Буслаев А.П., Лебедев А.А., Яшина М.В. Моделирование потоков на графах. Теоретические и вычислительные аспекты. Часть 1. NODE-модель трафика

Подождите немного. Документ загружается.

Рис. 45. θ

= 1

Если θ

= 1 и x

= 0 , т.е. точка на фазовой кривой (рис. 45)

выходит на левую границу в тот момент, когда узел открыт,

то x

, y

и ρ

остаются константами.

Если θ

= 0 , то из (51)-(52) следует

{

(t) = f (ρ

) ,

(ρ

)

= −f (ρ

) ,

(57)

т.е.

{

˙x

(t) = f (ρ

) ,

˙ρ

= −

(1−ρ

)

(1−x

)

f (ρ

) .

(58)

Получаем аналогичные (56) интегральные кривые с той

лишь разницей, что перемещение состояния (x

, ρ

) вдоль

решения меняет направление, см. рис. 45.

Если θ

= 0 и ρ

= 0, то в силу (51) x

, y

и ρ

остаются

константами.

Таким образом, динамика состояния (x

, ρ

) элементар-

ного контура (51)-(52) (см. рис. 44) состоит в колебаниях

по гиперболе (см. рис. 45) с возможными задержками в слу-

чае выхода на границу x

= 0 или ρ

= 0 до тех моментов,

когда произойдет переключение θ(t).

3.2. Работа с пакетом FlowNetworkC.exe

Работа с приложением FlowNetworkC.exe в целом аналогич-

на работе с предыдущим приложением (FlowNetworkB.exe).

Для того, чтобы начать работу, необходимо запустить прило-

жение.

Окно программы сразу после запуска показано на рис. 46.

Рис. 46. Окно программы сразу после запуска

Далее необходимо выбрать из меню "Файл"команду "Но-

вый".

Откроется окно для создания и редактирования графов

(рис. 47).

Рис. 47. Окно для создания и редактирования графов

Создание узлов выполняется щелчками левой кнопкой мы-

ши. При этом потребуется ввести имена узлов, чаще всего это

их порядковые номера. Создание узлов показано на рис. 48 и

рис. 49.

Рис. 48. Ввод имени создаваемого узла

Для того, чтобы создать ребро, нужно навести указатель

мыши на начальный узел, нажать левую кнопку мыши, пере-

местить указатель на конечный узел и отпустить кнопку мы-

ши. При создании нового ребра потребуется ввести его имя

(чаще всего это порядковый номер ребра), рис. 50.

Изначально ребро создается однонаправленным. Для то-

го, чтобы добавить к ребру второе (противоположное) на-

правление, нужно навести указатель мыши на конечный узел,

нажать левую кнопку, переместить указатель на начальный

узел и отпустить кнопку. На рис. 51 показан граф после того,

как все ребра были преобразованы в двунаправленные.

Можно изменять геометрию графа, перетаскивая его узлы

(при нажатой правой кнопке мыши). Например, изменим по-

ложение узлов графа, как показано на рис. 52.

Рис. 49. Добавлено пять узлов

Задать количество материи на каждом ребре можно в диа-

логовом окне "Ввод значений количества вещества на реб-

рах"(рис. 54), которое вызывается командой меню "Граф" –>

"Ввод количества вещества на ребрах"(рис. 53).

Количество вещества будет показано на графе (рис. 55).

Чем толще полоса, изображающая материю на ребре, тем

большему количеству материи она соответствует. Иногда по-

лосы, изображающие количество материи, получаются слиш-

ком широкими или узкими. Отрегулировать их ширину мож-

но, изменив значение параметра "Параметр линий, изобража-

ющих поток"(вводится в поле ввода справа вверху). Напри-

мер, если параметр равен 100, это значит, что ширина изобра-

жения материи на ребре с одной полосой будет 100 пикселей.

Матрица перемешивания узла и план управления на узле.

Для того, чтобы изменить параметры например для узла є

0, нужно щелкнуть на нем правой кнопкой мыши и выбрать

пункт "Параметры распределения в узле 0 рис. 56.

Рис. 50. Ввод имени добавляемого ребра

Появится диалоговое окно (рис. 57), в котором изначально

открыта вкладка, где можно отредактировать матрицу рас-

пределения.

Переключившись на вкладку "План управления можно за-

дать план управления на узле (рис. 58). Возможность по за-

данию плана управления подробно описана ранее.

Чтобы запустить моделирование, нужно щелкнуть на кноп-

ке "Начать просчет"(рис. 59).

Достаточно быстро можно увидеть, как перед узлами, для

которых задан план управления (в данном случае это один

узел 0), сформируются очереди, рис. 60.

Через некоторое время очереди вырастут до некоторой ста-

бильной величины (в данном случае, очень большой - прак-

тически вся масса с ребер окажется в очередях; это значит,

Рис. 51. Узлы связаны двунаправленными ребрами

что скорость, с которой материя покидает очереди, слишком

мала), рис. 61.

Параметр S — скорость, с которой материя с передней кном-

ки очереди проходит через узел (т. е. скорость выхода из оче-

реди). Для изменения S служит поле ввода "S ="в правой

верхней части окна. По умолчанию этот параметр — 300 ча-

стиц в час. Если его увеличить, например, до 1300 частиц в

час, то можно будет наблюдать, как все очереди уменьшат-

ся (рис. 62), продолжая при этом колебаться в соответствии

с планом управления на узле. Еще увеличим S, например, до

2000 частиц в час (рис. 63). Очереди также снова уменьшатся.

Таким образом, приложение позволяет моделировать воз-

никновение очередей на ребрах перед узлами.

Рис. 52. Геометрия графа изменена путем перетаскивания узлов

3.3. Приложения

Далее приводятся несколько примеров приложений, моде-

лирующих простые контуры с очередями.

3.3.1. Одинарный контур с регулятором (светофором)

На рис. 64 показано приложение, моделирующее одинар-

ный контур с регулятором (светофором).

Контур характеризуется текущим количеством вещества на

нем , которое не превышает единицы. Контур характеризует-

ся также скоростью s, с которой поток проходит через свето-

фор, когда он открыт.

В контуре может образовываться пробка перед светофо-

ром. Пробка — это пространство, на котором плотность веще-

ства равна 1. Плотность вещества на свободном пространстве

(на котором нет пробки) меньше 1. Контур характеризует-

ся длиной пробки x и длиной свободного пространства y. Их

Рис. 53. Вызов диалогового окна для ввода значений количества вещества на ребрах

Рис. 54. Диалоговое окно "Ввод значений количества вещества на ребрах"

сумма равна 1, т. е. длина контура равна единице. Кроме того,

контур характеризуется количеством вещества на свободном

пространстве C

. Количество вещества в пробке C

численно

равно длине пробки, так как плотность в пробке — единица.

Плотность вещества на свободном пространстве r = C

/y. От

плотности вещества на свободном пространстве зависит ско-

рость, с которой оно движется на свободном пространстве и с

которой пополняется пробка. Зависимость выражается фор-

мулой f(r) = r(r − 1). Очевидно, что f(r) равна нулю, если

плотность равна 1.

В случае, если s мала, образуется пробка перед регулятором

(светофором), так как скорость f прихода нового вещества в

пробку будет больше, чем скорость s ухода его из пробки.

Если же s велика, то при открытом светофоре пробка может

исчезать. При закрытом же светофоре пробка возникает все

равно, так как поток проходит через регулятор, только когда

Рис. 55. Визуально показано количество вещества на ребрах графа

Рис. 56. Контекстное меню узла

тот открыт.

Временн´ые параметры работы регулятора показаны на схе-

ме рис. 65.

3.3.2. Два контура с общим регулятором

На рис. 66 показано окно другого приложения, которое мо-

делирует два контура с общим регулятором.

Это приложение отличается от предыдущего тем, что здесь

уже два контура, у которых один регулятор. Параметры кон-

туров и временные параметры регулятора полностью анало-

гичны.

Рис. 57. Матрица распределения потоков в узле №0

3.3.3. Четыре контура (лепестка) с распределением потоков в

общем регуляторе

На рис. 67 показано окно программы, которая реализует

модель четырех контуров (лепестков) с распределением по-

токов в общем регуляторе.

Отличие этого приложения от предыдущих не только в том,

что здесь четыре контура и выводятся графики, но и в том,

что вещество может переходить с контура на контур. Веще-

ство распределяется между контурами на перекрестке в со-

ответствии с его таблицей распределения.

Движение по контурам регулируется одним светофором,

через который в каждый момент времени может двигаться

поток только из одного контура. При этом этот поток раз-

ветвляется: часть его транспорта возвращается на тот кон-

тур, из которого он пришел, часть распределяется по другим

контурам, рис. 68.

То, как поток будет распределяться по контурам, опреде-

ляется таблицей распределения. В ней каждая строка соот-

ветствует потоку из некоторого контура, а каждый столбец