
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
515
4.
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух
или нескольких функций равен сумме их интегралов
\ (/i (^) + Л (^)
-
/з ^^))dx
=
\f,
{x)dx + j
/2
{x)dx
-
j /3 (x)dx.
5.
Постоянный множитель можно выносить за знак интег-
рала, то есть, если а —
const,
то
\af(x)dx
=
а\ f{x)dx,
3°.
Таблица основных интегралов. Таблица интегралов
вытекает непосредственно из определения неопределенного ин-
теграла
и
таблицы производных:
f
х"^'
1.
jc"Jjc =
+С;
ai^-l.
^
а
+
1
2.
J—=:1п|х|+С;
3.
J sinxd[r =
—COSJC
+ C;
4.
J cosx(ix = sinx + C;
j
cos^x
tgx + C;
<fc
6. \^Y-=-^S^+^''
J cin
V
sin^x
7
f^-^
=
J[l_+C;
•'
In a
8. \e'dx
=
e'
+
C;
r
dx 1 x ^
9.
\—
^ = -flfrc^g-+C;
10.
J
dx
77^
dx
= arcsin
—+
C;
11.
1^^
T =
^^^
^ X
-a 2a
a
x
— a
x
+
a
+ C
516
Гпавв 10
а -X 2а
dx
=
1п
с ах 1 ,
12.
J-1
Г
= —1п
.3.1
14.
J
J
4х^
л-а
dx
In
х
+ а
х-а
х
+
л1х^
+ С
+ а\
+
С;
sin
л:
In
tg:
+ С;
15
d[r
cosx
In
+
C;
16.
jshjc^ = chx
+
C;
17.
Jchx<ic =
shAf +
C;
18.
19.
Jch^
1
thx
+
C;
= -cthx
+
C.
Так как неопределенный интеграл не зависит от выбора
переменной интегрирования, то все табличные интегралы име-
ют место для любой переменной.
Процесс нахождения первообразной сводится
к
преобразо-
ванию подынтегральной функции
к
табличному виду.
Простейшие интегралы могут быть найдены путем разло-
жения подынтегральной функции на слагаемые.
В
состав каж-
дого интеграла входит постоянная интегрирования, но все они
могут быть объединены
в
одну, поэтому обычно при интегриро-
вании алгебраической суммы функций пишут только одну по-
стоянную интегрирования.
4°.
Существуют целые классы интегралов, которые в зави-
симости от постоянных сомножителей или показателей степеней
могут быть найдены
по
обобщенным формулам интегрирования.
Приведем некоторые
из
них.
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
517
1 \Р{х) sin
axdx
= sin ax|
a a
-cosax Г-+..
a a
c.
где P(x) —целый относительно
дс
многочлен.
2.
J Р{х) cos
axdx
= sin ax
P P'
\
--+
jy p"
" \
+cosax -T- Г-+-
+C;
3.
JP(x)e'"^
=
e'^
P P' P" ^ ^
4 fx"ln"xd:x = -^x"^4n"x —\x''\n''-'xdx
^
m + \ m +
n
где n — любое вещественное число пФ-\\ т-\,
2,3,...
Z?sin6x + acosZ?x
5 f
е"^
cos
bxdx = ^
^^"
^^,
' ^
Г^^ ^^
g"^ + C;
*•' (2^+Z?^
f ^ . , , (3sinZ?x-Z?cosZ?x д^ ^
6
e'^sinZ?X(ix
= ; e^ + C;
7.
J Vx^ + adx
=
—
Iхл/х^
+ a +
<з
In
(x +
Vx^
+
(2
|)
+
C;
8
I
V(2^
~x^rfx =
—
xv^^-x^+(3^arcsin— WC;
• J 21^ aj
f
й?Х
9. Если обозначить /„ = 1—^ 5-7 (« = 1,2,
3,...)
.),то
/..1 =
1
2n-l 1 ,
2«а'(хЧа')" 2« a'
1
w-1 г . „-2 ,
sm xax;
10.
sm xax = —cosxsm x
+
s
' -^ w w -^
11.
[cos"
X(ic
=
—sinxcos""*
x + [cos""^ xdx;
csmlnx ^sin(2A:-l)x 10 ч.
12.
— ^x = 2> —^——^+C,
(w
= l,2,...);
•^ sm X t^ 2A:-1
fsin(2A2 + l)x , ^v^ sin 2Ax ^ , 1 -1 ч
13.
J—^^T ^^ =
^
+
2X^—+C
(« =
1,2,...);
sm X
^=1
2A:
518 Гпава 10
dx
smx
^'^- Kos''''x~2kcos''x
dx 1
cos
X
1-
1
^
V
2k
I
dx
COS X
15.
J-
J CI
sin''^4
2ksin^'x\
2k
1
Лс dx
\kPsm''-'x'
16.
jx'e~'dx
=
~xV + njx"~'e~'dx;
ахЛ-Ь a be-ad
17.
^x =
—x +
-
'^
cx
+
d с с
ln|cjc
+
<i|
+ C;
с
dx 1 ,
18
= li^
1.1. Найти интегралы: a) \{x^
-\r2x-\-—)dx\
6,
J
dx
m;
в) Jctg'jcabc; r) j- jdx; д) j
yb ^4x\
щ\
sin^xcos^x
Решение, a) Представим интеграл как сумму интегралов и
воспользуемся табличными интегралами
'dx х"^ ^
X
fx^d!x+ f2x(ix+ f— = —4-2—+ln|x|+C = -x'^+x^+ln|x|+C;
Проверка:
:
{-х'л-х'
-flnlxl + C I =x42x + ~, T. e. произ
водная равна подынтегральной функции.
б) Внесем первый множитель в скобки и представим интег-
рал в виде разности двух интегралов
\e'dx-\^
=
e' -\x-'dx
=
e' - —
л-С^е'
+-\^C,
X- " -2
в) Сделаем следующие преобразования
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
519
l-sin^x
fcos X , ri-sm X , с ax с , ^
—ш:= dx= — Jx = ~ctgx-x
+
C.
•' sin jc •' sin X •' sin X •'
r) Вычтем и прибавим в числителе единицу
1
J
1
+ х' J
= j(x'-l)^jc + j
^х^-1
Х +
х"
1
+ х'
3
<ix х^ ^
:г
= x + arctgx
+
C.
1
+ х' 3
д) Заменим корни отрицательными степенями и представим
интеграл в виде разности двух интегралов
\x~~^dx-
\х~Чх = -х^ -4х^ +C =
-VJC'-4Vx
+ C.
^ ^ 2 2
е) Считаем, что в числителе множителем стоит тригономет-
рическая единица
1
= sin^ х +
cos^
х, тогда
I
sin^x + cos^x
sin^xcos^x
dx
J то. у J
dx
cos^
X
•' sin^
X
= tgx~ctgx + C.
dx dx
г ax r ax
1.2. Найти интегралы: a) —^—-; 6) i
•'x -9
-^
^25-
^^^ih'
^^^•'''^•-'^4i^2-
Решение, a) Представим 9 как 3^ и воспользуемся таблич-
ным интегралом (11), где а = 3
dx _ I
х'-З'
~2-3
In
х-3
х
+
3
+ С = -1п
6
х-3
х +
3
+
с.
б) приведем подынтегральную функцию к виду
воспользуемся табличным интегралом (10)
J
7i^
4¥^
dx • ^ ^
= arcsm—+
С.