Черненко В.Д. Высшая математика в примерах и задачах (том 1)
Подождите немного. Документ загружается.
580 Гпава 10
Принимаем х
=
и, ch xdx = dv, отсюда dx
=
du, у = sh x.
Окончательно получим J x^ sh xdx =
x^
ch
x
- 2(x sh x - ch x)
-Ь
С.
ж) JVchx~l^ = Jj2sh'-d^ = 2V2Jsh-J- = 2V2ch-+C.
V ^ у z z ^ z
3) Воспользуемся заменой sh x = —
(в""
-
e"""),
ch x = —
{e""
+ e""")
^
тогда будем иметь
f-^^^^
= 2f
'^ =
f«!x =
x+C.
•'chx
+
shx ^
e""
+e'' +e^ -e"" •'
и) Раскроем гиперболический синус и воспользуемся обобщен-
ной формулой (6)
Jsinxshxd!x = —Je''sinx^&f—J
e'^'sin
xdx = —(sinx-cosx)e''+
+—(sin
X + cos
x^e'""
+ С = — (sin
x ch
x -
cos
xsh
x)
+ С
4 2
f /~^ f ^ дЬ:
9.2.
Найти интегралы: a) |Vx"+4fitc; 6) J r^—;
.)j
dx
V2x-x^
Решение, a) Сделаем замену x =
2
sh
^;
d!x
=
2
ch xdt, тогда
JVjc44Jx = 4JVsh'/ + lch/Jr=:4Jch'/J/ = 2J(ch2/ + l)^f^ =
=sh2/+2/+C = 2sh^Vl+sh'^+2/
+
C=->/4+x'+2ki^^^ ^'^ +
C.
2 2
6) Сделаем замену x = a ch tdt, dx
=
a^h tdt, тогда
^47^ J sh^ J 2 J'
НЕОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 581
= —(sh2/H-0 + C = a^(ch^Vch^/~l+0 + C =
^xslx -а +а In Н-С.
(2
в) Выделяя полный квадрат и делая замену
\-x-t,
dx
=
-dt,
получим
[ dx _ с dx _ { dt
dz
Сделаем еще одну замену t
=
thz, at- ^ , тогда
СП Z
г dt с dz cchzdz г dshz ,2 ^
h-t^ Jchz J ch'z M + sh'z
th'z ^ /' ^ (1-х)' ^
= -arctg r—+ C = -arctg
r-
+
C = -arctg-^ ^
+
C.
10.10
Задачи!
приводящие к понятию
неопределенного интеграла
Из геометрического смысла первообразной следует, что
производная функции у = F{x) дает угловой коэффициент ка-
сательной к соответствующему графику у
=
F(x)
+
С
-
Поэто-
му задача отыскания первообразной для заданной функции
/(jc),
равносильна задаче нахождения кривой, для которой за-
кон изменения углового коэффициента известен tga
=
/(JC)
.
Поскольку кривые отличаются друг от друга на постоян-
ную интегрирования, то для
того,
чтобы из этого множества кри-
вых выбрать одну кривую, достаточно задать точку
{х^,у^),
через которую кривая должна проходить, т. е. определить посто-
янную интегрирования.
582 Гпава 10
Из механического истолкования неопределенного интегра-
ла следует, что если задан закон изменения скорости от времени
D
= у(jc),
ТО
зависимость пути S от времени определяется интег-
ралом 5=1
f{t)dt,
т.
к. скорость движения точки есть производ-
ная —. Постоянная интегрирования находится из заданного
dt
начального условия, иначе получим бесчисленное множество
решений.
ЮЛ.
Составить уравнение кривой, проходящей через точку
М(1,2),
если угловой коэффициент касательной в каждой точке
кривой равен обратной величине абсциссы точки касания.
Решение. Закон изменения углового коэффициента извес-
тен /(х) =
—.
Поскольку производная от (1пх) =—, то
X ^
у
=
\пх
+
С — искомая кривая.
Для определения постоянной интегрирования воспользуем-
ся условием, что кривая проходит через точку М, тогда
2 =
1п1
+ С и С = 2. Таким образом: у
=
\пхЛ-2.
10.2.
Скорость тела задана функцией v =
3/^
м/с.Найти
за-
кон изменения пути 5, если за
^
= 2с, тело прошло путь S
=
20м.
Решение. Имеем: S ={vdt
= 3
[t^dt =
^^
+ С Согласно на-
чальному условию: 20 =
2^
+ С , откуда С-\1. Таким образом,
искомый закон 5 =
/^
+12.
Глава 11
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
11.1.
Определение определенного
интеграла. Свойства.
Формула Ньютона-Лейбница
1°.
Пусть на отрезке
[а,Ь]
задана непрерывная функция
у = /(х). Разобьем отрезок
[а,Ь]
на
п
частей.
В
каждом из отрез-
ков
AJC.
=
JC.
— Jc,_i
возьмем потомке^,, и вычислим значение фун-
кции
f{^.).
Сумма ^ fi^i)Ах. называется интегральной суммой
для функции f{x) на отрезке
[а,Ь],
В зависимости от деления
отрезка
[а,Ь]
на п частичных отрезков и выбора точек ^. можно
составить бесчисленное множество интегральных сумм.
Определенным интегралом от функции f(x) на отрезке
[а,Ь] называется
число,
равное общему пределу всех интеграль-
ных сумм при стремлении к нулю максимального отрезка раз-
биения
\f{x)dx= lim X /(^,)А^,-
max Лх;
—>0
^.
,
' 1=1
584 Г пава 11
Числа а и 6 называются, соответственно, нижним и верх-
ним пределами интегрирования, отрезок \а,Ь\—промежутком ин-
тегрирования.
2°.
Свойства:
1.
Определенный интеграл зависит только от
вида функции /(х) и пределов интегрирования, но не зависит
от обозначения переменной интегрирования,
т.
е.
ь ъ
\f{x)dx=\mdt.
а а
2.
Определенный интеграл меняет знак при перестановке
пределов интегрирования
b а
j/(x)rfx
= -J/(x)fifx.
а Ь
3.
Интеграл с одинаковыми пределами интегрирования ра-
вен нулю
а
|/(х)^
= 0.
4.
Постоянный множитель можно выносить за знак интег-
рала
Ъ b
\Af{x)dx
=
A\f{x)dx.
а а
5.
Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от
этих функций
b b b
J(y;w+/2W)^=Jy;w^fx+J/2(x)rfx+.
a a a
6. Отрезок интегрирования можно разбивать на части
b с b
\f{x)dx
=
\f{x)dx^\f{x)dx.
ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 585
причем точка с может быть как внутренней точкой деления от-
резка (а < с<Ь). так и внешней (а <Ь<с)-
3°.
Формула Ньютона-Лейбница. Если F{x) есть первооб-
разная от непрерывной функции f{x), то справедлива формула
\f{x)dx^F{x)l=F{b)-F{a).
а
По формуле Ньютона-Лейбница сначала находят первооб-
разную, а затем находят разность первообразных, соответствен-
но,
при верхнем и нижнем значении предела.
4°.
Нахождение интегралов от четных и нечетных функций
с симметричными пределами интегрирования можно упростить,
а а
Применяя формулы
[
f{x)dx
=
2\f{x)dx, если f{x) —четная
-а О
а
функция, I f{x)dx =
О,
если f{x) — нечетная функция.
-а
5°.
Если функция периодическая
с
периодом Г, то
b Ь+пТ
lfix)dx= J fix)dx; (и = 0,±1,+2, ...).
а а+пТ
1.1. Вычислить интегралы:
а)
j'(3x'
+ \)dx; б) llil
+
e~')dx;
в) Г,^/=^; г) £sin|flfx;
Решение, а) Представим определенный интеграл в виде сум-
мы двух интегралов
и
для каждого из них воспользуемся форму-
лой Ньютона-Лейбница
3 3 3
\(3x^+\)dx
=
3Jx^dx
+
\ dx
=
x'[+x\l=(3'-\')
+
i3-\)
=
2S,
1 1 1
б) По формуле Ньютона-Лейбница имеем
586
гпава
11
V
У
=
(4 +
4в)-(0 + 4) = 4е.
в) По формуле Ньютона-Лейбница имеем
Л 1 -- 2
f , =-
f(3^
+ 4)"2
J(3/
+ 4)
= -(3/ + 4)
JVSM^
3_V З'
= -(л/21 +
4-л/-3
+ 4) = -.
3 3
г) Пользуемся формулой Ньютона-Лейбница
л
Jsin—(ix = -2cos
к
- -2(cos
cos 0)
= 2.
2
х^
dx
"i
1.2. Вычислить интегралы: а) J sin^xd!x; б) J—g ^ ;
sin^x + sin2x
3 „-2
-t/x.
g-'^ COS X
Решение, a) Подынтегральная функция есть произведе-
ние двух нечетных функций, т. е. является четной функцией,
поэтому
1 sin^ xdx
=
2 jsin^ xdx
=
j(l -cos 2x)dx
•
' 1 • 0 ^
X—sinzx
2
2 71
6) в силу нечетности подынтегральной функции и симмет-
ричности пределов интегрирования данный определенный интег-
рал равен нулю
с x^dx _
-3
X''+4JC^
+ 7
ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП 587
в) Подынтегральная функция имеет период к, поэтому из
верхнего
и
нижнего пределов интегрирования можно вычесть 2к.
Определенный интеграл примет вид
In к
г sin^jc + sin2x - f sin^jc + sin2jc ,
I 5 dx^\ dx =
4 cos X 'jj. COS X
4
= ](tg' x+2tgx)dtgx
=
\-tg'
x+tg"
X
= -Зл/3+3---1
=
л/з+-.
3 3 3
11.2.
Замена переменной в определенном
интеграле
b
Пусть дан интеграл \f{x)dx, где функция f(x) непрерыв-
а
на на отрезке
[а,Ь].
Введем новую переменную t по формуле
x
=
(p[t).
Если
(р{а) =
а;
(р{р)
=
Ь,
функция (p(t) и ее производная
(p\i) непрерывны на отрезке [of,
j8 ]
и / (^ (^)) определена
и
не-
прерывна на отрезке [а,р], то
lf(x)dx
=
lf(cp{t))(p\t)dt.
а а
2.1.
Вычислить определенные интегралы: а) ;
:;
1 +
х
л_
1пЗ .„ I
г
йбс ] dx f
1
+ tg^x (• x^dx
4
588
Гпава 11
е)
\Щ^^.;
ж)
]^^dx.
{ X Л-Х ^1 +
COS
X
Решение, а) Сделаем замену переменной x
=
t ^ тогда
dx
=
Itdt. Находим новые пределы интегрирования: при х = О,
^
=
О
и при
X
= 3,
^
= л/з
.
Интеграл примет вид
\- = 2 -tdt
=
2\ —^ dt = 2\ dt-2\ ^r—
+
1
= 2^|f-2arctg/|f =2(V3~arctgV3) =
2fV3-|\
6) Полагаем
e""
=
t, тогда dx
=
—. Находим новые пределы
интегрирования: при х =
In
2,
/ = 2 и при х =
In
3,
^
=
3 .
Отсюда
р dx _р dt _f^^_li
le' -e-'~\{t-t-')r\j^\~2
t-\
t+\
(
ln--ln-
4 3
2 2
Idt
\-e
в) Сделаем замену f = tg—, тогда
d!x;
= ^,
cos
x =
•
^ •
Перейдем к новым пределам интегрирования: при
л:
=
О,
f =
О
и
п
при
X
=—, f =
1.
Интеграл примет вид
dt
dx dt
J3 +
2COSX
J ^1-r' Ь + ЗгЧ2-
0--2COSX „^_^2
2Г
1
+
/^
^f dt 2 X
2N/5 ^ л/5
arctg—.
5 5
ОПРЕПЕПЕННЫЙ ИНТЕГРАП
589
г) Сделаем замену tgx = f, тогда dx
=
dt
IT?
. Перейдем к
п
новым пределам интегрирования: при х
= —,
t
=
\ и при
Jf -
—,
' -
V3 .
Интеграл примет вид
}
1 +
tg'jC , f
1 +
/' dt f ,,
._2^^,
,
^^dx= ;-=
(1 +
0 d{\
+
t) =
1
\+t
V5
, (1+0
1
J__
л/З-1
1 +
л/з
2
2(1 +
л/3)
2
д) Сделаем замену
jc
= 4sin
t,
тогда
ЙЬС
= 4
cos
tdt. Перейдем
к новым пределам интегрирования: при х =
О,
/ =
О
и при х=4,
п
t
—
—. Интеграл примет вид
7t_
4л:.
. ^16
= 8
(l-cos20^?/
= 8
t—sm2^
JVie^
{ 4cos/ J/ ' 1^ 2 J
e)
В
данном определенном интеграле первообразная не вы
ражается через элементарные
функции.
Воспользуемся искусст
^ - dx
венным
приемом.
Сделаем подстановку
jc
= tg/, тогда dt =
1 + х^
к
и при х
=
0,
t
=
0,3.при
х
=
\, t
= — .
Таким образом,
4
•ln(jc + l)
у^^^^
sin/
+
cos/
COS
г
dt
= jln v2sin
—+ /
L//-jlncosrJ/ =
о V \ J) о