Цейтлин Н.А. Из опыта аналитического статистика
Подождите немного. Документ загружается.
8
N 2 Х
N1
2
X
Х
N3
Y
N2
Y
N2
-Y
20
…………………………………………………………………………………………………….
i j p X
i1
X
i2
X
i3
Y
ijp
Y
ijp
-Y
i0
1 1 2
1
X
2
X
Х
13
Y
112
Y
112
-Y
10
2 1 2
1
X
2
X
Х
23
Y
212
Y
212
-Y
10
……………………………………………………………………………………………………
N 1 2
1
X
2
X
Х
N3
Y
N12
Y
N12
-Y
10
……………………………………………………………………………………………………
i j p l X
i1
X
i2
X
i3
Y
ijpl
Y
ijpl
-Y
i0
1 1 2 3
1
X
2
X
3
X
Y
1123
Y
1123
-Y
10
2 1 2 3
1
X
2
X
3
X
Y
2123
Y
2123
-Y
10
……………………………………………………………………………………………………
N 1 2 3
1
X
2
X
3
X
Y
N123
Y
N123
-Y
10
i – номер опыта (
Ni ,1=
); j, p, l – номера элиминируемого фактора, j, p, l
∈
(
n,1
).
Практика использования ФКИ [l, 2, 4, 8] показывает; что информативных признаков
встречается обычно больше, чем не информативныx. Поэтому в программе для ЭВМ
используется метод исключения не информативных признаков.
Пусть множество факторов ФКИ (1) содержит п элементов. На первом шаге происходит
попытка элиминирования факторов по одному. Если элиминирован хотя бы один фактор,
переходят к следующему шагу. Ha втором шаге происходит попытка элиминирования факторов по
два. Если элиминирована хотя бы одна пара факторов, переходят к следующему шагу и т. д.
Процедура завершается на шаге, при котором невозможно дальнейшее элиминирование факторов.
Количество расчетов отклика по ФКИ (1) на шаге i равно
i
n
C - числу сочетаний из n по i, а всего -
1
1
k
i
n
i
C
+
=
∑
. Обычно k намного меньше n и число расчетов сравнительно невелико.
В задаче элиминирующего анализа используются два критерия:
α
Т
- для проверки гипотезы
H
Э
, когда ЛПРТ предпочитает Н
Т
[Ф2Р4], и
α
Э
- для проверки гипотезы Н
Т
, когда ЛПРЭ
предпочитает H
Э
[Ф3Р4].
С увеличением числа k элиминируемых факторов уровень значимости
α
Т
возрастает от
малых значений α
Т
< α
кТ
(пока нулевая гипотеза H
Э
отклоняется) до критического α
kТ
. Когда α
Т
превысит критический уровень, то есть станет
α
Т
>
α
кТ
, нулевая гипотеза H
Э
не отклонится, ЛПРТ
прекратит элиминирование факторов.
С увеличением числа k элиминируемых факторов уровень значимости
α
Э
, наоборот, убывает
от больших значений α
Э
> α
кЭ
(пока нулевая гипотеза Н
Т
не отклоняется) до критического α
kЭ
.
Когда произойдёт такое снижение
α
Э
, что
α
Э
<
α
кЭ
, нулевая гипотеза Н
Т
отклонится, ЛПРЭ
прекратит элиминирование факторов.
В случае, когда оба ЛПР примут одинаковые значения критических уровней значимости α
кТ
и
α
кЭ
(например, «обычные» 0,05), компромиссных решений будет мало. Желание обоих ЛПР
элиминировать побольше факторов может быть удовлетворено, если ЛПРТ, заинтересованное в Н
Т
задаст
α
кТ
побольше (например, 0,1 или 0,2), а ЛПРЭ, заинтересованное в H
Э
задаст
α
кЭ
поменьше
(например, 0,01 или 0,001). Это позволит получить большее число правдоподобных решений, из
которых ЛПР смогут выбрать приемлемый ответ.
Пример 2 [4]. Уравнение баланса материальных потоков веществ в реакторе (рис. 3),
отражающее закон сохранения материи, есть
X
1
+ X
2
+ X
3
= X
4
+ Y. (18)
Рис. 3. Распределение материальных потоков веществ в реакторе А:
9
Х
1
,
X
2
, X
3
- входящие потоки, Х
4
, Y – выходящие.
Если X
i
(
4,1=i
) - измеряемые потоки, то отходящий поток Y может быть вычислен по
формуле косвенного измерения
Y = X
1
+ X
2
+ X
3
– X
4
. (19)
Получена выборка из пяти наблюдений работы реактора в нормальном режиме:
№ Х
1
Х
2
Х
3
Х
4
1 11 18 26 47
2 11 19 34 48
3 10 20 30 50
4 9 21 26 52
5 9 22 34 53
Необходимо проиллюстрировать последовательность перебора элиминируемых факторов
ФКИ (19) методом исключения.
Решение. Попытки элиминирования факторов по одному, по два и т. д. (табл. 3) выполнялись
согласно схеме в табл. 2. Значения СО S
Y
|Ω
вычислены по формулам (14) и (15).
Таблица 3
Перебор элиминируемых факторов формулы косвенного измерения (19)
i j p l X
i1
X
i2
X
i3
X
i4
Y
i
Ω
Y
i
Ω
-Y
i0
S
Y|
Ω
1 1 10 18 26 47 7 -1
2 1 10 19 34 48 15 -1
3 1 10 20 30 50 10 0
4 1 10 21 26 52 5 1
5 1 10 22 34 53 13 1
S
1
= 1
1 2 11 20 26 47 10 2
2 2 11 20 34 48 17 1
3 2 10 20 30 50 10 0
4 2 9 20 26 52 9 -1
5 2 9 20 34 53 10 -2
S
2
= 1,6
1 3 11 18 30 47 12 4
2 3 11 19 30 48 12 -4
3 3 10 20 30 50 10 0
4 3 9 21 30 52 8 4
5 3 9 22 30 53 8 -4
S
3
= 4
1 4 11 18 26 50 5 -3
2 4 11 19 34 50 14 -2
3 4 10 20 30 50 10 0
4 4 9 21 26 50 6 2
5 4 9 22 34 50 15 3
S
4
= 2,5
1 1 2 10 20 26 47 9 1
2 1 2 10 20 34 48 16 0
3 1 2 10 20 30 50 10 0
4 1 2 10 20 26 52 4 0
5 1 2 10 20 34 53 11 -1
S
1;2
= 0,7
1 2 4 11 20 26 50 7 -1
2 2 4 11 20 34 50 15 -1
3 2 4 10 20 30 50 10 0
4 2 4 9 20 26 50 5 1
5 2 4 9 20 34 50 13 1
S
2,4
= 1
1 3 4 11 18 30 50 9 1
2 3 4 11 19 30 50 10 -6
3 3 4 10 20 30 50 10 0
S
3,4
= 4,3
10
4 3 4 9 21 30 50 10 6
5 3 4 9 22 30 50 11 -1
1 1 2 3 10 20 30 47 13 5
2 1 2 3 10 20 30 48 12 -4
3 1 2 3 10 20 30 50 10 0
4 1 2 3 10 20 30 52 8 4
5 1 2 3 10 20 30 53 7 -5
S
1,2,3
=
4,5
1 2 3 4 11 20 30 50 11 3
2 2 3 4 11 20 30 50 11 -5
3 2 3 4 10 20 30 50 10 0
4 2 3 4 9 20 30 50 9 5
5 2 3 4 9 20 30 50 9 -3
S
2,3,4
=
4,1
…
…
…
…
… … … … … … …
Получены приемлемые решения
(по одному можно пытаться элиминировать фактор X
1
, по
два - факторы Х
1
и X
2
или X
2
и Х
4
и т. д.). Факторы X
1
и X
2
или X
2
и Х
4
можно заменить средними
значениями 10 и 20 или 20 и 50 соответственно и т. д.
Пример 3. Управление производственным процессом в химической промышленности
В химическом производстве соды [1, 2] соль кислого углекислого натрия (бикарбоната
натрия NaHCO
3
) получают в процессе абсорбции (поглощения) из газовой смеси диоксида
углерода (СО
2
) водным раствором поваренной соли (NaCl) и аммиака (NH
3
). В вертикально
стоящий химический аппарат (диаметром 2,3 м и высотой 25 м) подаются жидкость (сверху) и газ
(вниз – первый ввод и в середину – второй ввод), и выходят остатки газа (сверху) и суспензия
бикарбоната натрия (взвесь твердых частиц соли NaHCO
3
в водном растворе ряда солей - снизу).
По техническим причинам основной показатель производства – выход бикарбоната натрия
Y измерить очень сложно. Поэтому величину выхода Y вычисляют согласно закону
М. В. Ломоносова («сколько массы реагентов в реактор входит, столько массы продуктов реакции
и выходит») по формуле материального баланса компонентов
ii
iAiB
XXY
∈∈
=+
∑∑
, (20)
где А – множество индексов для определения расхода X
i
входящих компонентов; В – для
выходящих. Выразив соотношение (2) в явном виде относительно Y, получаем ФКИ выхода
бикарбоната натрия
ii
iAiB
YXX
∈∈
=−
∑∑
. (21)
Казалось бы, достаточно просто измерить все факторы X
i
, чтобы рассчитать выход Y.
Действительно, некоторые факторы X
i
, представляющие собой общие расходы газов и входящей
жидкости, быстро измеряются расходомерами. Однако некоторые факторы X
i
, представляющие
собой расходы отдельных компонентов – СО
2
– в газе, NH
3
и NaCl - в жидкости, измерять дорого,
а, главное, долго. И пока закончатся все измерения, проходит столько времени, что эффективность
управляющих воздействий становится низкой. Возникает вопрос: может быть концентрации
некоторых компонентов вообще не нужно измерять? Для этого понаблюдаем за работой реактора
в нормальных условиях эксплуатации. Пусть, например, в результате наблюдений установим, что
расход СО
2
в газе колеблется в очень небольших пределах. Если положим в формуле (21) его
постоянным, то внесем погрешность
{
}
2
CO
ε в расчет Y. Может оказаться также, что расход NH
3
в растворе тесно коррелирует с расходом NaCl. Тогда можно измерять только расход NaCl, а
расход NH
3
не измерять, а вычислять по формуле экспериментально установленной регрессионной
связи! При этом в расчет Y может быть внесена дополнительная погрешность
{
}
3
NH
ε . Если
сумма дисперсий погрешностей
{
}
2
2
CO
σ и
{
}
2
3
NH
σ окажется пренебрежимо малой по
сравнению с дисперсией случайной погрешности вычисленного по ФКИ (21) значения отклика
Y
~
,
обусловленной погрешностями измерения величин x
i
, то появится возможность сэкономить
средства и время на измерении концентраций СО
2
в газе и NH
3
в жидкости! Таким образом,
возникает статистическая задача редукции (сокращения) ФКИ (21).
11
В содовой промышленности точная ФКИ (21) для определения производительности Y (м
3
/ч)
карбонизационной колонны [1] предложена Г. О. Микулиным
(
)
(
)
(
)
()()
()
1324125
5910687
1001,120,564/
XXXXXXX
Y
XXXXXX
+−+
=
−++−
, (22)
где X
1
, X
2
- расходы газов первого и второго ввода, приведенные к нормальным условиям,
м
3
/ч; Х
5
, X
3
, X
4
- концентрации диоксида углерода, соответственно, в отходящем газе, газах первого
и второго ввода, % об.; X
9
- содержание связанного аммиака в отходящей суспензии, н. д.; X
10
, X
8
-
концентрация CO
2
, соответственно, в маточнике и во входящей жидкости, н. д; X
6
, Х
7
-
концентрация иона хлора в маточнике и во входящей жидкости, н. д. (1 н. д. = 0,05 г – экв/л).
Для экономии затрат на прямые измерения факторов необходимо было попытаться
упростить эту формулу так, чтобы её погрешность значимо не уменьшилась.
Для решения поставленной задачи были проведены наблюдения за работой объекта в
течение месяца [2]. Полученные данные обработаны на ЭВМ с помощью программы ELAN (см.
ниже).
Вычисления наиболее приемлемого результата элиминирования факторов довольно
громоздки для изложения (13 стр.) и поэтому не приведены.
Получено шесть приемлемых решений задачи (по одному можно элиминировать факторы X
7
или X
8
; по два – Х
4
и X
7
, или X
7
и X
8
, или Х
8
и Х
9
, или только три – Х
4
и X
7
и X
8
). Последний ответ
получен на 150-м шаге расчетов. Факторы Х
4
, Х
7
и X
8
в ФКИ (22) можно заменить средними
значениями 38,7%, 86,6 н. д. и 95,7 н. д. Соответственно CO погрешности ФКИ (22) возрастет
незначимо от значения S
Y|И
= 1,39 м
3
/ч с числом степеней свободы f
Y|И
= 93 до (1,39
2
+ 0,7
2
)
0,5
= 1,56
(м
3
/ч) с числом степеней свободы
(
)
444
|И,|,||||YYИYИYИYY
fSSfSf
ΩΩΩΩ
=+ = 1,56
4
/(1,39
4
/93 +
0,7
4
/7) = 84.
Большой интерес для исследователей представили CO частных погрешностей косвенного
измерения отклика, обусловленные погрешностями прямого измерения и элиминирования
факторов, общee CO отклика (S
YО
= 19,6 м
3
/ч) и другие статистические характеристики.
5.1.5. Программа для ЭВМ «Элиминирующий анализ формулы косвенного измерения»
Приведены рекомендации по созданию ПО ЭВМ.
Названная программа была разработана А. Н. Рудаём и Н. А. Цейтлиным при участии
В. И. Рудай в НИОХИМе и апробирована в течение восьми лет. Программа была предназначена
для расчета статистических характеристик ФКИ и редукции ФКИ путем элиминирования (замены
постоянными значениями) незначимых факторов. Имя программы – ELAN; язык
программирования - ОС PL/1; тип ЭВМ - EС 1045.
Исходная информация: вид ФКИ, матрица прямых измерений, векторы среднеквадратичных
отклонений погрешностей прямых измерений и их чисел степеней свободы, критические уровни
значимости для проверки гипотез; значения параметров, определяющих форму и содержание
распечатки выводной информации.
Результаты расчета: таблицы элиминирования по одному, два и более факторов (при
элиминировании по одному фактору печатались все шаги, а при элиминировании по двум и более
факторам - лишь те шаги, где какая-нибудь из гипотез элиминирования не отклонялась);
статистические характеристики переменных: средние значения факторов, их CO, корреляционная
матрица, коэффициенты парных корреляций; комментарии результатов расчёта. Обозначения
переменных, выводимых на печать в программе те же, что и в тексте описания алгоритма.
Программа осуществляла элиминирование факторов для двух случаев: когда ЛПРТ
заинтересовано в сохранении высокой точности ФКИ и когда ЛПРЭ заинтересовано в
элиминировании наибольшего количества факторов.
Литература
1. Цейтлин H. A. Применение методов математической теории эксперимента в содовой
промышленности: Обзорная информация. – Серия: Содовая пром. - M.: НИИТЭХИМ,
1984. - 36 с.
12
2. Цейтлин H. A. Разработка основных унифицированных звеньев математических
моделей процессов в аппаратах аммиачного цикла содового производства: Автореф. канд.
дисс. - Харьков, 1975 (ХПИ им. В. И. Ленина). - 22 с.
3. Бурдун Г. Д., Марков B. Н. Основы метрологии. – M.: Изд. стандартов, 1985. - 256 с.
4. Цейтлин Н. А. Элиминирующий анализ детермированных математических моделей
химико-технологических систем // В кн.: Процессы и аппараты производств основной
химии: Труды НИОХИМа. – Т. 56. - Харьков, 1981. - С. 29 – 38.
5. Дрейпер H., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ / Пер. с англ. – М.:
Статистика, 1973. - 392 с.
6. Разработка рациональных процедур для программы линейного регрессионного
анализа / A. H. Рудай, Н. А. Цейтлин, В. И. Рудай, Ф. Э. Ицков. Статистические методы в
основной химии: Труды. Т.63 / НИОХИМ. - Харьков, 1986. – С. 72 - 84.
7. Цейтлин Н. А. Определение верхнего допустимого предела случайной погрешности
измерения технологического параметра при планировании эксперимента // В кн.:
Метрологическое обеспечение измерений параметров химического состава продуктов на
предприятиях и в организациях химической промышленности: Tp. / НИОХИМ. Т. 67. -
Харьков, 1988. – С. 167 – 176.
8. Цейтлин Н. А., Беляк П. И., Едвабник И. Ю. Элиминирующий анализ технико-
экономического критерия оптимальности процесса приготовления известкового молока:
Материалы I Украинской научно-технической конференции молодых ученых. Научно-
технический прогресс в производстве химических веществ и материалов. - Киев: Наукова
думка, 1984. - 152 c. (С. 133 - 138).
9. Лбов Г. С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. -
Новосибирск: Наука, 1981. - 160 с.
10. Смирнов H. В., Дунин - Барковский H. В. Курс теории вероятностей и
математической статистики для технических приложений. - М.: Наука, 1969. - 512 с.
11. Ткач Г. А., Смоляк В. Д. Моделирование десорбционных процессов содового
производства. Л., «Химия», 1973, 208 с.
Отзыв специалиста по автоматическому регулированию производственных процессов
В большинстве систем автоматического регулирования используется информация,
получаемая в результате косвенного измерения величин. Поэтому тема настоящей работы
является актуальной. Важными характеристиками прямых измерений технологических параметров
являются их продолжительность и надежность. Усилия, затрачиваемые на статистический анализ
формулы косвенного измерения, будут оправданы даже в случае, если появляется возможность
избавиться хотя бы от части таких измерений. Созданный алгоритм позволяет выполнить
редукцию формулы косвенного измерения без значимого ущерба для ее погрешности. Для
практической реализации метода предложен алгоритм решения, реализованный на ЭВM.
Приведены примеры редукции моделей косвенного измерения производительности
химического реактора и карбонизационной колонны содового производства. Работа
рекомендуется к публикации в открытой печати. Кандидат технических наук В. Ф. Михайлов.
1
6. Проблемы регрессионного анализа
Чем больше проблем, тем мельче они выглядят. (Из интернета)
Предполагается, что читатель знаком с основными положениями регрессионного анализа,
его проблемами и многочисленными методами решения этих проблем по литературе [Р12.6], а
также имеет некоторый собственный опыт, чтобы убедиться в актуальности затронутых в данном
разделе тем.
Одной из важных проблем регрессионного анализа является задача подбора рациональной
структуры регрессионной функции, или задача с
труктурной идентификаци модели регрессии.
Ниже описаны некоторые эмпирические функции, удовлетворяющие многим, зачастую
противоречивым критериям качества. Начнём с самых простых - однофакторных функций.
6.1. Структурная идентификация однофакторной регрессионной функции
Все не так просто, как кажется на первый взгляд,
но и не так легко, как кажется на второй. (Из интернета)
Преимущество однофакторной функции перед многофакторной заключается, прежде всего,
в возможности исследователя наблюдать её на плоскости и подбирать аналитическую структуру
её аппроксимации из известного множества стандартных заготовок.
6.1.1. Некоторые способы кусочно-гладкой аппроксимации функций.
Памяти коллеги, соавтора, замечательного человека
Феликса Саадиевича Новика посвящается.
Новые системы плодят новые проблемы. (Из интернета)
Знакомство автора с известным учёным - металловедом и аналитическим статистиком,
доцентом Московского Института Стали и Сплавов Ф. С. Новиком началось с поиска в 1970-м
году уникальных методических пособий [7.39] по планированию эксперимента (в своё время
предприимчивые студенты делали бизнес на копировании и перепродаже этих пособий). Из
большого числа работ Ф. С. Новика следует также отметить популярно написанное
практическое руководство по планированию эксперимента для инженеров [7.11].
Мы начали переписываться с Феликсом Саадиевичем и встретились в Москве на
Всесоюзной конференции по планированию экспериментов в 1973-м году, нашли много общих
интересов, начали и продолжали одиннадцать лет тесно сотрудничать вплоть до
преждевременной кончины этого, умного, простого в общении, доброго человека. Даже смерть
его была примером самопожертвования. Проезжая по глухой лесной дороге, он увидел, что какой
– то водитель не может вытащить из грязи свою застрявшую машину. Феликс Саадиевич,
будучи сердечным больным, всё же вызвался «подтолкнуть» машину пострадавшего. Водитель
уехал, а Феликс Саадиевич сел за руль своей машины и … больше не встал…
В 1973-м году Ф. С. Новик сформулировал проблему АНАЛИТИЧЕСКОЙ
АППРОКСИМАЦИИ ДИАГРАММ СОСТОЯНИЯ, которую японцы, имея мощную
вычислительную технику, решали простым сканированием графиков. Аппроксимация диаграмм
2
состояния эмпирическими функциями давала большие преимущества перед сканированием не
только в связи с высокой скоростью получения адекватных формул и экономным использованием
памяти ЭВМ, но и потому, что позволяла параллельно решать проблемы планирования будущих
физико-химических экспериментов [7.24, 7.25], а также существенно облегчала химико-
технологические расчеты.
Мы переписывались с Феликсом Саадиевичем целых полгода; в результате проблема была
решена. Осталось решить некоторые математические и технические вопросы. Для этого автор
пригласил талантливую студентку-дипломницу Харьковского Государственного Университета
Эльвиру Авраменко и вместе с ней мы подготовили для публикации ряд статей в престижные
журналы [16.2 – 16.4] (материалы этих работ цитируются ниже). В ряде следующих
публикаций [16.28, 16.31, 16.32 и 16.37] была проиллюстрирована высокая эффективность
предложенного нами подхода.
Решается задача алгебраической аппроксимации поверхности отклика, включающей
разрывы непрерывности производных (часто вызванные физическими причинами).
Типичным примером таких поверхностей являются физико-химические диаграммы.
Приведены конструкции кусочно-гладких аппроксимирующих функций, которые
носят признаки простоты, наглядности и удобства для быстрого решения прикладных
задач.
Задача кусочно-гладкой аппроксимации встречается в экспериментальной практике
достаточно часто. Например, на диаграммах фазовых равнoвecий большинство функций кусочно-
гладкие [1-6], причем точки излома имеют определенный физико-химический смысл [7]. Кроме
того, кусочно-гладкая аппроксимация применяется, когда при описании функции отклика на
некоторых участках, малых по сравнению со всей областью определения, имеют место резкие
систематические отклонения экспериментальных данных от предсказываемых значений [8].
Известно несколько способов кусочно-гладкой аппроксимации [8-12]. В настоящем разделе
описан ряд сравнительно новых приемов для ситуаций, когда координаты точек изломов известны
или требуют уточнения.
Кусочно-линейная аппроксимация функций
Для некоторых линия жизни - это тормозной путь. (Из интернета)
Рассмотрим два возможных случая, определяемых разрывами линейной функции и ее
первой производной.
В том случае, когда имеются разрывы первого рода как у функции, так и у её первой
производной (рис. 1), удобно строить линейные функция для каждого гладкого участка, а затем
объединять их с помощью индикаторных функций.
Рис. 1. Линейная функция с разрывами первого рода непрерывности как у функции, так и у её
первой производной
Индикаторная функция П(а, b, х) интервала (а, b] принимает значение 1 внутри и 0 - вне
этого интервала:
(
]
(
]
(,,)1npu x,;(,,)0npu x,;,
abcababcabab
Π=∈Π=∈<
(1)
где а и b - границы интервала.
Аппроксимируем индикаторную функцию (1) в форме, удобной для вычислений на ЭВМ.
3
Рассмотрим ступенчатую функцию [13], которая изменяет значения только в дискретной
последовательности точек разрыва первого рода. Например, ступенчатая функция I
a,b
(d, x) с
одним разрывом первого рода имеет вид
,,
(,)npu x;(,)npu x; (x).
abab
IdxadIdxbdd
=<=>≠ (2)
В основу аппроксимации ступенчатых функций положим аппроксимацию знаковой
функции [14]
1,11,1
(0,)sgn()/1 npu x 0;(0,)1 npu x 0; (x 0
).
IxxxxIx
−−
===−<=>≠ (3)
Образуем из функция (3) следующие единичные ступенчатые функции:
1,01,0
(,)0,5()/21 npu x a;(,)0 npu x a; (x);
IaxxaxaIaxa
=−−−=<=>≠ (4)
0,10,1
(,)0,5()/2||0 npu xb;(,)1 npu xb,(xb)
IbxxbxbIbx
=+−−=<=>≠
(5)
и индикаторную функцию (при a < b)
1,00,1
(,,)1[(,)(,)]1 npu ;(,,)0 npu ,
abxIaxIbxaxbabxxaxb
Π=−+=<<Π=<>
. (6)
Подставив выражения (4) и (5) в (6), получим
(
)
(
)
,,/2()/2;;().
abxxaxaxbxbabaxb
Π=−−−−−<≠≠
(7)
Другой способ аппроксимации индикаторной функции предложила коллега
И. Ю. Едвабник:
П(a, b, x) = I
0,1
(a, x ) I
1,0
(b, x); a < b; (a
≠
x
≠
b) . (8)
Между индикаторной и ступенчатыми функциями имеется следующая связь:
I
1,0
(a, x) = П(-
∞
, а, х) и I
0,1
(b, x) = П(b,
∞
, x). (9)
С помощью индикаторной функции (1) предлагается объединять линейные функция для
каждого гладкого участка функции, показанной на рис. 1. Кусочно-гладкая функция будет иметь
следующий вид:
(
)
(
)
011
1
,,
n
jjjj
j
yxx
ββψψ
−
=
=+Π
∑
, (10)
где
β
ji
- коэффициенты; j - номер гладкого участка; n - число таких участков;
ψ
j
- абсциссы
точек разрыва.
Единственное неудобство аппроксимаций (7) и (8) заключается в том, что они не
определены в точках х = а и х = b. Устранить это иногда можно, сдвигая эти функции на
существенно малую величину
∆
. Так, в функции (10) первое слагаемое можно расширить на 2
∆
(
ψ
0
заменить на
ψ
0
-
∆
, а
ψ
1
– на
ψ
1
+
∆
), а остальные слагаемые сдвинуть вправо (
ψ
j
заменить на
ψ
j
+
∆
,
nj ,2=
). Вероятность того, что аргумент х функции (10) примет значение точно
ψ
0
-
∆
или
ψ
j
+
∆
(
nj ,1=
) практически равна нулю.
Пример 1. Д. И. Mенделеев [7, с. 179] установил наличие «особых точек» в системе серный
ангидрид – вода, соответствующих моментам образования пяти гидратов H
2
SO
4
·150Н
2
О,
H
2
SO
4
·6Н
2
О, H
2
SO
4
·2Н
2
О и H
2
SO
4
. Построив зависимость d
ρ
/dp (
ρ
- плотность, р - концентрация
H
2
SO
4
в % по массе) от р, он получил кусочно-линейную функцию. Для каждого гладкого участка
(
)
6,1∈j
Д. И. Менделеев построил линейную функцию d
ρ
/dp = f
i
(p). С помощью формы (10) все
эти функции можно теперь объединить в одну:
d
ρ
/dp = (76,51-2,65р) П (0; 3,5; р) + (71,16+0,407р) П (3,5; 47,5; р) + (61,9+7,96р) П (47,5;73; р) +
+(326,65–2,705р) П (73; 84; р) + (728,755–7,492р) П (84; 100; р) + (651+7,8р) П (100;110; р) (11)
В том случае, когда имеются разрывы первого рода только первой производной линейной
функции (рис. 2), кусочно-линейную зависимость обычно описывают системой функций [8]
njy
xjj
,0,
10
=+= ββ (12)
вместе с условиями «сшивки»
.,1,
101110
nj
jjjjjj
=+=+
−−
ψββψββ . (13)
4
Рис. 2. Линейная функция с разрывами первого рода непрерывности ее первой производной
Однако эта аппроксимации неудобна для оценивания коэффициентов
β
ji
и регрессионного
анализа, поскольку требует сложной логики при программировании на ЭВМ. Рассмотрим менее
сложную форму кусочно-линейной аппроксимации.
Возьмем функцию
y = |x|, (14)
перенесем начало координат в точку (
ψ
1
, у
1
) и введем масштабный коэффициент
λ
. Тогда получим
y = y
1
+
λ
|x -
ψ
1
|. (15)
Сложим функцию (15) с уравнением прямой
y = y
2
+
γ
x, (16)
получим
y =
ρ
00
+
ρ
10
x +
β
2
|x -
ψ
1
|, (17)
где 2/ ;2/ ;2/)(
2102100
λ
β
γ
ρ
ρ
=
=
+
=
yy - коэффициенты.
Рассмотрим еще n -1 функций типа (17)
y =
ρ
0
i
+
ρ
1
i
x +
β
i+
2
|x -
ψ
i+
1
|,
1,1 −= ni
. (18)
Сложив функции (17) и (18), получим компактную форму кусочно-линейной аппроксимации
[6]:
011
1
n
ii
i
yxx
βββψ
+
=
=++−
∑
, (19)
где
1
1
0
;0,1
n
ssi
i
nsβρ
−
−
=
==
∑
;
β
i+
1
- коэффициенты.
Для построения функции (19) достаточно знать координаты точек излома
{
}
n
i
ii
y
1
,
=
ψ и
крайних точек (
ψ
0
, у
0
), (
ψ
п+
1
, у
п+
1
). Подставляя эти координаты в выражение (19), получим систему
из (п + 2) линейных уравнений для определения п + 2 неизвестных коэффициентов
β
0
,
β
1
, …,
β
п+
1
:
011
1
;0,1
n
jjiji
i
yjn
ββψβψψ
+
=
=++−=+
∑
. (20)
Примем
ψ
0
<
ψ
1
< ... <
ψ
п+
1
и, сняв знаки модуля, получим систему
ХВ = Y, (21)
где
(
)
(
)
(
)
()
()
()
()
n
X
ψψψψψψψ
ψψψψψ
ψψψψψψψ
−−−
−−
−−−
=
++++ 1n21n11n1n
1n121
0n02010
. . . 1
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . )( 0 1
. . . 1
;
T
n
T
n
yyB
110110
,...,,yY ;,...,,
++
== βββ .
Решение системы (21) дает следующие формулы для расчета коэффициентов уравнения (19):
5
(
)
(
)
(
)
()
()
()()()
10100110
11
0,111
2
110101001010
11
/2;1,;
2(1,5;)
/;.
ii
i
iii
kik
k
nn
iii
ii
yyyy
in
Ii
yyy
ψψψψ
βψψ
βψψ
βψψβββψβψψ
++
++
+−
=
++
==
−+−−−−
=−=
−−
=−−+=−−−
∑
∑∑
, (22)
где функция
0,1
(1,5;)
Ii
введена для того, чтобы убрать соответствующее слагаемое при i = 1.
Пример 2. В системе вольфрам - углерод (W-C) известны два карбида W
2
C и WC (рис. 3).
Рис. 3. Зависимость модуля нормальной упругости от состава в системе вольфрам - углерод
Поскольку вольфрам и углерод почти не растворяются друг в друге в твердом состоянии, а
карбиды имеют очень узкие области гомогенности, можно утверждать, что зависимость свойств,
например, модуля нормальной упругости, от состава представляет собой кусочно-линейную
функцию с конечными разрывами первой производной в точках, отвечающих концентрациям W
2
C
и WC (см. рис. 3). Эту зависимость можно аппроксимировать функцией вида (19):
y =
β
0
+
β
1
x +
β
2
|x -
ψ
1
| +
β
3
|x -
ψ
2
| , (23)
где у - модуль нормальной упругости; х - концентрация углерода в % по массе;
ψ
1
и
ψ
2
- точки
излома, соответствующие концентрациям W
2
C и WC.
По данным [15, т. I, с. 41, 57] и [15, т. II, с. 472, 474] модули нормальной упругости
составляют (Е, кг/мм
2
): W(
α
- W) - 38625, W
2
C - 42800, WC - 72900, С (графит) - 490. Таким
образом, в наших обозначениях число изломов п = 2,
ψ
0
= 0, у
0
= 38625,
ψ
1
= 33,3, у
1
= 42800,
ψ
2
= 50, у
2
= 72900,
ψ
п
+1
=
ψ
3
= 100, у
п+
1
= у
3
= 490. По формулам (22)
(
)
(
)
(
)
(
)
22010021021
//2838
yyyyβψψψψψψ=−+−−−−=
;
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
33010031023132
/2/21625
yyyyβψψψψβψψψψ=−+−−−−−−=−
;
1101023
()/()661
yy
βψψββ
=−−++=−
;
β
0
= у
0
-
β
1
ψ
0
-
β
2
(
ψ
1
-
ψ
0
) -
β
3
(
ψ
2
-
ψ
0
) = 91967.
Следовательно, зависимость модуля нормальной упругости от состава в системе W-C имеет вид
у = 91967 - 661х + 838|х -33,3| - 1625|х -50|.
Кусочно-гладкая аппроксимация функций, имеющих разрывы непрерывности первой
производной
Попытки вытащить самого себя за волосы обычно заканчиваются разрывом пупка.
(Из опыта барона Мюнхгаузена).
Необходимо аппроксимировать кусочно-гладкую функцию (рис. 4), имеющую разрывы
первого рода непрерывности первой производной в узлах nj
j
,1, =ψ .