Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика
Подождите немного. Документ загружается.
2
Проверке гипотез относительно коэффициента ρ корреляции между двумя величинами, его
оцениванию и интерпретации посвящена обширная литература [1-3].
Чаще всего на практике встречается такая задача. Необходимо проверить нулевую гипотезу
Н
0
: ρ = 0 против двусторонней альтернативы Н
1
: ρ ≠ 0 (реже используют односторонние
альтернативы Н
1
: ρ > 0 или Н
1
: ρ < 0.
Если оценка r [1, с. 376] коэффициента корреляции получена по числу точек N
≥
9, то для
проверки Н
0
рекомендуетcя использовать «нормальную» статистику [1, с.115, 395].
()
(
)
0,5
2
ˆ
2exp2
z
nudu
απ
+∞
−
=−
∫
;
(7.5)
(
)
(
)
(
)
[
]
r1r1ln3N5,0z
5,0
−+−= , (7.6)
где
α
ˆ
- оценка уровня значимости;
n
ˆ
z
ˆ
z
α
=
- верхний
n
α
-предел нормированного нормального
распределения; коэффициент n = 1 или n = 2 для односторонней или двусторонней альтернативы
соответственно. Вместо точной формулы (7.5) можно пользоваться аппроксимацией Сливняка
[Ф(19)Р1].
Если N < 9, аналогично используют t-статистику Стьюдента [1]
()
ˆ
,
ˆ
ˆ
,
fn
t
nudutt
α
αϕ
+∞
==
∫
, (7.7)
(
)
[
]
5,0
2
n
ˆ
,f
r1frt
ˆ
−=
α
(7.8)
с числом степеней свободы f = N - 2. Здесь ϕ(u) - функция плотности распределения Стьюдента;
n
ˆ
,f
t
ˆ
α
- верхний
n
α
- предел распределения Стьюдента [рис. 4Р1]. Вместо точной формулы (7.7)
можно пользоваться аппроксимацией Сливняка [Ф(19)Р1] совместно с формулой Рокицкого
[Ф(20)Р1]. Кроме того, вместо формул (7.5) - (7.8) удобно использовать номограмму Рубина (рис.
10), позволяющую по известным значениям r и N с помощью линейки (см. ключ в верхней части
рисунка) быстро определить оценку уровня значимости α.
3
Рис. 10. Уровень значимости (
α
) эффективной оценки (7.1) коэффициента корреляции (r) при
разных объёмах выборки (N). (В построении номограммы участвовал студент ХГУ М. В. Рубин.)
Для определения значимости быстрой оценки коэффициента корреляции r' рекомендуется
использовать аналогичную номограмму Рудая и Гумпловой (рис. 11).
4
Рис. 11. Уровень значимости (α) быстрой оценки (7.3) коэффициента корреляции (r') при разных
объёмах выборки (N)
(В построении номограммы методом Монте-Карло на ЭВМ «Минск-32» участвовали программист
А. Н. Рудай и студентка ХГУ Алёна Гумплова)
Погрешности значений α, найденных по названным номограммам, не превышают ошибок
округления до первой значащей цифры. Этой погрешности достаточно для прикладных расчетов,
если учесть нечеткость установок ЛПР, задающих критическое значение
k
α
уровня значимости
(см. [Т2Р1]).
Например,
при N = 4 и r = 0,95 на рис. 10
α
ˆ
= 0,053 (точное значение
α
ˆ
= 0,05).
Быстрая проверка нулевой гипотезы Н
0
: ρ = 0 против двусторонней альтернативы
Н
1
: ρ ≠0 сводится к следующим действиям.
Задаем критический уровень значимости α
k
(см. [Т2Р1]); по номограмме Рубина (рис. 10)
или Рудая и Гумпловой (рис. 11) определяем уровень значимости
α
ˆ
в зависимости от объема
выборки N и найденного по формуле (7.1) значения r или по формуле (7.3) значения r'
соответственно. Еесли мы проверяем гипотезу Н
0
: ρ = 0 против односторонней альтернативы
Н
1
: ρ > 0 или Н
1
: ρ < 0, то полученное по номограмме значение
α
ˆ
надо разделить на два!
Если
k
ˆ
α
<
α
, гипотеза Н
0
отклоняется (коэффициент корреляции значим), если
ˆ
k
αα
≥
гипотеза
Н
0
не отклоняется (коэффициент корреляции не значим).
Пример 20. Пусть ЛПР задал
k
α
= 0,04 [Т2Р1], а по номограмме Рубина (рис. 10) найдено
α
ˆ
= 0,053. Если мы проверяли гипотезу Н
0
: ρ = 0 против Н
1
: ρ ≠ 0, то 0,053 =
k
ˆ
α
>
α
= 0,04 и
гипотеза Н
0
не отклоняется; если же мы знали априори, что не может быть ρ < 0, и поэтому
5
проверяли гипотезу Н
0
: ρ = 0 только против Н
1
: ρ > 0, то полученное по номограмме значение
α
ˆ
надо разделить на два! Тогда
04,0026,0
ˆ
k
=
α
<
=
α
и гипотеза Н
0
отклоняется!
Пример 21.
По данных примеров 12 и 15 (N = 5; эффективная оценка r = 0,79) проверить на
уровне α
k
= 0,05 гипотезу Н
0
: ρ = 0 против двусторонней альтернативы Н
1
: ρ ≠ 0.
Решение. Согласно формуле (7.8), t
ˆ
= 0,79 [3/(1-0,79
2
)]
0,5
= 2,22. На [рис. 4Р1] при f = 3 находим
α
ˆ
= 0,13. По номограмме Рубина (рис. 10; r = 0,79 и N = 5) также находим
α
ˆ
= 0,13. Поскольку
α
ˆ
> α
k
= 0,05, гипотеза Н
0
: ρ = 0 не отклоняется; корреляция не значима.
Пример 22. По данных примеров 12 и 18 (N = 5; быстрая оценка r' = 0,66) проверить на
уровне значимости α
k
= 0,05 гипотезу Н
0
: ρ = 0 против двусторонней альтернативы Н
1
: ρ ≠ 0.
Решение. По номограмме Рудая и Гумпловой (рис. 11; r' = 0,66 и N = 5) находим
α
ˆ
= 0,17.
Поскольку
α
ˆ
> α
k
= 0,05, гипотеза Н
0
: ρ = 0 не отклоняется; корреляция не значима.
Уровень значимости
α
ˆ
коэффициента корреляции тождественно равен уровню значимости
коэффициента регрессии b
1
в ЭФР (6.12). Незначимость обоих этих параметров свидетельствует о
том, что вместо прямой вида
ν
y
=
η
(x) = β
0
+ β
1
X ИЛР может быть константой
ν
y
=
η
(x) = β
0
. K
этому выводу мы, например, пришли на рис. 6 (см. пример 12), используя метод ДИ.
Заметим, что корреляционный анализ является менее информативным способом
статистической обработки, чем регрессионный анализ.
3.8. ПРАВИЛО ОКРУГЛЕНИЯ СТАТИСТИЧЕСКИХ ОЦЕНОК
Алё! Это телефон Николая Ивановича Степашина? - Нет, это телефон
Наума Гейнаховича Ланцберга. - Я верно набрал номер 1213141? - Нет, мой
номер 1213142! - Странно: ошибка в седьмом знаке, а такая большая разница!
Результатом расчета на ЭКВМ или ЭВМ статистических оценок параметров являются числа,
представляющие собой десятичную дробь с большим количеством цифр, часть которых является
незначащей. Запись оценок с незначащими цифрами создает иллюзию «высокой точности» и
усложняет дальнейшие расчеты, в которых используются полученные оценки. Исследователь
должен записывать оценки только со значащими цифрами; незначащие цифры нужно отбросить.
Сформулируем необходимые условия округления оценок, позволяющие получить число
значащих цифр в оценке с некоторым запасом.
Проверяемой является нулевая гипотеза H
0
о том, что неокругленная оценка
1
ˆ
θ и
округленная оценка
0
ˆ
θ
однородны, т. е. H
0
: θ
1
= θ
0
, против альтернативы H
1
об их неоднородности,
т. е. H
0
: θ
1
≠
θ
0
. В качестве статистики критерия примем t - отношение Стьюдента
θ
σθθ
ˆ
01
ˆ
ˆˆ
ˆ
−=t , (8.1)
где
θ
σ
ˆ
ˆ
- CO ошибки оценки θ
ˆ
. Если принять t
ˆ
= 1, то, согласно номограмме Бойда [рис. 4Р1],
независимо от числа степеней свободы статистики t
ˆ
, значение уровня значимости
α
ˆ
будет всегда
больше, чем 0,5. Это свидетельствует об однородности оценок
1
ˆ
θ и
0
ˆ
θ . Отсюда следует, что
абсолютная величина разности между неокругленной
1
ˆ
θ
и округленной
0
ˆ
θ оценками не должна
превышать значения
θ
σ
ˆ
ˆ
CO ошибки оценки θ
ˆ
.
Итак, известно значение неокругленной оценки
1
ˆ
θ
и CO ее ошибки
θ
σ
ˆ
ˆ
(табл. 4).
Таблица 4
Статистические оценки и среднеквадратичные отклонения (СО) их ошибок
Точечная (однозначная) оценка, θ
ˆ
СО ошибки оценки
θ
σ
ˆ
ˆ
[16]
Среднее значение X,
x
5,0
ˆ
−
N
x
σ
6
CO величины X, S
x
(
)
5,0
2
ˆ
N
x
σ
Коэффициенты регрессии (6.12),
0
ˆ
β и
1
ˆ
β
(
)
()
()
0,5
0,5
0,5
2211
00
1
ˆˆˆˆ
,1
N
YixYx
i
xNNNσσσσ
−
−
−−
=
−−
∑
Коэффициент корреляции, r
(
)
(
)
22
11,
uu
eer
−+− где
()
0,5
1
11
lg
21
3
r
u
r
N
+
=+
−
−
(В связи с асимметричной плотностью распределения статистики r (при ρ
≠
0) в табл. 4
вместо оценки S
r
приведено значение меньшего плеча 68%-ного доверительного интервала для ρ ).
Опишем правило округления оценки
1
ˆ
θ «с запасом» [27] на примере округления оценки
центра распределения.
Пример 23. По данным примера 3 известно среднее значение плотности суспензии
1
ˆ
θ
=
1
x
= 1,062857 кг/дм
3
и СО ошибки среднего
θ
σ
ˆ
ˆ
=
x
S = 0,014 кг/дм
3
.
Необходимо округлить полученную оценку
1
x
.
Решение.
Вычисляется отношение J
1
=
θ
σ
ˆ
ˆ
/30 = 0,014/30 = 0,00047. Первая значащая цифра
числа J
1
заменяется на 5, остальные цифры отбрасываются; получается число J
2
= 0,0005.
Вычисляется число
2
ˆ
θ
= |
1
ˆ
θ
| + J
2
= |1,062857| + 0,0005 = 1,063357. В полученном числе
2
ˆ
θ
отбрасываются цифры, начиная с разряда, соответствующего разряду цифры 5 в числе J
2
, и
получается округленная оценка
0
ˆ
θ =
0
x = 1,063 кг/дм
3
; разность |
1
ˆ
θ
-
0
ˆ
θ | = |1,062857 - 1,063| =
= 0,000143 не превышает СО ошибки
θ
σ
ˆ
ˆ
= 0,014; округление выполнено с запасом в одну цифру.
Литература
1. Крамер Г. Математические методы статистики / Пер. с англ. Под ред. А. Н. Колмогорова – М.: Мир,
1975. – 648 с.
2. Гордон Г. М., Пейсахов И. Л. Контроль пылеулавливающих установок.- М.: Металлургия, 1973.- 384 с.
3. Ашмарин И. П., Васильев Н. Н., Амбросов А. А. Быстрые методы статистической обработки и
планирование экспериментов. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1975. - 78 с.
4. Кенуй М. Г. Быстрые статистические вычисления / Пер. с англ. - М.: Статистика, 1979. - 70 с.
5. Плохинский H. А. Руководство по биометрии для зоотехников. - M.: Колос, 1969. - 256 с.
6. Хартман K. и др. Планирование эксперимента в исследовании технологических процессов / Пер. с нем.
Под ред. Э. К. Лецкого. - M.: Мир, 1977. - 552 с.
7. Цейтлин H. А. Простые статистические методы обработки результатов наблюдений на 'газоочистных
установках. - Харьков, 1979. - 10 с. - Рукопись представлена НИОХИМом. Деп. в ОНИИТЭХИМ г. Черкассы
25 июня 1979 г., № 2815/79 деп. - Библиогр. указатель ВИНИТИ. Деп. рукописи, 1979, № 10.
8. Гублер Е. В., Генкин А. А. Применение непараметрических критериев статистики в медико-
биологических исследованиях. - Л.: Медицина, 1973. - 142 с.
9. ГОСТ 11.008 - 74- Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. - М.: Изд-во
стандартов, 1975. - 24 с.
10. Боярский Э. А. Порядковые статистики. - М.: Статистика, 1972. - 120 с.
11. Boyd W. C. Nomogram for the « Student-Fisher t-test». Am. Stat. Ass. Journal, 1969, № 64, p. 1664-1667.
12. Введение в теорию порядковых статистик: Сб. статей / Пер. с англ. Под ред. А. Я. Боярского. - M.:
Статистика, 1970. - 414 с.
13. Цейтлин H. А. Построение линий регрессии и доверительных интервалов для однофакторных
зависимостей в химико-технологических исследованиях. - В кн.: Повыш. Эффективн., совершенств.
процессов и аппаратов хим. пр-в. Ч. 2. Тез. Докл. 4-й республ. конф. - Харьков: Изд. ХПИ, 1976, с. 6-7.
14. Цейтлин H. А. Разработка основных унифицированных звеньев математических моделей процессов в
аппаратах аммиачного цикла содового производства: Канд. дис. - Харьков: НИОХИМ, 1973. - 273 с.
15. Тутубалин В. Н. Статистическая обработка рядов наблюдений. - М.: Знание, 1973. - 64 с.
16. Закс Л. Статистическое оценивание / Пер. с нем. Под ред. Ю. П. Адлера и В. Г. Горского, - М.:
Статистика, 1976. - 598 с.
17. Гласс Д., Стэнли Д. Статистические методы в педагогике и психологи / Пер. с англ. Под ред. Ю. П.
Адлера. - М.: Прогресс, 1976. - 496 с.
18. Химмельблау Д. Анализ процессов статистическими методами. - M.: Мир, 1973. - 960 с.
7
19. Безопасность труда на производстве. Исследования и испытания: Справочное пособие / Коллектив
авторов. Под ред. проф. Б. M. Злобинского. - M.: Металлургия, 1976. - 400 с.
20. Кондратов А. П., Шестопалов Е. В. Основы физического эксперимента и математической обработки
результатов измерений. - M.: Атомиздат, 1977. - 198 с.
21. Доерфель К. Статистика в аналитической химии / Пер. с нем. Под ред. В. В. Налимова. - M.: Мир,
1969. - 248 с.
22. Можарова Т. В., Кузнецова О. M. Система BaCl
2
+2NaOH+2NaCl+Ba(OH)
2
-H
2
O при 10 и 20°С. –
Журн. неорганич. химии, 1974, т. 19, вып. 7, с. 1940-1947.
23. Пантелят Г. С. и др. Осветление сточных вод газоочисток доменных печей в гидроциклонах -
флокуляторах. - В сб.: Очистка водного и воздушного бассейнов на предприятиях черной металлургии. - M.:
Металлургия, 1975, с. 134-140.
24. Вессельман С. Г., Лексиков В. А. Применение электрохимической коагуляции для очистки сточных
вод и суспензии. - В сб.: Очистка водного и воздушного бассейнов на предприятиях черной металлургии. -
M.: Металлургия, 1975, с. 140-145.
25. Айвазян С. А. Статистическое исследовании зависимостей. (Применение методов корреляционного и
регрессионного анализов к обработке результатов эксперимента). - M.: Металлургия, 1968. - 227 с.
26. Телитченко В. A., Цейтлин Н. А., Беляев Э. К. Исследование системы MgO-CO
2
-H
2
O методом
планирования эксперимента. - Харьков, 1978. - 68 с. - Рукопись представлена НИОХИМом. Деп. в
ОНИИТЭХИМ г. Черкассы 4 апреля 1978 г., № 1561/78 деп. - РЖ. Химия, 1978 № 19(П), 19 Л57 Д.
27. Урбах В. Ю. Биометрические методы. - M.: Наука, 1964. - 380 с.
28. Словарь иностранных слов / - Под ред. И. В. Лехина и Ф. Н. Петрова. Изд. 4-е. -М.: Гос. изд. иностр. и
нац. словарей, 1954. - 856 с.
29. Розенберг Г. С., Шитиков В. К., Брусиловский П. М. Экологическое прогнозирование
(Функциональные предикторы временных рядов). - Тольятти, 1994. - 182 с.
30. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ. /Пер. с англ. В. П. Носко. - M.: Мир, 1980. - 456 с.
1
3.9. БИОЛОГИЯ. СУТОЧНЫЙ РИТМ ИЗМЕНЕНИЯ КОНЦЕНТРАЦИИ
ИНСУЛИНА В ПЛАЗМЕ КРОВИ ТЕЛЯТ
Где начало того конца, которым оканчивается начало? (К. Прутков)
В одноимённой работе [АСАДОВА М. К., 3АБЫШНАЯ Н. А., НЕДАВАВ. Е., акад. АН УССР
НИКИТИН В. Н., СИМИРЕНКО Л. Л., ДАН УКР. ССР, № 11, СЕРИЯ Б, Биохимия, биофизика и
физиология, 1976, с. 1018 - 1020.] описаны результаты пионерского исследования. Опыты
необходимо было планировать. Одно измерение концентрации инсулина занимало около двух
часов. Ожидалось, что изменение концентрации инсулина подвержено стабильному суточному
ритму. Это позволило наметить рациональный план экспериментов: опыты планировали так,
чтобы через несколько суток наблюдений точки плана приблизительно равномерно
располагались на оси времени суток. Затем результаты наблюдений были обработаны с
применением „модифицированного метода скользящей средней“ (ММСС); получены значимые
для биологов результаты.
Интенсивное многостороннее метаболическое действие инсулина [1] придает ему особое
значение для характеристики гормональной обусловленности типов продуктивности
сельскохозяйственных животных. Проводившиеся до сих пор поиски “гормональных спектров”,
типичных для различных видов продуктивности (в частности, мясной и молочной - для крупного
рогатого скота), были связаны с трудностями из-за недостатка адекватных и точных методик
определения белковых гормонов, в первую очередь - инсулина. Только после разработки радио
иммунологической методики определения гормонов белковой природы (особенно инсулина) [2, 3]
начались методически вполне оправданные поиски гормональных спектров, определяющих
продуктивность крупного рогатого скота. Значительные колебания уровня многих гормонов в
крови в течение суток [4 - 7] еще мало изучены для инсулина [8, 9].
Цель настоящего исследования - изучить особенности суточного ритма изменений
концентрации инсулина в плазме крови телят черно-пестрой и симментальской пород. Особенно
важно установить те периоды суток, когда эта концентрация достаточно стабильна и в
наибольшей степени характеризует базальный уровень инкреции обмениваемого гормона.
Методика исследований. Эксперименты проводили на базе Украинского научно-
исследовательского института разведения и искусственного осеменения крупного рогатого скота
“Терезино”. Суточный ритм изменений концентрации иммунореактивного инсулина (ИРИ)
исследовали у телят черно-пестрой и симментальской пород (соответственно - молочного и мясо-
молочного направления продуктивности) в трёх-месячном возрасте, который характеризуется не
сформировавшимся типом пищеварения, что стимулирует секрецию инсулина. За 8 час. до начала
эксперимента в яремную вену телят вводили полиэтиленовую канюлю, с помощью которой
отбирали образцы крови на протяжении полных суток с интервалом 2 час. у четырех животных
каждой породы. Образцы плазмы получали не позднее чем через 30 мин. после отбора проб и
сохраняли в жидком азоте. Концентрацию инсулина в плазме крови определяли радио
иммунологическим методом [2]. Вариационно-статистический анализ результатов исследований
выполнен с помощью модифицированного метода скользящей средней [10], по которому можно
построить эмпирическую линию регрессии и доверительный интервал для истинной линии
регрессии. Последний дает возможность графически определить достоверность изменений
концентрации инсулина в плазме крови телят на протяжении суток. Вычисления выполняли на
ЭЦВМ по стандартной программе ММСС.
Результаты исследований. В период от 22 до 8 ч (рис. 1) в плазме крови телят
симментальской породы выявлена устойчивая концентрация иммунореактивного инсулина (ИРИ),
которая в среднем составляет 30,0 ± 1,9 мкед/мл, S = 9,5 мкед/мл. От 8 до 22 ч установлены
значительные изменения концентрации инсулина. После кормления в 8, 12 и 18 ч у телят
симментальской породы наблюдается импульсное, хорошо выраженное троекратное повышение
концентрации гормона (уровень значимости Р < 0,02). Через 3 часа после каждого кормления
животного концентрация ИРИ в плазме крови падает до уровня, типичного для ночи и раннего
утра.
2
Рис. 1. Изменение концентрации иммунореактив-
ного инсулина в плазме крови 3-месячных телят
симментальской породы в течение суток:
С - концентрация инсулина, мкед/мл; t - время, часы; 1 -
эмпирическая линия регрессии; 2 - 73%-ный
доверительный интервал для истинной линии регрессии;
3 - результаты отдельных определений.
Рис. 2. Изменение концентрации
иммунореактивного инсулина в плазме
крови 3-месячных телят черно-пестрой
породы в течение суток:
обозначения те же, что и на Рис. 1.
Несколько иные закономерности выявили у телят черно-пестрой породы (рис. 2). Период
наиболее устойчивого уровня ИРИ в плазме крови телят этой породы почти совпадает с
симменталами (от 21 до 8 час ). Среднее содержание ИРИ при этом составляет 31,0±2,2 мкед/мл, S
= 11,5 мкед/мл. Основные межпородные различия проявляются в характере дневных изменений
концентрации инсулина. Если у телят симментальской породы намного повышается концентрация
инсулина после каждого кормления, то у телят черно-пестрой породы она возрастает меньше и не
во все периоды кормления. Предполагаем, что такое различие связано с более быстрым
формированием у телят черно-пестрой породы полигастрического типа пищеварения,
свойственного взрослым животным При этом ранее выявляется выравнивающее ритм
пищеварения функциональное значение рубца.
Литература
1. Р. J. Randie, ets., Recept progress in hormone research, 2, 1 (1966). 2. R. S. Ya1оv, S. A. Berson, J. Clin.
Invest., 39, 1157 (1960). 3. A. ТrenkIe, J. Dairy Science, 55, 8, 1200 (1972. 4. F. P. Alford, ets., J. Clin. Endocrinol
and Metabol. , 36, 1, 108 (1973). 5 R. L. Butcher, N. W. Fugo, W. E. Collins, Endocrinology, 90, 1125 (1972). 6. Р.
С. Harrison, J. M. Caseу, R. L. Adair, J. J. Reeves, Poultry Sci. , 53, 2, 554 (1974). 7. P. Ch. Sanwal, A. S u n d 1 у,
L. E. Edqvist, Acta vet. Scand., 15, 1, 90 (1974). 8. D. С. Siers, А. Н. T r e n k i e, J. Anim Sci., 37, 5, 1180 (1973).
9. J. J. Gagliardino, O. R. Rebelledo, Horm. Metabol. Res., 4, 278 (1972). 10. Н. А. Цейтлин, Депонированная
рукопись № 198/74 деп. Черкассы, НИИТЭИХИМ, 1974, 77 c.
1
3.10. Химическая технология. Определение зависимости кажущейся плотности
пласта соли от его толщины
Сухая статистика... мокрых дел. (Е. Кащеев)
Одноимённая публикация (Цейтлин Н. А., Мешкова Л. В., Андреев В. В. В кн.: Вопросы
технологии химических производств и охраны окружающей среды: Труды, т.70. ХНПО
"Карбонат". - Харьков, 1990, с.96 - 103) состояла из двух частей – экспериментальной (год
трудов) и статистической (день расчётов). В этой же статье была опубликована номограмма
Рубина [рис. 10Р3.7].
Исходным сырьевым компонентом в производстве соды является хлорид натрия (галит). На
Крымском содовом заводе это сырье получают путем концентрирования рапы Сиваша в открытых
садочных бассейнах.
Масса галита, находящегося на поверхности бассейна после сброса маточной рапы в конце
испарительного сезона, определяется наряду с толщиной садочного пласта его кажущейся
плотностью или пористостью. Пористость пласта соли оказывает влияние на качество сырого
рассола, получаемого путем растворения водой садочного галита [1], так как в порах
задерживается маточный рассол, содержащий вредные примеси солей магния.
В комплекс мероприятий, направленных на снижение массовой концентрации примеси
солей магния в рассоле, входит способ наращивания высоты садочного пласта методом
многолетнего накопления [2]. С увеличением высоты пласта садочного галита его пористость, а
следовательно, и кажущаяся плотность, изменяются.
Нами выполнялись измерения кажущейся плотности садочного пласта галита в течение ряда
лет с использованием однолетних и многолетних образцов. Измерения выполняли путем
взвешивания образца садочного галита, имеющего размеры (мм): А*В*С (где А
∈
{4; 5}; В
∈
{5;
6}; С ∈ {8; 10}), без парафина (т
0
, г) и покрытого пленкой парафина (т
п.о
, г). Объем (V
п.о
, см
3
)
образца, покрытого пленкой парафина, определяли по объему вытесненной жидкости в мерном
цилиндре.
Кажущуюся плотность образца садочного галита (Y, г/см
3
) рассчитывали с использованием
формулы косвенного измерения, применяемой для пористых пород [3]:
Y = m
o
/[ V
п.о
– (т
п.о
- m
o
)/Y
п
], (1)
где Y
п
- плотность парафина, г/см
3
. Пористость образца вычисляли по формуле
π
= 100(Y
ф
- Y)/ Y
ф
, (2)
где Y
ф
- физическая плотность галита, г/см
3
.
Полученные таким образом данные (таблица) подвергнуты быстрой статистической
обработке.
Характеристика садочных пластов галита
Показатели Значения
Толщина пласта соли х,
мм
35 62 85 94
Пористость, π, %
36,2 25,6 19,2 11,8
1,5 1,35 1,59 1,76 1,68 1,81
1,38 1,32 1,60 1,79 1,83 2,00
Кажущаяся плотность
Y, г/см
3
1,63 1,71 1,75 1,93
Среднее значение
Y
,
г/см
3
1,39 1,61 1,75 1,91
Начнем с проверки гипотезы о значимом отличии от нуля коэффициента корреляции
ρ
между рассматриваемыми величинами. До опытов было известно, что коэффициент корреляции
между рассматриваемыми величинами должен быть положительным, то есть
ρ
> 0. Поэтому в
качестве проверяемой формулируется гипотеза Н
0
: ρ = 0 против альтернативы Н
1
: ρ > 0. Задали
критический уровень значимости
α
к
= 0,05. Оценка коэффициента корреляции между величинами
х и Y (см. таблицу) равна r = 0,94. Число точек «плана» (различных значений фактора Х) N = 4.
Полученное по номограмме Рубина (см. [рис. 10Р3.7]) значение оценки уровня значимости
α
ˆ
= 0,07 делим на 2, получаем
α
ˆ
= 0,035. Поскольку
α
ˆ
<
α
к
= 0,05, то гипотеза H
0
отклоняется.
2
Это позволяет теперь методом наименьших квадратов [7] построить линейную аппроксимацию
зависимости кажущейся плотности пласта соли Y, г/см
3
, от его толщины х, мм:
Y
ˆ
= 1,1 + 0,0081х; (3)
Среднеквадратическое отклонение (СО) остаточной ошибки этой формулы S
0
= 0,07 г/см
3
с
двумя степенями свободы.
Проверим адекватность формулы (3). СО в точках плана {х
i
} = {35, 62, 85, 94} мм, равны
соответственно, {S
i
} = {0,079; 0,021; 0,054; 0,096} г/см
3
, с числами степеней свободы {f
i
} = {3, 2, 5,
2}. Их однородность проверим по критерию Фишера-Бонферрони [5; Ф(51)Р1]:
{
}
{
}
(
)
21021,0/096,0minmax
ˆ
22
2
/
ˆ
;2;2
===
i
i
i
i
n
SSF
α
. Общее число альтернативных гипотез п =
4*3 = 12. Уровень значимости вычислили по формуле [Ф(25)Р1]. Он получился большой:
(
)
(
)
54,0121121
ˆ
1
12/
ˆ
;2;2
=+×=+=
−
α
α Fn . Следовательно, полученные СО
{
}
4
1=i
i
S
однородны. Это
позволяет рассчитать средневзвешенное СО ошибки воспроизводимости опыта
(
)
0,5
44
2
вос
11
/0,066
iii
ii
SSff
==
==
∑∑
г/см
3
, которая имеет f
вос
= 12 степеней свободы.
Для проверки адекватности ЭФР (3) использовали гипотезу № 16 [Т3Р1] об однородности
дисперсий
2
o
S и
2
вос
S по критерию Фишера [Ф(48)Р1]. Получили 1,1/
ˆ
2
вос
2
ˆ
;12;2
== SSF
oα
. Затем по
формуле [Ф(25)Р1]
(
)
0.5
1
ˆ
2;;
ˆ
ˆ
21
f
f
Ff
α
α
−
−
=+нашли уровень значимости
ˆ
α
= (2·1,1/12+1)
-6
= 0,36.
Поскольку
ˆ
α
получился большим (
ˆ
α
>
α
к
= 0,05), гипотезу об адекватности ЭФР (3)
экспериментальным данным не отклонили. Обобщенное СО отклика вычислили по формуле [4]
S
Y
= [( f
2
o
S + f
вос
2
вос
S
)/(f + f
вос
)]
0,5
. (4)
Получили СО S
Y
= [2*0,07
2
+ 12*0,066
2
)/14]
0,5
= 0,067 с числом степеней свободы, равным 14.
При практических расчетах значений плотности Y по известным значениям толщины пласта х
следует учитывать погрешность аппроксимации (3). Для этого по методике [7; Р3.6.3] построили
нижнюю
н
ˆ
Y
и верхнюю
в
ˆ
Y
границы 95%-ного доверительного интервала (рис.), покрывающего
истинное значение v плотности Y.
Подставив в формулы [Ф(6.14) - (6.17)Р3.6.3] известные величины (N = 4;
x
= 70 мм; S
x
= 23
мм; α = 0,05; t
α
/2;14
= 2,14) получили ∆
0
= ((0,25 + ((x - 70)/23)
2
)/3)
0,5
= 0,143. Подставляя значения ∆
при разных Х в формулу [Ф(6.17)Р3.6.3], построили границы 2 и 3 доверительного интервала. Из
рисунка видно, что истинное значение кажущейся плотности пласта соли при его толщине,
например, 80 мм, находится в пределах от 1,73 до 1,88 г/см
3
(с вероятностью 95 %).
Рисунок. Зависимость кажущейся
плотности пласта соли (Y, г/см
3
) от его
толщины (х, мм):
1 - эмпирическая функция регрессии;
2, 3 - границы 95%-ного доверительного
интервала;
точки - экспериментальные данные.
Литература
1. Мешкова Л. В., Маренич Е. Е, Петренко С. А. Получение хлористого натрия из
рапы морского типа для содового завода / Гос. науч.-исслед. и проектный ин-т основной
химии. - Харьков, 1984. - Деп. в ОНИИТЭХИМ г. Черкассы 21.09.1983, № 910 ХП-Д83.
2. Маренич Е. Е., Мешкова Л. В., Кияшкина Т. И. Получение сырого рассола путем
многолетней садки соли // Технология соды и содопродуктов: Труды. Т. 52/НИОХИМ. -
Харьков, 1980. - С. 6 - 8.