Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика

Подождите немного. Документ загружается.

7) для каждого значения

из ряда выбрать элемент с порядковым номером (1–

)

⋅

Согласно методу Монте – Карло, этим элементом и является искомый верхний

-предел

аналога распределения Фишера.

2.2.3. ПОЛУЧЕНИЕ АППРОКСИМАЦИОННЫХ ФОРМУЛ ДЛЯ РАСЧЕТА ЗНАЧЕНИЯ

ОЦЕНКИ УРОВНЯ ЗНАЧИМОСТИ

Места некоторых насекомых в иерархических системах пирамидального типа J

(Всяк сверчок знай свой шесток)

Практическое применение интервального оценивания основных параметров

распределения СВ предполагает использование формул, аппроксимирующих зависимость

оценки верхних α-пределов нормированного логистического распределения от значений

верхних α-пределов аналогов распределений Стьюдента и Фишера, основанных на

логистическом законе распределения СВ. Ввиду того, что логистическое распределение

незначимо отличается от нормального даже при достаточно большом объеме выборки (не

превышающем 2000 элементов) [5], в качестве основы для получения необходимых

соотношений решено было взять структуру известных для нормального случая

аппроксимационных формул Рокицкого [6] (см. также формулы (19) и (20) из раздела 1) и

Полсона [7, 8] (см. также формулы (19) и (21) из раздела 1). В эти формулы были

добавлены эмпирические коэффициенты так, чтобы полученные уравнения были

линейными по отношению к этим коэффициентам. Далее были спланированы расчёты

так, чтобы матрица плана расчётов была близка к ортогональной [10]. Это позволило

получить независимые эффективные оценки названных аппроксимаций.

Таким образом,

уточненная аппроксимационная формула Рокицкого для случая

логистического распределения СВ задается выражением

f, /n/n/n/n

t= z(1 + 0.28z(f + 3 - 1.5z))

αααα

(3.1)

или наоборот,

0.5

/nf, /n

z = L - L t( f + 3 ) 1.22

αα



−



;

(

)

f, /n

= f + 1.5 t + 3 2.43

, (3.2)

а связь уровня значимости

с верхним α-пределом

находим с помощью формулы

(1.10):

ˆˆ

αα

= n(1-

(

)

F ), или

{}

{

}

ˆˆ

11exp1,814z

αα

−

==−+−





(3.3)

и наоборот:

= - 0,5513ln(1/(n/

-1)). (3.4)

Чтобы получить аналог аппроксимации Полсона для логистического распределения,

ввели в формулу Полсона эмпирические коэффициенты и оценили их методом линейного

регрессионного анализа. Однако в отличие от аппроксимации Рокицкого, уточнения

формулы Полсона не понадобилось: подстановка в неё рассчитанных по методу

регрессионного анализа значений эмпирических коэффициентов значимых изменений не

внесла (поправочные коэффициенты оказались незначимыми). Это позволило считать

распределения статистик Фишера (3.10) для нормального и логистического случаев

распределения СВ практически одинаковыми.

2.2.4. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ЦЕНТРА ЛОГИСТИЧЕСКОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Проблемы повышения эффективности процесса диспергирования оксида водорода

механическим путем в аппарате стандартного типа J (Толочь воду в ступе).

Пусть СВ Y имеет логистическое распределение с центром ν и дисперсией σ

∼

)) и представлена выборкой

{

}

1 i

объемом N элементов. Несмещенными

оценками центра

и дисперсии

являются [10]

∑

NY = Y =

()

∑

1 - NY - Y = S=

(4.1)

Для центра

симметричного распределения СВ Y

∼

) двусторонний

доверительный интервал (ДИ) определяется (табл. 1) как

−

< <

;

−

;

, (4.2)

где

- плечо ДИ;

- нижняя и верхняя границы ДИ; 1 –

- доверительная

вероятность; α - уровень значимости.

Таблица 1

Интервальное оценивание математических ожиданий случайных величин, имеющих

симметричный (в частности, логистический или нормальный) закон распределения

№

Название

доверительного

Пара-

Границы доверительного

интервала

Плечо

доверительного

п/п

интервала метры нижняя верхняя

интервала, δ

1 двусторонний

- δ

+ δ

/2 ,f

2 правосторонний

+ δ

3 левосторонний

- δ

4 двусторонний

−

YY −

(

)

5.0

Y2/ ,f2

N2St

5 правосторонний

YY −

+δ

(

)

5.0

Y ,f2

N2St

6 левосторонний

−

(

)

5.0

Y ,f2

N2St

7 двусторонний

, 1

≤

Y -

Y +

()

0.5

, /(2)

mflY

tSN

−

Границы односторонних ДИ определяются из условий (табл.1)

−

1) <

−

< (P

(4.3)

для левостороннего и правостороннего ДИ соответственно.

ДИ в случае двух независимых выборок

{

}

)2 ,1R( =

, имеющих равные

дисперсии

σσσ ==

и объемы N элементов из множества значений Y

∼ L(ν

)

определяются по позициям 4 - 6 табл. 1.

Если имеется m независимых выборок

{

}

1 i

)m ,1R( =

равного объема N из

множества значений Y

∼

) и

, то двусторонние ДИ определяются по

позициям 7 табл. 1.

Для повышения эффективности статистической обработки результатов наблюдений

одновременно с построением ДИ для центров ν

( m ,1i= ) можно выполнить попарное

сравнение центров H

0ij

против альтернатив H

1ij

≠

методом доверительных

интервалов [12] (см. также [Р1.2.1]).

2.2.5. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ДИСПЕРСИИ ЛОГИСТИЧЕСКОГО

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Слабо выраженная актуальность применения клавишных инструментов в среде лиц

духовного звания J (На фига попу гармонь)

При исходных условиях, описанных в пункте 4.1 для дисперсии

СВ Y

∼

)

двусторонний ДИ определяется так (табл. 2)

σ < σ

σ ) = 1 – α (5.1)

где

σ и

σ - нижняя и верхняя границы ДИ.

Границы односторонних ДИ определяются из условий (табл. 2): P(

σ < σ

) = 1-α -

для левостороннего ДИ и P(

σ ) = 1 -

- для правостороннего.

Таблица 2

Интервальное оценивание дисперсий случайных величин, имеющих

логистический (или нормальный) закон распределения

№

п/п

Название ДИ

доверительного

Параметры

Границы доверительного интервала

интервала нижняя верхняя

двусторонний

/2 , ,f

α∞

, f, /2

∞

правосторонний

, f,

∞

левосторонний

α , ,f

∞

двусторонний

12 , f, /2

/()

YYf

SSF

12 , f, /2

/()

YYf

SSF

правосторонний

12 , f,

/()

YYf

SSF

левосторонний

/σ

12 , f,

/()

YYf

SSF

двусторонний

, 1

≤

)l2/( , ,f

α∞

, f, /(2)

α∞

ДИ для

σ , ( m ,1i = ) в случае двух независимых выборок

{

}

)2 ,1R( =

равного объема N определяются по позициям 4 - 6 в табл. 2.

Для m независимых выборок

{

}

)m ,1R( = равного объема N из множества

значений Y

∼

σ ) двусторонние ДИ строятся по позициям 7 табл. 2.

Различные методы определения верхних

-пределов

, f, /

распределения Фишера в

зависимости от заданного уровня значимости

, числа n и чисел степеней свободы числителя f

знаменателя f

подробно описаны выше [Р1.2.2].

Выполняя одновременно с построением ДИ для

σ , ( m ,1i= ) попарное сравнение

дисперсий, мы проверяем гипотезы H

0ij

σ =

против альтернатив H

1ij

≠

методом

доверительных интервалов [12] (см. также [Р1.2.2]).

Заключение

Влияние сезонных условий на процесс бухгалтерского учета птенцов из отряда куриных J

(Цыплят по осени считают).

Результатом данной работы явились формулы, аппроксимирующие обратные

функции распределений, аналогичных распределениям Стьюдента и Фишера в

предположении о логистическом законе распределения СВ. Формулы получены на основе

аппроксимаций Рокицкого и Полсона.

Получить аналитические выражения для функций распределения

и Стьюдента,

основанных на логистическом законе распределения СВ, нам не удалось.

Проверку статистических гипотез относительно параметров распределения СВ,

имеющих логистическое распределение, рекомендуется производить с помощью метода

доверительных интервалов. При этом для получения верхних α-пределов нормированного

логистического распределения, а также аналогов распределений Стьюдента и Фишера,

основанных на логистическом законе распределения СВ, следует пользоваться

полученными аппроксимациями.

Поскольку в разделе приведен весь набор формул, необходимых для интервального

оценивания параметров логистического распределения случайной величины, а также для проверки

параметрических гипотез, предлагаем читателю самостоятельно получить представление о

степени соответствия двух практически одинаковых статистических методов, основанных на

нормальном и логистическом законах распределения СВ. Для этого рекомендуется решить

контрольные примеры из [Р1.2.1] и [Р1.2.2] в предположении о логистическом законе

распределения СВ.

Литература

1. Крамер Г. Математические методы статистики - М., "Мир", 1975, 648 c.

2. Клейнен Дж. Статистические методы в имитационном моделировании, т. 1 - М.,

"Статистика", 1978, 221 c.

3. А. Афифи, С. Эйзен. Статистический анализ. Подход с использованием ЭВМ. М.: Мир,

1982.

4. Гаскаров Д., Шаповалов В. Малая выборка - М., "Статистика", 1978, 248 c.

5. Орлов А. И. Прикладная теория измерений//Прикладной многомерный статистический

анализ - М., "Наука" , 1978.

6. Рокицкий П. Биологическая статистика - Минск, "Высшая школа" , 1973, 218 c.

7. Колесникова С., Цейтлин Н.

- метод проверки статистических гипотез в приложении к

анализу процесса приготовления суспензии гидроокиси кальция - Киев, "Химическая технология",

1982, N 6.

8. Закс Л. Статистическое оценивание - М., "Статистика", 1976, 598 c.

9. Себер Дж. Линейный регрессионный анализ - М., "Мир", 1980, 456 c.

10. Джонсон H, Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Кн. 1. Методы

планирования эксперимента. / Пер. с англ. Под ред. Э. К. Лецкого. и Е. В. Марковой. 1981. - 518 с. Кн. 2.

Методы обработки данных. / Пер. с англ. Под ред. Э. К. Лецкого. - M.: Мир, 1980. - 612 с.

11. Справочник по теории вероятностей и математической статистике / под ред. ак. АН СССР

Королюка В. - Киев, "Наукова думка", 1978, 584 c.

12. Цейтлин Н.А. Проверка статистических гипотез методом доверительных интервалов. - В

кн.: Методы математической статистики в основной химии. Тр./ НИОХИМ. Т. 53, Харьков, 1981,

с. 82 - 89.

13. Цейтлин Н.А. Исследование погрешности считывания оператором показаний стрелочного

измерительного прибора.- Тр. НИОХИМ. - Харьков, 1987, 25 с.

14. Цейтлин Н.А., Акимова Ю.А. Литвинов Ю.С. Статистический анализ моделируемых

параметров обработки оперативных транзакций. - В сб. науч. тр. Харьков: НАНУ, ПАНИ, ХВУ,

1996. - с. 93 - 99.

15. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ, т.1 - М., "Финансы и

статистика", 1986, 366 c.

16. Кнотек М. и др. Анализ металлургических процессов методами математической

статистики - М., "Металлургия" , 1968, 210 c.

17. Цейтлин Н.А. Применение методов математической теории эксперимента в содовой

промышленности//Обзор инф. Сер. “Содовая промышленность”. - М.: НИИТЭХИМ, 1984, - 40 с.

3. Простые и эффективные методы статистической обработки результатов наблюдений

У простейших свои сложности. (Из интернета)

Количество задач, решаемых в научном эксперименте практически необозримо. В настоящем

разделе описываются лишь наиболее простые и часто встречающиеся задачи. Особое внимание

уделяется получению графического представления поверхности отклика и её аналитической

аппроксимации методами математической статистики в задачах с малым числом варьируемых

переменных. Статистически оптимальное планирование эксперимента и обработку

результатов наблюдений в простых задачах, при небольшом количестве варьируемых

переменных рекомендуется выполнять исследователям собственными силами, руководствуясь

литературой [1.1-1.26], [7.1-7.36]. Особенно полезными являются простые быстрые методы

статистики [9.1-9.11], [l6.11], рассчитанные на использование "малой" оргтехники -

программируемых микрокалькуляторов - для вычислений, вероятностной и миллиметровой бумаги,

сплайна (тонкой стальной линейки), лекала, инженерной линейки с вырезами для изображения

различных фигур, транспортира и т. п. - для графических построений. При этом

полезно

пользоваться консультативной помощью аналитического статистика (АСа).

Для планирования эксперимента и обработки данных при большом количестве варьируемых

переменных, при возникновении сложных задач статистического анализа (многомерный

регрессионный анализ, векторная оптимизация и т. п.) АСа следует привлекать в качестве

соисполнителя работ.

Далее будут рассмотрены

быстрые

эффективные

статистические методы. Описаны

методы однофакторного регрессионного и корреляционного анализов: методы интервального

оценивания эмпирической и прямолинейной регрессии; метод доверительных интервалов для

проверки гипотез; метод быстрого оценивания коэффициента корреляции и проверки его

значимости; правило округления оценок.

В настоящем разделе цитируются, в основном, разработки автора [7], вошедшие в стандарт

предприятия НИОХИМ СТП 6-18-10-26-84 и предназначенные, в основном, для повышения

квалификации лаборантов.

Аббревиатуры

СО - среднеквадратичное отклонение; ЭЛР - эмпирическая линия регрессии; ИЛР - истинная

линия регрессии; ДИ - доверительный интервал; ЭФР - эмпирическая функция регрессии;

АЛР - аналитическая линия регрессии.

В «полевых» и производственных условиях у исследователя обычно нет возможности

обратиться за помощью к ЭВМ. В этом случае рекомендуется использовать быстрые статистические

методы обработки результатов наблюдений. Эти методы позволяют непосредственно у объекта путем

элементарных вычислений быстро сформулировать и проверить гипотезы, выдвигаемые

исследователем, оценить параметры распределений (среднее, дисперсию, медиану и т. п.)

наблюдаемых величин. Ниже приведены экспресс-методы расчета коэффициентов корреляции и

линейной регрессии, описан метод скользящей средней, позволяющий наряду с эмпирической линией

регрессии строить доверительные интервалы для истинной регрессии [16.11]. Для проверки гипотез о

равенстве средних даны формулы пересчета доверительных интервалов, позволяющие визуально на

графике делать выводы по признаку перекрывания интервалов.

Показано, что быстрые статистические методы не хуже (а иногда и лучше) эффективных

методов. Кроме того, освоение быстрых статистических методов оказываются весьма полезным для

исследователей и студентов при изучении основ математической статистики.

Технологические замеры обычно сопровождаются существенным разбросом данных. Этот

разброс связан с погрешностями измерения, неравномерностью параметров исходного сырья, с

турбулизацией потоков и т. п.

Так, например, погрешности при измерении запыленности газов [2, 7, 19] могут возникать

из-за несовершенства измерительных приборов, неточности действий наблюдателя, влияния

окружающей среды. Они складываются из следующих компонентов:

1) погрешности при отборе газа из газохода из-за отступления от изокинетичности отбора (при

разных скоростях газа в газоходе и носике отборной трубки), отклонения входного отверстия

заборной трубки от положения, перпендикулярного направлению газового потока, осаждения пыли в

канале заборной трубки (при внешнем фильтровании);

2) погрешности при улавливании пыли из отобранного объема газа (неполнота улавливания);

3) погрешности при измерении отобранного объема газа;

4) погрешности при взвешивании уловленной пыли.

Обработка наблюдений, сопровождающихся разбросом данных, методами математической

статистики заключается в решении двух задач: оценка неизвестных параметров генеральной

совокупности и проверка гипотез относительно этих параметров.

Напомним читателю некоторые положения математической статистики.

В экспериментальной практике генеральной совокупностью является бесконечно большое

число наблюдений случайной величины, параметрами генеральной совокупности являются

коэффициенты уравнения, описывающего закон распределения этой величины. Если

- некоторый

параметр генеральной совокупности, то его оценка θ

есть приближенное значение параметра,

полученное по данным случайной выборки из этой совокупности. Оценки бывают однозначные и

интервальные. Точечной называется однозначная оценка параметра. Интервальной является оценка

параметра, заданная его нижней

и верхней

, границами.

Следует отметить, что самой важной в статистической обработке является именно

интервальная оценка, или доверительный интервал (

), который с любой заданной надежностью

накрывает истинное значение параметра

Статистическими гипотезами называются предположения о свойствах генеральной

совокупности, которые можно проверить, опираясь на данные случайной выборки. Например,

статистической гипотезой является утверждение относительно параметра θ: θ = θ

, где θ

–

действительное число.

Смысл проверки статистических гипотез состоит в том, чтобы по данным случайной выборки

принять наиболее обоснованное решение о виде или параметрах генеральной совокупности, то есть

принять или отклонить гипотезу с минимальным риском ошибки.

Обычно проверяемую гипотезу называют нулевой гипотезой и обозначают H

Нулевыми считаются гипотезы, утверждающие, что между сравниваемыми величинами

нет различия, а наблюдаемые отклонения объясняются лишь случайными колебаниями в

выборках. Остальные гипотезы, отличающиеся от H

и противопоставляемые ей, называются

альтернативными и обозначаются H

Оценки

ˆˆ

θθ

… параметра

, получаемые различными способами, отличаются по

эффективности. Эффективная оценка имеет минимальное (среди других оценок)

среднеквадратичное отклонение (СО) случайной ошибки. Однако расчет эффективной оценки

часто связан с громоздкими вычислениями. Существуют быстрые, или экспрессные оценки,

которые, несмотря на некоторую потерю эффективности, позволяют без помощи ЭВМ,

буквально "не отходя от исследуемого объекта", получить однозначные и интервальные

оценки параметров распределения случайных величин, а также проверять статистические

гипотезы относительно этих параметров.

Подчеркнем, что если с помощью быстрых методов нулевые гипотезы отклоняются, то

дальнейшая проверка гипотез эффективными методами не нужна. Если же быстрый метод не

позволяет отклонить нулевую гипотезу, то необходимо повторить проверку гипотезы

эффективным методом.

При статистической обработке наблюдений исследователь должен руководствоваться

следующим тезисом простоты:

Если опыты не противоречат самому простому объяснению наблюдаемой зависимости, то

более сложная зависимость незначима.

С другой стороны, следует учесть, что чем больше информации (или предположений) о

законе распределения исследуемой случайной величины имеется у исследователя априори (до

проведения экспериментов), а опыты не противоречат этой априорной информации (или

предположениям), то простое объяснение наблюдаемой зависимости можно сделать,

основываясь на этих данных.

Если для оценивания параметров использовать эффективные методы, то мы получим

самые узкие доверительные интервалы для параметров; самыми мощными будут

статистические критерии для проверки гипотез.

Теория математической статистики изложена в книгах [6], [17], [25]; фундаментально - в [1].

Эффективные методы рассмотрены в работах [6, 13, 16, 25]; популярно – в [5, 17, 20 и 21]. Быстрые

методы описаны в книгах [3, 4, 8, 10, 12, 16, 21]. В работе [16] приведен обширный список

литературы о современных статистических методах - около 1500 наименований. Статистические

методы позволяют извлечь существенную информацию из правильно спланированных

экспериментов [6].

3.1. ВЫБОР ЧИСЛА НАБЛЮДЕНИЙ

Счастливы живущие во плоти: они умеют считать на пальцах! (Из интернета)

С позиций математической статистики, чем больше объем выборки N (N - число наблюдений

случайной величины), тем точнее оценки параметров распределения и мощнее статистические

критерии. Однако при увеличении N возрастают затраты и время исследования. Выбор

определённого числа N наблюдений осуществляется экспертом и зависит от конкретных

особенностей исследования. Если стоимость опытов невелика, то для оценивания среднего и

дисперсии достаточно 20 - 30 наблюдений. Если опыты трудоемки и дороги, то приходится

ограничиваться «малой выборкой», когда 2

≤

10.

При проверке согласия выборочного распределения с некоторым теоретическим

распределением рекомендуется выполнять не менее 50-ти измерений [9].

Часто целью исследования является проверка гипотезы. Обычно проверяют нулевую гипотезу о

равенстве параметров против некоторой альтернативной (противоположной) гипотезы. В этом случае

в зависимости от важности задачи и трудоемкости опытов проводят от 2-х до 30-ти измерений. Если

нулевая гипотеза отклоняется, опыты можно прекратить; если не отклоняется, то возможно

выполнение новой серии опытов, число которых можно рассчитать [6]. Экономически выгодной

(особенно при разрушающем контроле качества продукции) является стратегия последовательного

анализа [16]: после каждого опыта проверяют гипотезу и в зависимости от результата проверки

опыты продолжают или прекращают.

3.2. ТЕХНИЧЕСКАЯ ПОДГОТОВКА ЧИСЛОВОГО МАССИВА ДАННЫХ ДЛЯ

СТАТИСТИЧЕСКОЙ ОБРАБОТКИ [3]

- Чем занимаешься? - Работаю в Академии наук! - А точнее? - В Институте

генетики. - А ещё точнее? - В группе подготовки материалов для экспериментов. -

Ну, а конкретно? - Мошек для опытов ловлю... (Из интернета)

Если исходные данные x

, x

,…, x

- результаты измерений (мы будем называть их вариантами)

представлены дробными числами, то желательно умножить их на какую-то постоянную величину,

чтобы оперировать далее только целыми числами. Если многозначные варианты x

различаются лишь

в одном или нескольких последних знаках, то целесообразно отбросить постоянную часть вариант.

Разумеется, после завершения расчета, например, средней, нельзя забывать о необходимости

произвести с полученным результатом обратные операции. Для излагаемых далее методов важно

отметить номера наибольшей и наименьшей вариант, а также одной - двух ближайших к ним вариант.

Если обрабатываемая совокупность вариант невелика, то желательно составить из них вариационный

ряд, то есть расположить варианты в порядке возрастающих значений и присвоить им новые номера,

такие, чтобы каждая последующая варианта была больше или равна предыдущей:

≤

…

≤

N-1

≤

. (3.1)

Последняя операция становится обязательной, если предполагается расчет медианы.

Рекомендуется нанести результаты измерений на числовую ось. Это позволяет визуально («на

глаз») оценивать разброс данных и облегчает составление вариационного ряда.

Пример 1. Техническая обработка данных. Плотность суспензии в аппарате мокрого

пылеулавливателя.

Номер варианты 1 2 3 4 5 6 7 8

Плотность, кг/дм

1,08 1,04 1,04 1,12 1,31 1,09 1,01 1,06

Та же совокупность после технической обработки (все варианты умножены на 100, затем

уменьшены на 100 и ранжированы) выглядит так: {x

} = {1 4 4 6 8 9 12 31}, i =

8,1

, где индекс i -

номер в порядке возрастающих значений вариационного ряда (1): x

= 1; x

= 4; ...; x

= 31; x

, x

минимальное и максимальное значение ряда соответственно; i = 8,1 означает, что индекс i принимает

поочередно значения от 1 до 8.

3.3. Исключение выскакивающих вариант

Когда чаша терпения переполняется, остаётся только отпить лишнего. (Из интернета)

Перед началом статистической обработки следует исключить из вариационного ряда

выскакивающие варианты (выбросы или грубые ошибки, замеченные исследователем). Обычно

предполагается, что все варианты являются выборкой значений нормально распределённой

случайной величины. Согласно нулевой гипотезе, все варианты принадлежат одной нормальной

совокупности; согласно альтернативной гипотезе, одна или две варианты не принадлежат одной

совокупности.

Пример 2.

Просмотр упорядоченного ряда в примере 1 позволяет предположить, что

выскакивающей является варианта x

. Теперь рассчитываем отношение

−

, то есть

663,0

131

1231

−

, (3.2)

где в числителе - разность между "подозреваемой" выскакивающей крайней вариантой и

вариантой, которая ей предшествует, а в знаменателе - разность между наибольшей и наименьшей

вариантами ряда. Полученную величину оценим с помощью табл. 1 [3].

Там для числа вариант N = 8 и уровня значимости оценки

= 0,01 указано пограничное

значение отношения (x

- x

N-1

)/(x

– x

) = 0,590. Поскольку вычисленное нами значение 0,663 больше

табличного, мы имеем право считать варианту x

выскакивающей и исключить её из всех

последующих операций по статистической обработке приведенной совокупности.

В данном примере вывод о правомочности исключения варианты x

как выскакивающей сделан

с низким уровнем значимости. Вероятность того, что этот вывод ошибочен меньше 0,01. Однако

возможны случаи, когда найденное в опыте отношение (x

- x

N-1

)/(x

– x

) окажется между

пограничными значениями для уровней значимости 0,01 и 0,05 или выше 0,05. Критический уровень

значимости выбирает сам исследователь в зависимости от ответственности за свое решение [Т2Р1].

Для выявления выскакивающих вариант рекомендуется использовать в обычных случаях

0,01; более строгий уровень значимости

= 0,05.

Таблица 1

Критерии для исключения выскакивающих вариант

Уровень значимости отношения

α = 0,05 α = 0,01

Объем

выборки

−

3 0,941 1,000 1,000 0,988 1,000 1,000

4 0,765 0,955 0,967 0,889 0,991 0,992

5 0,642 0,807 0,845 0,780 0,916 0,929

6 0,560 0,689 0,736 0,698 0,805 0,836

7 0,507 0,610 0,661 0,637 0,740 0,778

8 0,468 0,554 0,607 0,590 0,683 0,710

9 0,437 0,512 0,565 0,555 0,635 0,667

10 0,412 0,477 0,531 0,527 0,597 0,632

11 0,392 0,450 0,504 0,502 0,566 0,603

12 0,376 0,428 0,481 0,482 0,541 0,579

15 0,338 0,381 0,430 0,438 0,486 0,522

20 0,300 0,334 0,372 0,391 0,430 0,464

24 0,281 0,309 0,347 0,367 0,400 0,434

30 0,260 0,283 0,322 0,341 0,369 0,402

)

Верхний ряд отношений - для оценки наибольших выскакивающих вариант, нижний ряд - для оценки

наименьших вариант вариационного ряда.

Отметим, что уровень значимости

характеризует вероятность ошибочного отклонения

проверяемой (нулевой) гипотезы, если она верна. В примере 2 вероятность ошибочного отклонения

нулевой гипотезы о том, что варианта x

не является выбросом, меньше 0,01.

Точно так же можно проверить и предположение о том, что выскакивающей является

наименьшая варианта. При этом следует рассчитать отношение, которое аналогично отношению

(3.2):

−

, то есть

1,0

131

−

. (3.3)

Легко убедиться, что в этом случае величина отношения намного меньше табличного значения

для N = 8 даже для уровня значимости 0,05 и, следовательно, нет оснований для исключения

наименьшей варианты.

Для проверки предположения о том, что выскакивающими являются одновременно

наименьшая и наибольшая варианты используется отношение (x

- x

N-1

)/(x

– x

). Отношение же

- x

N-2

)/(x

– x

) позволяет решать задачу в условиях, когда предполагаются выскакивающими сразу

две наибольшие варианты. Иногда возникает положение, когда для проверяемого ряда вычислены

три описанных вида отношений и лишь одно из них превышает пограничное для уровня значимости

0,01. Следует подчеркнуть, что это уже дает право на исключение крайней варианты.

Неэффективность двух других отношений показывает лишь, что в данной ситуации их мощность

оказалась недостаточной [3].

3.4. ЭФФЕКТИВНЫЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ НОРМАЛЬНОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Для немцев все, что естественно - нормально. Для нас все, что нормально - у немцев.

(Из интернета)

Распределение большинства исследуемых величин подчинены нормальному закону

распределения [2]. Представление о нормальном распределении дает кривая плотности этого

распределения

(t), вид которой приблизительно такой, как на [рис. 1 – 3 Р1] или в центре

номограммы Бойда [рис. 4Р1].

Уравнение, описывающее плотность нормального распределения [Ф(3)Р2], содержит два

параметра (коэффициента): характеристику положения - центр, или математическое ожидание

характеристику рассеяния - среднеквадратичное (или стандартное) отклонение (СО)

, (часто

используют квадрат этой величины

дисперсию

). Если случайная величина X распределена

нормально с параметрами

, то кратко это записывается так:

X ~ N(

). (4.1)

Пусть в результате измерения случайной величины X получена выборка {x

}, i = N,1 . Она

позволяет оценить параметры

(

)

NxxxNxx

+++===

∑

...

ν ; (4.2)

(

)

()

5,0













−













−==

∑∑

NNxxS

iixx

σ , (4.3)

где x - выборочная средняя - однозначная оценка параметра

; S

- выборочное СО – однозначная

оценка параметра

;

∑

i 1

- символ суммирования элементов с индексами i от 1 до N расписан в

правой части формулы (4.2) (суммы следует вычислять со всеми значащими цифрами).

Поскольку средняя x является линейной комбинацией нормально распределенных величин

, то она также распределена нормально, то есть

(

)

, . (4.4)

СО ошибки среднего

оценивается по формуле

5,0

−

== NSS

xxx

σ . (4.5)

Пример 3. По данным примеров 1 и 2 найти однозначные оценки центра и стандартного

отклонения - параметров, характеризующих нормальное распределение плотности суспензии.

Решение. Находим сумму вариант (после отбрасывания х

∑

= 1 + 4 + ... + 12 = 44.

Определяем сумму квадратов этих вариант:

∑

= 1 + 16 + … + 144 = 358. По формуле (4.2)

вычисляем среднее x = 44/7 = 6,3; по формуле (4.3) - СО S

= [(358 - 44

/7) /6]

0,5

= 3,7. Выборочная

оценка СО ошибки среднего 4,177,3 ==

S .

Для перехода к размерным величинам, представленным в исходных данных, выполним

технические операции с полученными результатами в обратном порядке.

Для среднего x

исх

= (6,3 + 100)/100 = 1,063 кг/дм

; для СО S

исх

= 3,7/100 = 0,037 кг/дм

; для СО

ошибки среднего

исх

= 1,4/100 = 0,014 кг/дм

Интервальная оценка центра нормального распределения (

xвxн

)

задается нижней

xн

и верхней

xв

границей доверительного интервала:

xн

= x -

;

xв

= x +

, (4.6)

где

- полуразмах доверительного интервала.

В свою очередь

= t

f;α/2

-0,5

, или, короче

tS , (4.7)

где t = t

f;α/2

- верхний

/2 - предел распределения Стьюдента, который в зависимости от уровня

значимости

[Т2Р1] и числа степеней свободы f (здесь f = N - 1) можно определить по номограмме

Бойда (см. [рис. 4Р1]); доверительная вероятность равна 1 –

Пример 4. По данным примеров 1 - 3 найти интервальную оценку центра распределения

плотности суспензии; доверительная вероятность 1 –

равна 0,95.

Решение. По номограмме Бойда [рис. 4Р1] с помощью прямой, проходящей через точки f = 6 и

= 0,05, находим t = t

f;α/2

= 2,5; по формуле (4.7):

= 2,5⋅0,014 = 0,035; по формулам (4.6):

xн

= 1,063 - 0,035 = 1,028;

xв

= 1,048.

Ответ. Истинное значение плотности суспензии с вероятностью 1 –

= 0,95 накрывается

доверительным интервалом (1,028; 1,048) кг/дм