Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика

Подождите немного. Документ загружается.

Гипотеза Н

(46) отвергается на уровне значимости

, если D

> К

N,α

и не отвергается в

противном случае. Критические значения верхних

- пределов К

N,α

распределения Колмогорова

находят по таблицам в справочниках [6, 7, 18 и др.].

Графический метод.

Наглядно продемонстрировать результат проверки гипотезы о согласии выборочного и

нормального распределений по критерию Колмогорова можно с помощью заранее

подготовленных номограмм (рис. 4 - 6).

Рис. 4. Границы доверительных интервалов при

уровне значимости

= 0,01

Рис. 5. Границы доверительных интервалов

при уровне значимости

= 0,05

Рис. 6. Границы доверительных интервалов при

Рис. 7. Демонстрация согласия выборочного

(z) и логнормального F(z) распределений

уровне значимости

= 0,1

На рис. 4 - 6 обозначено: Р – вероятность;

- нормированная и центрированная нормально

распределённая случайная величина (7);

= 0,01 -критическое значение уровня

значимости.

толщины слоя отложения солей

(к примерам 3 - 5 ):

Р – вероятность;

- нормированная и

центрированная нормально распределённая

случайная величина (7);

= 0,01 – заданное

критическое значение уровня значимости.

Для наглядной демонстрации результата проверки гипотезы о согласии выборочного F

(z) и

нормального F(z) распределений на «вероятностной бумаге» изображается график теоретической

функции F(

) нормированного нормального распределения случайной величины

. Ось ординат

(Р) преобразована так, чтобы S – образная функция (3), где z =

= 0 и

= 1 приобрела вид

прямой линии. Над и под графиком функции F(

) изображены верхняя и нижняя границы 100(1-

)%-ного доверительного интервала для F(

) при определённом объёме выборки N.

Построения.

1) Задают критический уровень значимости

(см. [Т2Р1]) и выбирают соответствующую

номограмму из рис. 4 - 6.

2) Вариационный ряд (44) преобразуют в соответствующий ряд

121

iiN

ζζζζζ

≤≤≤≤≤≤

KK, (56)

элементы

которого вычисляют по формуле (7).

3) Подставляя в формулу (53) значения

из вариационного ряда (56), строят на избранной

номограмме ступенчатую кумулятивную кривую. Если эта кривая целиком расположена между

соответствующими числу N верхней и нижней границами доверительного интервала, то гипотеза

(46) о согласии выборочного и нормального распределений не отвергается, в противном случае

она отвергается.

Пример 5. По данным примеров 3 и 4 необходимо наглядно продемонстрировать результат

проверки гипотезы о согласии выборочного и нормального распределений толщины слоя

отложения солей.

Решение. Воспользуемся графическим методом.

1) Задаём критический уровень значимости

= 0,01. 2) Вариационный ряд (44)

преобразуем в соответствующий ряд (56):

= (lg1 - 0,712)/0,3 = -2,3;

= -1,3 и т. д.;

= 2.

3) Строим на номограмме (рис. 4) ступенчатую кумулятивную кривую, которая оказалась

целиком расположенной между границами ДИ (рис. 7), что и требовалось продемонстрировать.

Литература.

1. Цейтлин Н. А. Статистическая обработка выборки из одномерной случайной величины. НИОХИМ,

Харьков, 1980 31 с. (Рукопись деп. в ОНИИТЭХИМ г. Черкассы 25 января 1979 г. № 1049ХР-ДШ)- Библ.

указатель ВИНИТИ Деп. рукописи, 1980, № 11, 97 с.

2. Закс Л. Статистическое оценивание. - M.: Статистика, 1976. - 600 с.

3. Цейтлин Н. А. Расчет толщины слоя отложений бикарбоната натрия на внутренней поверхности

карбонизационной колонны содового производства. Депон. рукопись № 498/75 деп. г. Черкассы, 1976 г. (Ре-

ферат в РЖ «Химия», 1976, реф. 16. л. 38, 12 с.)

4. Цейтлин Н. А. Применение методов математической теории эксперимента в содовой

промышленности. Обзорная информация. Серия «Содовая пром-сть». - М.: НИИТЭХИМ, 1984. - 48 с.

5. ГОСТ 11.002-73. Правила оценки анормальности результатов наблюдений. – М.: Изд.

стандартов, 1973. - 24 с.

6. Большев Л. H., Смирнов H. В. Таблицы математической статистики. - M.: Наука, 1965. - 464 с.

7. Идье В. и др. Статистические методы в экспериментальной физике. / Пер. с англ. под ред. А. А.

Тяпкина. - M.: Атомиздат, 1976. – 335 с.

8. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа. Сб. статей. - М.: Финансы

и статистика, 1988.- 263 с.

9. Подборка статей по бутстрепу / Заводская лаб. 1987., Т. 53. - Вып. 10. С.76 - 99.

10. Орлов А.И. /Заводская лаборатория. 1987. Т. 53. - Вып. 10. С.82-85.

11. Бокс Д., Дженкинс Г. Анализ временных рядов, прогноз и управление. Вып. 1. - М.: Мир, 1974. - 406

с.; вып. 2. М.: Мир, 1974. - 198 с.

12. ГОСТ 11.006-74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим. - M., Изд.

Стандартов, 1975. 24 с.

13. Сборник научных программ на Фортране. Руководство для программиста. Вып. 1. Статистика. /

Пер. с англ. С. Я. Виленкина. - M.: Статистика, 1974. - 316 с.

14. ГОСТ 11.004-74. Прикладная статистика. Правила определения оценок и доверительных границ для

параметров нормального распределения. - M., Изд. Стандартов, 1974. - 20 с.

15. Гласс Д., Стэнли Д. Статистические методы в педагогике и психологии. / Пер. с англ. под ред. Ю. П.

Адлера. - M.: Прогресс, 1976г - 496 с.

16. Пасхавер И. С. Средние величины в статистике. – М.: Статистика, 1979. – 279 с.

17. Колмогоров А. Н. Избранные труды.: Математика и механика. - М.: Наука, 1985. - с. 136-138.

18. Мюллер П., Нейман П., Шторм P. Таблицы по математической статистике / Пер. с нем. В. М.

Ивановой. - M.: Финансы и статистика, 1982. - 272 с.

19. Шитиков В.К., Тихонов В.Н., Быков С.Т., Ковалев А.Ф. Статистический анализ и нормальность

распределения выборок в токсиколого-гигиенических исследованиях // Гигиена и санитария, N 3,1985. С. 61-

62.

2.2. Применение логистического закона распределения выборки

Лингвистический принцип использования сельскохозяйственного орудия на поверхности не

сжимающейся жидкости J (Вилами по воде писано)

Настоящая работа защищена в качестве дипломного проекта студенткой Харьковского

Государственного Университета им. А. М. Горького Акимовой Юлией Александровной

(руководитель проекта: к. т. н. Цейтлин Н. А.).

Аннотация

Для получения аппроксимационных формул, необходимых при оценивании

статистических параметров СВ, распределенных по логистическому закону,

производились следующие работы:

- предпринята попытка аналитического решения поставленной задачи;

составлен алгоритм, позволяющий путем имитации выборки численным методом

Монте - Карло получить верхние α-пределы аналогов распределения Стьюдента и

Фишера для СВ, имеющих логистическое распределение;

- рассчитаны значения для таблицы верхних

-пределов z

нормированного

логистического распределения;

- произведено уточнение коэффициентов формулы Рокицкого для аппроксимации

обратной функции распределения Стьюдента;

Для вычисления коэффициентов в аппроксимационных формулах использован

раздел ППП Regression Analisys приложения STATISTICA for Windows-95.

Список сокращений

ДИ - доверительный интервал;

МДИ -

метод доверительных интервалов;

МО - математическое ожидание;

СВ - случайная величина;

СО - среднеквадратичное отклонение;

ФР - функция распределения;

Предисловие

Идея использовать простые формулы логистического распределения принадлежала

профессору А. И. Орлову. Автор решил воспользоваться этой идеей, чтобы «одним

выстрелом убить трёх зайцев»: 1) - помочь студентам освоить принципы

интервального оценивания и проверки статистических гипотез на простом примере; 2) -

получить представление о степени соответствия и точности двух практически

одинаковых статистических методов; 3) сделать уважаемому коллеге Александру

Ивановичу подарок – реализацию его идеи.

Введение

При оценивании статистических параметров СВ основное внимание уделяется

обычно величинам, имеющим нормальное распределение. Однако встречаются случаи,

когда выборка заведомо не подчиняется нормальному закону распределения, а какому -

либо другому закону. Например, в экономических исследованиях иногда используется

логистическое распределение [10]. Логистическая функция распределения очень мало

отличается от нормальной функции распределения и наряду с последней используется, в

частности, в медико-биологических исследованиях для анализа эффекта действия

различных лекарств, ядов и так далее [11]. Кроме того, А. И. Орлов [5] нашёл, что при

объеме выборки, меньшем 2000 единиц, различие между нормальным и

логистическим распределениями незначимо. Это позволяет, по его мнению, в

подобных случаях использовать вместо нормального распределения логистическое.

Такое стремление связано с тем, что логистическая функция распределения имеет

простую математическую форму [10, с. 151]

()()

{

}

1exp -

Fxxνβ

−





≠

∞

x . (1.1)

Это распределение симметрично относительно значения x =

, которое является

математическим ожиданием (МО) СВ. Дисперсия такой СВ равна

/3 и, следовательно,

среднеквадратичное отклонение (СО) есть 3πβ , а величина коэффициента эксцесса

(четвертого центрального момента)

= 4,2. Хотя значение

в этом случае отличается

от значения

для нормального распределения (при котором

= 3), логистическое

распределение очень похоже на нормальное в большей части диапазона с тем же самым

МО, а СО на 1/15 больше, чем у нормального. Так что логистическое распределение во

многих случаях можно использовать вместо нормального.

В литературе логистическому распределению уделяется скромное внимание.

Методы интервального оценивания статистических параметров и проверки гипотез,

основанные на логистическом распределении СВ, не развиты.

Целью настоящей работы была попытка довести идею А. И. Орлова до

логического конца - создать средства, позволяющие осуществлять интервальную оценку

статистических параметров и проверку параметрических гипотез в предположении о

логистическом законе распределения СВ.

Работа излагается в сокращённом виде.

2.2.1. ИССЛЕДОВАНИЕ ЛОГИСТИЧЕСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

Бинарный характер высказываний индивидуума женского пола, утратившего с возрастом

социальную значимость J (Бабушка надвое сказала).

Функция логистического распределения имеет вид (1.1); плотность распределения

вероятностей

(x) =

{}

{

}

{}

1exp()//exp()/

νββνβ

−

+−−





∞

; (1.2)

МО СВ X

()

{}

()

{}

()x1 + exp - x/exp - xdx

MX νββνβ

∞

−

∞





∫

После замены t = (

- x)/

(1.3)

получаем

()()

- 2 2

()1 + edt+ e1dt

MXteeβν

+∞∞

−

−∞∞

=−+

∫∫

. (1.4)

Поскольку

()

te1dt = 0

+∞

−

−∞

∫

()

e1dt1

∞

−

∞

∫

, (1.5)

получаем M(X) =

Для вычисления дисперсии СВ X по формуле

(

)

(

)

(

)

[

]

(

)

XMXMXMXD ν−=−=

(1.6)

вычислим интеграл

()

MXxxp

+∞

−∞

∫

Используя подстановку (1.3), получим

()()()()

2 2 2

22tt22t

e1dt - 2te1dt +te1dt

ttt

MXeeeννββ

+∞+∞+∞

−−−

−∞−∞−∞

=⋅+⋅⋅+⋅⋅+

∫∫∫

С учетом (1.3), (1.4) формулу (1.6) можно переписать в виде

()

∫

∞

∞−

−

+⋅⋅= dte1etXD

tt22

. (1.7)

В формуле (1.7) сделаем подстановку y = e

Далее рассмотрим вспомогательную функцию

()

∫

∞

−

. Функция f(z)

является B – функцией, f(z) = B (z, 2-z), так как по определению

B(p, q) =

()

+∞

−

∫

. (1.8)

Рассмотрим производные

()()

(lny) 1dy

fzyy

+∞

−

′

∫

()()

(lny) 1dy

fzyy

+∞

−

′′

∫

В данном случае правомерность дифференцирования является следствием

соответствующих свойств B - функции (1.8).

Таким образом,

()

z - 2 z, B

= 1f =dy

yln

′′

∫

∞

Далее,

=−+=−=

−

=− ))z1(1(Г)z(Г)z2(Г)z(Г

)2(Г

)z2(Г)z(Г

)z2,z(B

= Г(z)⋅(1 – z)⋅Г (1 - z)=

(

)

z sinz - 1

⋅

. (1.9)

Найдем

()

z2 ,z B

−

, пользуясь (1.6):

(

)

(

)

()

(

)

()

1-z sin

z 1sin

z sin

1 z

→

−

⋅

−

⋅

−

⋅

→

(

)

()() ()

()

z 1

116 + 1

zzoz

ππ

→

⋅−

→

⋅−−⋅−−

() ()

(

)

1161

zozπ=+⋅−+−

то есть мы получили ряд Тейлора для функции g(z) =

(

)

(

)

1-z sin1z

−

⋅

Следовательно,

(

)

6 1 2

gπ

′′

= и окончательно

(

)

(

)

2222

, 2 = = 2

sin

1 1

dzdz

Bzz

ππ

−

Таким образом, наш интеграл

()

- 2

(lny)1+ydy = 3

+∞

∫

Возвращаясь в формулу (1.7), получаем D(X) = π

/3, а СО СВ X

()

- 0,5

DX = 3

σπβ= .

В дальнейшем удобно использовать нормированное логистическое распределение

СВ Х

(

)

X - MX

3( - )

σπβ

Теперь M(U

) = 0, D(U

) = 1.

Плотность распределения вероятностей для U

()

1 u u

exp1exp, u <

ππ

−





=−+−∞









Введем обозначения: X

∼

L (

) - логистическое распределение СВ X;

X ∼ L (0, 1) - нормированное логистическое распределение СВ X.

Вычислим функцию распределения для U

()

(

)

- -

1 u u

x = du = exp1exp

Fudu

ππ

−

∞∞





−+−









∫∫

После несложной замены переменных и подстановки пределов интегрирования,

получим окончательный результат

()

{

}

- 1

x = 1exp 3

Fxπ

−



+−



Функция нормированного логистического распределения (при ν = 0, β =

π3

)

()

{

}

x = 1exp3; x <

Fxπ

−



+−∞



, (1.10)

а функция плотности вероятностей

()

{

}

{}

3exp3

u = , u <

1 + exp3

ππ

−

∞



−



. (1.11)

Последующие действия были направлены на получение формулы функции

плотности для аналога распределения Стьюдента, основанного на логистическом

законе, путем аналитических расчетов. С этой целью, по аналогии с нормальным

случаем, предполагалось найти функцию плотности квадрата СВ Z (U

= Z

), имеющей

нормированное логистическое распределение, затем получить характеристическую

функцию, соответствующую этой функции плотности.

Из общих свойств СВ [1] известно, что характеристическая функция суммы

независимых СВ равна произведению характеристических функций слагаемых. Если

, ...

, ξ

- независимые СВ с характеристическими функциями

(t), ϕ

(t), ... , ϕ

(t), то

характеристическая функция

(t) суммы

+ ... +

есть

(t) =

(t)

⋅ϕ

(t)

⋅

...

⋅ϕ

(t). Таким

образом, зная вид характеристической функции для плотности распределения квадрата

одной СВ, подчиненной логистическому закону, можно найти характеристическую

функцию для суммы квадратов N таких величин. Так как распределение однозначно

определяется своей характеристической функцией [1], получим выражение, описывающее

плотность распределения

, основанного на логистическом законе распределения СВ.

Функция плотности аналога распределения Стьюдента рассчитывается как плотность

распределения отношения двух СВ ξ/η, где ξ распределена по логистическому закону с

параметрами (0, 1), а η имеет распределение аналогичное χ

в нормальном случае.

Итак, рассмотрим СВ ξ. Её функция распределения F (x) =P(ξ ≤ x).

Затем рассмотрим функцию

. Величина

всегда неотрицательна и при y > 0

соотношение

≤

y эквивалентно соотношению – y

0.5

≤

0.5

. Поэтому

имеет функцию

распределения

0.50.5

( y ) = F ( y ) - F ( - y ) npu y

0 u ( y ) = 0 npu y < 0.

GG≥

Тогда функция плотности вероятности величины η имеет вид

(

)

(

)

(

)

- 0.50.50.5

( y ) = G( y ) = 0.5y y - - y npu

y 0 u ( y ) = 0 npu y < 0

gffg

′

≥ .

Таким образом, если СВ Z обладает функцией распределения

()

{

}

z = 1exp 3,

Fzπ

−



+−



то плотность распределения ее квадрата U

= Z

имеет вид

{

(

)

0.5

( z ) = - exp3

−×

(

)

(

)

(

)

}

- 1 1

1+exp- 3exp31+exp3zzzπππ

−



×−



а соответствующая характеристическая функция

()

( t ) = - exp i t z{exp 3

ϕπ

∞

⋅⋅−⋅×

∫

(

)

(

)

(

)

- 1- 1

1+exp - 3- exp 31+exp 3} dz

zzzπππ



×⋅⋅⋅⋅



;

иначе,

()

dz 32zch2z t i exp

- = ) t (

⋅⋅⋅⋅

−

∞

∫

Однако получить аналитические выражения для функций распределения

Стьюдента, основанных на логистическом законе распределения СВ, нам не удалось и

продолжать работу по намеченному ранее плану оказалось невозможным.

Поэтому далее решено было воспользоваться численным методом Монте - Карло [2]

для вычисления верхних α-пределов аналогов распределения Стьюдента и Фишера.

Метод Монте - Карло в широком смысле определяется как любой способ решения

модели, в котором используются случайные или псевдослучайные числа. В данном случае

будет рассматриваться решение так называемой модели выборок.

2.2.2. РАСЧЕТ ЗНАЧЕНИЙ ВЕРХНИХ α-ПРЕДЕЛОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

СТЬЮДЕНТА И ФИШЕРА, ОСНОВАННЫХ НА ЛОГИСТИЧЕСКОМ ЗАКОНЕ

Амбивалентная природа нейронных импульсов, испускаемых корой головного мозга J

(И хочется, и колется).

Предварительно требуется получить выборку значений СВ, имеющих

распределение, аналогичное распределениям Стьюдента и Фишера (хорошо изученным

для нормально распределенных СВ) для логистического распределения с заданным

числом степеней свободы.

Предполагается решать эту задачу следующим образом.

1. Рассмотрим процедуру получения выборки СВ, имеющей заданное распределение.

Для этого воспользуемся методом обращения.

Обозначим функцию распределения СВ X через F(x), то есть

P(X < x) = F(x). (2.1)

Если F(x) - непрерывная возрастающая функция, то существует обратная функция,

обозначенная X=F

-1

(Y). Значения X

можно выбирать из распределения F(x

) с помощью

обратной функции F

–1

и случайных чисел Y

, лежащих в интервале [0; 1], а именно

= F

-1

). (2.2)

Из (2.2) следует, что

P(X < x

) = P[F

-1

)

< x

] = P[Y

< F(x

)] = F(x

), (2.3)

где последнее равенство следует из характеристики случайных чисел: если Y

(i = 1, 2, ...)

есть случайные числа, то их функция распределения удовлетворяет следующему

уравнению для всех i:

F(Y

) = P(Y

< y

);

(

)

Y =

y npu 0y1

≤≤

;

(

)

Y =

0 npu y1

(

)

Y =

1 npu y1

. (2.4)

Заметим, что теоретически случайные числа должны быть непрерывными

переменными с функцией плотности, определяемой выражением

()

1npu 0y1;

≤≤

()

0 при всех остальных значениях у. (2..5)

В данном случае генератор случайных (точнее, псевдослучайных) чисел Y

равномерно распределенных на отрезке [0; 1], имеет следующую схему [4]

1 i2 i1 i2 i1 01 ( i + 1)2 i

1 i2 i1 i2 i202 ( i + 1) i

u + u, npu u + u< 4; u = 3,1415

9; u= u;

= t4; =

u + u - 4,npu u + u4; u = 0,54210,

u= t.







≥





(2.6)

Порождаемые таким образом числа для практических целей можно считать

случайными, равномерно распределенными в интервале [0; 1] и независимыми.

Из вышесказанного следует, что выборку неравномерно распределенных СВ,

подчиняющуюся любому заданному закону распределения, можно получить путем

выбора случайных чисел, распределенных равномерно, и использования их затем в

качестве ординат заданной функции распределения вероятностей. Величины

соответствующих абсцисс представляют собой числа, распределенные по заданному

закону.

Как отмечалось выше, логистическое распределение (1.1) симметрично

относительно значения x = ν, которое является МО СВ, подчиненных этому закону.

Дисперсия равна π

/3. Таким образом нормированное и центрированное логистическое

распределение (при значениях

= 0,

3π

и z = (x -

) описывается формулой

(1.10).

Согласно методу обращения, получим выражение для СВ, распределенной

логистически с параметрами M = 0 и D = 1, где M - МО, а D - дисперсия:

= -3

0.5

-1

ln(Y

/(1 - Y

)) (2.7)

2.2.2.1. Расчет значений верхних

-пределов аналога распределения Стьюдента.

Отсутствие регресса в метаболизме организма млекопитающих при увеличении отношения

жиров к углеводам в традиционном блюде оседлых народов J (Кашу маслом не испортишь).

Рассмотрим статистику

t = mN

0.5

, (2.8)

где

i = 1

m = ZN

∑

()()

0.5

i = 1

= 1

SZmN



−−



∑

, N - объем выборки.

Случайные величины Z

(

)

i = 1, N

имеют логистическое распределение,

нормированы и центрированы. В общем случае, если все Z

подчинены одному и тому же

логистическому закону распределения, то величина

i = 1

m = ZN

∑

также распределена

логистически. Тогда (m – M(m))/σ

(σ

= σ/N

0.5

)

имеет логистическое распределение с

параметрами M = 0 и D = 1. Отношение

(

)

S1N σ⋅−

имеет распределение, аналогичное

в нормальном случае с N – 1 степенями свободы, так как включает в себя сумму

квадратов N разностей

()

i =1

- m

∑

, связанных между собой соотношением

()

i =1

- m = 0

∑

Рассмотрим СВ fV U = t , где U имеет логистическое распределение с

параметрами M = 0 и D = 1, а V подчиняется закону распределения

с f степенями

свободы. Подставив наши выражения вместо U и V, получим

t = [(m – M(m))/σ

]/[

(

)

−

(N–1)

–1

]

0.5

= [m – M(m)]N

0.5

(2.9)

Поскольку мы рассматриваем логистическое распределение с параметрами M = 0 и

D = 1, то M(m) = 0 и

= 1. Таким образом, величина t имеет распределение, аналогичное

распределению Стьюдента с N–1 степенями свободы (f = N–1).

Опишем алгоритм получения значений верхних

-пределов аналога

распределения Стьюдента (то есть значений t

величины t таких, что P(t

> t

) =

)

для числа степеней свободы f:

1) генерировать N случайных чисел Y

, равномерно распределенных на отрезке [0;

1] (N = f + 1);

2) воспользовавшись формулой (2.2), получить выборку объемом N элементов

значений СВ Z

, распределенных по заданному закону;

3) вычислить значение величины t согласно (2.8);

4) операции 1, 2, 3 повторить M раз;

5) из полученных значений t

(

)

i = 1, M

организовать вариационный ряд,

упорядоченный по возрастанию членов;

6) задать значения α

∈

(0.25, 0.1, 0.05, 0.025, 0.01);

7) для каждого значения α из ряда выбрать элемент с порядковым номером (1–α)M.

Согласно методу Монте – Карло, этим элементом и является искомый верхний

-предел

аналога распределения Стьюдента.

2.2.2.2. Расчёт верхнего

-предела аналога распределения Фишера

Идентичность вкусовых характеристик растения семейства крестоцветных и овощной

культуры средней полосы России J (Хрен редьки не слаще).

Аналогичным образом воспользуемся статистикой

xf ,f

2121

SS = F

;

()()

∑

−−

1NmZ = S

;

()

∑

−−

1 =j

1NmZ = S

, (2.10)

где

∑

1i1

NZ = m

∑

1 =j

2j2

NZ = m

Эта статистика имеет распределение, аналогичное F – распределению Фишера в

нормальном случае с числом степеней свободы числителя f

и знаменателя - f

Если величины U и V независимы и каждая из них распределена как χ

с f

и f

степенями

свободы соответственно, то отношение

, f

= (U/f

)/(V/f

) распределено по

закону Фишера. Тогда отношение

(

)

[

]

(

)

[

]

NS1NNS1N

σσ ⋅⋅−⋅⋅−

(2.11)

будет распределено как

, f

, если рассматриваются случайные выборки объемом N

из логистически распределенных совокупностей с дисперсиями

;

обозначают

выборочные дисперсии. В нашем случае

= 1 и

= 1.

Алгоритм получения верхних α-пределов величины

,, f

для заданных

чисел степеней свободы f

и f

построен аналогично алгоритму получения значений

верхних α-пределов величины t

1) генерировать N

и N

случайных чисел Y

, равномерно распределенных на отрезке

[0; 1] (N

= f

+ 1; N

= f

+ 1);

2) воспользовавшись формулой (2.2), получить две выборки из N

и N

СВ,

распределенных по заданному закону;

3) вычислить значение величины

, f

согласно (2.10);

4) операции 1, 2, 3 повторить M раз;

5) из полученных значений

,, f i

(

)

i = 1, M

организовать вариационный

ряд, упорядоченный по возрастанию членов;

6) задать значения

∈

(0.05, 0.025, 0.01);