Бухвалов А.В. Финансовые вычисления для профессионалов. Настольная книга финансиста

Подождите немного. Документ загружается.

152 7. Современная ценность финансовой ренты

7.4. Погашение долгосрочной задолженности

несколькими платежами

Вернемся к задаче погашения долгосрочной задолженности, которую

мы уже рассматривали в п. 6.5. Рассмотрим случай, когда задолженность

погашается не единовременным платежом, а несколькими равными плате-

жами, которые делаются через равные промежутки времени. Такая фор-

ма погашения задолженности распространена в потребительском кредите

и во внешнеторговых расчетах. Опишем соответствующую задачу.

Заемщик взял ссуду, равную S руб., и обязался вернуть долг, сделав

n равных срочных у плат через равные промежутки времени. Требуется

определить величину срочной уплаты α при условии, что на долг начис-

ляются сложные проценты по ставке q за каждый промежуток времени.

Последовательность срочных уплат является рентой, имеющей n чле-

нов, современная ценность которой равна S. Следовательно, по форму-

ле (7.2) S = α×a

n; q

, откуда определяем:

α =

n; q

. (7.23)

При такой системе расчетов каждая следующая срочная уплата вклю-

чает б´ольшую сумму погашения долга, чем предыдущая, и меньшую сум-

му выплачиваемых процентов. Объясним это. Сумма выплачиваемых в

t-ом периоде процентов равна S

q, где S

— остаток долга на начало t-го

периода и S

= S. Сумма погашения долга в t-ом периоде равна величине

= α −S

Остаток долга на начало t-го периода вычисляется по формуле:

= S

t−1

− α

t−1

где t = 2, . . . , n. Рассмотрим пример.

Пример 7.8. Долг в 300 тыс. руб. надо погасить равными срочными

уплатами за 5 лет, делая платежи в конце каждого года. За долг выпла-

чиваются проценты по годовой ставке q = 5%. Составим план погашения

долга.

Решение . Используем формулу (7.23). По условию задачи n = 5, S =

= 300 000, q = 0.05. По Таблице 3 находим:

5; 5%

= 4.32948.

7.5. Определение срока погашения 153

Подставляем это значение в формулу и вычисляем срочную уплату:

α =

5; 5%

300 000

4.32948

= 69 292.39 руб.

Записываем план погашения долга в виде таблицы:

Номер Остаток Срочная Сумма Сумма

года долга уплата выплачен- погашения

(t) на начало (α) ных долга

t-го года в t-ом году в t-ом году

(руб.) процентов d

= α−

= (руб.) −S

×0.05

= S

t−1

− d

t−1

×0.05

1 300 000 69 292 15 000 54 292

2 245 708 69 292 12 285 57 007

3 188 701 69 292 9 435 59 857

4 128 844 69 292 6 442 62 850

5 65 994 69 292 3 30 0 65 994

Итого: 300 000 руб.

7.5. Определение срока погашения

долгосрочной задолженности

Иногда в условиях погашения долгосрочной задолженности S огова-

ривается только величина срочной уплаты α. Тогда срок погашения долга

n определяют из формулы (7.23):

S =

α(1 − (1 + q)

−n

)

Преобразуем данную формулу следующим образом:

(1 + q)

−n

= 1 −

прологарифмируем обе части последнего равенства и вычислим n:

−n ln(1 + q) = ln



1 −



n = −



1 −



ln(1 + q)

. (7.24)

154 7. Современная ценность финансовой ренты

Вычисленное по этой формуле значение n обычно получается неце-

лым. Поэтому при составлении плана погашения задолженности заклю-

чительная уплата в последнем, неполном году должна быть у меньшена

так, чтобы был выплачен остаток долга и соответствующие этому остат-

ку проценты. Рассмотрим пример.

Пример 7.9. В условиях предыдущей задачи предположим, что долж-

ник и кредитор договорились, не о том, что долг должен быть возвращен

в течение пяти лет, а о том, что срочная уплата будет равна 70 000 руб.

Составить план погашения долга.

Решение . Определим по формуле (7.24) срок погашения долга:

n = −



1 −

300 000 ×0.05

70 000



ln(1 + 0.05)

= 4.94284.

Полученный результат означает, что долг будет возвращаться 4.94 го-

да. На практике это означает, что первые 4 года срочная уплата рав-

на 70 000 руб., а в последнем году срочная уплата меньше, так как год

неполный. Заключительная уплата в пятом году должна быть равна сум-

ме остатка долга на начало пятого периода и начисленных на этот остаток

процентов в пятом году:

α = 62 943 + 3147 = 66 090 руб.

Записываем план погашения долга в виде таблицы:

Номер Остаток Срочная Сумма Сумма

года долга уплата выплачен- погашения

(t) на начало (α) ных долга

t-го года в t-ом году в t-ом году

(руб.) проценто в d

= α−

= (руб.) −S

×0.05

= S

t−1

− d

t−1

×0.05

1 300 000 70 000 15 000 55 000

2 245 000 70 000 12 250 57 750

3 187 250 70 000 9 362 60 638

4 126 612 70 000 6 331 63 669

5 62 943 66 09 0 3 147 62 943

Итого: 300 000 руб.

7.6. Процентная ставка финансовой ренты 155

7.6. Процентная ставка финансовой ренты

Иногда при финансовых вычислениях возникает необходимость по из-

вестному коэффициенту наращения s

n; i

или по известному коэффициенту

приведения a

n; i

найти значение процентной ставки i при фиксированном

числе членов ренты n. Например, предприниматель желает накопить сум-

му S к определенному сроку, делая через равные промежутки времени n

равных вкладов в банк размером R руб. каждый. Встает вопрос: какой

процент на вложенные деньги надо получать для этого от банка? В этом

случае, зная значения S, R, n, можно найти значение s

n; i

, пользуясь фор-

мулой (6.3), а затем по этому значению вычислить процентную ставку i.

Возможна другая ситуация. Вкладчик желает положить сумму S на

счет в банке, чтобы после этого иметь возможность n раз снять со своего

счета через равные промежутки времени сумму, равную R руб. Вкладчи-

ку интересно узнать, сколько процентов при этом должен платить банк

на вложенные деньги. В этом случае по известным значениям S, R и n

можно найти значение a

n; i

по формуле (7.2), а затем по этому значению

вычислить ставку i.

В обеих приведенных ситуациях надо решить относительно i одно из

уравнений при заданных значениях q, n, s

n; i

или a

n; i

= q или a

n; i

= q. (7.25)

Аналогичные уравнения приходится решать и в других задачах. Неко-

торые из них рассматриваются в разделах 7.6 и 9.5.

Уравнения (7.25) являются степенными уравнениями и имеют, как

правило (при n > 2), высокую степень. Такие уравнения можно решать

интерполяционными методами, позволяющими найти приближенные зна-

чения их корней с любой степенью точности. Например, при n = 5 урав-

нение s

n; i

= q имеет вид:

(1 + i)

− 1

= q, или (1 + i)

− qi − 1 = 0, или

+ 5i

+ 10i

+ (5 − q)i − 1 = 0.

Для решения таких уравнений сущ ествуют методы нахождения при-

ближенных значений корней с любой степенью точности. Опишем один

из этих методов: метод линейн о й интерполяции.

Если непрерывная функция f(x) является на промежутке [x

; x

] мо-

нотонной (возрастающей или убывающей) и принимает на концах этого

156 7. Современная ценность финансовой ренты

промежутка разные знаки, то в некоторой внутренней точке этого про-

межутка функция f(x) равна нулю, и эта точка (корень функции) един-

ственная на данном промежутке. Приближенное значение корня функции

на этом промежутке вычисляется по следующей формуле:

˜x = x

−

f(x

)(x

− x

)

f(x

) − f(x

)

. (7.26)

Мы применим этот метод при решении следующего примера. Сейчас

соответствующие вычисления могут быть легко проведены с помощью

специального финансового калькулятора или любого пакета электронных

таблиц на персональном компьютере: Lotus 1-2-3, Quattro Pro, Excel. В п.7.6

будет рассказано, как решать подобные задачи средствами Excel.

Пример 7.10. Для возвращения долга необходимо накопить за 10 лет

2 млн. руб. Ежегодно должник может вносить в банк для этой цели

150 тыс. руб. Под какую ставку сложных процентов необходимо вкла-

дывать эти деньги, чтобы накопить требуемую сумму в указанный срок?

Решение . По условию примера необходимо за 10 лет получить нара-

щенную сумму S = 2 млн. руб. Применяя формулу (6.3), находим коэф-

фициент наращения:

10; i

2 000 000

150 000

= 13.(3).

Следовательно, надо решить относительно i уравнение (7.25). Оно имеет

вид:

(1 + i)

− 1

= 13.(3).

Это уравнение десятой степени. Запишем это уравнение в виде

f(i) = 0,

где f (i) =

(1 + i)

− 1

− 13.(3).

По Таблице 2 находим два значения i, при которых функция f(i) имеет

разные знаки: i = 5% и i = 10%. Действительно, при этих значениях i мы

имеем:

10; 5%

= 12.5779, f (0.05) = 12.5779 − 13.(3) = −0.7554,

7.7. Используем Excel 157

10; 10%

= 15.9374, f (0.10) = 15.9374 − 13.(3) = 2.6041.

На промежутке [ 0.05; 0.10] функция f(i) меняет знак и монотонно воз-

растает. Находим приближенное значение i по формуле (7.26), заменив

переменную x переменной i. В нашем примере имеем в качестве началь-

ных данных:

= 0.05, x

= 0.1, f (x

) = −0.7554, f(x

) = 2.6041.

Приближенное значение корня уравнения

i, согласно формуле (7.26), рав-

но:

i = 0.05 −

−0.7554(0.1 − 0.05)

2.6041 + 0.7554

= 0.061243 ≈ 6.12%.

Вычислим значение f(6.12%) = f(0.0612):

f(0.0612) =

(1 + 0.0612)

− 1

0.0612

− 13.(3) = −0.0780.

Это значение близко к 0, то есть приближенное значение корня уравнения

i ≈ 6.12% можно принять в качестве решения поставленной задачи.

Если точность найденного значения i будет признана недостаточной,

то следует вновь применить формулу (7.26) на промежутке [ 6.12%; 10% ],

так как функция на концах этого промежутка имеет разные знаки:

f(6.12%) = −0.0780, f(10%) = 2.6041.

Повторяя эту процедуру, можно найти значение i с любой степенью точ-

ности.

Пример 7.11. Г-н Иванов накопил 1 500 000 руб. к моменту выхода на

пенсию. Эти деньги он желает положить в банк, чтобы потом в течение 20

лет получать по 120 000 руб. в год, исчерпав весь свой вклад к концу срока.

Под какую ставку сложных процентов ему надо вложить свои деньги?

Решение . Величина вкладываемой суммы является современной цен-

ностью годовой ренты, состоящей из 20 членов по 120 000 руб. каждый.

Из формулы (7.2) находим коэффициент приведения:

20; i

P V

1 500 000

120 000

= 12.5.

Надо решить относительно i следующее уравнение:

20; i

= 12.5.

С помощью Таблицы 3 находим, что значение i = 5%.

158 7. Современная ценность финансовой ренты

7.7. Используем Excel

В предыдущем разделе (п. 6.7) была приведена таблица функций, име-

ющихся в Excel, которые используются при анализе финансовой ренты.

Там же были разобраны примеры использования некоторых из них для

определения будущей величины потока платежей, величины периодиче-

ского платежа и количества платежей, необходимых для возврата заема.

Теперь мы приведем примеры и замечания, касающиеся использования

функций ПЗ и НОРМА.

В простейшем случае с помощью функции ПЗ определяется объем

вклада, необходимого для обеспечения выплат в течение заданного пе-

риода (пример 7.1 на рис. 8).

Так как функция ПЗ характеризует общую сумму будущих платежей,

то ее значение является одним из показателей привлекательности дол-

говременных инвестиций. С ее помощью можно сосчитать современную

ценность предполагаемого дохода и сравнить ее с требуемыми инвестици-

ями.

Пример 7.12. Предположим, что инвестор имеет возможность вло-

жить 40 000 ру б. в предприятие, которое будет выплачивать ему 10 000 руб.

ежегодно в течение 5 последующих лет. Является ли приемлемым такой

вариант вложения денег?

Решение . Ответ на этот вопрос зависит от величины банковского про-

цента. Если банковский процент составляет 5% в год, то для определения

современной ценности предполагаемого дохода используем формулу:

=ПЗ(5%;5;10000)

В формуле отсутствуют необязательные аргументы буд_ст и тип (по умол-

чанию выплаты производятся в конце периода). Приведенная формула

вернет значение: −43 295 руб. Это означает, что при указанном банков-

ском проценте именно эту сумму следует положить в банк, чтобы полу-

чать по 10 000 руб. в течение 5 лет. Так как исходная сумма (40 000 руб.)

меньше, то подобное вложение денег представляется весьма перспектив-

ным.

Заметим, что если же всю сумму 50 000 руб. обещают выплатить в кон-

це пятилетнего срока, то следует использовать другой набор параметров:

=ПЗ(5%;5;;50000)

7.7. Используем Excel 159

Рис. 8. Примеры анализа финансовых рент

160 7. Современная ценность финансовой ренты

В последней формуле отсутствует третий аргумент платеж, но исполь-

зуется аргумент буд_ст, равный 50 000 руб. Формула вернет значение:

−39 176 руб. Следовательно, современная стоимость предполагаемого до-

хода (39 176 руб.) меньше, чем инвестируемая сумма (40 000 руб.). Инве-

стирование на подобных условиях является невыгодным.

Функция НОРМА вычисляет процентную ставку, которая в зависимо-

сти от ситуации может быть либо нормой прибыли, либо процентом кре-

дита. Особенностью применения этой функции является возможность ис-

пользования необязательного параметра прогноз — предполагаемого зна-

чения функции. По умолчанию он полагается равным 10%.

В Excel для определения значения функции НОР МА используется ме-

тод последовательных приближений. Если решение с заданной точностью

не найдено за 20 итераций, то выдается сообщение об ошибке: #ЧИСЛО.

Именно в такой ситуации может помочь задание параметра прогноз перед

повторным вычислением функции.

На рис. 8 приведен фрагмент рабочего листа с решениями примеров

7.1, 7.10 и 7.11, в которых использовались функции ПЗ и НОРМА.

В п.7.6 было показано, что решение примера 7.10 можно свести к ре-

шению следующего уравнения:

f(i) =

(1 + i)

− 1

− s

10;i

= 0.

Далее там для решения этого уравнения был применен метод линейной

интерполяции. Покажем теперь, как этот метод может быть реализован

программи рованием н а рабочем листе.

Метод линейной интерполяции является итерационным процессом, по-

этому необходимо задать условие, при выполнении которого процесс дол-

жен быть остановлен. Для простоты реализации признаком окончания

процесса нахождения корня будем считать то, что значение функции в

очередном приближении к значению корня x

′

близко к 0:

|f(x

′

)| < ǫ.

Напомним, что для записи формул, зависящих от некоторого усло-

вия, в Excel имеется логическая функция ЕСЛИ. Она возвращает значе-

ние второго аргумента значение_истина, если условие, заданное первым

аргументом, выполнено, и значение третьего аргумента значение_ложь в

противном случае:

ЕСЛИ(условие; значение_истина; значение_ложь)

7.7. Используем Excel 161

Рис. 9. Реализация метода линейной интерполяции

На рис. 9 приведен фрагмент рабочего листа с решением примера 7.10

методом линейной интерполяции. Ячейки, выделенные серым фоном, со-

держат, как всегда, информацию о ячейках и формулах, которые введены

непосредственно в эти ячейки. Формулы в остальных я чейках получены

в результате выполнения операции копирования. Прокомментируем при-

веденное решение.

Данные для примера скопированы с рабочего листа, приведенного на

рис. 8. Для задания величины ǫ , которая определяет точность вычисления

корня, используется ячейка B9.

Начинаем с вычисления величины s

10;i

в ячейке B13. Далее вычисле-

ния оформляем в виде таблицы, содержащей 7 столбцов. Каждая строка

таблицы содержит информацию об одной итерации метода линейной ин-

терполяции.

В первых двух столбцах (A, B) хранятся концы интервала (x

, x

), в

котором ищется корень функции f (x). В третьем столбце (C) вычисля-