Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика
Подождите немного. Документ загружается.
(
1
iH
Y
, 1), (
2
iH
Y
, 2) и т. д., добиваясь указанного соответствия. Желательно новые точки располагать
в такой последовательности, чтобы через них можно было провести гладкую кривую (см. рис. 3б).
Когда соответствие оценок установлено, приступают к аппроксимации построенной
функции V
i
(Y
i
). Для аппроксимации функции V
i
(Y
i
) рекомендуется воспользоваться двусторонней
сплайн-функцией [11; Р6]. Так кусочно-линейные аппроксимации зависимостей, представленных
графически на рис. 2, имеют вид
()
(
)
(
)
10
,
iiiiAiiiAi
VVYYYYIYY
∧∧
==−∆
, при Y
i
∈ А; (3.1.1)
()
(
)
()
01
,
iiiiiBiiBi
VVYYYYIYY
∧
==−∆
, при Y
i
∈ В; (3.1.2)
V
i
= V
i
(Y
i
) = V
iA
(Y
i
) + V
iB
(Y
i
), при Y
i
∈ С, (3.1.3)
где ∆Y
i
– приращения значения ЧКО Y
i
, соответствующие приращению V
i
оценки значения ЧКО на
один балл; I(
⋅
) – единичные ступенчатые функции,
(
)
(
)
1010
,1, npu ;,0, npu ;
iAiiiAiAiiiA
IYYYYIYYYY
∧∧∧∧
=≤=> (3.1.4)
(
)
(
)
0101
,0, npu ;,1, npu .
iBiiiBiBiiiB
IYYYYIYYYY
∧∧∧∧
=<=≥ (3.1.5)
Замечание: Если точки
(
)
0
,
i
i
b
V
ii
V
YV
=
, характеризующие распределение БОК ЧКО Y
i
не
ложатся на прямую (см. рис. 3б), можно попытаться использовать простые линеаризирующие
преобразования L(Y
i
) значений ЧКО:
(
)
{
}
12
lg,,
iiii
LYYYY
−
∈ и т. п. или полином, например,
(
)
2
012
iii
LYYY
βββ=++ , (3.1.6)
где коэффициенты
(
)
0,2
u
uβ =
можно вычислить по трем точкам (
x
i
Y
, 6), (
3
i
Y
, V
i
), (
0
i
Y
, 0). При
использовании параболической функции (3.1.6) рекомендуется ввести дополнительную кодировку
ЧКО Y
i
:
(
)
Z
iiii
UYYI
=− , (3.1.7)
(
)
2
ZX
iii
YYY
∧
=− , (3.1.8)
(
)
2
X
iii
IYY
∧
=− , (3.1.9)
где
Z
i
Y
- центральная точка; I
i
– интервал варьирования ЧКО Y
i
.
Далее определяют координаты крайних точек (
X
i
Y
, 6), (
0
i
Y
, 0) и центральной точки
(
Z
i
Y
,
Z
i
V
), где
Z
i
V
- оценка качества ЧКО Y
i
в центральной точке
Z
i
Y
. С учетом кодировки (3.1.7) –
(3.1.9) формула (3.1.6) принимает вид
(
)
(
)
2
33
ZZ
iiiii
LYVUVU
=++− . (3.1.10)
Выбранные экспертами БОК ЧКО характеризуют каждый критерий оптимизации сам по
себе, без связи с другими ЧКО и с требованиями задачи оптимизации в целом. Когда же БОК ЧКО
сравниваются между собой, выясняется, что их важность при решении каждой конкретной задачи
различна. Учет важности ЧКО возможен с помощью оценки J∈ (0, 1) важности ЧКО.
Неважному ЧКО Y
i
соответствует оценка J
i
= 0, приводящая к исключению данного ЧКО из
рассмотрения; наиболее важному ЧКО соответствует оценка J
i
= 1. Для удобства оценивания
важности ЧКО экспертам также рекомендуется использовать целочисленную шкалу важности в
баллах λ ∈ {0, 1, 2, …, λ
max
}. Тогда
J
i
=
λ
i
/
λ
max
. (3.1.11)
Шкала важности (как и шкала желательности) относится к психофизическим шкалам.
Эксперту трудно различить важность (и желательность) ЧКО в пределах, меньших 10 – 20 %
размаха шкалы [8; Т2Р1; Р10.8.5.2]. В данной задаче шкалы важности ЧКО (
{
}
0,6
λ∈
), как и БОК
ЧКО (табл. 3,
{
}
0,6
i
V ∈
) являются, по-видимому, наиболее рациональными.
Оценка важности ЧКО позволяет получить приведенную оценку качества (ПОК) ϕ
i
ЧКО Y
i
ϕ
i
= V
i
J
i
= V
i
λ
i
/λ
max
;
(
)
1,
im
∈
. (3.1.12)
Полученная ПОК ϕ
i
ЧКО Y
i
является частной функцией цели, позволяющей построить
обобщенный показатель качества свойств оптимизируемого объекта.
Выбор из множества оценок ϕ
i
единственной оценки, наиболее полно характеризующей
объект оптимизации является трудной, а часто и не разрешаемой задачей. Поэтому предпочитают
все (или несколько) ЧКО объединять в единственный комплексный показатель – обобщенный
критерий оптимизации (ОКО).
7.4. Приведение задачи многокритериальной оптимизации к однокритериальной
При конструировании формулы для расчета ОКО стремятся в одном критерии учесть
многие требования [9]. Перечислим некоторые из них:
1. ОКО должен учитывать все ЧКО.
2. Вклад ЧКО в ОКО должен осуществляться с учетом важности ЧКО.
3. Желательно, чтобы ОКО можно было интерпретировать как обобщенный показатель
(оценку качества) всех свойств, и он мог служить критерием окончания процедуры оптимизации.
4. ОКО должен быть таким, чтобы при оптимизации он был наиболее чувствителен к ЧКО,
принимающим наихудшие значения.
Существует большое количество методов конструирования ОКО (минимаксный,
аддитивный, мультипликативный и др.), в той или иной мере удовлетворяющих перечисленным
требованиям [9].
Рассмотрим один класс конструкций ОКО, представляемый семейством норм в
пространстве R
n
:
(
)
()
1/
12
1
,1,,,...,
p
n
p
T
pin
p
i
wpϕϕϕϕϕϕ
=
==≥=
∑
. (3.2.1)
Известно, что при р → ∞ норма семейства (3.2.1) стремится к
1
max
i
in
w
ϕϕ
∞
∞
≤≤
== . (3.2.2)
В работе [12] показано, что оптимум любой нормы семейства (3.2.1) принадлежит
множеству Парето. Для иллюстрации на рис. 4 приведены линии уровня норм из семейства
р ∈ {1; 2; ∞} и компромиссные точки П
р
, принадлежащие множеству Парето.
Рис. 4. Линии уровня обобщенных
критериев оптимизации
(
)
1/
12
p
pp
p
wϕϕ=+ из семейства
р ∈ {1; 2; ∞}:
ϕ
i
– приведенные оценки качества двух
частных критериев оптимизации; П –
парето-оптимальное множество; П
р
–
компромиссные точки, соответствующие
выбранному параметру р.
Рис. 6. Область парето-оптимальных решений (П) в
задаче двухкритериальной оптимизации в случае, когда
частные критерии оптимизации заданы с помощью
регрессионных моделей с малыми дисперсиями
погрешностей.
H
i
ϕ
,
B
i
ϕ
- нижняя и верхняя границы доверительного
интервала;
(
)
ˆ
i
x
ϕ
- оценки частных критериев оптимизации; х
– фактор; а - функции частных критериев оптимизации; б –
парето-оптимальное множество (П) в пространстве частных
критериев оптимизации.
Рис. 5. Область парето-оптимальных
решений (П) в задаче
двухкритериальной оптимизации.
ϕ
i
– частные критерии оптимизации; х –
фактор; а – функции частных критериев
оптимизации;
б – парето-оптимальное множество (П) в
пространстве ЧКО.
Рис. 7. Область парето-оптимальных решений (П) в
задаче двухкритериальной оптимизации в случае, когда
частные критерии оптимизации заданы с помощью
регрессионных моделей с большими дисперсиями
погрешностей.
H
i
ϕ
,
B
i
ϕ
- нижняя и верхняя границы доверительного
интервала;
(
)
ˆ
i
x
ϕ
- оценки частных критериев оптимизации; х
– фактор; а - функции частных критериев оптимизации; б –
парето-оптимальное множество (П) в пространстве частных
критериев оптимизации (ЧКО).
Из рис. 4 видно, что искомые решения являются семейством норм (3.2.1). При р → ∞
норма (3.2.2) хорошо интерпретируется как оценка в баллах наихудшего из достигнутых значений
ПОК. Однако недостатком этой нормы является разрыв первого рода производной функции (3.2.2)
по факторам, что затрудняет использование градиентных методов оптимизации.
При р = 1 получаем аддитивный ОКО (3.2.1). Однако, как видно из рис. 4 (точка П
1
), этот
ОКО мало чувствителен к отдельным ЧКО и может привести к минимизации лишь части из них
при недопустимо больших значениях других ЧКО. Вычислим градиент ОКО (3.2.1)
()
(
)
111
n
1
i
i=111
1,
1111
11
1111
1,
1,
gradgrad
.
pp
nn
p
ii
pp
pii
ii
j
jm
pp
nnnn
pppp
ii
iiii
iiii
jj
jm
jm
Yx
w
x
xx
ϕ
ϕϕϕ
ϕϕ
ϕϕϕϕ
−
−
==
=
−−
−−
====
=
=
∂
===
∂
∂∂
==
∂∂
∑∑∑
∑∑∑∑
(3.2.3)
Из (3.2.3) видно, что при р = 1 градиент имеет направление, представляющее собой сумму
градиентов ПОК ϕ
i
. При 1 < р < ∞ приоритет имеет направление того ЧКО Y
i
, чьё значение
больше, так как градиент ПОК
ϕ
i
умножается на величину
1
p
i
ϕ
−
. Отсюда следует преимущество
ОКО при 1 < р < ∞ в том, что оптимизация происходит быстрее всего в направлении тех ЧКО Y
i
,
которые имеют наихудшие значения!
Для практических расчетов можно брать р ∈ (2, 4). Примем для определенности р = 2. Для
лучшей интерпретируемости нормы (3.2.1) при р = 2 воспользуемся усреднением
(
)
0,5
2
2
1
/
n
i
i
Vn
ϕ
=
=
∑
, (3.2.4)
где
2
V
является среднеквадратичным (СК) ОКО.
Из приведенных рассуждений следует, что процедуру оптимизации удобней всего
осуществлять с помощью нормы (3.2.4). Для контроля качества решения рекомендуется
использовать ОКО w
∞
(3.2.2); значения СК ОКО можно также использовать для
формулировки правила остановки процедуры оптимизации. Покажем это на примере.
Пример. Пусть имеется п = 100 ЧКО Y
i
и в процессе оптимизации найдено, что ϕ
1
= 5, а
остальные
ϕ
i
= 0 (
2,100
i = ), то значение СК ОКО
2
V
= 0,5 не полностью характеризует состояние
объекта. В то же время
{
}
max5
i
i
w ϕ
∞
==
говорит о том, что ЧКО Y
i
оценивается как «очень
плохой», что свидетельствует о необходимости продолжения процедуры оптимизации!
3.3. Исходная задача векторной оптимизации в детерминированной постановке имеет вид
[13]
(
)
(
)
min,1,
xX
i
xxim
φϕ
∈
=→=, (3.3.1)
где ϕ
i
– критерии (показатели) качества; х – вектор входных переменных из некоторой допустимой
области X ⊆ R
n
. При точно известных функциях ϕ
i
(х) можно ввести отношение предпочтения
решений х
1
f
х
2
(х
1
f
х
2
означает, что решение х
1
лучше х
2
) из условия
()()()()
121212
1,::.
iijj
xximxxjxxϕϕϕϕ
⇔∀=≤∧∃<
f
(3.3.2)
Известно [1, 4], что решением векторной задачи (3.3.1) является не оптимальная точка
(оптимальный вектор), а область оптимума Х
0
(область Парето), находящаяся из условия
{
}
000
:
XxXxXxx
=∈∀∈∃f . (3.3.3)
Область Х
0
образуется предпочтительными по отношению
f
решениями х
0
.
Анализируя выражение (3.3.3), можно заметить следующее:
1) представление решения задачи (3.3.1) в виде области оптимума отражает наличие
противоречивости в критериях;
2) решения внутри области Х
0
несравнимы между собой по отношению предпочтения;
3) вне области оптимума Х
0
лежат заведомо плохие решения;
4) выбор единственного («наилучшего») решения из Х
0
невозможен без привлечения
дополнительного условия. Таким условием может быть [6]
(
)
0,5
2
2
1
/min
n
i
i
Vnϕ
=
=→
∑
. Тогда
02
argmin.
xX
xV
∈
=
(3. 3. 4)
Другие дополнительные условия будут рассмотрены ниже.
7.5. Статистическая постановка задачи оптимизации
Рассмотрим случай, когда изучаемый объект описывается системой регрессионных
моделей.
(
)
(
)
,,1,
iiiiii
yxexeim
ϕθϕ=+=+=, (3.3.5)
где
k
ii
R
θ
∈
- векторы параметров; y
i
- измеренные на выходах объекта значения критериев
ϕ
i
; e
i
-
случайные ошибки моделей.
В реальных условиях векторную задачу (3.3.1) приходится решать по регрессионным
моделям (3.3.5). В дальнейшем будем предполагать, что исходные допущения регрессионного
анализа [13] выполняются; случайные помехи на выходах не коррелированны и имеют
нормальное распределение,
(
)
2
~0,
ii
eN
σ
. Допустим, по экспериментальным данным получена
ЭФР
(
)
ˆ
i
x
ϕ
, адекватная результатам наблюдений; известна ее дисперсия d
i
(x), которая позволяет
вычислить плечо
(
)
i
x
α
∆ доверительного интервала
(
)
(
)
ˆˆ
,
HB
ii
xx
ϕϕ
с заданной доверительной
вероятностью 1 - α, где
(
)
(
)
ˆˆ
,
HB
ii
xx
ϕϕ
- нижняя и верхняя границы доверительного интервала:
(
)
(
)
(
)
ˆˆ
i
H
ii
xxx
α
ϕϕ
=−∆
(3.3.6)
(
)
(
)
(
)
ˆˆ
i
B
ii
xxx
α
ϕϕ
=+∆
(3.3.7)
()()
,/2
,
i
fi
xtdx
αα
∆= (3.3.8)
где t
f,α/2
- верхний
α
/2-предел распределения Стьюдента с f степенями свободы.
Решение задачи (3.3.5) по регрессионным моделям определяют из условия [13]
()()()()()
12121212
ˆˆˆˆ
1,::,,
iijj
xximxxjxxxxϕϕϕϕρ
⇔∀=≤∧∃<−
f (3.3.9)
где
ρ
(х
1
, х
2
) – заданная симметричная неотрицательная функция, отражающая неточность модели.
Рассмотрим сначала отношение неразличимости для скалярной задачи оптимизации
(
)
min
xX
xϕ
∈
→ (3.3.10)
с моделями
(
)
ˆ
x
ϕ . В работе [13] предложен подход, основанный на введении отношения
неразличимости решений (х
1
pf
х
2
), порожденных ошибками модели. В общем виде это
отношение в скалярных задачах может быть задано из условия
()()
(
)
()
2
2
121212
ˆˆ
,
xxxxxx
ϕϕρ⇔−≤pf . (3.3.11)
Решения х
1
и х
2
считаются неразличимыми, если по критерию Неймана-Пирсона с уровнем α не
отклоняется гипотеза Н
0
:
[
]
(
)
(
)
12
ˆˆˆ
0
MMxxϕϕϕ
∆=−=
. Такое отношение называется
знаковой неразличимостью.
Пример. Пусть регрессионная функция ϕ(х, θ) линейна по вектору параметров θ,
ϕ
(х) =
ψ
Т
(х)
θ
, где
ψ
(х) – вектор базисных функций. Тогда
(
)
(
)
22
12,12
,,;
f
xxtdxx
α
ρ =
(3.3.12)
()()()
(
)
()()
121212
ˆ
,,
T
dxxxxDxxψψθψψ=−−
(3.3.13)
где
(
)
ˆ
D
θ
- ковариационная матрица оценок вектора параметров.
Отношения неразличимости (3.3.11) запишется в следующем виде:
()()
(
)
()()
2
1212,12
ˆˆˆ
0
T
T
f
xxxxtDxx
α
ψψθθθψψ
⇔−−−≤
pf
. (3.3.14)
Из примера видно, что отношение неразличимости (3.3.14) неудобно для практических
расчетов из-за громоздкости. Проще использовать интервальную неразличимость [13, 14].
Решения х
1
и х
2
считаются неразличимыми с уровнем α, если пересекаются соответствующие им
доверительные интервалы (3.3.6) и ( 3.3.7) для истинного значения
ϕ
(х). В этом случае
()() ()
(
)
12,/212
,.
f
xxtdxdx
α
ρ =+ (3.3.15)
Перейдем к рассмотрению неразличимости решений в задаче векторной оптимизации.
Введем отношение неразличимости решений (х
1
pf
х
2
) в векторных задачах оптимизации, которое
объединяет отношение несравнимости из-за противоречивости критериев
(
)
(
)
1
ˆˆ
,...,
m
xx
ϕϕ и
отношение неразличимости из-за неточности моделей
(
)
ˆ
i
x
ϕ .
В задаче векторной оптимизации решение х
1
неразличимо с решением х
2
(х
1
pf
х
2
), если
оно несравнимо с х
2
по отношению
f
или неразличимо с х
2
по всем критериям одновременно:
()()
()
()
2
121212
ˆˆ
1,,;
ii
xximxxxxϕϕρ
⇔∀=−≤
pf (3.3.16)
(
)
(
)
(
)
(
)
1212
ˆˆˆˆ
:.
llkk
lkxxxxϕϕϕϕ∃≠<∧>
(3.3.17)
Определение. Область
(
)
{
}
00
:
ii
LxxXxx
=∈ pf (3.3.18)
называется областью неразличимости x
0i
. Область (множество) L(x
0i
) составляет все решения,
неразличимые с фиксированным решением x
0i
.
Определение. Область
{
}
000
::
XxXxXxx
=∈∀∈∃
%
%%
f (3.3.19)
называется почти стационарной областью оптимума (ПСОО) в задаче векторной оптимизации с
регрессионными моделями.
Заметим, что ПСОО
0
X
%
включает в себя область Х
0
, определяемую выражением (3.3.3):
00
XX
⊆
%
. (3.3.20)
Это означает, что множество
0
X
%
дает более полное представление об истинной области
Парето, чем множество Х
0
на заданном уровне информации о неточности моделей.
Одно из отличий задачи МКО в статистической постановке заключается в следующем.
Поскольку, как правило, единственного оптимума по всем критериям
ϕ
i
(х) не существует, то
единственным решением задачи МКО (3.3.5) может быть некоторая точка на парето-оптимальном
множестве (3.3.3). При решении задачи МКО в статистической постановке (3.3.1) и (3.3.5) может
появиться решение как пересечение областей неразличимости (3.3.18) по всем критериям ϕ
i
(х)
(
)
0
1
.
m
ni
i
XLX
=
=
%
I
(3.3.21)
Пример. Рассмотрим задачу двухкритериальной оптимизации (3.3.1) в детерминированной
постановке, когда имеется два критерия ϕ
1
(х) и ϕ
2
(х); х
01
, х
02
– экстремумы для двух критериев
(рис. 5). х
0
– единственное решение, полученное на парето-оптимальном множестве П при
дополнительном условии (3.3.4). На рис. 6 показано решение двухкритериальной задачи
оптимизации в статистической постановке.
0
x
−
,
0
x
+
- ПСОО в окрестности единственного решения
при дополнительном условии (3.3.4). Решение задачи двухкритериальной оптимизации (рис. 6) без
дополнительных условий невозможно из-за того, что области неразличимости х
01
и х
02
не
пересекаются. Без дополнительных ограничений может быть решена задача МКО, представленная
на рис. 7 потому, что области неразличимости решений пересекаются.
0
x
−
,
0
x
+
- ПСОО в
окрестности единственного решения на парето-оптимальном множестве.
На основании изложенного рекомендуется алгоритм построения ПСОО в регрессионной
задаче многокритериальной оптимизации.
1. Найти координаты х
0i
, оптимум по каждому ЧКО.
2. Построить области неразличимости Х
0i
для каждого ЧКО.
3. Найти пересечение (3.3.21) областей неразличимости по всем критериям. Если такая
область найдена, то задача решена, если – нет, то ввести дополнительное ограничение в виде
(3.3.4). Найти компромиссную точку x
0
на парето-оптимальной области; построить ПСОО в
окрестности этой точки.
7.6. Оценка качества частных критериев оптимизации параметров физических
свойств эпоксидной смолы ЭД-20
Для построения функций ОК ЧКО V
i
(Y
i
) на графике (рис. 8) для каждого ЧКО Y
i
(
1,5
i =
)
эксперт нанёс координаты (табл. 3) худшей
ij
V
ij
Y
и лучшей
ij
V
ij
Y
точек и провел через них прямые.
Рис. 8. Экспертные оценки v
i
качества частных
критериев оптимизации механических свойств
эпоксидной смолы ЭД-20.
Рис. 9. Оценка почти стационарной области
оптимальных свойств композиции с помощью
ОКО (4. 4) и (4. 5):
а – использование композиции для
антикоррози-онного покрытия; 4,8 ≤ х ≤ 9,1; б –
использование смолы для изготовления
крыльчатки; 2,9 ≤ х ≤ 13,8.
Затем эксперт проанализировал оценки каждого ЧКО вдоль функции V
i
(Y
i
) (см. рис. 8) и
пришел к выводу, что линейные аппроксимации этих функций допустимы. Получили зависимости
ˆ
;1,5,
iiii
vabYi=+=
(4.1)
где коэффициенты a
i
и b
i
сведены в табл. 4;
ˆ
i
Y
определяются формулами (1.6) – (1.11).
Таблица 4
Расчет коэффициентов функции (4. 1) для оценки качества механических свойств ЭК
Координаты точек, заданные экспертами Коэффициенты
№
пп
1
1
j
V
j
Y
V
1j
2
2
j
V
j
Y
V
2j
a
j
b
j
1 60 3 100 1 6 -0,05
2 0 0 10 6 0 0,6
3 4 4 10 3 4,67 -0,167
4 0 6 0,1 2 6 -40
5 0 0 40 5 0 0,125
Замечание. В более важной задаче построения линий, подобных изображенным на рис. 8,
выполняются несколькими независимыми экспертами, а результаты построений аппроксимируют
формулой (4.1). Но тогда придётся также учитывать характеристики разброса экспертных оценок
путём расширения границ доверительных интервалов (3.3.6) и (3.3.7).
Эпоксидную композицию планируется использовать для изготовления крыльчатки или
антикоррозионного покрытия.
Требования к параметрам механических свойств смолы в этих случаях различны. При
изготовлении крыльчатки наиболее важными являются прочностные свойства, а при изготовлении
антикоррозионного покрытия – свойства, характеризующие устойчивость смолы к разрушающему
воздействию среды (табл. 5).
Таблица 5
Оценки важности ЧКО механических свойств эпоксидной композиции
Наименование изделия
Важность (λ) частных критериев оптимизации
Y
1
Y
2
Y
3
Y
4
Y
5
Крыльчатка 6 3 6 6 6
Антикоррозионное покрытие 6 3 5 5 2
Приведенные оценки качества (ПОК) указанных свойств согласно (3.1.1), (3.1.2), (3.1.12),
табл. 4 и 5 имеют следующий вид.
Крыльчатка:
()
()
()
()
()
()
()
()
()
()
111012201233103
4410455015
ˆˆˆ
60,05120;;0,30;;4,6660,16628;;
ˆˆ
6400,15;;0,1250;.
YIYYIYYIY
YIYYIY
ϕϕϕ
ϕϕ
=−==−
=−=
(4.2)
Антикоррозионное покрытие:
(
)
()()
(
)
()
()
()()
111012201233103
4410455015
ˆˆˆ
60,05120;;0,60;;0,8334,6660,16628;;
ˆˆ
533,30,15;;0,04160;.
YIYYIYYIY
YIYYIY
ϕϕϕ
ϕϕ
=−==−
=−=
(4.3)
Таким образом, задача МКО сводится к минимизации квадратичного ОКО – ЭФР одного
аргумента х ∈ (0, 100%), заданной формулами (1.6) – (1.11), (4.2), (3.3.4) – для крыльчатки и (1.6) –
(1.11), (4.3), (3.3.4) (рис. 9) – для антикоррозионного покрытия.
Решим эту задачу двумя методами доверительных интервалов.
7.7. Построение почти стационарной области оптимума методом доверительных интервалов
с помощью квадратичного обобщённого критерия оптимизации
Исходными данными для построения являются функции (1.6) – (1.1), (4.2) или (4.3) и
(3.2.1) при р = 2.
Верхняя w
B
и нижняя w
H
границы доверительных интервалов этой функции определяем по
формуле
w
B,H
= w
2
±
∆
w ; (4.4)
0,5
2
5
2
1
()
,
j
j
j
Yx
w
wY
Y
=
∂
∆=∆
∂
∑
(4.5)
где ∆w
j
- плечи доверительных интервалов ОКО (табл. 6).
Таблица 6
Вспомогательные величины для расчета интервальных оценок критерия оптимизации w
2
регрессия
Плечо 95%-го интервала ϕ(х
j
)
Плечо КОКО
∆w
x
1
ˆ
Y
2
ˆ
Y
3
ˆ
Y
4
ˆ
Y
5
ˆ
Y
∆Y
1
∆Y
2
∆Y
3
∆Y
4
∆Y
5
покрытие крыльчатка
1 67,6 3,50
6,60
0,03 28,0 0,50 0,23 0,6 0,010
3,3 7,52 3,00
4 89,9 1,63
8,11
0,05 19,8 2,80 0,23 0,5 0,003
1,1 1,93 1,42
7 75,0 0,69
8,60
0,08 18,7 4,57 0,40 0,8 0,004
2,2 3,65 1,96
9 63,7 0,25
8,40
0,09 22,0 5,70 0,45 1,0 0,012
3,8 5,15 2,98
12
47,0 -0,29
7,23
0,12 33,0 6,54 0,50 1,0 0,020
4,5 7,15 4,21
На графике (рис. 9) по точкам х = 1(1)11 строятся интервальные оценки (4. 4).
При поиске ПСО минимума через ординаты минимума верхней границы доверительного
интервала w
B
(х) строится горизонтальная прямая до пересечения с кривой w
H
(х). Проекции точек
этого пресечения х
-
, х
+
(рис. 9) дают значения нижней и верхней границ искомого интервала.
Указанные построения полностью соответствуют условиям интервальной неразличимости (3.3.15).
Получим для крыльчатки (х
-
, х
+
) = (4,8; 9,1); для антикоррозионного покрытия (х
-
, х
+
) = (2,9; 13,8) с
доверительной вероятностью 95%.
7.8. Построение почти стационарной области оптимума методом доверительных интервалов с
помощью интервальной оценки частных критериев оптимизации
Были построены интервальные оценки (с вероятностью 95%) для всех ЧКО:
(
)
(
)
ˆˆ
,,1,5
HB
ii
YxYxi= (рис. 1). Пусть первая ЭФР
(
)
11
ˆ
ˆ
Yx
φ= имеет минимум на области Х (для
случая, когда ЭФР имеет максимум на области Х, рассуждения проводятся аналогично). Тогда
через точку минимума
0
ˆ
B
i
Y
верхней интервальной оценки проводим горизонтальную прямую (в
общем случае - гиперплоскость) до пересечения с нижней интервальной границей функции
регрессии
(
)
0
H
i
Yx
. Проекция этого сечения на факторное пространство ограничивает ПСО
минимума. Эмпирическая функция регрессии Y
4
(х) является прямой. ПСО максимума получим
как полуинтервал на числовой оси. Линейная ЭФР
40414
ˆ
Ybbx
=+
имеет постоянный тангенс угла
наклона b
14
. Нижняя граница доверительного интервала Y
H4
(x) является нелинейной функцией
аргумента [3]
424
ˆ
;
H
YYY
=−∆
(4.6)
(
)
4
0,5
2
4,/24
1/(1);
f
YtSZN
α
∆=+− (4.7)
(
)
.
x
ZxxS
=− (4.8)
Тангенс угла её наклона
()
(
)
4
0,5
'
2
414,/24
1/(1)/(1)
Hf
x
YbtSZNZN
α
−
=−+−−
монотонно
убывает с ростом
xx
>
до определенного предела х
04
при
()
'
4
0
H
x
Y
=
.
Пересечение абсциссы точки, в которой
()
'
4
0
H
x
Y
=
с границей верхнего доверительного
интервала
444
ˆ
B
YYY
=+∆
, (4.9)
где ∆Y
4
определяется формулой (4.7), образует нижнюю границу ПСО максимума х
Н
. Верхняя
граница ПСО максимума х
В
→ ∞.
Компромиссная ПСОО была получена в результате пересечения ПСОО ЧКО Y
1
, …, Y
5
.
Таким образом, отпала необходимость поиска компромиссной точки на парето-
оптимальном множестве.
Единственным решением оказалась почти стационарная область оптимума L (рис. 1), для
которой 7 ≤ х ≤ 8…
«…так что нечего было и огород городить», как прокомментировал на защите отчёта
наши выкладки заместитель директора :-).
Замечание. Методы использования ДИ для решения задач оптимизация в условиях
неопределённости обстоятельно описаны также в книге [15.39.].
Выводы
1. Составлена методика статистической обработки экспериментальных данных по этапам:
данные – попарное сравнение центров - адекватная аналитическая аппроксимация –
многокритериальная оптимизация (МКО).
2. Составлены рекомендации по составлению оценки частных критериев оптимизации
(ЧКО) в зависимости от представлений экспертов, принятых в данной предметной области.
3. Показано, что задача МКО в случае, когда в качестве ЧКО используются регрессии,
имеет особенности, позволяющие в некоторых случаях получить непротиворечивое решение в
виде области L факторного пространства, являющейся пересечением почти стационарных
областей оптимумов ЧКО.
4. В примере при оптимизации параметров физических свойств эпоксидной композиции в
зависимости от концентрации олигоизопрендигидразида (ОИГ) использованы два способа
решения:
а) путем поиска компромиссных точек на парето-оптимальном множестве с помощью